Phần Nguyên - Lý thuyết và bài tập

Chia sẻ: Dao Thi Lanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

331
lượt xem 86
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo sách 'phần nguyên - lý thuyết và bài tập', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần Nguyên - Lý thuyết và bài tập

TRƯỜNG……………………… KHOA…………………… Phần Nguyên - Lý thuyết và bài tập
15PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 L IT A Kt khi ư c h c v S H c, thì Ph n Nguyên là m t trong nh ng chương h p d n tôi nh t. Có l vì nh nghĩa c a nó ơn gi n, nó cơ b n như nh nghĩa v s nguyên t v y! Tuy nhiên bên trong c a s ơn gi n y là m t m nh t r t màu m , còn vô s nh ng hoa thơm c l ang ch tôi cùng các b n khám phá. Qu th c, ào sâu nghiên c u v Ph n Nguyên là m t tài không t i. Không có nhi u tài li u vi t v ch này. B i vì l ó, tôi quy t nh t ng h p l i m t s k t qu thu ư c vi t lên tài li u này, hy v ng mang nb n c m t vài i u thú v . R t mong các b n óng góp và xây d ng ch này ư c phát tri n và hoàn thi n hơn n a. Hoàng Xuân Thanh, 10- 2010 Tài li u tham kh o: 1. Bài gi ng S H c – ng Hùng Th ng 2. 104 Number Theory Problems Titu Andresscu 3. http://diendantoanhoc.net 4. M t s website Toán h c khác
25PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 VN I: - M T S TÍNH CH T CƠ B N 1. nh nghĩa: Ph n nguyên (hay sàn) (Floor Function: Nghĩa là hàm “sàn”) c a s th c x là: S nguyên l n nh t không l n hơn x. M t nh nghĩa tương t v i Floor là Ceilling (hàm “tr n”) Tr n c a s th c x là: S nguyên nh nh t không nh hơn x Không nên nh m l n Floor và Ceiling v i hàm làm tròn Around(x), và hàm “ch t uôi” Trunc(x) mà các b n v n thư ng s d ng trong các ngôn ng l p trình. Around(x): Là s nguyên g n x nh t (ưu tiên chi u bên ph i trên tr c s ) Trunc(x): Là s nguyên có ư c sau khi b i ph n th p phân c a x Around(5.5)=6; Floor(5.5)=5; Ceilling(5.5)=6; Trunc(5.5)=5 Around(5.4)=5; Floor(5.4)=5; Ceilling(5.4)=6; Trunc(5.4)=5 Around(-5.4)=-5; Floor(-5.4)=-6; Ceilling(-5.4)=-5; Trunc(-5.4)=-5 Kí hi u ph n nguyên c a x là  x  , tr n c a x là  x . Ngoài ra ngư i ta cũng g i   { x} = x −  x  Là ph n l (fractional part) c a s th c x. 0 ≤ { x} < 1  Các b n có th tham kh o thêm v các hàm này trong website http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions nh nghĩa v ph n nguyên ư c hi u theo m t trong hai công th c sau: x − 1 <  x  ≤ x ho c  x  ≤ x <  x  + 1    2. Các tính ch t cơ b n x > y ⇒  x ≥  y i.    x + n ⇒  x + n ii. | n∈Z    iii.  x  +  y  ≤  x + y  ≤  x  +  y  + 1       0 | x∈Z iv.  x  +  − x  =      −1 | x∉Z   x  v.     =   x | n∈Z   n  n x vi. S các s nguyên dương là b i c a n và không vư t quá x là   n
35PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 Ch ng minh: Tính ch t i. và ii. Là hi n nhiên t x =  x  + { x} ; 0 ≤ { x} < 1 iii.  y =  y  + { y} ; 0 ≤ { y} < 1  ta có:  x + y  =   x  +  y  + { x} + { y} =  x  +  y  + { x} + { y}            vì 0 ≤ { x} + { y} < 2 nên ta suy ra i u ph i ch ng minh t x =  x  + { x} ; 0 ≤ { x} < 1 iv.  ta có  x  +  − x  =  x  +  −  x  − { x} =  − { x}        vì −1 < − { x} ≤ 0 ch b ng 0 khi x nguyên. T ó có pcm x x v. t m =   , khi ó m ≤ < m + 1 n n ⇒ mn ≤ x < ( m + 1) n ⇒ mn ≤  x  < ( m + 1) n ( mn ∈ Z )   x ⇒ m ≤   < m +1 n   x  ⇒ m =   n vi. Các s nguyên dương là b i c a n không vư t quá x là n, 2n,..., mn . Trong ó m là s th a mãn i u ki n mn ≤ x < ( m + 1) n x ⇒m≤ < m +1 n x ⇒m=  n 3. nh lý Legendre S mũ c a s nguyên t p trong phân tích tiêu chu n c a n! ư c tính theo công th c: n n n n ∑ ep ( n ) =  i  =  p1  +  p 2  +  p 3  + ... i ≥1  p   
45PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 Ch ng minh: Trư c h t ta có nh n xét r ng, t ng trên ch g m h u h n s h ng khác không. n i Vì v i ch s i l n thì n < p , khi ó  =0 ∀m ≥ i m p  n Trong tích n ! = 1.2...n có úng   th a s là b i c a p (theo tính ch t vi)  p Do ó: n n  p  n! = p .   ! A1  p Trong ó: ( A1 , p ) = 1 Tương t  n   n     p   p n   .     ! A2 p    p ! = p p       n  n    p = ( A2 , p ) = 1 . Theo tính ch Vi t v. ta có  p2  p      n  n  n  p + 2  Vy   p  n! = p .  2  ! A2 p  n n L p l i lí lu n trên v i  ! và c ti p t c cho t i khi  k  < p 2 p  p  Cu i cùng ta ư c s mũ e p ( n ) c a p trong phân tích nguyên t c a n! là n n n e p ( n ) =  1  +  2  + ... +  k  p  p  p  k +1 k V i k là ch s th a mãn p ≤ n < p . pcm
55PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 4. M t s bài t p Ex1.1 Ch ng minh r ng  2 x  +  2 y  ≥  x  +  y  +  x + y  ∀x, y ∈ R         y =  y  + { y} ; 0 ≤ { y} < 1. Khi ó t x =  x  + { x} ; 0 ≤ { x} < 1 ,   L i gi i:  2 x  +  2 y  = 2  x  +  2 { x} + 2  y  +  2 { y}        Và  x + y  =  x  +  y  + { x} + { y}        2 { x} +  2 { y} ≥ { x} + { y} Ta ph i CM     Vì 0 ≤ { x} + { y} < 2 nên có th x y ra 2 trư ng h p sau: * N u 0 ≤ { x} + { y} < 1 thì v ph i b ng 0, do ó b t ng th c hi n nhiên úng. * N u 1 ≤ { x} + { y} < 2 khi ó ph i có ít nh t m t trong hai s { x} ho c { y} l n hơn 1 1 { x} ≥ ho c b ng . Gi s , v y: 2 2  2 { x} +  2 { y} ≥ 1 +  2 { y} ≥ 1 = { x} + { y}        Ex1.2 Ch ng minh r ng, v i n là s nguyên dương b t kì ta có 1  3 1  n + = n− +    2  4 2  3 1  1 t k = n +  ; m= n− +  L i gi i:  2 4 2  1 1 1 1 1 2 2 Ta có < k +1 ⇔ k − ≤ n < k + ⇔ k − k + ≤ n < k + k + k≤ n+ 2 2 4 4 2 Vì n nguyên dương nên ph i có k − k + 1 ≤ n ≤ k + k 2 2 1 3 1 31 2 2 Tương t m ≤ n − + < m + 1 ⇔ m − m + ≤ n − < m + m + 4 4 4 42 ⇔ m2 − m + 1 ≤ n ≤ m2 + m Do ó ph i có k = m . pcm Ex1.3 Gi i phương trình  x  x   = 1    L i gi i: Ta có 1 ≤ x  x  < 2  x ≥ 2 ⇒  x  ≥ 2 ⇒ x  x  ≥ 4 ⇒ Pt vô nghi m •   • 1 ≤ x < 2 ⇒  x  = 1 ⇒ 1 ≤ x  x  < 2 ⇒ Pt nghi m úng  
65PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 • 0 ≤ x < 1 ⇒  x  = 0 ⇒ x  x  = 0 ⇒ Pt vô nghi m   • − 1 < x < 0 ⇒  x  = −1 ⇒ x  x  = − x < 1 ⇒ Pt vô nghi m   x = −1 ⇒  x  = −1 ⇒ x  x  = 1 ⇒ Pt nghi m úng •   x < −1 ⇒  x  ≤ −2 ⇒ x  x  > 2 ⇒ Pt vô nghi m •   V y nghi m c a phương trình là x ∈ {−1} ∪ [1, 2 ) Ex1.4 Gi i phương trình 3 x 2 − 10  x  + 3 = 0  ( 3x − 1) ( x − 3) = 3x 2 − 10 x + 3 ≤ 3x 2 − 10  x  + 3 = 0 L i gi i: Ta có  1 ⇒ ≤ x ≤ 3 ⇒ 1 ≤  x ≤ 3  3 Thay t ng giá tr  x  = 1, 2,3 vào pt, gi i ra ta ư c các nghi m là  7 17 x1 = x2 = x3 = 3 ; ; 3 3 Ex1.5 V i n nguyên dương cho trư c, phương trình x + 2 y = n Có bao nhiêu nghi m nguyên dương? (perfectstrong VMF) L i gi i: Ta có 2 y = n − x ≤ n − 1 Tương ng v i m i giá tr c a y ta có x = n − 2 y chính là 1 nghi m c a pt. S nghi m phương trình chính là s các giá tr có th có c a y, là s các b i c a 2 mà không vư t quá n-1. Là  n − 1  nghi m nguyên dương 2   1 2 n ∈ N . Ch ng minh r ng { A} ≤ Bt1.6 Cho A = 4n + n (Romania-2003) 4 Bt1.7 Ch ng minh r ng 5 x  + 5 y  ≥ 3 x + y  +  x + 3 y     ó ch ng minh ( 5m )!( 5n )! chia h t cho m!n !( 3m + n )!( 3n + m )! T k t qu (USA-1975) Bt1.8 Tìm s t nhiên n nh nh t sao cho n! t n cùng b ng 290 ch s 0 (HMMT-2003)
75PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 5. nh lý Hermite V i n nguyên dương, x là s th c b t kỳ, ta có:  1  n − 1  nx  =  x  +  x +  + ... +  x +    n  n   Ch ng minh:  1  n − 1 Xét hàm f ( x ) =  x  +  x + −  nx  + ... +  x +   n n     Ta có: 1 n − 1   1   1  1  f  x +  =  x +  + ... +  x + +  − n  x + n   n  n  n   n  1  n − 1 +  x + 1 −  nx + 1 =  x +  + ... +  x +    n  n   = f ( x) 1 1 Do ó f ( x ) là hàm tu n hoàn v i chu kỳ . Trên kho ng chu kỳ 0 ≤ x < thì t t c n n các s h ng:  1  n − 1  x  ,  x +  ,...,  x + ,  nx  u b ng 0   n  n   ó f ( x ) = 0, ∀x ∈ R T pcm x +i ∑ j Tính t ng Ex1.9 0≤ i < j ≤ n   L i gi i:  x +i x +i n n ∑ ∑∑ ∑  x = n  x   j  = Ta có (Theo nh lý Hermite)  j =     0≤ i < j ≤ n   j =1  0≤i < j   j =1   3k + 2010   2010 − 3k   2009 ∑ Tính t ng S =   + Bt1.10 3k +1   3k +1   k =0      x + 2k  ∞ ∑  k +1  =  x  Ch ng minh r ng  Bt1.11 k =0  2 
85PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 VN II: DÃY S & T NG PH N NGUYÊN Ex2.1 {U n } là dãy s “Th t tăng d n c a các s t nhiên l không chia h t cho 3” ∞ {U n }1 = {1,5,7,11,13,17,19,23,25,...} Tìm s h ng t ng quát c a dãy s trên. L i gi i: Xét theo s dư thì t t c các s t nhiên không chia h t cho 3 u có d n g 3 p − 1 ho c 3 p + 1 , ây là 2 s ch n ho c 2 s l liên ti p tùy theo p l hãy ch n. Khi p ch n p = 2k , thì hai s có d ng 6k − 1 và 6k + 1 là 2 s l . T t c các s d ng này chính là các s h ng c a dãy c n tìm. X p theo th t tăng d n ta s có: và U 2 k +1 = 6k + 1 U 2 k = 6k − 1 r = {0,1} , ta có: Như v y v i n = 2k + r , n U n = 6   + {−1,1} 2 n = 6   + 2{0,1} − 1 2 n = 6   + 2r − 1 2  n n = 6   + 2 n − 2    −1 2 2  n U n = 2n + 2   − 1 ☺ 2 Ex2.2 {U n } Là dãy s : “Th t tăng d n c a các s t nhiên không chính phương” ∞ {U n }1 : {2,3,5,6,7,8,10,...} Tìm s h ng t ng quát c a dãy s trên. ∞ {Dn }1 : {1, 2,3,4,5,...} ( Dn = n ) L i gi i: Xét dãy s t nhiên D th y U n = Dn + k . ó k là s các s chính phương nh hơn U n (b lo i i t dãy{ Dn } )
95PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 2 Như v y U n ph i n m gi a 2 s chính phương liên ti p: k 2 + 1 ≤ U n ≤ ( k + 1) − 1 Trên m i o n i + 1; ( i + 1) − 1 (gi a 2 s chính phương liên ti p) có 2i s t nhiên. 2 2   m các s h ng c a dãy {U n } có giá tr nh hơn k ta có 2 k −1 ∑ 2i = k 2 − k s h ng. Như v y ch s n s ph i th a mãn i =1 k2 − k +1≤ n ≤ k2 + k 11 31 hay n+ − ≤k ≤ n− + 42 42 31 11 31 n− + −1< n + − ≤ k ≤ n − + vì 42 42 42  3 1  1 nên k =  n − +  hay k =  n +  (Theo Ex1.2 )  2 4 2   1 Cu i cùng ta có: U n = n + k = n +  n+ 2   n ∑ k Ex2.3 Tính t ng S n =   k =1 L i gi i: t m =  n  suy ra m ≤ n < ( m + 1) 2 2   Xét các s h ng c a S n trên m i o n i 2 ≤ k ≤ i 2 + 2i có 2i + 1 s h ng, các s h ng này u có giá tr là i . Như v y ta có:  i + 2i  2 m −1 n n ∑ ∑∑ ∑  k=  k  +  k  Sn =   2    i =1  k =i  k =m 2 k =1 m −1 n ∑ ∑ k i ( 2i + 1) + =   2 i =1 k =m m ( m − 1) ( 2m − 1) m ( m − 1) + ( n + 1 − m2 ) m = + 3 2 m ( m − 1) ( 2m + 5 ) = nm − 6 n ∑ 1 Tính t ng S n = k+  Bt2.4   2 k =1
105PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 Bt2.5 Tính t ng n ∑ 2 k , Sn =    1 k =1 nh lý Hermite  x  +  x + = 2 x  ) ( ý n m t trư ng h p riêng   2   ∞ Bt2.6 Cho dãy {U n }1 : {1, 2, 2, 2,3,3,3,3,3, 4, 4,4, 4,4, 4, 4,5,...} ư c xác nh b ng quy lu t : 1 s 1; 3 s 2; 5 s 3;…; 2k-1 s k;… Tìm s h ng t ng quát c a dãy trên. 1. NH LÝ BEATTY 1 1 α , β là các s vô t dương sao cho = 1 . Khi ó 2 t p (2 dãy) + α β ∞ ∞ { An }1 = {α  ,  2α  , 3α  ,...}; {Bn }1 = { β  ,  2 β  , 3β  ,...};         l p thành 2 “phân ho ch” c a t p các s nguyên dương N* ∞ ∞ ∞ ∞ { An }1 ∪ {Bn }1 (nghĩa là: { An } ∩ { Bn } = ∅ và = N* ) 1 1 Ch ng minh: ∞ ∞ Trư c tiên ta ch ng minh tính tách r i gi a { An }1 và { Bn }1 Th t v y, gi s t n t i các ch s i, j sao cho Ai = B j ⇔ iα  =  j β  = k . Khi ó b i vì  hai s iα và j β u là các s vô t nên: k < iα < k + 1 và k < j β < k + 1 1i 1j i j hay < < và n + 1 ( j + 1) β > n + 1 và j β < n; iα < n;
115PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 i 1 i +1 j 1 j +1 hay và
125PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 NH LÝ 2: Cho m, n, s là các s nguyên dương m ≤ n . Khi ó:  ms   ( m, n ) s  s ∑ n  + ∑  kn  km (2) ( m, n ) = ucln ( m, n )  m  = s n  +  n    ms      k =1 1≤ k ≤ n Ch ng minh: D a vào b ơn gi n sau ây:  ( m, n ) s  1m 2m sm Trong dãy có úng   s nguyên , ,..., nn n n  Th t v y, ta có m = m1 ( m, n ) , n = n1 ( m, n ) . v i ( m1 , n1 ) = 1 .Dãy trên tr thành ,..., 1 Do ( m1 , n1 ) = 1 nên s các s nguyên trong dãy là  s  =  ( m, n ) s  1m1 2m1 sm ,   n1 n1 n1  n1   n   m ms  m n x ⇒ f −1 ( x ) = x f : [1, s ] →  ,  , f ( x)= Xét hàm n n  n m Theo nh lý 1 ta có s ∑ n  + ∑  kn   ms  km  m  − n (G f ) = s  n  − 0   ms    k =1 1≤ k ≤ n  m, n s  ( ) ( n)  Theo b trên thì n G f =    T ó suy ra pcm H qu : Trư ng h p c bi t khi s = n , ta có n m  km  ∑  m  = mn + ( m, n ) kn ∑ ( 3)  n +  k =1    k =1 NH LÝ 3: Cho a, c là các s th c dương f : [ a, b ] → [c, d ] là hàm ơn i u gi m và kh ngh ch. Gi s ∑  f ( k ) − ∑  f Khi ó ta có: ( k )  = b  α ( c ) −  d  α ( a ) ( 4 ) −1       a ≤ k ≤b c≤k ≤d   x  α ( x ) là hàm ư c xác nh như trong nh lý 1 α ( x ) =  x  −     ; ∀x ∈ R + Trong ó  x Ch ng minh: Tương t nh lý 1 ∑  f ( k ) ∑ f ( k ) Ta cũng có: n ( M 1) = n ( M 2) = −1 và     a ≤ k ≤b c ≤k ≤ d
135PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 T hình minh h a ta th y ngay ư c hi u n ( M 1) − n ( M 2 ) chính là hi u các i m nguyên dương c a h.c.n abBI và cdAI. y = f ( x) Hay là b ng n ( 0bBc ) − n ( 0aAd ) = b  α ( c ) −  d  α ( a ) ( pcm)   (Hình II.2.3) n ∑ n  km (m ≤ n) Ex2.7 Tính  k =1  m m L i gi i: Xét hàm f : [1, n ] → 1, m + 1 − f ( x) = m + 1 − x là hàm ơn i u gi m , n   n n Có hàm ngư c là f −1 ( x ) = n + (1 − x ) m Theo nh lý 3, ta có  (1 − k ) n  = nα 1 −  m + 1 − m  α 1 n  km  ∑ ∑ ()  () m + 1 − n  − n+   n k =1   1≤k ≤m +1− m   m  n  (1 − k ) n  = 0 n m  km  ∑ m + 1 − ∑ ⇔ − n +  n  k =1    m k =1  ( k − 1) m  m  kn  n ∑ ∑ ( o chi u bi n ch y) ⇔ 1 + −  =0  k =1  m  n k =1  n m  km   kn  ∑ ∑ ⇔n−m+  n − m=0 k =1   k =1   n m  km  ∑  m  = mn + ( m, n ) kn ∑  n + Theo (3) ta có:  k =1    k =1 T ó suy ra: n ∑  n  = 2 ( mn + m − n + ( m, n ) ) 1 km   k =1 n −1 ∑  n  = 2 ( mn − m − n + ( m, n ) ) 1 km K t qu trên có th vi t dư i d ng   k =1 c bi t hơn n a khi ( m, n ) = 1  km  ( m − 1) ( n − 1) n −1 ∑  = k =1  n  2
145PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 Ex2.8 n ∑ k  (KMO-1997) Tính   k =1 L i gi i: Xét hàm f : [1, n ] → 1, n  , f ( x ) = x , ây là hàm ơn i u tăng và   Có hàm ngư c là f ( x ) = x .Theo nh lý 1, ta có −1 2  n  n ∑ ∑ k k+  − n (G f ) = n  n  2      k =1 k =1 M t khác  n  = a là s i m nguyên dương c a th hàm s trên. Do ó   a ( a + 1) ( 2a + 1) n a ∑ ∑  k  = ( n + 1) a − k 2 = ( n + 1) a −  6 k =1 k =1 (Chú ý: so sánh v i Ex 2.3) Ch ng minh r ng Ex2.9 n2  n2  n n ∑ ∑ k2  = k   k =1   k =1 L i gi i: n2 Xét hàm f : [1, n ] → 1, n  , f ( x ) = 2 , là hàm ơn i u gi m, 2   x n có hàm ngư c là f ( x ) = −1 x Theo nh lý 3 ta có: n2  n2  n n ∑ ∑  =  n  α (1) −  n  α (1) = 0 2  2−    k k =1  k  k =1 T ó ta có pcm. n ∑3 k Ex2.10 Tính   k =1 L i gi i:  n x Xét hàm f : [3, n ] → 1,  , f ( x ) = , là hàm ơn i u tăng,  3 3 có hàm ngư c là f ( x ) = 3 x −1 n k  n n ∑ ∑ Theo nh lý 1 ta có 3k  −   =  n    − α ( 3 )α (1) +    k =3  3  3 3 1≤ k ≤ n 3
155PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 n Suy ra: 3 n n ∑  3  = ∑  3  = ( n + 1)  3  − ∑ 3k k k n       k =1 k =3 k =1 3nn  n ∑  3  = ( n + 1)  3  − 2  3    3  + 1 k n ⇒           k =1 2 n k   1 n 3 n ∑ ⇒ 3 = n − 2 3 − 2 3 k =1        k 2 − 3k + 2  n ∑ Bt2.11 Tính   5 k =1   n −1 ∑ n  km  Bt2.12 Tính (Japan MO-1995)  k =1 Bt2.13 Cho λ là m t s vô t , n là m t s nguyên dương. Ch ng minh r ng: kλ   n ∑ k λ  + ∑  λ  = n nλ  k     k =1 k =1 n( n +1)  8k + 1 − 1  2 ∑ Bt2.14 Tính  2   k =1 NH LÝ 4: Cho p là m t s nguyên t l , q là s nguyên không chia h t cho p. Gi s hàm f : N* → R th a mãn ng th i các i u ki n sau: f (k ) • không là s nguyên, v i m i k = 1,2,..., p − 1 p • • f ( k ) + f ( p − k ) là s nguyên chia h t cho p, v i m i k = 1,2,..., p − 1 Khi ó ta có:  q p −1 p −1 p −1 q ∑ ∑ p f (k ) −  f (k ) p  = k =1   2 k =1 Ch ng minh: qf ( k ) qf ( p − k ) qf ( k ) qf ( p − k ) Ta có ∈ Z . Và ∉ Z v i m i k = 1,2,..., p − 1 + ∉ Z; p p p p
165PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010  qf ( k )   qf ( p − k )  Do v y, t tính ch t ph n l , 0 ≤  + 
175PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 3 M t khác f ( x ) + f ( p − x ) = x 3 + ( p − x ) = p 3 − 3 p 2 x + 3 px 2 p Do ó theo nh lý 4, ta có 2  k3  k 3 p − 1 1 ( p − 1) p p − 1 ( p − 1) ( p + 1) ( p − 2 ) p −1 p −1 2 ∑ ∑  = − = − = k =1  p  2 4 2 4 p p k =1 Cho p là s nguyên t l Ex2.17 ( p −1)( p − 2 ) Tính t ng: ∑  3 kp  S=   k =1 L i gi i: Xét hàm f : 1, ( p − 1)( p − 2 )  →  3 p , 3 p ( p − 1)( p − 2 )  , f ( x) = px 3    f ( x ) là hàm ơn i u tăng, x3 có hàm ngư c là f ( x ) = −1 . Theo nh lý 1 ta có: p ( p −1)( p − 2) k3  ∑ ∑  