Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình Fefferman và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giả sử D là miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn . Cho ρ là nghiệm của phương trình Fefferman (5) sao cho u = −log(−ρ) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Vậy bổ sung điều kiện nào trên D thì ta có ρ là đa điều hòa dưới chặt trong D. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình Fefferman và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LỤA TÍNH ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LỤA TÍNH ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS. NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2019
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài luận văn, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Thạc Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn và trực tiếp hướng dẫn em hoàn thiện đề tài luận văn tốt nghiệp này. Thầy luôn dành thời gian và tâm huyết vào công việc, vì thế thầy luôn đặt niềm tin vào học trò và không ngừng mong mỏi học trò của mình luôn tiến bộ, lĩnh hội được nhiều kiến thức. Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ em có một môi trường học tập tốt trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng con xin cảm ơn bố mẹ đã luôn ủng hộ trong việc học tập; cảm ơn bạn bè, anh chị em và đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, cổ vũ và động viên trong học tập, công việc cũng như trong quá trình hoàn thiện luận văn.Tôi xin cảm ơn anh chị và các bạn trong lớp cao học Toán đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập tại lớp. Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Lụa 1
Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 LỜI MỞ ĐẦU 3 1 Kiến thức cơ bản 6 1.1 Miền siêu giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler . . . . . . . . 7 1.1.4 Miền siêu giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Công thức xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng 16 2.1 Hàm đa điều hòa dưới chặt và miều siêu giả lồi . . . . . . . . . . . 17 2.2 Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi . . . . . . . . 19 2.3 Các phản ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 KẾT LUẬN 30 Tài liệu tham khảo 31 2
LỜI MỞ ĐẦU Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi trong Cn , u ∈ C 2 (D) là một hàm giá trị thực và H(u) là ma trận Hessian phức cỡ n × n của u. Ta biết rằng u là đa điều hòa dưới chặt trong D nếu H(u) xác định dương trên D. Khi u là đa điều hòa dưới chặt trong D, u cảm sinh một metric K¨ahler n X ∂ 2u g = g[u] = dz i ⊗ dz j . (1) ∂zi ∂z j i,j=1 Ta nói rằng metric g là Einstein nếu nó có độ cong Ricci ∂ log det[gij ] Rkl = − (2) ∂zk ∂z l thỏa mãn phương trình: Rkl = cgkl với hằng số c nào đó. Khi c < 0, sau khi chuẩn hóa, ta có thể