intTypePromotion=1

Lý thuyết và bài tập: Đường thẳng song song mặt phẳng

Chia sẻ: Bảo Châu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

0
78
lượt xem
1
download

Lý thuyết và bài tập: Đường thẳng song song mặt phẳng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là phần tổng hợp một cách đầy đủ về lý thuyết và bài tập phần đường thẳng song song mặt phẳng. Bao gồm phương pháp chứng minh và bài tập vận dụng lý thuyết, để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách ngắn ngọn, dễ hiểu. Tham khảo lý thuyết và bài tập "Đường thẳng song song mặt phẳng" để nắm bắt thông tin chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập: Đường thẳng song song mặt phẳng

  1. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG I.P    h    ư      ơ n   g     p h     áp    c   h ứ      n g     m   i n h       đ   ư   ờ   n g     t h ẳ      n g     s   o n    g       s   o n    g     m   ặt    p h    ẳ    n    g     : ♦P  hư  ơ ng p  há  p1  : Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường  thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng. a // b       b   (P)  a //(P) a   (P)   V í   d  ụ 1   :  Cho tứ diện ABCD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh MN song song với mặt phẳng (BCD). Giải: Trong tam giác ABD có: M trung điểm của AB N  trung điểm của AD.
  2. Nên MN là đường trung bình của tam giác ABD Do đó MN // BD Mà BD    (BCD) MN   (BCD) Vậy MN // (BCD). ♦P  hư  ơ ng p  há  p2  : Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P)  V í   d  ụ 1    :  Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M; N tuỳ ý trên mặt phẳng (ABCD). Chứng minh MN // mặt phẳng (A’B’C’D’).
  3. (ABCD) //(A ' B ' C ' D ') MN   (ABCD)             MN //(A ' B ' C ' D ') ♦P  hư  ơ ng p  há  p 3  : Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta  chứng minh đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung  cùng vuông góc với một đường thẳng b. ♦P  hư  ơ ng p  há  p 4  : Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta  chứng minh đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung  cùng vuông góc với một mặt phẳng (Q).
  4. ♦P  hư  ơ ng p  há  p 5  : Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta  chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường  thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a và (P) không có điểm chung) ___________________________________________________________
  5. II­Bài tập vận dụng: S 1. Cho hình chóp S.ABCD có  đáy ABCD là hình bình hành . P Q Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh  AB và CD . a. Chứng minh MN  // (SBC) , MN // (SAD) b. Gọi P   là trung điểm cạnh  SA . Chứng minh SB và SC  A D đều song song với (MNP) c. Gọi   G 1 ,G 2   lần lượt là trọng tâm của   ABC và   SBC M N Chứng minh  G1G 2  // (SAB) Giải  B C a. Chứng minh MN  // (SBC): MN ( SBC ) Ta có :  MN // BC MN //( SBC ) BC ( SBC ) MN ( SAD) Tương tự :  MN // AD MN //( SAD) AD ( SAD) b. Chứng minh SB // (MNP): SB ( MNP ) Ta có :  SB // MP SB //( MNP ) MP ( MNP ) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD) Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD) MN // AD  Do   đó   giao   tuyến   là   đường   thẳng   qua   P   song   song   MN   cắt   SD   tại   Q   PQ =  (MNP)    (SAD)  Xét     SAD  , Ta có :  PQ // AD P là trung điểm SA  Q là trung điểm SD Xét     SCD  , Ta có :  QN   //   SC S Q SC ( MNP ) Ta có :  SC // NQ SC //( MNP ) P NQ ( MNP) D N G2 C c.  Chứng minh  G1G 2  // (SAB) :  I G1 A M B
  6. IG1 IG2 1 Xét     SAI , ta có :  IA IS 3 G1G2  // SA G 1G 2 ( SAB) Do đó  :   G 1G 2 // SA G 1G 2 //( SAB) SA ( SAB) 2. Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng ( ) qua MN // SA  a.  Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAB) và (SAC). b. Xác định thiết diện của hình chóp với ( )  c.  Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang Giải  S a.  Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAB): M ( ) ( SAB) Ta có :  // SA P SA ( SAB) Q ( )   (SAB) = MP với MP // SA D A Tìm các giao tuyến của ( ) với (SAC): Gọi  R = MN   AC M R N R( ) ( SAC ) C Ta có :  // SA B SA ( SAC ) ( )   (SAC) = RQ với RQ // SA S P Q A D N M R B C b. Xác định thiết diện của hình chóp với ( ): Thiết diện là tứ giác MPQN c.  Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang: MP // QN (1) Ta có : MPQN là hình thang      MN // PQ (2)
