LUẬN VĂN THẠC SỸ " TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI "

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

193
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải tích lồi là môn quan trọng trong giải tích phi tuyến tính hiện đại. giải tích lồi nghiên cứu khía cạnh giải tích là các khái niệm tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi. Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi là một trong những tính chất quan trọng của hàm lồi, nó được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUẬN VĂN THẠC SỸ " TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI "

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M HOÀNG KH C L I TÍNH ĐƠN ĐI U C A DƯ I VI PHÂN HÀM L I LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C CHUYÊN NGÀNH: GI I TÍCH MÃ S : 60.46.01.02 NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1
M cl c L i c m ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.1. Lý do ch n đ tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2. M c đích và nhi m v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.1. M c đích nghiên c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.2. Nhi m v nghiên c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 0.2.3. Phương pháp nghiên c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 0.2.4. B c c lu n văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Chương 1. T p l i và hàm l i trong không gian Hilbert th c . . . . . 1 1.1. Không gian Hilbert th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Đ nh nghĩa và ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Các đ ng th c và b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. T p l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Đ nh nghĩa và ví d ............................................. 6 1.2.2. M t s tính ch t quan tr ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. Phép chi u theo chu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Đ nh lí tách t p l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Hàm l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Đ nh nghĩa và ví d ............................................ 11 1.3.2. M t s tính ch t quan tr ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Dư i vi phân c a hàm l i và tính đơn đi u c a nó . . . 16 2.1. Dư i vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2
ii 2.2. Đ o hàm theo hư ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Tính đơn đi u c a dư i vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1. Toán t đơn đi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Toán t đơn đi u c c đ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3. Tính đơn đi u c a dư i vi phân hàm l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 3. Hàm t a l i, hàm gi l i và tính đơn đi u suy r ng c a dư i vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Hàm t a l i và hàm gi l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.1. Đ nh nghĩa và ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2. M t s tính ch t quan tr ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Tính đơn đi u suy r ng c a dư i vi phân hàm t a l i và hàm gi l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Toán t t a đơn đi u và gi đơn đi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2. Tính t a đơn đi u và gi đơn đi u c a đ o hàm c a hàm t a l i và hàm gi l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3