giả sử c = −(n + 1). Cheng và Yau [2] đã chứng minh rằng phương trình Monge-Ampère ( det H(u) = e(n+1)u , z ∈ D (3) u = +∞, z ∈ ∂D có một nghiệm đa điều hòa dưới chặt duy nhất u ∈ C ∞ (D). Hơn nữa, metric K¨ahler n X ∂ 2u g[u] = dz i ⊗ dz j (4) ∂zi ∂z j i,j=1 cảm sinh bởi u là một metric K¨ahler-Einstein đủ trên D. Khi D là giả lồi chặt, bài toán tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm được nghiên cứu bởi Fefferman [3]. Feffermann đã xét phương trình dưới dây ( det J(ρ) = 1, z ∈ D (5) ρ = 0, z ∈ ∂D " # t ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ trong đó J(ρ) = −det , ∂ρ = ,..., và (∂ρ)∗ = ,..., . (∂ρ)∗ H(ρ) ∂z 1 ∂z n ∂z1 ∂zn Phương trình này cũng được gọi là phương trình Feffermann. Fefferman đã tìm 3
MỤC LỤC được một nghiệm ρ < 0 trên D sao cho u = − log(−ρ) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Tác giả chứng minh tính duy nhất và đưa ra công thức nghiệm xấp xỉ cho (5). Nếu quan hệ giữa ρ và u được cho bởi ρ(z) = −e−u(z) , z ∈ D (6) thì (3) và (5) là trùng nhau. Hơn nữa, có thể chứng minh rằng (xem [8]) det H(u) = J(ρ)e(n+1)u . (7) Khi D là miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt, Cheng và Yau [2] đã chứng minh rằng ρ ∈ C n+3/2 (D). Trên thực tế, người ta có ρ ∈ C n+2− (D) với > 0 đủ nhỏ. Điều khẳng định này được suy ra từ một công thức mở rộng tiệm cận cho ρ thu được bởi Lee và Melrose [6]: ∞ ! X ρ(z) = r(z) a0 (z) + aj (rn+1 log(−r))j , (8) j=1 trong đó r ∈ C ∞ (D) là hàm xác định bất kì cho D, aj ∈ C ∞ (D) và a0 (z) > 0 trên ∂D. Nhiều nghiên cứu [8, 9, 13, 14] chứng tỏ rằng bài toán dưới đây rất thú vị và quan trọng. Bài toán 0.1. Giả sử D là miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn . Cho ρ là nghiệm của phương trình Fefferman (5) sao cho u = −log(−ρ) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Vậy bổ sung điều kiện nào trên D thì ta có ρ là đa điều hòa dưới chặt trong D. Bằng cách giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi trong bài báo [7], Song Ying Li đã đưa ra một đặc trưng hóa cho các miền D trong Cn sao cho câu trả lời của bài toán trên là đúng. Ngoài ra, tác giả cũng nghiên cứu giá trị cực đại cho giá trị riêng "nhỏ nhất" ("bottom of the spectrum") trên các miền này. Mục tiêu chính của luận văn là trình bày lại các kêt quả trong bài báo nói trên của Li. Luận văn bao gồm hai chương. Trong chương một, chúng tôi giới thiệu lại các khái niệm miền giả lồi, hàm xác định, toán tử Laplace-Beltrami. Đặc biệt, chúng tôi giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi và chứng minh một kết quả xấp xỉ cho hàm xác định. Kết quả này sẽ được dùng trong chương hai để chứng minh các kết quả chính. Như đã nói ở trên, chương hai sẽ tập trung vào phân tích các kết quả chính của Li. Cụ thể, trong Định lý 2.2 chúng tôi chỉ ra rằng trên các miền siêu giả lồi thì lời giải của Bài toán 0.1 là luôn tồn tại. Kết 4
