Lý thuyết và bài tập: Đường thẳng song song mặt phẳng

Chia sẻ: Bảo Châu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là phần tổng hợp một cách đầy đủ về lý thuyết và bài tập phần đường thẳng song song mặt phẳng. Bao gồm phương pháp chứng minh và bài tập vận dụng lý thuyết, để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách ngắn ngọn, dễ hiểu. Tham khảo lý thuyết và bài tập "Đường thẳng song song mặt phẳng" để nắm bắt thông tin chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập: Đường thẳng song song mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG I.P h ư ơ n g p h áp c h ứ n g m i n h đ ư ờ n g t h ẳ n g s o n g s o n g m ặt p h ẳ n g : ♦P hư ơ ng p há p1 : Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng. a // b b (P) a //(P) a (P) V í d ụ 1 : Cho tứ diện ABCD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh MN song song với mặt phẳng (BCD). Giải: Trong tam giác ABD có: M trung điểm của AB N trung điểm của AD.
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABD Do đó MN // BD Mà BD (BCD) MN (BCD) Vậy MN // (BCD). ♦P hư ơ ng p há p2 : Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P) V í d ụ 1 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M; N tuỳ ý trên mặt phẳng (ABCD). Chứng minh MN // mặt phẳng (A’B’C’D’).
(ABCD) //(A ' B ' C ' D ') MN (ABCD) MN //(A ' B ' C ' D ') ♦P hư ơ ng p há p 3 : Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một đường thẳng b. ♦P hư ơ ng p há p 4 : Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một mặt phẳng (Q).
♦P hư ơ ng p há p 5 : Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a và (P) không có điểm chung) ___________________________________________________________
IIBài tập vận dụng: S 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . P Q Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD . a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC A D đều song song với (MNP) c. Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm của ABC và SBC M N Chứng minh G1G 2 // (SAB) Giải B C a. Chứng minh MN // (SBC): MN ( SBC ) Ta có : MN // BC MN //( SBC ) BC ( SBC ) MN ( SAD) Tương tự : MN // AD MN //( SAD) AD ( SAD) b. Chứng minh SB // (MNP): SB ( MNP ) Ta có : SB // MP SB //( MNP ) MP ( MNP ) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD) Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD) MN // AD Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD tại Q PQ = (MNP) (SAD) Xét SAD , Ta có : PQ // AD P là trung điểm SA Q là trung điểm SD Xét SCD , Ta có : QN // SC S Q SC ( MNP ) Ta có : SC // NQ SC //( MNP ) P NQ ( MNP) D N G2 C c. Chứng minh G1G 2 // (SAB) : I G1 A M B
IG1 IG2 1 Xét SAI , ta có : IA IS 3 G1G2 // SA G 1G 2 ( SAB) Do đó : G 1G 2 // SA G 1G 2 //( SAB) SA ( SAB) 2. Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng ( ) qua MN // SA a. Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAB) và (SAC). b. Xác định thiết diện của hình chóp với ( ) c. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang Giải S a. Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAB): M ( ) ( SAB) Ta có : // SA P SA ( SAB) Q ( ) (SAB) = MP với MP // SA D A Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAC): Gọi R = MN AC M R N R( ) ( SAC ) C Ta có : // SA B SA ( SAC ) ( ) (SAC) = RQ với RQ // SA S P Q A D N M R B C b. Xác định thiết diện của hình chóp với ( ): Thiết diện là tứ giác MPQN c. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang: MP // QN (1) Ta có : MPQN là hình thang MN // PQ (2)