L i c m ơn B n lu n văn đư c hoàn thành t i trư ng Đ i h c sư ph m Đ i h c Thái Nguyên dư i s hư ng d n t n tình c a GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Nhân d p này tôi xin bày t lòng bi t ơn Th y v s hư ng d n hi u qu cùng nh ng kinh nghi m trong quá trình h c t p, nghiên c u và hoàn thành lu n văn. Xin chân thành c m ơn Khoa Sau Đ i H c, Ban ch nhi m Khoa Toán, các th y cô giáo trư ng Đ i h c Sư Ph m - Đ i h c Thái Nguyên, Vi n Toán H c và trư ng Đ i h c Sư Ph m Hà N i đã gi ng d y và t o đi u ki n thu n l i cho tôi trong quá trình h c t p và nghiên c u khoa h c. Xin chân thành c m ơn t p th b n bè, đ ng nghi p l p Cao H c Toán K18B và BGH, đ ng nghi p Giáo Viên trư ng THPT B ch Đ ng - Qu ng Ninh đã gúp đ tôi trong su t th i gian h c t p và nghiên c u. B n lu n văn ch c ch n s không tránh kh i nh ng khi m khuy t vì v y r t mong đư c s góp ý ki n c a các th y cô giáo và các b n h c viên đ lu n văn này đư c hoàn ch nh hơn. Cu i cùng xin c m ơn gia đình và b n bè đã đ ng viên, khích l tôi trong th i gian h c t p, nghiên c u và hoàn thành lu n văn. Thái Nguyên, Tháng 8 năm 2012 Tác Gi Hoàng Kh c L i iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4
iv Danh m c các kí hi u vi t t t H, Hi , K: Không gian Hilbert th c; 2H : T p t t c các t p con c a H ; R : T p s th c; N : T p h p s t nhiên; . | . : Tích vô hư ng; ||.|| : Chu n trên không gian Hilbert; [−∞, +∞]: T p s th c m r ng; R+ : = [0, +∞); R++ : = (0, +∞); in f : C n dư i đúng; min : C c ti u; sup : C n trên đúng; max : C c đ i; α ↓ µ: α ∈ (µ, +∞) và α d n đ n µ; C − D : Hi u Minkowski c a t p C và D; span C : Không gian affine căng b i C; spanC : Không gian đóng affine căng b i t p C; C : Bao đóng c a C; C ⊥ : Ph n bù tr c giao c a C; convC : Bao l i c a t p C; convC : Bao l i đóng c a t p C; coreC: Lõi c a t p C; int C : Ph n trong c a C; bdryC : Biên c a C; coneC: Bao nón c a t p C; NC : Nón chu n t c c a C; PC : Phép chi u lên t p C; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5
v σC : Hàm t a c a t p C; dC : Hàm kho ng cách c a t p C; B( x, ) : Hình c u đóng tâm x, bán kính ; ΓH : T p các hàm l i n a liên t c dư i t H vào [−∞, +∞]; Γ0 H : T p các hàm l i chính thư ng n a liên t c dư i t H vào (−∞, +∞]; i∈ I f i : T ng tr c ti p c a m t hàm; dom f : Mi n xác đ nh c a f ; f ∗ : Hàm liên h p c a f ; ∂ f ( x ) : Dư i vi phân c a f t i x ; f ( x ) ho c f ( x ) : Đ o hàm c a f t i x ; f ( x, y) : Đ o hàm theo hư ng y c a f t i x; Argmin f : T p các c c ti u toàn c c c a hàm f ; zer A: T p các không đi m c a toán t A epi f : Trên đ th c a hàm f ; gra f : Đ th c a hàm f Id : Toán t đ ng nh t; cont f : Mi n liên t c c a hàm f ; l 2 ( I ) : Không gian Hilbert c a t ng các hàm t I vào R; B(H, K): Không gian các toán t tuy n tính b ch n t H vào K; i∈ I Hi : T ng tr c ti p các không gian Hilbert; ×i∈ I Hi : Tích các không gian Hilbert; ( x, y) : Kho ng trong R ; [ x, y] : Đo n trong R; ( xi )i∈ I : H các vectơ trong H. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6