MỤC LỤC quả chính cuối cùng trong luận văn là Định lý 2.1 đưa ra các mối liên hệ giữa các khái niệm miền siêu giả lồi và miền lồi. Do hạn chế về kiến thức cơ bản nên bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy phản biện và bạn đọc để nâng cao và trau dồi kiến thức của mình. Các thảo luận góp ý và trau đổi được tác giả cảm ơn và trân trọng. 5
Chương 1 Kiến thức cơ bản 1.1 Miền siêu giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới Trong phần này ta sẽ đưa ra một số tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới. Trước hết ta sẽ nhắc lại một vài định nghĩa và định lý cho hàm đa điều hòa dưới, chứng minh của định lý ta có thể xem Kenzo Adachi ([4], phần 1.2. Đặc trưng của tính giả lồi). Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là tập con mở trong Cn , u : Ω → R. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu (i) u là nửa liên tục trên trong Ω, tức là với mọi c ∈ R : {z ∈ Ω : u(z) < c} là tập mở. (ii) Với bất kì z ∈ Ω và ω ∈ Cn thì u(z + ζω) là điều hòa dưới trên {ζ ∈ C : z + ζω ∈ Ω}. Ta chú ý một vài tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới sau đây. Định lý 1.1. Cho Ω ⊂ Cn , u : Ω → R, u ∈ C 2 (Ω). Khi đó, n P ∂ 2u (i) u là đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu (z)ωj ω k ≥ 0, ∀z ∈ Ω, j,k=1 ∂zj ∂z k ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Cn . n P ∂ 2u (ii) u là đa điều hòa dưới chặt nếu và chỉ nếu (z)ωj ω k > 0, ∀z ∈ Ω, j,k=1 ∂zj ∂z k ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Cn . 6
Chương 1. Kiến thức cơ bản |ω|4 Ví dụ 1.1. Xét không gian phức C2 , cho u(z, ω) = |z|2 +|ω|2 và v(z, ω) = |z|2 + 4 với (z, ω) ∈ C2 . Khi đó, u là hàm đa diều hòa dưới chặt còn v là hàm đa điều hòa dưới. Thật vậy, u, v là !các hàm trơn và ma trận Hessian ! phức của u và v lần lượt là 1 0 1 0 Hu (z, ω) = = I2 và Hv (z, ω) = . Cả hai ma trận trên đều là 0 1 0 |ω|2 ma trận Hermit. Ma trận Hu là xác định dương chặt và ma trận Hv là xác định dương. 1.1.2 Miền giả lồi Cho Ω ⊂ Cn là tập mở. Ta nói rằng Ω có biên lớp C k (k ≥ 2) nếu tồn tại một lân cận U của ∂Ω và một hàm r xác định lớp C k trên U sao cho • Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}. n ∂r P • dr 6= 0 trên ∂Ω, ta có dr(z) = (z)dxj với mọi z ∈ ∂Ω. j=1 ∂xj Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Cn (n ≥ 2), Ω có biên trơn, D là biên của Ω và r là một hàm xác định trên D. Khi đó D gọi là miền giả lồi tại p ∈ ∂Ω nếu dạng Levi n X ∂ 2r Lp (r, ω) = (p)ωi ω j ≥ 0 ∂zi ∂z j i,j=1 với mọi ω ∈ Tp(1,0) (∂Ω). Ω được gọi là miền giả lồi chặt nếu L(r, ω) là xác định dương với mọi ω 6= 0. Ví dụ 1.2. Xét không gian phức C2 và hình cầu đơn vị B2 = {(z, ω) ∈ C2 : |z|2 + |ω|2 < 1}. Khi đó, B2 là miền giả lồi chặt. Thật vậy, ta có thể chọn hàm xác định của ∂B2 là hàm r(z, ω) = |z|2 + |ω|2 − 1. Hàm này là hàm đa điều hòa dưới chặt tại mọi điểm (z, ω) ∈ ∂B2 . 1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ ahler Giả sử M là một đa tạp Riemann định hướng, n chiều và Ωp (M ) là không gian p-dạng trên M , đặt d : Ωp (M ) −→ Ωp+1 (M ) là toán tử vi phân thông thường, p ≥ 0. Giả sử rằng ds2 = gij dxi ⊗ dxj là một metric Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ M , P i,j 7