SA // MP Xét (1) ,ta có SA // QN MP//QN SA // QN Do đó : SA //( SCD) ( vô lí ) QN ( SCD) BC (ABCD) (SBC) Xét (2) ,ta có MN (ABCD) MN // BC PQ (SBC) PQ ( SBC ) Ngược lại, nếu MN // BC thì MB ( ) MN // PQ BC ( SBC ) Vậy để thiết diện là hình thang thì MN // BC. 3. Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ . Gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD . a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) với tứ diện ABCD. b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành . Giải a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) với tứ diện ABCD. ( ) // CD A Ta có : CD ( ACD ) MP // CD (1) M ( ) ( ACD) M ( ) // CD P Tương tự : CD ( BCD) NQ // CD (2) B D Q N ( ) ( BCD) A Từ (1) và (2), ta được : MP // NQ N C Vậy: thiết diện là hình thang MPNQ b. Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành . M Ta có : MP // NQ 1 P MP = .CD 2 B D Q MP // NQ MP // NQ N MPNQ là hình bình hành 1 C MP NQ MP NQ CD 2 Do đó : N là trung điểm BC . Vậy : N là trung điểm BC thì MPNQ là hình bình hành 4. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang . Gọi M là một điểm của CD ; ( ) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC . a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì ? b. Tìm giao tuyến của ( ) với mặt phẳng (SAD). Giải a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD:
( ) // BC Ta có : BC ( ABCD) MN // BC (1) M ( ) ( ABCD) ( ) // SA S Tương tự : SA ( SAB) NP // SA N ( ) ( SAB) ( ) // BC BC ( SBC ) PQ // BC (2) t P P ( ) ( SBC ) A B Từ (1) và (2) , ta được : MN // PQ Q N Vậy : thiết diện là hình thang MNPQ. b. Tìm giao tuyến của ( ) với mặt phẳng (SAD). Trong (ABCD) , gọi I = AD BC D M C I là điểm chung của ( ) và (SAD) I ( ) // SA Ta có : SA ( SAD) I ( ) ( SAD) Vậy : giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SA. 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và ( ) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD. a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng ( ) lần lượt với các cạnh SB, SD. b. Gọi I là giao điểm của ME và CB , J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng . Giải a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng ( ) lần lượt với các cạnh SB, SD. Giả sử dựng được E, F thỏa bài toán ( ) // BD Ta có : BD ( SBD) BD // EF S EF ( ) ( SBD) Do các điểm E ,F ,A ,M cùng thuộc mặt phẳng ( ) Trong ( ) , gọi K = EF AM K EF mà EF (SBD) K (SBD) M F K AM mà AM (SAC) K (SAC) K (SAC) (SBD) D K J C Do (SAC) (SBD) = SO E K SO O A B I
Cách dựng E, F : Dựng giao điểm K của AM và SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng : I ME mà ME ( ) I ( ) Ta có : I BC mà BC ( ABCD) I ( ABCD) I ( ) (ABCD) A ( ) ( ABCD) Tương tự , J ( ) ( ABCD) I , J , A là điểm chung của ( ) và (ABCD) Vậy : I , J , A thẳng hàng . 6. ˆ = 60 0 , AB = a .Gọi O là trung Trong mặt phẳng ( ) cho tam giác ABC vuông tại A , B điểm của BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng ( ) sao cho SB = a và SB OA . Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB , mặt phẳng ( ) qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA lần lượt tại N , P , Q . Đặt x = BM ( 0