M đ u 0.1. Lý do ch n đ tài Gi i tích l i là b môn quan tr ng trong gi i tích phi tuy n tính hi n đ i. Gi i tích l i nghiên c u khía c nh gi i tích các khái ni m, tính ch t cơ b n c a t p l i và hàm l i. Tính đơn đi u c a dư i vi phân hàm l i là m t trong nh ng tính ch t quan tr ng c a hàm l i, nó đã đư c nhi u nhà toán h c trong và ngoài nư c quan tâm nghiên c u và đã đ t đư c nhi u k t qu sâu s c cùng v i các ng d ng quan tr ng trong các lĩnh v c khác nhau. Vi c nghiên c u v tính đơn đi u c a dư i vi phân hàm l i và hoàn ch nh hàm l i v n là đ tài c n đư c quan tâm và nghiên c u trong b môn gi i tích l i. 0.2. M c đích và nhi m v 0.2.1. M c đích nghiên c u M c đích chính c a lu n văn là nghiên c u và trình bày m t cách có h th ng các ki n th c cơ b n và quan tr ng nh t v dư i vi phân c a hàm l i và tính đơn đi u c a nó. 0.2.2. Nhi m v nghiên c u Lu n văn t p trung vào nhi m v chính sau đây: 1) Nghiên c u t p l i và hàm l i trong không gian Hilbert th c. 2) Đ o hàm theo hư ng và dư i vi phân hàm l i. vi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7
vii 3) Tính đơn đi u c a dư i vi phân hàm l i. 4) Hàm t a l i và hàm gi l i. 5) Tính đơn đi u suy r ng c a dư i vi phân hàm t a l i và hàm gi l i. 0.2.3. Phương pháp nghiên c u - S d ng phương pháp c a gi i tích hàm k t h p v i phương pháp c a gi i tích hi n đ i. - S d ng các phương pháp c a lí thuy t t i ưu. - K th a phương pháp và k t qu c a lý thuy t tôi ưu không trơn. 0.2.4. B c c lu n văn N i dung lu n văn g m 47 trang, trong đó có ph n m đ u, ba chương n i dung, ph n k t lu n và danh m c tài li u tham kh o. Chương 1 : Trình bày m t s ki n th c cơ b n như : Không gian Hilbert th c, t p l i, hàm l i. Chương 2 : Dư i vi phân hàm l i và tính đơn đi u c a nó. N i dung c a chương này là trình bày vi c xây d ng đ o hàm theo hư ng và dư i vi phân c a hàm l i, các toán t đơn đi u và ch ra tính đơn đi u c a dư i vi phân hàm l i. Chương 3 : Hàm t a l i, hàm gi l i và tính đơn đi u suy r ng c a dư i vi phân. Cu i cùng là ph n k t lu n trình bày tóm t t các k t qu đ t đư c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8
Chương 1 T p l i và hàm l i trong không gian Hilbert th c N i dung ki n th c trong lu n văn này đư c nghiên c u trên không gian Hilbert th c, ta kí hi u không gian này là H v i tích vô hư ng . | . và || . || là chu n trên H tương ng v i tích vô hư ng này, v i kho ng cách d, t c là: V i m i x, y ∈ H ta có || x || = x | x và d( x, y) = || x − y||. Chương này nh m gi i thi u nh ng khái ni m cơ b n nh t, tính ch t đ c trưng c a t p l i và hàm l i trong không gian Hilbert th c. Các ki n th c trong chương này đư c trích t cu n sách ”Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces” c a tác gi HenizH. Bauschke và PatrickL. Combettes [2]. H u h t các hàm trong lu n văn này là hàm f : H → R ∪ {+∞}. 1.1. Không gian Hilbert th c 1.1.1. Đ nh nghĩa và ví d Đ nh nghĩa 1.1. Ph n bù tr c giao c a t p C ⊆ H đư c kí hi u là C ⊥ , t c là C ⊥ = {u ∈ H | ∀ x ∈ C, x | u = 0} . 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9