Chương 1. Kiến thức cơ bản gij là ma trận thực cấp n và xác định dương chặt. Khi đó ds2 chứa một metric Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ M xác định bởi ij ∂ ∂ X 2 dS = g ⊗ ∂xi ∂xj i,j trong đó (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ). Giả sử d∗ là toán tử liên hợp của d trên np=0 Ωp (M ) tương ứng với metric L P gij dxi ⊗ dxj nghĩa là i,j d∗ : Ωp (M ) −→ Ωp−1 (M ) và Z (dα, β) = (α, d∗ β) = hdα, βids2 M mọi α ∈ Ωp−1 M, β ∈ Ωp M , trong đó ∗ là toán tử Hogde. Định nghĩa 1.3. Toán tử Hogde-Laplace trên Ωp M là 4H = −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) −→ Ωp (M ). Toán tử Hogde-Laplace được liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami như sau: Với mọi hàm trơn f ta có thể định nghĩa gradient của nó là ∂f ∂f 5f =: grad f =: g ij ∂xi ∂xj trong đó g = det(gij ), khi đó với mọi trường vecto X ta có hgrad f, Xi = X(f ) = df (X). ∂ Mặt khác, toán tử div tác động lên một trường vecto Z = Z i được định nghĩa ∂xi là 1 ∂ √ j divZ =: ( gZ ). g ∂xj Định nghĩa 1.4. Toán tử Laplace-Beltrami trên Ωp (M ) là 4f = −div(grad f ) Khi đó, chúng ta biết rằng trên không gian các hàm khả vi trên M ta có 4 = −4H . Dễ dàng nhận thấy rằng 2 1 ∂ √ ij ∂f ∂ 4f = − √ gg = −g ij f + ··· g ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj Vì (gij ) là xác định dương nên − 4 f là một toán tử elliptic. 8
Chương 1. Kiến thức cơ bản Định nghĩa 1.5. Giả sử M là một đa tạp phức với tọa độ địa phương z = (z1 , · · · , zn ). Một metric Hermit trên M được xác định bởi hjk (z)dzj ⊗ dz k trong đó hjk (z) là ma trận Hermit, xác định dương phụ thuộc vào z . Ngoài ra, các thành phần hjk (z) là các hàm trơn. Dạng vi phân song bậc (1, 1) xác định bởi i h (z)dzj ∧ dz k 2 jk được gọi là dạng K¨ahler của metric Hermit. Định nghĩa 1.6. Một metric Hermit hjk (z) được gọi là một metric K¨ ahler nếu với mọi z tồn tại một lân cận U của z và một hàm F : U −→ R i với hjk (z)dzj ∧ dz k = ∂∂F , ∂∂F được gọi là dạng K¨ ahler, F gọi là thế vị K¨ahler. 2 Giả sử hjk (z) là một metric K¨ahler trên một đa tạp phức M . Do mỗi metric Hermit đều cảm sinh một metric Riemann nên ta có thể định nghĩa toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric Riemann hv, ωiR,h . Trong metric này, toán tử Laplace-Beltrami có dạng 2 1 ∂ ∂ ∂ 4 = −4 hhij = −4hij , h ∂zi ∂z i ∂zi ∂z j trong đó h = det(hjk ). 