  7. SA // MP Xét (1) ,ta có  SA // QN MP//QN SA // QN Do đó :  SA //( SCD)    ( vô lí ) QN ( SCD) BC (ABCD) (SBC) Xét (2) ,ta có  MN (ABCD) MN // BC PQ (SBC) PQ ( SBC ) Ngược lại, nếu  MN // BC  thì  MB ( ) MN // PQ BC ( SBC ) Vậy để thiết diện là hình thang thì    MN // BC. 3. Cho tứ  diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M ,  trên cạnh BC lẩy trung điểm N   bất kỳ .  Gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD . a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) với tứ diện ABCD. b. Xác định vị trí của N trên CD  sao cho thiết diện là hình bình hành . Giải a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) với tứ diện ABCD. ( ) // CD A Ta có : CD ( ACD ) MP // CD (1) M ( ) ( ACD) M ( ) // CD P Tương tự : CD ( BCD) NQ // CD (2) B D Q N ( ) ( BCD) A Từ (1)  và (2), ta được : MP // NQ  N C Vậy:  thiết diện là hình thang  MPNQ  b. Xác định vị trí của N trên BC  sao cho thiết diện là hình bình hành . M Ta có :  MP // NQ 1 P MP =  .CD 2 B D Q MP // NQ MP // NQ N MPNQ  là hình bình hành    1 C MP NQ MP NQ CD 2 Do đó : N  là trung điểm  BC .    Vậy :  N  là trung điểm  BC thì MPNQ là hình bình hành  4. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang   .  Gọi M là một điểm của CD ; ( )  là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC . a.  Hãy tìm  thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì  ?  b. Tìm giao tuyến của ( ) với mặt phẳng (SAD). Giải a.  Hãy tìm  thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD:
  8. ( ) // BC Ta có :  BC ( ABCD) MN // BC (1) M ( ) ( ABCD) ( ) // SA S Tương tự : SA ( SAB) NP // SA N ( ) ( SAB) ( ) // BC BC ( SBC ) PQ // BC (2) t P P ( ) ( SBC ) A B Từ (1) và (2) , ta được : MN // PQ Q N Vậy : thiết diện là hình thang MNPQ. b. Tìm giao tuyến của ( ) với mặt phẳng (SAD). Trong (ABCD) , gọi  I  =  AD   BC D M C I là điểm chung của ( ) và (SAD) I ( ) // SA Ta có : SA ( SAD) I ( ) ( SAD) Vậy : giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SA. 5.  Cho hình chóp S.ABCD có  đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh  SC và ( ) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD. a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng ( ) lần lượt với các cạnh SB, SD. b.  Gọi I là giao điểm của ME và CB , J  là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba   điểm  I,J, A thẳng hàng . Giải a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng ( ) lần lượt với các cạnh SB, SD. Giả   sử   dựng   được   E,   F   thỏa   bài   toán   ( ) // BD Ta có :  BD ( SBD) BD // EF S EF ( ) ( SBD) Do  các điểm E ,F ,A ,M  cùng thuộc mặt phẳng  ( )  Trong ( ) , gọi K = EF   AM  K   EF mà EF   (SBD)  K   (SBD) M F K   AM mà AM   (SAC)  K   (SAC)   K   (SAC)   (SBD) D K J C Do  (SAC)   (SBD) = SO E K   SO  O A B I
  9. Cách dựng E, F : Dựng giao điểm K của AM và SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J ,  A thẳng hàng  : I ME mà ME ( ) I ( ) Ta có :  I BC mà BC ( ABCD) I ( ABCD) I   ( )   (ABCD) A ( ) ( ABCD) Tương tự ,  J ( ) ( ABCD) I , J , A là điểm chung của  ( ) và (ABCD) Vậy  : I , J ,  A  thẳng hàng  . 6. ˆ = 60 0 , AB  = a .Gọi O là trung  Trong mặt phẳng ( ) cho tam giác ABC vuông tại A ,  B điểm của  BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng ( ) sao cho SB = a và SB   OA . Gọi M là mọt điểm trên  cạnh AB , mặt phẳng ( ) qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC ,  SA lần lượt tại N , P ,   Q . Đặt x = BM ( 0 