OA SB MN MQ Từ (1) và (4) , ta có : MN // OA MN NP MQ // NP // SB Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN. b. Tính diện tích của hình thang theo a và x . 1 Ta có : S MNPQ ( MQ NP ).MN 2 Tính MN : Xét tam giác ABC AB AB Ta có : cos B BC BC cos B BC 2a BO = a Bˆ 60 0 Do ABO đều BA BO MN BM BN Có MN // AO AO AB BO MN MB BN x Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB MQ AM SB a MQ AM . (a x). a x SB AB AB a Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB NP CN SB a 2a x NP CN . ( 2a x ). SB CB CB 2a 2 x ( 4a 3 x ) 1 Do đó : S MNPQ .3 x.(4a 3 x) 4 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 3x và 4a 3x 3 x 4a 3 x 2 3x.( 4a 3x) ( ) 2 4a²
1 a² S MNPQ .4a ² 12 3 2a Đẳng thức xảy ra khi 3x = 4a – 3x x = 3 2a Vậy : x = thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 3 7. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng ( ) qua M song song với SA và BD cắt SO , SB , AB tại N, P , Q . a. Tứ giác MNPQ là hình gì ? b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất Giải S N I P D A Q M O B C a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?: Ta có : SB = SD SBC = SDC (ccc) Gọi I là trung điểm SC Xét IBC và IDC Ta có : IC cạnh chung BC = CD DCI = BCI IBC = IDC IB = ID IBD cân tại I IO BD Mà OI // SA SA BD (*)
( ) // BD Ta có : BD ( ABO) MQ // BD (1) ( ) ( ABO) MQ ( ) // BD Tương tự : BD ( SBO) NP // BD (2) ( ) ( SBO) NP Từ (1) và (2) , suy ra MQ // NP // BD (3) ( ) // SA Mặt khác : SA ( SAO) MN // SA ( 4) ( ) ( SAO) MN ( ) // SA Tương tự : SA ( SAB) PQ // SA (5) ( ) ( SAB) PQ Từ (4) và (5) , suy ra MN // PQ // SA (6) Từ (3) , (6) và (*), suy ra MNPQ là hình chữ nhật Vậy : MNPQ là hình chữ nhật b. Tính diện tích MNPQ theo a và x: Ta có : S MNPQ MQ.MN Tính MQ : Xét tam giác AQM : ˆ 45 0 Ta có : Qˆ 45 0 AQM cân tại M MQ = AM = x Mˆ 90 0 Tính MQ : Xét tam giác SAO : Ta có : MN // SA a 2 x MN OM OM MN AS . a. 2 a x. 2 AS OA OA a. 2 2 1 S MNPQ MQ.MN x.(a x. 2 ) x. 2 (a x. 2 ) 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x. 2 và a x. 2 x. 2 a x. 2 ) 2 x. 2 (a x. 2 ) ( ) 2 a² 4
1 a² a² a² S MNPQ . S MNPQmã 2 4 4. 2 4. 2 a a. 2 Đẳng thức xảy ra khi x. 2 a x. 2 x 2. 2 4 M là trung điểm AO Vậy : x a. 2 thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 4 8. Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD . Giả sử AB CD , mặt phẳng ( ) qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD. a. Tìm giao tuyến của ( ) với ( ICD ) và (JAB) . b. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng ( ) Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật . 1 c. Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM = IJ . 3 Giải a. Tìm giao tuyến của ( ) với mặt phẳng ( ICD ): ( ) // CD A Ta có : CD ( ICD) M ( ) ( ICD) giao tuyến là đt qua M và song song G với CD cắt IC tại L và ID tại N P I ( ) // AB F Tương tự : AB ( JAB) N M ( ) ( JAB) M L giao tuyến là đt qua M và song song B với AB cắt JA tại P và JB tại Q H D b. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng ( ): Q ( ) // AB E Ta có : AB ( ABC ) J L ( ) ( ABC ) EF // AB (1) C ( ) // AB Tương tự : AB ( ABD) N ( ) ( ABD) HG // AB (2) Từ (1) và (2) , suy ra EF // HG // AB (3) ( ) // CD Ta có : CD ( ACD ) P ( ) ( ACD) FG // CD (4)
( ) // CD Tương tự : CD ( BCD) Q ( ) ( BCD) EH // CD (5) Từ (4) và (5) , suy ra FG // EH // CD (6) Từ (3) và (6) , suy ra EFGH là hình bình hành Mà AB CD (*) Từ (3) , (6) và (*), suy ra EFGH là hình chữ nhật 1 c. Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM = IJ : 3 Ta có : S EFGH EF .FG PQ.LN Tính LN : Xét tam giác ICD : LN IN Ta có : LN // CD (7) CD ID Xét tam giác IJD : IN IM Ta có : MN // JD (8) ID IJ LN IM 1 CD b Từ (7) và (8), suy ra LN CD IJ 3 3 3 PQ JM 2 2 2 Tương tự : PQ . AB .a AB JI 3 3 3 2ab Vậy : S EFGH 9