1.1.4 Miền siêu giả lồi Trong phần này, ta giới thiệu khái niệm của miền siêu giả lồi. Định nghĩa 1.7. Cho D là một miền trơn, bị chặn trong Cn . Ta nói rằng D là siêu giả lồi chặt (siêu giả lồi) nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới chặt r ∈ C 4 (D) sao cho L2 [r] > 0 (L2 [r] ≥ 0) trên ∂D. Trong đó |∂r |2r e 2Re R log J(r) L2 [r] =: 1 + 4 log J(r) − − |∂r |2r |5 e log J(r)|2 , (1.1) n(n + 1) n+1 n ∂2 n ∂ n ∂f ∂f aij [r] rj f |2 = aij [r] P P P với 4 e= , R= , |5f i,j=1 ∂zi ∂z j j=1 ∂zj i,j=1 ∂zi ∂z j n r rj i và ri = rij rj , [rij ]t = H(r)−1 , aij =: rij − P , 1 ≤ i, j ≤ n. j=1 −r + |∂r|2r 9
Chương 1. Kiến thức cơ bản Định nghĩa 1.8. Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn , r ∈ C ∞ (D) là một hàm xác định trên D sao cho u = − log(−r) là hàm đa điều hòa dưới chặt. Ta nói rằng metric K¨ ahler g[u] cảm sinh bởi u là siêu tiệm cận Einstein nếu (i) Độ cong Ricci Rij ≥ −(n + 1)gij trên D. (ii) J(r) = 1 + O(r2 ). Giả sử J là toán tử Fefferman thì " # r ∂r J(r) = −det (∂ r )∗ H(r) t ∂r ∂r ∂r ∂r trong đó ∂r = ,..., = (r1 , . . . , rn ) ∈ Cn , (∂r)∗ = ,..., và 2 ∂z 1 ∂z n ∂z1 ∂zn ∂ r H(r) = . ∂zi ∂z j Vì r = −e−u(z) , z ∈ D nên ta có ∂r ∂(−e−u ) ∂r = = = uz e−u , (∂r)∗ = (uz e−u )t ∂z ∂z ∂ 2r ∂ ∂r ∂ uzi e−u = uzi z j e−u + (−u)z j uzi e−u = uij e−u − ui uj e−u = = ∂zi ∂z j ∂z j ∂zi ∂z j = (uij − ui uj )e−u Khi đó, −e−u u1 e−u un e−u   ···  u e−u (u − u u )e−u · · · (u − u u )e−u   1 11 1 1 1n 1 n J(r) = −det  .  . . . . .   . . ··· .  un e−u (un1 − un u1 )e−u · · · (unn − un un )e−u   1 −u1 ··· −un u u − u u · · · u1n − u1 un   1 11 1 1 = e−(n+1)u det  .   .. . .. ..  ··· .  un un1 − un u1 · · · unn − un un Nhân hàng đầu với −ui rồi cộng vào hàng i + 1, i = 2, n, ta sẽ được   u11 · · · u1n J(r) = e −(n+1)u det  ... ..   ··· .  un1 · · · unn = e−(n+1)u det H(u). 10
Chương 1. Kiến thức cơ bản 1.2 Công thức xấp xỉ Cho D là một miền bị chặn trong Cn với biên trơn và r ∈ C 2 (D) là một hàm xác định của D, giá trị thực và âm trên D. Khi đó toán tử Fefferman tác động lên r được định nghĩa bởi " # r ∂r J(r) = −det (1.2) (∂ r )∗ H(r) trong đó ∂r ∂r ∂r = ,..., = (r1 , . . . , rn ) ∈ Cn , ∂z 1 ∂z n t ∗ ∂r ∂r (∂r) = ,..., ∂z1 ∂zn ∂ 2r và H(r) = là ma trận Hessian phức cỡ n × n của r. ∂zi ∂z j Giả sử rằng H(r) = [rij ] là khả nghịch, một cách đặc biệt giả sử nó là xác định dương, thì ta sử dụng kí hiệu [rij ]t =: H(r)−1 và n X |∂r|2r = rij ri rj . (1.3) i,j=1 Ta dễ dàng tính được J(r) = −det[rH(r) − (∂r)∗ (∂r)] (∂r)∗ (∂r) = (−r)det H(r) − r |∂r|2r = (−r)det H(r) 1 − r = det H(r)(−r + |∂r|2r ). (1.4) Nhận xét 1.1. Khi H(r) không xác định dương trên ∂D, ta có thể thay r bởi a r[a] := r(z) + r2 . (1.5) 2 Khi đó r[a] là xác định dương với a đủ lớn và 1 J(r) = det H(r[a])(−r + (1 + 2ar)|∂r|r[a] ). (1.6) (1 + ar)n Xuyên suốt trong luận văn này, ta sẽ luôn giả sử rằng r(z) ∈ C ∞ (D) là hàm xác định cho miền D, và nhận giá trị âm sao cho `(r) = − log(−r) (1.7) 11