  10. OA SB MN MQ Từ  (1) và (4)  , ta có : MN // OA MN NP MQ // NP // SB Vậy : MNPQ  là hình thang vuông , đường cao MN. b. Tính diện tích của hình thang theo a và x . 1 Ta có :  S MNPQ ( MQ NP ).MN 2 Tính  MN :  Xét tam giác ABC AB AB Ta có :  cos B BC BC cos B BC 2a BO = a Bˆ 60 0 Do ABO  đều BA BO MN BM BN Có    MN // AO AO AB BO MN MB BN x Tính  MQ : Xét  tam giác SAB , ta có  : MQ // SB MQ AM SB a MQ AM . (a x). a x SB AB AB a Tính  NP : Xét  tam giác SBC , ta có  : NP // SB NP CN SB a 2a x NP CN . ( 2a x ). SB CB CB 2a 2 x ( 4a 3 x ) 1 Do đó :  S MNPQ .3 x.(4a 3 x) 4 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương  3x   và   4a   3x 3 x 4a 3 x 2 3x.( 4a   3x)         ( ) 2    4a²
  11. 1 a² S MNPQ .4a ² 12 3 2a Đẳng thức xảy ra khi   3x  =  4a – 3x      x =  3 2a Vậy : x =    thì  S MNPQ   đạt giá trị lớn nhất. 3 7. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở  ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho   SB = SD.  Gọi  M là điểm tùy ý trên  AO với AM = x  . mặt phẳng ( ) qua M song song với SA  và BD  cắt  SO , SB , AB tại N, P , Q . a. Tứ giác MNPQ là hình gì ? b.  Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và  x . Tính x để  diện tích  lớn nhất  Giải S N I P D A Q M O B C a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?: Ta có : SB = SD    SBC =   SDC (c­c­c) Gọi  I là trung điểm SC  Xét   IBC và    IDC  Ta có :  IC  cạnh chung  BC = CD DCI = BCI  IBC =    IDC   IB  = ID  IBD cân tại  I IO    BD Mà  OI // SA  SA   BD   (*)
  12. ( ) // BD Ta có :  BD ( ABO) MQ // BD (1) ( ) ( ABO) MQ ( ) // BD Tương tự : BD ( SBO) NP // BD (2) ( ) ( SBO) NP Từ (1)  và (2) , suy ra  MQ // NP // BD (3) ( ) // SA Mặt khác :  SA ( SAO) MN // SA ( 4) ( ) ( SAO) MN ( ) // SA Tương tự : SA ( SAB) PQ // SA (5) ( ) ( SAB) PQ Từ (4)  và (5) , suy ra  MN // PQ // SA (6) Từ (3)  , (6) và (*), suy ra   MNPQ là hình chữ nhật   Vậy : MNPQ là hình chữ nhật   b.  Tính diện tích MNPQ theo a và  x: Ta có :  S MNPQ MQ.MN Tính  MQ : Xét tam giác AQM : ˆ 45 0 Ta có :  Qˆ 45 0 AQM cân tại M     MQ = AM = x Mˆ 90 0 Tính  MQ : Xét tam giác SAO :  Ta có : MN   //   SA         a 2 x MN OM OM MN AS . a. 2 a x. 2 AS OA OA a. 2 2 1 S MNPQ MQ.MN x.(a x. 2 ) x. 2 (a x. 2 )   2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương   x. 2    và    a x. 2 x. 2 a x. 2 ) 2 x. 2 (a x. 2 )      ( ) 2 a²     4
  13. 1 a² a² a² S MNPQ . S MNPQmã 2 4 4. 2 4. 2 a a. 2 Đẳng thức xảy ra khi    x. 2 a x. 2 x 2. 2 4 M là trung điểm AO Vậy :  x a. 2   thì   S MNPQ   đạt giá trị lớn nhất. 4 8. Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J  lần lượt là trung điểm AB và CD .  Giả sử AB   CD , mặt phẳng ( ) qua M nằm trên  đoạn IJ  và song song với AB và CD. a.  Tìm giao tuyến của ( ) với ( ICD )  và (JAB) . b.  Xác định thiết diện của (ABCD)  với mặt phẳng ( ) Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật . 1 c.  Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM =  IJ . 3 Giải a.  Tìm giao tuyến của ( ) với mặt  phẳng ( ICD ): ( ) // CD A Ta có : CD ( ICD) M ( ) ( ICD)   giao tuyến là đt qua M và song song G  với CD cắt IC tại L  và  ID tại N  P I ( ) // AB F Tương tự  : AB ( JAB) N M ( ) ( JAB) M L   giao tuyến là đt qua M và song song B  với AB cắt JA tại P  và  JB  tại Q H D b.  Xác định thiết diện của (ABCD)  với mặt phẳng ( ): Q ( ) // AB E Ta có : AB ( ABC ) J L ( ) ( ABC ) EF // AB (1)  C ( ) // AB Tương tự  : AB ( ABD) N ( ) ( ABD)    HG // AB (2) Từ   (1)  và  (2) , suy ra  EF // HG // AB (3) ( ) // CD Ta có : CD ( ACD ) P ( ) ( ACD) FG // CD (4)  
  14. ( ) // CD Tương tự  : CD ( BCD) Q ( ) ( BCD)    EH // CD (5) Từ   (4)  và  (5) , suy ra  FG // EH // CD (6) Từ   (3)  và  (6) , suy ra  EFGH  là hình  bình hành  Mà  AB   CD (*) Từ   (3)  , (6) và (*), suy ra  EFGH  là hình  chữ nhật  1 c.  Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM =  IJ : 3 Ta có :  S EFGH EF .FG PQ.LN Tính LN : Xét tam giác ICD :  LN IN Ta có : LN // CD        (7) CD ID Xét tam giác IJD :  IN IM Ta có : MN // JD        (8) ID IJ LN IM 1 CD b Từ   (7)  và (8), suy ra LN CD IJ 3 3 3 PQ JM 2 2 2 Tương tự :  PQ . AB .a AB JI 3 3 3 2ab Vậy :  S EFGH                 9
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2