2 M t cơ s c a t p C ⊆ H đư c g i là m t cơ s tr c giao c a H n u spanC = H. Không gian H đư c g i là tách đư c n u nó có m t cơ s tr c giao đ m đư c. Bây gi gi s ( xi )i∈ I là h các vectơ trong H và gi s I là l p các t p con h u h n khác r ng I đ nh hư ng b i ⊂. Khi đó ( xi )i∈ I là kh t ng n u t n t i x ∈ H mà (∑i∈ J xi ) J ∈I h i t đ n x, t c là, ∀ε ∈ R++ , ∃K ∈ I , ∀ J ∈ I , J ⊃ K ⇒ || x − ∑ xi || ≤ ε. j∈ J Trong trư ng h p này ta vi t x = ∑i∈ I xi . Đ i v i (αi )i∈ I trong [0, +∞], ta có ∑ αi = sup ∑ αi . i∈ I J ∈I j∈ J Đây là trư ng h p riêng trong không gian Hilbert th c và nó s đư c s d ng trong cu n lu n văn này. Ví d 1.1. T ng tr c ti p c a m t h các không gian Hilbert th c (Hi , || . ||i )i∈ I là không gian Hilbert th c. Hi = { x = ( xi )i ∈ I ∈ ×i ∈ I Hi | ∑ ||xi ||2 < +∞}. i i∈ I i∈ I Đư c trang b v i phép c ng ( x, y) → ( xi + yi )i∈ I . Nhân (α, x ) → (αxi )i∈ I . Tích vô hư ng ( x, y) → ∑ xi | yi . i∈ I Khi I là t p h u h n, ta ch dùng chung m t kí hi u ×i∈ I Hi đ thay th cho i∈ I Hi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10
3 Bây gi gi s r ng ∀i ∈ I, f i : Hi → R ∪ {+∞} và I không là t p h u h n, infi∈ I f i ≥ 0. Khi đó fi : Hi → (−∞, +∞] : ( xi )i∈ I → ∑ f i ( xi ). i∈ I i∈ I i∈ I Ví d 1.2. N u m i Hi là R trong Ví d 1.1 thì ta thu đư c l2( I ) = R; i∈ I và m i giá tr trung bình v i tích vô hư ng ( x, y) = ((ξ i )i∈ I , (ηi )i∈ I )i∈ I → ∑ ξ i ηi . i∈ I Vectơ đơn v (ei )i∈ I c a l 2 ( I ) đư c xác đ nh b i 1 n uj=i ∀i ∈ I, ei : I → R : j → . 0 n uj=i 1.1.2. Các đ ng th c và b t đ ng th c Chú ý 1.1. (B t đ ng th c Cauchy - Schwarz) Cho x, y ∈ H, khi đó | x | y | ≤ || x || ||y||. Hơn n a | x | y | = || x || ||y|| ⇔ ∃ α ∈ R+ , x = αy ho c y = αx. B đ 1.1. Cho x, y, z ∈ H. Khi đó ta luôn có (i) || x + y||2 = || x ||2 + 2 x | y + ||y||2 . (ii) Đ ng th c hình bình hành: || x + y||2 + || x − y||2 = 2||y||2 . (iii) Đ ng th c phân c c: 4 x | y = || x + y||2 − || x − y||2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn11
4 (iv) Đ ng th c Apllonius: x+y 2 || x − y||2 = 2||z − x ||2 + 2||z − y||2 − 4||z − || . 2 Ch ng minh. (i) Hi n nhiên. (ii) và (iii) đư c suy ra t (i) và || x − y||2 = || x ||2 − 2 x | y + ||y||2 . (1.1) C ng theo v (i) v i đ ng th c (1.1) suy ra (ii) và tr theo v đ ng th c (i) v i (1.1) suy ra (iii). z− x z−y (iv) Áp d ng (ii) v i hai đi m 2 và 2 . B đ 1.2. Cho x, y ∈ H. Khi đó ta có: (i) x | y ≤ 0 ⇔ ∀α ∈ R+ , || x || ≤ || x − αy|| ⇔ ∀α ∈ [0, 1], || x || ≤ || x − αy||. (ii) x ⊥ y ⇔ ∀α ∈ R, || x || ≤ || x − αy|| ⇔ ∀α ∈ [−1, 1], || x || ≤ || x − αy||. Ch ng minh. (i) Đ ý r ng ∀α ∈ R, || x − αy||2 − || x ||2 = α(α||y||2 − 2 x | y ) (1.2) Như v y, chi u thu n đư c suy ra tr c ti p. Đ ol in u α ∈ [0, 1], || x || ≤ || x − αy|| thì t (1.2) suy ra α||y||2 x|y ≤ 2 Khi α 0, ta có x | y ≤ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn12