Chương 1. Kiến thức cơ bản là đa điều hòa dưới chặt trong D. Bằng tính toán trực tiếp ở phần 1.4 chương 1 và xem các bài báo [2, 8, 9, 10], ta nhận được det H(`(r)) = J(r)e(n+1)`(r) . (1.8) Từ đó, ta có kết luận sau (i) u := `(r) là đa điều hòa dưới chặt trên D nếu và chỉ nếu J(r) > 0 trên D. (ii) J(r) = 1 nếu và chỉ nếu det H(u) = e(n+1)u với u := `(r). Ta sẽ khẳng định và chứng minh các công thức xấp xỉ dưới đây. Định lý 1.2. Cho D là một miền trơn, bị chặn giả lồi trong Cn . Cho r(z) là hàm trơn xác định âm trên D sao cho `(r) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Cho −1 ρ1 (z) = r(z)J(r) n+1 e−B(z) (1.9) với tr(H(`(r)))−1 H(log(J(r))) B(z) = B[r](z) = . (1.10) 2n(n + 1) Khi đó J(ρ1 )(z) = 1 + O(r2 ). (1.11) Hơn nữa, nếu J(r) = 1 + O(r2 ) thì ρ1 = r + O(r3 ) và J(ρ1 ) = 1 + O(r3 ). (1.12) Chứng minh. Trước hết, ta chọn a ≥ 0 đủ lớn để r[a] là đa điều hòa dưới chặt. Từ định nghĩa của r[a] và tính toán trực tiếp, ta có 1 1 + 2ar ∗ H(`(r)) = H(r[a]) + (∂r) (∂r) . (1.13) (−r)(1 + ar) (−r) Vì vậy, ta có thể viết B(z) = (−r)B0 (z) với B0 (z) ∈ C ∞ (D). Tính toán trực tiếp, từ công thức trên, ta nhận được ∗ (∂r) ∂r H(B) =(−r)H(B0 ) − B0 H(r) + −r (∂r)∗ ∂r + B0 − (∂r)∗ (∂B0 ) − (∂B)∗ (∂r). (1.14) −r 12
Chương 1. Kiến thức cơ bản Với mỗi z = z0 cố định, bằng cách sử dụng phép quay phức (nếu cần), ta có thể ∂r giả sử rằng (z0 ) = 0 với 1 ≤ j ≤ n − 1 và H(r)(z0 ) là đường chéo, khi đó ∂zj tr(H(`(r)))−1 H(B) = −nB(z) + (−r)B0 + O(r2 ) = −(n − 1)B + O(r2 ). (1.15) Mặt khác, ta tính được J(ρ1 )(z)e(n+1)`(ρ1 ) = detH(`(ρ1 )) 1 = det H(`(r)) + H(log J) + H(B) n+1 h 1 i −1 = det H(`(r))det In + H(`(r))) H(log J) + H(B) n+1 h 1 i = J(r)e(n+1)`(r) det In + H(`(r)))−1 H(log J) + H(B) n+1 Chú ý rằng, e(n+1)`(ρ1 ) = e(n+1)B J(r)e(n+1)`(r) , từ đó ta có h 1 i J(ρ1 )(z) = e−(n+1)B det In + H(`(r))−1 H(log J) + H(B) n+1 1 = e−(n+1)B 1 + tr H(`(r))−1 H(log J) + H(B) + O(r2 ) n+1 = e−(n+1)B [1 + 2nB + trH(`(r))−1 H(B)] + O(r2 ) = e−(n+1)B [1 + 2nB − (n − 1)B + O(r2 )] + O(r2 ) (n + 1)2 2 =1+ B + O(r2 ) = 1 + O(r2 ). 2 Khi J(r) = 1 + Ar2 với A trơn trên D, dễ dàng chứng minh B = B1 r2 với B1 trơn trên D gồm ∂D. Dễ dàng thấy rằng ρ1 [r] = r + O(r3 ) và J(ρ1 [r]) = 1 + O(r3 ). Mệnh đề 1.1. Cho D là một miền trơn bị chặn giả lồi chặt trong Cn . Cho u là nghiệm đa điều hòa dưới của phương trình ( det H(u) = e(n+1)u , z∈D và ρ(z) = −e−u . u = +∞, z ∈ ∂D Khi đó, với bất kỳ hàm xác định trơn r của D sao cho `(r) là đa điều hòa dưới chặt trong D, ta có [∂i r∂j log J + ∂i log J(r)∂j r] −n det H(ρ) = J(r) n+1 det H(r) − − [∂i r∂j B(z) + ∂i B∂j r] n+1 (1.16) trên ∂D, trong đó B(z) = B[r](z) như trong công thức (1.10). 13
