Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 1): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:132

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 1)" phần 1 trình bày các nội dung chính sau: Số phức; Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác; Đa thức hàm hữu tỷ; Cách phép toán tuyến tính trên ma trận; Phương pháp tính định thức; Hạng của ma trận;... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 1): Phần 1

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA BAI ˆ. P ´ CAO CA TOAN ˆ´P Tˆa.p 1 Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch ˆ´T BA ` XUA NHA ˆ´C GIA HA ’ N DAI HOC QUO ` NO ˆI . . . H` a Nˆ o.i – 2006 http://tieulun.hopto.org
Mu.c lu.c o.i n´ L` `au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oi dˆ 4 1 Sˆ u.c o´ ph´ 6 1.1 D - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Biˆe’u diˆ˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen . . . . . . . . 13 1.4 Biˆe’u diˆ u.c du.´o.i da.ng lu.o..ng gi´ac ˜e n sˆo´ ph´ . . . . . . . . 23 2 D u.c v` - a th´ a h`am h˜ u.u ty’ 44 2.1 D u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . - a th´ . . . . . . . . . 44 2.1.1 D u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´ - a th´ u.c C . . . . . . . . . 45 2.1.2 D u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu..c R - a th´ . . . . . . . . . 46 2.2 Phˆan th´ u.c h˜ u.u ty’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c 66 3.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 D - i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n . . . . . 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . 72 - .inh th´ 3.2 D u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.2 D u.c . . . . . . . . . . . - i.nh th´ . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´ u.c . . . . . . . . . . . . . 88 http://tieulun.hopto.org
2 MU . C LU .C 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´ u.c . . . . . . . . . . . 89 3.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 D - i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . 109 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1 D - i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . 119 4 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆ e´n t´ınh 132 4.1 Hˆe. n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´u.c kh´ac 0. . . . 132 4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe. t` ´ c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . uy y . . . . . . . . 143 4.3 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ `an nhˆa´t . . . . . . . . . 165 n 5 Khˆong gian Euclide R 177 - i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ 5.1 D `eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co. ba’n vˆ`e vecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2 Co. so’.. D - ˆo’i co. so’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.3 Khˆong gian vecto. Euclid. Co. so’. tru..c chuˆa’n . . . . . . 201 5.4 Ph´ep biˆe´n d ˆo’i tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.1 D - .inh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.4 Vecto. riˆeng v`a gi´a tri. riˆeng . . . . . . . . . . . . 216 6 Da.ng to`an phu.o.ng v` ´.ng du.ng d ˆ au e’ nhˆa.n da.ng du.` o.ng v` a m˘a.t bˆ a.c hai 236 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241 http://tieulun.hopto.org
MU . C LU .C 3 6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru..c giao . . . . . . . . . 244 6.2 - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t D `e da.ng ch´ınh t˘´ac . . . . . . . . . . . . . . . . 263 bˆa.c hai vˆ http://tieulun.hopto.org