5 (ii) Đây là m t h qu c a (i), t đó x ⊥y ⇔ [ x | − y ≤ 0 và x | − y ≤ 0]. B đ 1.3. Cho ( xi )i∈ I và (ui )i∈ I là h các x | y t p h u h n trong H và cho (αi )i∈ I là m t dãy trên R mà ∑ αi = 1. Khi đó: i∈ I xi − x j | ui − u j (i) ∑i∈ I αi xi | ∑ j∈ I α j u j + ∑i∈ I ∑ j∈ I αi α j 2 = ∑i ∈ I αi xi | ui . || xi − x j ||2 (ii) || ∑i∈ I αi xi ||2 + ∑i∈ I ∑ j∈ I αi α j 2 = ∑i∈ I αi || xi ||2 . Ch ng minh. (i) Ta có 2 ∑ αi xi | ∑ α j u j = ∑ ∑ αi α j ( xi | ui + x j | u j ) i∈ I j∈ I i∈ I j∈ I = ∑ ∑ αi α j ( xi | ui + x j | u j − xi − x j | ui − u j ) i∈ I j∈ I = 2 ∑ α i x i | u i − ∑ ∑ α i α j ( x i | u i + x j | u j ). i∈ I i∈ I j∈ I (ii) Đư c suy ra t (i) khi (ui )i∈ I = ( xi )i∈ I . H qu 1.1. Cho x, y ∈ H và α ∈ R, khi đó ||αx + (1 − α)y||2 + α(1 − α)|| x − y||2 = α|| x ||2 + (1 − α)||y||2 . Chú ý 1.2. (Bi u di n Riesz - Frechet). Cho f ∈ B(H, R), khi đó t n t i duy nh t m t vectơ u ∈ H mà ∀ x ∈ H, f ( x ) = x | u . Hơn n a || f || = ||u||. N u K là m t không gian Hilbert và T ∈ B(H, K), liên h p c a T là toán t duy nh t T ∗ ∈ B(K, H) th a mãn ∀ x ∈ H, ∀y ∈ K, Tx | y = x | T ∗ y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn13
6 1.2. T pl i 1.2.1. Đ nh nghĩa và ví d Đ nh nghĩa 1.2. M t t p C ⊆ H đư c g i là m t t p l i n u ∀α ∈ (0, 1), αC + (1 − α)C = C; hay tương đương ∀ x ∈ C, ∀y ∈ C, ( x, y) ∈ C. Trư ng h p đ c bi t H và ∅ là t p l i. Ví d 1.3. Trong m i trư ng h p sau đây C là t p l i trong H (i) C là hình c u. (ii) C là m t không gian con affine. (iii) C là m t n a không gian. (iv) C = i∈ I Ci v i (Ci )i∈ I là h các t p con l i c a H. Tính ch t giao (iv) đư c kh ng đ nh b ng đ nh nghĩa sau. Đ nh nghĩa 1.3. Cho C ⊆ H, bao l i c a C là giao c a t t c các t p con l i c a H có ch a C, t c là nó là t p con l i nh nh t c a H có ch a C. Nó đư c kí hi u là convC. Bao l i đóng c a C là t p con l i đóng nh nh t c a H ch a C, nó đư c kí hi u là convC. 1.2.2. M t s tính ch t quan tr ng M nh đ 1.1. Cho C ⊆ H và D là t p t t c các t h p l i c a các đi m trong C, t c là D= ∑ αi xi | I h u h n, { xi }i∈ I ⊂ C, {αi }i∈ I ⊂ (0, 1], ∑ αi = 1 . i∈ I i∈ I Khi đó D = convC. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn14
7 M nh đ 1.2. Cho K là không gian Hilbert th c, gi s T : H → K là m t toán t affine và cho C, D là các t p l i trong H, K tương ng. Khi đó T (C ) và T −1 ( D ) là các t p l i trong K và H tương ng. Ch ng minh. Ta có ∀ x ∈ H, ∀y ∈ H, T (( x, y)) = ( Tx, Ty). Bây gi l y hai đi m trong T (C )là Tx và Ty, ∀ x ∈ C và ∀y ∈ C. Do tính l i ( x, y) ⊂ C và do ( Tx, Ty) = T (( x, y)) ⊂ C. Suy ra T (C ) là t p l i. Cu i cùng cho x và y là hai đi m trong T −1 ( D ) thì Tx và Ty n m trong D, do tính l i nên T (( x, y))( Tx, Ty) ⊂ D. Do đó ( x, y) ⊂ T −1 ( T ( x, y)) ⊂ T −1 ( D ). Suy ra T −1 ( D ) là t p l i. M nh đ 1.3. Cho (Ci )i∈ I là h các t p h u h n c a m t p con l i trong H. Khi đó ta có: (i) ×i∈ I Ci là t p l i. (ii) ∀(αi )i∈ I ∈ R, ∑i∈ I αi Ci là t p l i. Ch ng minh. (i) Hi n nhiên. (ii) Đây là h qu c a (i) và M nh đ 1.2. T đó ∑i∈ I αi Ci = L(×i∈ I Ci ). đây L : H m → H : ( xi )i ∈ I → ∑ αi xi i∈ I là t h p tuy n tính. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn15