Chương 1. Kiến thức cơ bản Chứng minh. Đặt −1 ρ1 (z) := ρ1 [r] := r(z)J(r) n+1 e−B . (1.17) Định lý 1.2 suy ra rằng ρ(z) = ρ1 (z) + O(r(z)3 ). Bằng tính toán trực tiếp, ta nhận được det H(ρ) = det H(ρ1 ), z ∈ ∂D. (1.18) Bởi vì B(z) = (−r)B0 (z), ta dễ dàng thấy rằng −1 −1 ρ1 (z) = r(z)J(r) n+1 − r(z)J(r) n+1 B(z) + O(r(z)3 ) (1.19) và −1 −1 det H(ρ1 ) = det H r(z)J(r) n+1 − r(z)J(r) n+1 B(z) , z ∈ ∂D. (1.20) Với bất kì z ∈ ∂D, bởi (1.20), ta có −1 −1 det H(ρ1 )(z) =det H(rJ(r) ) − J(r) [∂i r∂j B + ∂i B∂j r] n+1 n+1 −(n+2) −1 J(r) n+1 =det J(r) n+1 H(r) − [∂i r∂j J(r) + ∂i J(r)∂j r] n+1 −1 − J(r) n+1 [∂i r∂j B + ∂i B∂j r] (1.21) −n 1 =J(r) n+1 det H(r) − [∂i r∂j log J + ∂i log J(r)∂j r] n+1 − [∂i r∂j B + ∂i B∂j r] . Đó là điều phải chứng minh. n D Với mỗi j = 1, 2, cho trước các miền Dj ⊂ C , gọi u j là hàm thế vị cho metric K¨ahler - Einstein của Dj và cho Dj ρDj (z) = −e−u (z) , j = 1, 2. (1.22) Khi đó, ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.2. Cho φ : D1 → D2 là ánh xạ trơn song chỉnh hình. Khi đó −2 ρD1 (z) = ρD2 (φ(z))|detφ0 (z)| n+1 . (1.23) Đặc biệt, nếu det φ0 (z) là hằng số c thì 2 det H(ρD1 )(z) = |c| n+1 det H(ρD2 )(φ(z)). (1.24) 14
Chương 1. Kiến thức cơ bản Chứng minh. Vì uDj là hàm thế vị cho metric K¨ahler - Einstein của Dj nên uDj là nghiệm đa điều hòa dưới duy nhất cho phương trình Monge-Ampère ( detH(u) = e(n+1)u , z ∈ Dj u = ∞, z ∈ ∂Dj . Do φ : D1 → D2 là song chỉnh hình, ta có 1 uD1 (z) = uD2 (φ(z)) + log |det φ0 (z)|2 , z ∈ D1 , (1.25) n+1 và −2 ρD1 (z) = ρD2 (φ(z))|det φ0 (z)| n+1 . (1.26) Đặc biệt, khi det φ0 (z) = c, ta có −2n det H(ρD1 )(z) = |c| n+1 det H(ρD2 )(φ(z))|c|2 2 = |c| n+1 det H(ρD2 )(φ(z)). Đó là điều phải chứng minh. Chúng ta cũng cần công thức đổi biến chỉnh hình sau đây. Bổ đề 1.1. Cho z0 ∈ ∂D, và δ0 > 0 nào đó, nếu z = φ(w) : B(0, δ0 ) → B(z0 , 1) là ánh xạ chỉnh hình một - một với φ(0) = z0 và r(z) = e r(w) thì 2 r(w) ρ1 (φ(w)) = |detφ0 (w)| n+1 e−B(re(w)) . (1.27) e 1 J(e r(w)) n+1 Hơn nữa, nếu |detφ0 (z)|2 là một hằng số trên B(0, δ0 ) thì ! 2 r det H(ρ1 )(z0 )|det φ0 (0)| e−B(re) (0) (1.28) e n+1 = det H 1 . J(e r) n+1 Chứng minh. Bổ đề được suy ra từ Định lý 1.2 và Mệnh đề 1.1. 15
Chương 2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng Kết quả chính đầu tiên trong chương này là để chứng minh rằng nghiệm của phương trình Fefferman trên một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong Cn là đa điều hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi (xem Định lý 2.2). Mục tiêu chính thứ hai của chương này là chứng minh đưa ra các một liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi như trong định lý sau đây. Định lý 2.1. Cho D là một miền trơn, bị chặn trong Cn . Khi đó, (i) Với n = 1, D là siêu giả lồi chặt (siêu giả lồi) nếu và chỉ nếu D là lồi chặt (lồi). (ii) Với n > 1, nếu D là lồi và nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới chặt r ∈ C 4 (D) sao cho |∂r|2 kl h i