o.i n´ L` `au oi dˆ Gi´ao tr`ınh B` ai tˆa.p to´ an cao cˆ a´p n`ay du.o..c biˆen soa.n theo Chu.o.ng tr`ınh To´an cao cˆ a´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu.. nhiˆen cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o..c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong qua v`a ban h`anh. Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´ up d˜o. sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu.. nhiˆen n˘a´m v˜ u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o..c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao cˆa´p. Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo. cˆa´u tr´ uc cu’a gi´ao tr`ınh. Trong mˆo˜ i mu.c, dˆ `au tiˆen ch´ ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜ u.ng co. so’. l´ y thuyˆe´t v`a liˆe.t kˆe nh˜ . u ng cˆong th´ . u c cˆ `an thiˆe´t. Tiˆe´p d´o, trong phˆ `an C´ ac v´ı du. ch´ ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜ u b˘a`ng c´ach vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´ u.c l´ y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay. Sau c` ung, l`a phˆ `an B`ai ’. . . . . `e tˆa.p. O dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du o. c gˆo.p th`anh t` u ng nh´om theo t` u ng chu’ dˆ v`a du.o..c s˘´ap xˆe´p theo th´ u. tu.. t˘ang dˆ `an vˆ`e dˆo. kh´o v`a mˆ˜o i nh´om dˆ `eu c´o nh˜ u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ `e phu.o.ng ph´ap gia’i. Ch´ ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.c . . l`am quen v´o i l`o i gia’i chi tiˆe´t trong phˆ `an C´ up ngu.`o.i ho.c ac v´ı du. s˜e gi´ n˘a´m du.o..c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co. ba’n. Gi´ao tr`ınh B` ai tˆ a.p n`ay c´o thˆe’ su’. du.ng du.´o.i su.. hu.´o.ng dˆ˜a n cu’a gi´ao viˆen ho˘a.c tu.. m`ınh nghiˆen c´ u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆ `eu c´o d´ap sˆo´, mˆo.t . . sˆo´ c´o chı’ dˆa˜ n v`a tru ´o c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆ `an C´ac v´ı du. tr`ınh b`ay nh˜ u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ `e m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an. T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆ`ay gi´ao: TS. Lˆe D`ınh Ph` ung v`a PGS. TS. Nguyˆ ˜e n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜ y ba’n tha’o v`a d´ong http://tieulun.hopto.org
Co. so’. l´ u.c y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´ 5 g´op nhiˆ ´ kiˆe´n qu´ `eu y y b´au vˆ`e cˆa´u tr´ uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op y ´ cho t´ac `e nh˜ gia’ vˆ . u ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh. M´o.i xuˆa´t ba’n lˆ `an dˆ `au, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot. Ch´ ung tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o..c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜ u.ng thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o..c ho`an thiˆe.n ho.n. H` a Nˆ o.i, M` ua thu 2004 T´ac gia’ http://tieulun.hopto.org
Chu.o.ng 1 u.c o´ ph´ Sˆ 1.1 - i.nh ngh˜ıa sˆ D u.c . . . . . . . . . . . . . . o´ ph´ 6 1.2 o´ cu’a sˆ Da.ng d a.i sˆ u.c . . . . . . . . . . . o´ ph´ 8 1.3 e’u diˆ Biˆ ˜ e n h`ınh ho.c. Mˆ od un v`a acgumen . 13 1.4 e’u diˆ Biˆ ˜ u.c du.´ o´ ph´ e n sˆ o.i da.ng lu.o..ng gi´ ac . 23 1.1 - i.nh ngh˜ıa sˆ D u.c o´ ph´ Mˆo˜ i c˘a.p sˆo´ thu..c c´o th´ u. tu.. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o..c go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho..p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe. b˘`ang nhau, ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o..c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe. b˘a`ng nhau  a = a , 1 2 (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2. (II) Ph´ep cˆo.ng http://tieulun.hopto.org