8 1.2.3. Phép chi u theo chu n Đ nh nghĩa 1.4. Cho C ⊆ H, gi s x ∈ H, p ∈ C. Khi đó p đư c g i là m t x p x t i ưu c a x t C (hay là hình chi u c a x lên C) n u || x − p|| = dC ( x ). N u m i đi m trong H có ít nh t m t hình chi u lên C thì C đư c g i là t p x p x . N u m i đi m trong H có đúng m t hình chi u lên C thì C đư c g i là t p Chebyshev. Trong trư ng h p này phép chi u (hay toán t chi u) lên t p C là toán t kí hi u là PC , mà nh m i đi m trong H lên nó là hình chi u duy nh t lên C. Ví d 1.4. Cho {ei }i∈ I là m t cơ s tr c chu n h u h n trong H. Gi s V = span {ei }i∈ I và x ∈ H. Khi đó V là t p Chebyshev, PV x = ∑ x | ei ei và dV ( x ) = || x ||2 − ∑ x | ei 2 . i∈ I i∈ I Ch ng minh. Cho m i h (αi )i∈ I trong R , ta có: || x − ∑ αi ei ||2 = || x ||2 − 2 x | ∑ α i ei + || ∑ αi ei ||2 i∈ I i∈ I i∈ I = || x || − 2 ∑ αi x | ei + ∑ |αi |2 2 i∈ I i∈ I = || x || − ∑ | x | ei | + ∑ |αi − x | ei |2 . 2 2 i∈ I i∈ I Chú ý 1.3. Cho C là t p khác r ng trong H. Khi đó: (i) C = { x ∈ H | dC ( x ) = 0}, không đi m trong t p C \C có hình chi u lên C. M t lân c n (trong m t t p Chebyshev ) là m t t p đóng. (ii) N u C là m t không gian h u h n chi u trong H thì nó là t p Chebyshev và do đó nó là t p đóng. M nh đ 1.4. Gi s r ng H là không gian h u h n chi u và C là t p Chebyshev trong H thì PC là liên t c. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn16
9 Ch ng minh. Cho x ∈ H và gi s ( xn )n∈N là dãy trong H mà xn → x. Ta có dC là liên t c và do đó || xn − PC xn || = dC ( xn ) = || x − PC x ||. Như v y PC ( xn )n∈N là b ch n. Bây gi cho y là đi m t c a PC ( xn )n∈N , ta có PC xkn → y. Theo chú ý 1.3 (i) kh ng đ nh r ng y ∈ C và m nh đ 1.2 có nghĩa là || xkn − PC xkn || → || x − y|| = dC ( x ). Kéo theo y = PC x là đi m t c a dãy b ch n PC ( xn )n∈N . Do đó PC xn → PC x. Ví d 1.5. Cho H là không gian h u h n chi u và (en )n∈N là m t dãy các vectơ tr c chu n trong H, (αn )n∈N là dãy trong (1, +∞) mà αn 1. Đ t C = { xn }n∈N , ∀n ∈ N, xn = αn en . Khi đó cho b t kì hai đi m phân bi t xn và xm , ta có: || xn − xm ||2 = || xn ||2 + || xm ||2 > ||en ||2 + ||em ||2 = 2. Do đó m i dãy h i t trong C đ u là h ng s và C là t p đóng. Tuy nhiên 0 không có hình chi u lên C, t đó ∀n ∈ N, dC (0) = 1 < αn = ||0 − xn ||. M nh đ 1.5. Cho C là m t t p l i đóng khác r ng trong H. Khi đó v i m i x ∈ H hình chi u PC ( x ) c a x trên C luôn t n t i và duy nh t. Ch ng minh. Gi s x ∈ H, y ∈ C theo đ nh nghĩa 1.4 ta có dC ( x ) = ||y − x ||, suy ra t n t i dãy ( xn )n∈N trong C sao cho || xn − x || → dC ( x ) < +∞. V y dãy ( xn )n∈N là b ch n, do đó nó có m t dãy con ( xkn ) h i t y u đ n y. Do C đóng nên y ∈ C. V y ||y − x || = lim || xkn − x || = lim || xn − x || = dC ( x ). n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn17