n−1+ e − aiq [r]rpj rijk r − (∆r a [r] ∆r e ) − 2Re rk ∆r e k )(∆r e k>0 n kl pql l thì D là siêu giả lồi chặt. (iii) Tính lồi không suy ra tính siêu giả lồi và tính siêu giả lồi không suy ra tính lồi. Chứng minh của Định lý 2.1 sẽ được trình bày trong hai tiểu mục. Trong mục "Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi", chúng tôi trình bày chứng minh phần (i) và (ii). Trong mục "Các phản ví dụ", chứng minh của (iii) được giới thiệu thông qua các phản ví dụ. 16
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng 2.1 Hàm đa điều hòa dưới chặt và miều siêu giả lồi Kết quả đầu tiên của luận văn sẽ chứng minh rằng nghiệm của phương trình Fefferman trên một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong Cn là đa điều hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi. Định lý 2.2. Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn . Cho ρe ∈ C 4 (D) là một hàm xác định của D sao cho ue = − log(−ρe) là đa điều hòa dưới chặt. Nếu metric K¨ahler g[u e] cảm sinh bởi u e là siêu tiệm cận Einstein thì hai khẳng định sau là đúng: (i) ρe là đa điều hòa dưới chặt trên D nếu và chỉ nếu D là siêu giả lồi chặt. Đặc biệt, nếu ρe = ρ(z) là nghiệm của phương trình Fefferman ( det J(ρ) = 1, z ∈ D ρ = 0, z ∈ ∂D thì ρ là đa điều hòa dưới chặt trong D khi D là siêu giả lồi chặt. (ii) Nếu D là siêu giả lồi thì λ1 (∆g[ue] ) = n2 , trong đó n X ∂2 ∆g = −4 g ij . ∂zi ∂zj i,j=1 Chứng minh. Lấy r ∈ C ∞ (D) là hàm xác định đa điều hòa dưới chặt bất kì cho miền D. Đặt −1 ρ1 (z) = r(z)J(r) n+1 e−B(z) , (2.1) trong đó, tr(H(`(r)))−1 H(log J(r)) B(z) = . (2.2) 2n(n + 1) Theo Định lý 1.2, ta có J(ρ1 ) = 1 + O(r(z)2 ). (2.3) Gọi ρ = ρD là nghiệm của phương trình Fefferman sao cho `(ρ) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Khi đó det H(ρ)(z) = det H(ρ1 )(z) trên ∂D. (2.4) Bởi Mệnh đề 1.1 và (−r) h ri rj −1 i B(z) = tr H(r) + H(log J(r)) (z) 2n(n + 1) −r n ! (−r) X ri rj ∂ 2 log J(r) = rij − = −B 0 (z)r, 2n(n + 1) −r + |∂r|2r ∂zi ∂z j i,j=1 17
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng trong đó n 0 1 X ∂ 2 log J(r) 1 B (z) = aij [r] = ∆ e r log J(r). (2.5) 2n(n + 1) ∂zi ∂z j 2n(n + 1) i,j=1 Do đó, với z0 ∈ ∂D, ta có ∂j B(z0 ) = −B 0 (z0 )∂j r(z0 ), ∂j B(z0 ) = −B 0 (z0 )∂j r(z0 ) với 1 ≤ j ≤ n. (2.6) Đặt n n X j ∂ X ∂ R= r , R= rj , ri = rij rj , rj = rij ri (2.7) ∂zj ∂z j j=1 j=1 và ! n fr f |2 =: X ri rj |∇ rij − ∂i f ∂j f −r + |∂r|2r i,j=1 n X |Rf |2 = rij ∂i f ∂j f − . −r + |∂r|2r i,j=1 Khi đó, dễ dàng thấy rằng |∇ e r r|2 = 0 trên ∂D. Vì vậy, bởi (1.21) ta có 1 −n det H(ρ1 )(z) = J(r) n+1 det H(r) − [∂i r∂j log J + ∂i log J(r)∂j r] − [∂i r∂j B + ∂i B∂j r] . n+1 Mặt khác, Bổ đề 3.1 trong [8] nói rằng det(In − A∗ B − B ∗ A) = |1 − hA, Bi|2 − |A|2 |B|2 với A = (A1 , . . . , An ), B = (B1 , . . . , Bn ). Do vậy, tại z = z0 ∈ ∂D, ta nhận được