1.1. D u.c - .inh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 7 def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´ep nhˆan def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ). Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´ u.c du.o..c k´ y hiˆe.u l`a C. Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan (III) trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho..p, liˆen hˆe. v´o.i nhau bo’.i luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆ `an tu’. 6= (0, 0) dˆ`eu c´o phˆ `an tu’. nghi.ch da’o. Tˆa.p ho..p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´ u.c) v´o.i phˆ `an . tu’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆ . . ´ du.ng quy `an tu’ do n vi. l`a c˘a.p (1; 0). Ap t˘´ac (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe´u k´ y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). T` u. d´o vˆ`e m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t v´o.i sˆo´ thu..c R: v`ı ch´ ung du.o..c cˆo.ng v`a nhˆan nhu. nh˜ u.ng sˆo´ thu..c. Do vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆ`ong nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu..c a: (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R. D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´ u.c z = (a, b): 1+ Sˆo´ thu..c a du.o..c go.i l`a phˆ `an thu..c a = Re z, sˆo´ thu..c b go.i l`a phˆ `an a’o v`a k´ y hiˆe.u l`a b = Im z. 2+ Sˆo´ ph´ u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´ u.c liˆen ho..p v´o.i sˆo´ ph´ u.c z 1 def. l` ach viˆe´t t˘ a c´ u. tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa) ´t cu’a t` a http://tieulun.hopto.org
8 Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´ u.c 1.2 o´ cu’a sˆ Da.ng da.i sˆ u.c o´ ph´ u.c z = (a; b) ∈ C dˆ Mo.i sˆo´ ph´ `eu c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng z = a + ib. (1.1) Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib Biˆe’u th´u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c z = (a, b). T`u. (1.1) v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c liˆen ho..p ta c´o z = a − ib. Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho..p sˆo´ ph´ u.c du.o..c thu..c hiˆe.n theo c´ac quy t˘´ac sau. Gia’ su’. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´o (I) Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ). (II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ). z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1 (III) Ph´ep chia: = 2 2 +i 2 · z1 a1 + b1 a1 + b21 ´ V´I DU CAC . u. d´o ch´ V´ı du. 1. 1+ T´ınh in . T` u.ng minh r˘`ang a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1. 2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u: a) (1 + i)n = (1 − i)n ; 1 + i n 1 − i n b) √ + √ = 0. 2 2 Gia’i. 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a gi´a tri. l˜ uy th`u.a b˘a´t dˆ `au l˘a.p la.i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia’ su’. n ∈ Z v`a n = 4k + r, r ∈ Z, 0 6 r 6 3. Khi d´o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir http://tieulun.hopto.org
u.c 1.2. Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ 9 u. d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o (v`ı i4 = i). T`    1 nˆe´u n = 4k,    i nˆe´u n = 4k + 1, in = (1.2)  −1 nˆe´u n = 4k + 2,     −i nˆe´u n = 4k + 3. u. (1.2) dˆ T` ˜e d`ang suy ra a) v`a b). 2+ a) T`u. hˆe. th´ u.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra 1 + i n = 1. 1−i 1+i 1 + i n . Nhu ng = i nˆen = in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z. 1−i 1 − i 1 + i n 1 − i n 1 + i n b) T`u. d˘a’ng th´ u.c √ + √ = 0 suy r˘`ang = −1 2 2 1−i v`a do d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z. N u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a 3 th`ı V´ı du. 2. Ch´ −1 + i√3 n −1 − i√3 n + =2 2 2 v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho 3 th`ı −1 + i√3 n −1 − i√3 n + = −1. 2 2 Gia’i. 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı h −1 + i√3 3im h −1 − i√3 3im S= + 2 √ 2 −1 + 3i 3 + 9 − 3i√3 m −1 − 3i√3 + 9 + 3i√3 m = + 8 8 m m = 1 + 1 = 2. http://tieulun.hopto.org