10 Ch ng t y là hình chi u c a x trên C. Bây gi ta ch ra tính duy nh t c a hình chi u. Th t v y n u t n t i hai đi m y và z đ u là hình chi u c a x trên C thì x − y ∈ NC (y), x − z ∈ NC (z). T c là y−x , z−y ≤ 0 và z − x , y − z ≤ 0. C ng hai b t đ ng th c này ta suy ra ||y − z|| ≤ 0 và do đó y = z. M nh đ 1.6. Cho C là t p l i đóng khác r ng trong H. Khi đó hình chi u PC là ánh x không giãn. Ch ng minh. C đ nh x và y thu c H, ta có PC y − PC x | x − PC x ≤ 0 và PC x − PC y | y − PC y ≤ 0. L y t ng c a hai b t đ ng th c trên ta đư c || PC x − PC y||2 ≤ x − y | PC x − PC y . Suy ra đi u ph i ch ng minh t b t đ ng th c Cauchy - Schwarz. 1.2.4. Đ nh lí tách t p l i Đ nh nghĩa 1.5. Cho C và D là hai t p con c a H, t p C và D đư c g i là tách đư c n u ∃u ∈ H \ {0} , Sup C | u ≤ in f D | u . Và g i là tách m nh đư c n u b t đ ng th c trên là ng t. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18
11 Hơn n a m t đi m x ∈ H tách đư c t D n u t p x và D là tách đư c. Tương t như v y x tách m nh đư c t D n u t p { x } và D là tách m nh đư c. Đ nh lý 1.1. Cho C là t p l i đóng khác r ng trong H và x ∈ H \ C. Khi đó x tách m nh đư c t C. Ch ng minh. Đ t u = x − PC x và c đ nh y ∈ C. khi đó u = 0 và theo m nh đ 1.3 có y − x + u | u ≤ 0, t c là y − x | u ≤ −||u||2 . Do đó Sup C − x | u ≤ −||u||2 < 0. H qu 1.2. Cho C và D là các t p khác r ng trong H mà C ∩ D = ∅ và C − D là t p l i đóng. Khi đó C và D là tách m nh đư c. Ch ng minh. T 0 ∈ C − D, theo đ nh lí 1.1 thì vectơ 0 là tách m nh t / C − D. Mà theo đ nh nghĩa 1.5 thì C và D là tách m nh đư c n u và ch n u 0 là tách m nh đư c t C − D. H qu 1.3. Cho C và D là t p l i đóng khác r ng trong H mà C ∩ D = ∅ và D b ch n, khi đó C và D là tách m nh đư c. Ch ng minh. Theo h qu 1.2 ta c n ch ng t r ng C − D là t p l i đóng. Do tính l i c a C − D trong m nh đ 1.3 (ii) ch ng t C − D là đóng. L y m t dãy h i t trong C − D mà xn → yn → z, đây ( xn )n∈N ∈ C, (yn )n∈N ∈ D và z ∈ H. T D là h i t y u và compact nên t n t i dãy con ( xkn )n∈N h i t y u đ n y ∈ D. Do đó xkn → z + y. T C là h i t y u đóng, ta có z + y ∈ C. Suy ra z ∈ C − D. 1.3. Hàm l i 1.3.1. Đ nh nghĩa và ví d Đ nh nghĩa 1.6. Cho f : H → [−∞, +∞], khi đó f đư c g i là hàm l i n u epi f = {( x, ξ ) ∈ H × R | f ( x ) ≤ ξ } , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn19
12 là t p con l i c a H × R. Hàm f đư c g i là hàm lõm n u − f là hàm l i. Ví d 1.6. Cho C là t p con c a H, ta có epiiC = C × R+ và iC là hàm l i n u và ch n u C là t p l i. Đ nh nghĩa 1.7. Cho f : H → (−∞, +∞] là hàm chính thư ng. Khi đó f đư c g i là hàm l i ng t n u ∀ x ∈ dom f , ∀y ∈ dom f , ∀α ∈ (0, 1), x = y ⇒ f (αx + (1 − α)y) < α f ( x ) + (1 − α) f (y). Bây gi cho C là t p con khác r ng c a dom f , khi đó f là hàm l i trên C n u ∀ x ∈ C, ∀y ∈ C, ∀α ∈ (0, 1) f (αx + (1 − α)y) ≤ α f ( x ) + (1 − α) f (y). Và f là hàm l i ng t trên C n u ∀ x ∈ C, ∀y ∈ C, ∀α ∈ (0, 1), x = y ⇒ f (αx + (1 − α)y) < α f ( x ) + (1 − α) f (y). Ví d 1.7. Hàm || . || là l i. N u H = {0} thì || . || không l i ng t. Ch ng minh. Theo tính ch t l i, bây gi l y x ∈ H \ {0} và α ∈ (0, 1). Ta có ||αx + (1 − α)0|| = α|| x || + (1 − α)||0||. Do đó || . || là không l i ng t. Ví d 1.8. Hàm || . ||2 là hàm l i ng t. Đ nh nghĩa 1.8. (i) T p các hàm l i n a liên t c dư i t H vào [−∞, +∞] đư c kí hi u là ΓH. (ii) T p các hàm l i chính thư ng n a liên t c dư i t H vào (−∞, +∞] đư c kí hi u là Γ0 H. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn20