zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Lý thuyết và bài tập hình học không gian - Nguyễn Tất Đỉnh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Báo xấu

18
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Lý thuyết và bài tập hình học không gian" do tác giả Nguyễn Tất Đỉnh biên soạn có nội dung trình bày lý thuyết và bài tập hình học không gian nhằm giúp các em học sinh nắm được kiến thức môn Toán và áp dụng giải nhanh các bài tập. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập hình học không gian - Nguyễn Tất Đỉnh

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 1 CÔNG THỨC LỚP 9-10 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A ta có :  Định lý Pitago : BC 2  AB 2  AC 2  BA 2  BH .BC ; CA2  CH .CB  AB. AC = BC. AH 1 1 1  2  2  AH AB AC 2  AH2 = BH.CH  BC = 2AM b c b c  sin B  , cosB  , tan B  , cot B  a a c b b b  b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =  , sin B cos C  b = c. tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c * Định lý hàm số Sin:    2R sin A sin B sin C 3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác: 1 S a.ha 2 1 a.b.c abc S = a.b sin C   p.r  p.( p  a)( p  b)( p  c) với p  2 4R 2 1 Đặc biệt : * ABC vuông ở A : S  AB .AC 2 a2 3 * ABC đều cạnh a: S  4 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng 1 d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) 2 1 d/ Diện tích hình thang : S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S   .R 2 BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -1-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 2 QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC A.QUAN HỆ SONG SONG 1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG ĐL1:Nếu đường thẳng d d không nằm trên mp(P) và song song với đường d  (P)  a thẳng a nằm trên mp(P) d / /a  d / /(P) (P) thì đường thẳng d song a  (P)  song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a a / /(P) (Q) song song với mp(P) thì  a mọi mp(Q) chứa a mà cắt a  (Q)  d / /a d mp(P) thì cắt theo giao (P)  (Q)  d  tuyến song song với a. (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song (P)  (Q)  d d với một đường thẳng thì  (P) / /a  d / /a giao tuyến của chúng song (Q) / /a a song với đường thẳng đó.  P Q 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ĐL1: Nếu mp(P) chứa a,b  (P) a hai đường thẳng a, b cắt  nhau và cùng song a  b  I  (P) / /(Q) P b I song với mặt phẳng (Q) a / /(Q),b / /(Q) thì (P) và (Q) song  Q song với nhau. ĐL2: Nếu một đường a thẳng nằm một trong (P) / /(Q) P hai mặt phẳng song   a / /(Q) song thì song song với  a  (P) Q mặt phẳng kia. ĐL3: Nếu hai mặt R phẳng (P) và (Q) song (P) / /(Q) song thì mọi mặt phẳng  a (R)  (P)  a  a / / b P (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao (R)  (Q)  b Q b tuyến của chúng song  song. B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -2-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường d  a ,d  b d thẳng cắt nhau a và b  cùng nằm trong mp(P) a ,b  mp(P)  d  mp(P) thì đường thẳng d vuông a,b caét nhau b  a góc với mp(P). P ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với a mp(P) và đường thẳng b a  mp(P),b  mp(P) nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b b  a  b  a' vuông góc với a là b b vuông góc với hình a' P chiếu a’ của a trên (P). 2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC ĐL1:Nếu một mặt Q phẳng chứa một đường a thẳng vuông góc với a  mp(P) một mặt phẳng khác thì   mp(Q)  mp(P) hai mặt phẳng đó a  mp(Q) P vuông góc với nhau. ĐL2:Nếu hai mặt P phẳng (P) và (Q) (P)  (Q) vuông góc với nhau thì  a bất cứ đường thẳng a (P)  (Q)  d  a  (Q) nào nằm trong (P), a  (P),a  d vuông góc với giao  Q d tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). ĐL3: Nếu hai mặt P phẳng (P) và (Q) (P)  (Q) vuông góc với nhau và  a A là một điểm trong A  (P) A   a  (P) A  a (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và a  (Q) Q vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng (P)  (Q)  a P Q a vuông góc với mặt  phẳng thứ ba thì giao (P)  (R)  a  (R) tuyến của chúng vuông (Q)  (R) góc với mặt phẳng thứ  R ba. 3. KHOẢNG CÁCH BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -3-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 O mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc O đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) H H a P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: a O Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). H P d(a;(P)) = OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: O P là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH H Q A a 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB b B 4. GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b a a' là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. b' b a 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 90 0 . a' P 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. b b Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt a a phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm P Q P Q BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -4-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 S 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì S'  Scos  trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). C A  B 3 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU I/ CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN : V = B.h 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: (B: Sđáy ; h: chiều cao) a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c (a,b,c là ba kích thước) V = a3 b) Thể tích khối lập phương: (a là độ dài cạnh) với a là độ dài cạnh 1 V= Bh 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 3 (B: S đáy ; h: chiều cao) S C' A' 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ VSABC SA SB SC DIỆN  A B' VSA'B 'C ' SA' SB ' SC ' C B A' B' C' 4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP h V ( B  B ' B.B ' ) CỤT: 3 A B C 1 1 V = Bh=  r 2h 3 3 5. KHỐI NÓN Sxq =  rl BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -5-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 V =Bh= r2h 6. KHỐI TRỤ Sxq = 2 rl 4 V=  r3 7. KHỐI CẦU 3 S= 4 r 2 Chú ý: 1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a 2  b2  c 2 , a 3 2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 2 3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. 4  MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN THÖÔØNG GAËP 1/ C/m ñieåm thuoäc maët phaúng :  Phöông phaùp : M Ñeå chöùng minh ñieåm M  mp  ta chöùng minh : a  M  Ñöôøng thaúng a   M  mp   Ñöôøng thaúng a  mp 2/ Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng :  Phöông phaùp : Ñeå tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaú ng a vaø mp  ta thöïc hieän caùc böôùc sau : Böôùc 1 : Choïn maët phaúng phuï  chöùa ñöôøng thaúng a ( Chuù yù : Maët phaúng  vaø  deå xaùc ñònh giao tuyeán ) Böôùc 2 : Tìm giao tuyeán  cuûa  vaø  a Böôùc 3 : Goïi I = giao ñieåm cuûa a vaø  . Chöùng minh I laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng a vaø mp    ( Chöùng minh : I vöøa thuoäc ñöôøng thaúng a vöøa thuoäc mp  )  M 3/ Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng : BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -6-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018  Phöông phaùp : Ñeå tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng vaø   ta duøng caùc caùch sau : C1 : Tìm hai ñieåm chung phaân bieät cuûa hai maët phaúng  A , B  mp    Ñöôøng thaúng AB  mp  mp . A  A , B  mp B   C2 : Tìm moät ñieåm chung cuûa hai maët phaúng vaø phöông cuûa giao tuyeán ( Giao tuyeán // hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng coá ñònh cho tröôùc ) Chuù yù : Khi tìm phöông cuûa giao tuyeán ta caân quan taâm ñeán caùc ñònh lyù : - Neáu a // (P) thì a // vôùi giao tuyeán d cuûa mp(P) vaø mp(Q) ñi qua a - Hai maët phaúng song song bò caét bôûi moät maët phaúng thöù ba thì caùc giao tuyeán naøy // - Hai maët phaúng caét nhau cuøng // vôùi moät ñöôøng thaúng thì giao tuyeán cuûa hai maït phaúng naøy // vôùi ñöôøng thaúng ñoù . 4/ Chöùng minh 3 ñieåm thaún g haøng : A  Phöông phaùp : Ñeå chöùng minh 3 ñieåm : A, B, C thaúng haøng B Ta chöùng minh 3 ñieåm naøy cuøng thuoäc hai maët phaúng phaân bieät  vaø  A, B, C thuoäc giao tuyeán cuûa  vaø  neân thaúng haøng C ( )  ( )  AB   Thöôøng CM nhö sau:   C  AB , neân A, B, C thaúng haøng  C  ( )  ( )  5/ Chöùng minh 3 ñöôøng thaún g ñoàn g quy :  Phöông phaùp : Ñeå chöùng minh 3 ñöôøng thaúng : a, b, c ñoàng quy ta thöïc hieän caùc böôùc sau : Böôùc 1 : Ñaët I = giao ñieåm cuûa a vaø b. Böôùc 2 : Tìm hai maët phaúng  vaø  naøo ñoù sao cho a c c = giao tuyeán cuûa  vaø . b   I  mp I Böôùc 3 : Chöùng minh :   I  ñöôøng thaúng c  I  mp   3 ñöôøng thaúng a, b, c cuøng ñi qua I neân ñoàng qui.   Caùch khaùc : Duøng ñònh lyù : “Neáu ba maët phaúng caét nhau theo ba giao tuyeán thì ba giao tuyeán naøy // hoaëc ñoàng quy’’ Nhö vaäy neáu chuùng ta loaïi tröø ñöôïc khaû naêng // thì chuùng seõ ñoàng quy. 6/ Chöùng minh giao tuyeán hay (ñöôøng thaún g) coá ñònh :  Phöông phaùp : Ta chöùng minh ñöôøng thaúng hay giao tuyeán laø giao cuûa hai maët phaúng coá ñònh 7/ Chöùng minh hai ñöôøng thaúng cheùo nhau :  Phöông phaùp : Ñeå chöùng minh hai ñöôøng thaúng cheùo nhau ta chöùng minh chuùng khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng (Thöôøng duøng phöông phaùp chöùng minh baèng phaûn chöùng: Giaû söû hai ñöôøng thaúng ñoù khoâng cheùo nhau. Suy luaän ñeå suy ra ñieàu voâ lyù. Vaäy hai ñöôøng thaúng ñoù phaûi // vôùi nhau) BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -7-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 8/ Chöùng minh hai ñöôøng thaúng // . C1 : Duøng caùc quan heä song song ñaõ bieát trong maët phaúng. C2 : Chöùng minh chuùng phaân bieät vaø cuøng // vôùi moät ñöôøng thaúng thöù ba . a a, b phaân bieät & a // c, a // c  a // b b c C3 : Duøng ñònh lyù giao tuyeán: R a P (P) // (Q), (R)  (P)  a, (R)  (Q)  b  a // b b Q C4 : Duøng ñònh lyù giao tuyeán: a b (P) // a, (Q) // a, (P )  (Q)  a  a // b P Q C5 : Duøng ñònh lyù giao tuyeán:    a b b b a a P Q Q P Q P a // b, (P) qua a, (Q) qua b,(P)  (Q)     // a,  // b hoaëc  truøng vôùi a hoaëc b BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -8-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 C6 : Duøng ñònh lyù giao tuyeán: a a // (P), (Q) qua a, (P)  (Q)  b  a // b Q b P 9/ Chöùng minh ñöôøng thaúng // vôùi maët phaúng . C1 : CM ñöôøng thaúng khoâng naèm trong maët phaúng vaø // vôùi moät ñöôøng thaúng naèm trong maët phaúng. a b a  (P ) , b  (P ) , a // b ,  a // (P ) P C2 : Duøng heä quaû: . Q a (P) // (Q), a  (Q)  a // (P ) P a C3 : Duøng heä quaû : H P b a  (P ) , (P)  b, a  b  a //(P ) 10/ Chöùng minh hai maët phaúng song song . C1 : Chöùng minh maët phaúng naøy chöùa hai ñöôøng thaúng caét nhau // vôùi maët phaúng kia. P a, b  (Q) , a caét b, a // (P) vaø b // (P)  (P ) //(Q ) a Q b BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN -9-
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 C2 : Chöùng minh chuùng phaân bieät vaø cuøng vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng . a P (P ) , (Q ) phaân bieät, (P)  a, (Q)  a  (P ) //(Q ) Q C3 : Duøng heä quaû: Hai maët phaúng phaân bieät vaø cuøng // vôùi moät maët phaúng thöù ba thì // vôùi nhau . 11/ Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc . C1 : Duøng caùc quan heä vuoâng goùc ñaõ bieát trong maët phaúng. C2 : a  b  goùc (a;b)  90o . C3: Duøng heä quaû: a a  (P ) b   a  b  (P ) // (Q ) P b  (P ) C4: Duøng heä quaû: b a b // c , a  b  a  c c C5 : Duøng heä quaû: a b a song song (P )   a  b  (P ) //(Q ) b  (P )  P C6 : Söû duïng ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc. BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 10 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 C7: Duøng heä quaû:  B   AB      BC   AC  A C 12/ Chöùng minh ñöôøng thaún g vuoân g goùc maët phaúng . C1 : Duøng ñònh lyù. a b c b , c caét nhau , b, c  (P ) , a  b, a  c  a  (P ) P C2 : Duøng heä quaû: b a P a // b , b  (P )  a  (P ) C3 : Duøng heä quaû: Q a b (P )  (Q)  b    a  (P ) a  (Q), a  b  P C4 : Duøng heä quaû:  ( )  ( )        (P ) ( ) ( )  (P ),( )  (P ) ( ) P BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 11 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 13/ Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc . C1 : Chöùng minh goùc giöõa chuùng laø moät vuoâng.   ( )  ( )   , Ox  ( ),Ox   , Oy  ( ),Oy   O Khi ñoù: x  y goùc (( );( ))  goùc (Ox;Oy)  xOy   : 0    90o  ( )  ( )    90o   C2 : Duøng heä quaû: a  ( )   ( )  ( ) a  a  ( )    CAÙCH XAÙC ÑINH GOÙC 1/ Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng A a a'  Choïn ñieåm O tuyø yù.  = (a; b)  Döïng qua O : a’ // a; b’ // b . O b'  Goùc (a,b) = goùc (a’,b’) = AOB b B  Thöôøng choïn ñieåm O  a hoaëc O  b 1/ Goùc cuûa hai maët phaúng  Choïn ñieåm O thuoäc giao tuyeán cuûa  vaø  . OA  ( ) OB  ( )   Döïng qua O :  vaø  O OA   OB    Goùc ( ,  ) = Goùc (OA,OB) = AOB    B A Chuù yù: * 0    90o   * Neáu   90o thi choïn goùc ( ;  )  180o   BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 12 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 1/ Goùc cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng laø goùc giöõa ñöôøng thaúng ñoù vaø hình chieáu cuûa noù treân maët phaúng A  Choïn ñieåm A thuoäc ñöôøng thaúng a. a  O  Döïng qua AB  ( ) taïi B.  Döïng giao ñieåm O cuûa a vaø  neáu chöa coù. B  ( OB laø hình chieáu cuûa a treân maët phaúng (  ))  Khi ñoù: Goùc(a;( )) = Goùc(OA,OB) = AOB   .  KHOAÛN G CAÙCH Khoaûng caùch töø moät ñieåm Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng ñeán moät maët phaúng M M  H H  Dùng: MH  ( ), H thuéc ( ) ta cã: d(M,( )) = MH Dùng MH   : d(M, ) = MH Khoaûng caùch giöõa hai Khoaûng caùch giöõa maët phaúng ñöôøng thaúng song song vaø ñöôøng thaúng // song song  1 //  2 1  M M  // ( ) 2 H H  Chän ®iÓm M trªn  1, dùng MH   2 Chän ®iÓm M thuéc  , dùng MH   ( H thuéc  2) ta cã d( 1, 2) = MH ( H thuéc ( )), ta cã d( ,( )) = MH BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 13 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 Khoaûng caùch giöõa hai Khoaûng caùch giöõa hai Ñöôøng thaúng cheùo nhau maët phaúng song song ( ) // (),  chøa trong ( ) M  Dùng mÆt ph¼ng ( ) chøa b & ( ) // a  M A a  Dùng MH  ( ), M thuéc a, H thuéc ( )   Dùng a' trong mÆt ph¼ng ( ), a' // a ®-êng th¼ng a' c¾t ®-êng th¼ng b t¹i B H a'  H  Dùng  qua B vµ // MH,  c¾t a t¹i A B Khi ®ã: d(a,b) = d(a,( )) Ta cã: d(( ),()) = d( ,( )) = MH b = d(M,( )) = MH = AB (M thuéc , MH  ( ), H thuéc  )   a vµ b chÐo nhau  HÌNH VEÕ MOÄT SOÁ HÌNH CHOÙP ÑAËT BIEÄT 1/ Hình choùp tam giaùc ñeàu Hình choùp tam giaùc ñeàu: S  Ñaùy laø tam giaùc ñeàu  Caùc maët beân laø nhöõng tam giaùc caân Ñaëc bieät: Hình töù dieän ñeàu coù:  Ñaùy laø tam giaùc ñeàu h  Caùc maët beân laø nhöõng tam giaùc ñeàu A  Caùch veõ:  C  Veõ ñaùy ABC  Veõ trung tuyeán AI H  Döïng troïng taâm H  Veõ SH  (ABC) I  Ta coù : B  SH laø chieàu cao cuûa hình choùp  Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy laø: SAH   .  Goùc maët beân vaø maët ñaùy laø: SIH   BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 14 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 2/ Hình choùp töù giaùc ñeàu S Hình choùp töù giaùc ñeàu:  Ñaùy laø hình vuoâng  Caùc maët beân laø nhöõng tam giaùc caân Caùch veõ:  Veõ ñaùy ABCD A D  Döïng giao ñieåm H cuûa hai ñöôøng cheùo  AC & BD I B  H  Veõ SH  (ABCD) C  Ta coù:  SH laø chieàu cao cuûa hình choùp  Goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy laø: SAH   .  Goùc maët beân vaø maët ñaùy laø: SIH   2/ Hình choùp coù moät caïn h beân vuoâng goùc vôùi ñaùy S  SA  (ABC)   Goùc giöõa caïnh beân SB vaø maët ñaùy laø: SBA   A  C  Goùc giöõa caïnh beân SC vaø maët ñaùy laø: SCA   B . S  SA  (ABCD)  Goùc giöõa caïnh beân SB vaø maët ñaùy laø: SBA    Goùc giöõa caïnh beân SC vaø maët ñaùy laø: SCA    A D  Goùc giöõa caïnh beân SD vaø maët ñaùy laø: SDA     B C BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 15 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Thể tích hình hộp chữ nhật: 4. Hình trụ: S xq  2 Rl V   R 2 .h V  abc .. 5. Hình nón: ( Với a, b, c lần lượt là chiều dài, rộng và 1 S xq   Rl V   R 2 .h cao của hình hộp) 3 2. Thể tích hình chóp: 6. Mặt cầu: 1 + S: Diện tích đáy V  S .h 3 + h: Chiều cao hình chóp 4 S  4 R 2 V   R3 3. Thể tích hình lăng trụ: 3 V  S.h + S: Diện tích đáy + h: Chiều cao hình lăng trụ CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: Dạng 1: Hình chóp có một cạnh bên h vuông góc với mặt đáy B. Khi đó thể tích của hình chóp là: 1 + B: Diện tích đáy V  B.h 3 + h: Chiều cao hình chóp. Ví dụ: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC), SA = a, tam giác ABC vuông tại B, BC = a; AC = 2a. Giải: 1 1 S Ta có thể tích: V  B.h  S ABC .SA 3 3 Trong tam giác vuông ABC, ta có: a AB  AC 2  BC 2  (2a ) 2  a 2  a 3 2a 1 1 3 2 Nên S ABC  BA.BC  a.a 3  a A C 2 2 2 a 1 1 1 3 2 a3 3 Vậy, V  B.h  S ABC .SA  . a .a  (đvtt). B 3 3 3 2 6 Dạng 2: Biết hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên mặt đáy.(hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy là H) + B: Diện tích đáy 1 + SH: Chiều cao hình chóp. Khi đó thể tích: V  B.SH 3 Ví dụ: (TN THPT 2008 – lần 1). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABI theo a. Giải: Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó SH vuông góc với mặt đáy ABC. BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 16 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 1 1 Nên V  B.h  S ABC .SH 3 3 1 1 a2 3 Mà S ABC  AB. AC.sin A  a.a.sin 600  S 2 2 4 2 2 2 2 2 a a 3 Ta lại có: AH  AI  AB 2  BI 2  a    2a 2a 3 3 3 2 3 Xét SAH vuông tại S, có: 2a a A 2 C a 3 a 33 H SH  SA2  AH 2  (2a)2     a a I  3  3 B Dạng 3: Biết một mặt bên vuông góc với mặt đáy. Khi đó đường thẳng đi qua một đỉnh của mặt bên, vuông góc với giao tuyến giữa mặt bên và mặt đáy là đường cao của hình chóp. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và mặt SAB là tam giác vuông cân tại S. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a Giải: Ta có:  SAB    ABC   AB . Qua S dựng đường thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại I, nên SI vuông góc với mặt đáy (ABC). 1 a Mà SAB vuông tại S  I là trung điểm của AB.  SI  AB  2 2 S 1 a2 3 Ta lại có: S ABC  AB. AC.sin A  2 4 Vậy, thể tích của hình chóp S.ABC là: a C A 2 3 1 1 a 3 a a 3 V  .S ABC .SI  . .  (đvtt). I a a 3 3 4 2 24 B II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Dạng 1: Hình lăng trụ có một cạnh bên d vuông góc với mặt đáy B ( dự đoán được nó là hình lăng trụ đứng). Khi đó thể tích của hình lăng trụ là: V  B.d (B: diện tích đáy; d: là chiều cao) Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A ' B ' C ' , có AC  a, BC  2a, ACB  600 và tam giác ABB ' cân. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a. A' C' Giải: Ta có thể tích của khối lăng trụ là: V  B.h  SABC .BB ' B' 1 1 a2 3 Mà: S ABC  AC.BC.sin C  a.2a.sin 600  (đvdt). 2 2 2 a Lại có ABB ' vuông cân tại B nên BA  BB ' . A 600 C Xét ABC , có AB 2  AC 2  BC 2  2. AC.BC.cos C 2a  AB 2  a 2  (2a) 2  2.a.2a.cos600  3a 2  AB  BB '  a 3 B 2 3 a 3 3a Vậy: V  S ABC .BB '  .a 3  (đvtt). 2 2 Dạng 2: Biết hình chiếu của một đỉnh xuống mặt đáy. Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' , có hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' xuống mặt đáy ABC trùng với trung điểm I của đoạnh AB, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên AA ' với mặt đáy bằng 300 . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a. Giải: BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 17 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 Ta có thể tích cần tìm là: V  B.h  SABC . A ' I a2 3 Mà S ABC  4   Ta lại có: AA ';( ABC )  300  ( AA '; AI )  300 nên IAA '  300 Xét AIA ' vuông tại I, ta có: A' C' A' I tan A   A ' I  tan A. AI AI B' 1 3 1 a 3 h  tan 300. AB  . a 2 3 2 6 300 a 2 3 a 3 a 3 a A C Vậy, V  S ABC . A ' I  .  (đvtt). 4 6 8 a I a B III. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH NÓN. Diện tích xung quanh hình nón: S xq   .r.l , trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh. Diện tích toàn phần hình nón: Stp  S xq  Sday   .r.l   .r 2 . 1 Thể tích khối nón: V   r 2 .h , trong đó r: là bán kính đáy, h: là chiều cao. 3 Ví dụ: Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy tâm O, bán kính r = a và góc ở đỉnh của hình nón bằng 600 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón. Giải: Ta có: S xq   .r.l   .r.SA . S Xét tam giác ASO vuông tại O, ta có: AO r a sin S   sin 300   SA   2a 600 SA SA 1 2 h Nên Sxq   .r.l   .a.SA   .a.2a  2a  2 B Mà SO  SA2  OA2  (2a) 2  a 2  a 3 O r M A 1 1 a 3 3 Vậy thể tích cần tìm là: V   .r 2 .h   .r 2 .h  (đvtt 3 3 3 IV. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH TRỤ Diện tích xung quanh hình trụ: S xq  2 .r.l , trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh. Diện tích toàn phần hình trụ: Stp  S xq  2.Sday  2 .r.l  2 .r 2 . Thể tích khối trụ: V   r 2 .h , trong đó r: là bán kính đáy, h: là chiều cao. BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 18 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 Ví dụ: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, và khoảng cách giữa hai đáy bằng a 3 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đã cho theo a. Giải: Gọi O,O’ là tâm ở hai đáy của hình trụ (như hình vẽ bên). O’ B Từ giả thiết, ta có: OO '  a 3 Khi đó diện tích xung quanh của hình trụ là: h S xq  2 .r.l  2 .a.OO '  2 .a.a 3  2 3 a 2 (đvdt). Thể tích của khối trụ: V   r 2 .h   a 2 .OO '   a3 3 (đvtt). A O r M V. DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH MẶT CẦU Diện tích của mặt cầu: S  4 .R 2 , trong đó R là bán kính mặt cầu. 4 Thể tích khối cầu: V   R 2 3 Đường tròn giao tuyến của S(O;r) và mp(P) có tâm là hình chiếu vuông góc của tâm O lên mp(P) và bán kính r '  R 2  d  O; mp( P) . mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R)  d  O; mp( P)   R . Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA  2a, AC  a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 1. Chứng minh trung điểm I của đoạn SC là tâm của mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC. Tính bán kính của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu. 2. Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mp(ABC). Giải: 1. Ta có các tam giác SAC, SBC lần lượt vuông tại A, B. 1 nên IA  IB  IS  IC  SC . S 2 Do đó I cách đều các đỉnh S,A,B,C. 2a I Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, a 2 2 C 1 1 a 6 A có bán kính là: R  SC  SA2  AC 2  2 2 2 B BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 19 -
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 12-NĂM HỌC 2017-2018 2. Đường tròn giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do ABC vuông cân tại B nên tâm của đường tròn giao tuyến là trung điểm của đoan AC. S 1 a 2 Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến là: r  AC  A *O 2 2 B C B/ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: HÌNH CHÓP Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 và SC = 2 a 2 . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: 2a 3 a3 2 3 a3 a3 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .................................................................. Câu 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC = a 3 ? 2a 3 6 a3 6 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 9 12 4 2 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ...................................................................................................................... Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích khối chóp: a3 6 a3 3 a3 6 a3 6 A. B. C. D. 24 24 8 48 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... BIÊN SOẠN NGUYỄN TẤT ĐỈNH: TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN - 20 -

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.