3 kp  +  p  − n (G f ) =  3 p ≤ k ≤ 3 p ( p −1)( p − 2 )   k =1 ( p) = ( p − 1)( p − 2 )  3 p ( p − 1)( p − 2 )  − α (1)α 3   ý là  3 p ( p − 1)( p − 2 )  = ( p − 2 )   3 Do k không chia h t cho p v i m i k = 1,2,..., p − 1, nên ()( ) s i m nguyên dương c a t h n G f = n G f −1 = 0 k  3 V i k< p thì   = 0 3  p ( p −1)( p −2 ) k3  p −2 ∑ ∑  3 kp  + 2 = ( p − 1)( p − 2 ) Do ó ta có    k =1  p  k =1  ( p − 1)3  ( p −1)( p − 2 ) k3  p −1 ∑ ∑  3 kp  = p − 1 2 ( )( p − 2 ) +  − ⇔   k =1  p  p    k =1 Theo k t qu c a Ex2.16, ph n trên: ta có
185PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 ( p −1)( p − 2 )  3 kp  = ( p − 1)( p − 2 )2 + ( p − 1)( p − 2 ) − ( p − 1) ( p + 1) ( p − 2 ) ∑ ⇔   4 k =1 ( p −1)( p − 2 )  3 kp  = ( p − 1) ( p − 2 ) ( 3 p − 5 ) ∑ ⇔   4 k =1 Bt2.18 Cho m,n là các s nguyên dương n ∑ k  m Tính S=   k =1 Bt2.19 Cho p là s nguyên t l ; q là s nguyên không chia h t cho p. q  ( p − 1) ( q − 1)  p −1 ∑ Ch ng minh r ng k ( −1) k 2  =  k =1  p 2 Bt2.20 Cho p là s nguyên t l . k p − k ( p + 1) p −1 Ch ng minh r ng ∑ ( mod p ) ≡ 2 p k =1 Bt2.21 Cho p và q là 2 s l p −1 q −1  kq   kp  2 2 ∑ ∑ Tính giá tr bi u th c S =  +  k =1  p  k =1  q  Bt2.22 Cho s nguyên n ≥ 2 n  2  n +1− 2 m   n−m  ∑∑ Tính S=  k + m − 1   m =1 k =1
195PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 VN III – G P CÁC CÔNG TH C THEO PH N DƯ Trong m t s bài toán liên quan n dãy s như tìm công th c t ng quát m t dãy truy h i, tính t ng các s h ng, tính chia h t c a m t nhóm s h ng. ôi khi gi i quy t bài toán l i òi h i ta ph i chia ra r t nhi u trư ng h p (ch n l ch ng h n) m i trư ng h p l i cho ta m t k t qu khác nhau? S khác nhau gi a các công th c tìm ư c y là gì? Ph i chăng có th bi u di n chúng dư i 1 d ng duy nh t? ó là n i dung c a v n ta nghiên c u sau ây: - Phép chia s nguyên n cho s t nhiên k n = pk + r , 0 ≤ r ≤ k − 1 Ta có thương là p, còn r là ph n dư, r l y các giá tr t 0 n k – 1. Theo tính ch t c a ph n nguyên ta có  n   pk + r   r n  k  =  k  =  p + k  = p , và như v y ph n dư r = n − k  k       r = {0,1,..., k − 1} xem như m t t p h p k Thay vì xét n k s dư t 0 n k – 1. Ta vi t giá tr tương ng v i k trư ng h p c a s dư r. Các phép tính toán h c i v i t p giá tr này, ư c hi u theo lu t phân ph i: 0 = {0,...,0}k so 0 1 = {1,...,1}k so 1 x ⊕ {a1 ,..., ak } = { x ⊕ a1 ,..., x ⊕ ak } {a1,..., ak } ⊕ {b1,..., bk } = {a1 ⊕ b1,..., ak ⊕ bk } Trong ó x là s nguyên ⊕ là phép toán b t kỳ Ta có m t s các k t qu liên quan sau:  r + 1   {1,2,..., k }   = {0,0,...,1} (k - 1 s 0; 1 s 1 cu i)  k =   k   r + 2   {2,3,..., k , k + 1}   = {0,0,...,1,1} (k – 2 s 0; 2 s 1 cu i)  k =   k  …