10 Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´ u.c 2+ Nˆe´u n = 3m + 1 th`ı h −1 + i√3 3im −1 + i√3 h −1 − i√3 3 im 1 − i√3 S= + 2 √ √ 2 2 2 −1 + i 3 −1 − i 3 = + = −1. 2 2 Tu.o.ng tu.. nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜ ung c´o S = −1. N V´ı du. 3. T´ınh biˆe’u th´u.c 1 + i h 1 + i 2 ih 1 + i 22 i h 1 + i 2n i σ = 1+ 1+ 1+ ··· 1 + . 2 2 2 2 1+i u.c d˜a cho v´o.i 1 − Gia’i. Nhˆan v`a chia biˆe’u th´ ta c´o 2 h 1 + i i2n 2 h 1 + i i2n+1 1− 1− σ= 2 = 2 · 1+i 1+i 1− 1− 2 2 `an t´ınh Ta cˆ 1 + i 2n+1 h 1 + i 2 i2n i 2n n i2 1 = = = 2n = 2n · 2 2 2 2 2 Do d´o 1 1 1− 2 1 − σ= 22n = 22n × 1 + i 1+i 1−i 1+i 1− 2 1 = 1 − 2n (1 + i) N 2 √ V´ı du. 4. Biˆe’u diˆ u.c 4 − 3i du.´o.i da.ng da.i sˆo´. ˜e n sˆo´ ph´ Gia’i. Theo di.nh ngh˜ıa ta cˆ u.c w sao cho w2 = 4 − 3i. `an t`ım sˆo´ ph´ Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi. http://tieulun.hopto.org
u.c 1.2. Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ 11 u. d´o T` a2 − b2 = 4, (1.3) 2ab = −3. (1.4) 3 u. (1.4) ta c´o b = − . Thˆe´ v`ao (1.3) ta thu du.o..c T` 2a 4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2 √ " 8 + 100 8 + 10 18 9 u1 = = = = , ⇐⇒ 4 4 4 2 √ 8 − 100 8 − 10 1 u2 = = =− · 4 4 2 9 V`ı a ∈ R nˆen u > 0 ⇒ u = v`a do vˆa.y 2 3 1 a = ±√ ⇒ b = ∓√ · 2 2 u. d´o ta thu du.o..c T` 3 1 w1,2 = ± √ − √ i N 2 2 V´ı du. 5. Biˆe’u diˆ ˜e n sˆo´ ph´u.c √ √ 5 + 12i − 5 − 12i z=√ √ 5 + 12i + 5 − 12i √ √ v´o.i diˆ `eu kiˆe.n l`a c´ac phˆ `an thu..c cu’a 5 + 12i v`a 5 − 12i dˆ `eu ˆam. . . ´ du.ng phu o ng ph´ap gia’i trong v´ı du. 4 ta c´o Gia’i. Ap √ 5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi  x2 − y 2 = 5, ⇐⇒ 2xy = 12. http://tieulun.hopto.org
12 Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´ u.c `eu kiˆe.n, phˆ Hˆe. n`ay c´o hai nghiˆe.m l`a (3; 2) v`a (−3; −2). Theo diˆ `an . √ √ . . . thu. c cu’a 5 + 12i ˆam nˆen ta c´o 5 + 12i = −3 − 2i. Tu o ng tu. ta √ t`ım du.o..c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆa.y −3 − 2i − (−3 + 2i) 2 z= = i N −3 − 2i + (−3 + 2i) 3 z−1 V´ı du. 6. Gia’ su’. z = a + ib, z = ±1. Ch´ u.ng minh r˘`ang w = l`a z+1 `an a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 = 1. sˆo´ thuˆ Gia’i. Ta c´o (a − 1) + ib a2 + b2 − 1 2b w= = 2 2 +i · (a + 1) + ib (a + 1) + b (a + 1)2 + b2 u. d´o suy r˘`ang w thuˆ T` `an a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 − 1 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1. N (a + 1)2 + b2 ` TA BAI ˆP . T´ınh (1 + i)8 − 1 15 1. · (DS. ) (1 − i)8 + 1 17 (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 11 2. · (DS. − i) (2 − i)2 − (2 + i)2 4 (3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) 14 3. − · (DS. − ) 2+i 2−i 5 1 − i h 1 − i 2ih 1 − i 2 i h 2 1 − i 2n i 4. 1+ √ 1+ √ 1+ √ ··· 1 + √ . 2 2 2 2 (DS. 0) ˜ Chı’ dˆ ´ du.ng c´ach gia’i v´ı du. 3. a n. Ap u.ng minh r˘a`ng 5. Ch´ z z1 1 a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c) = ; z2 z2 http://tieulun.hopto.org
1.3. Biˆe’u diˆ ˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen 13 n d) z n = (z) ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z. 6. V´o.i gi´a tri. thu..c n`ao cu’a x v`a y th`ı c´ac c˘a.p sˆo´ sau dˆay l`a c´ac c˘a.p sˆo´ ph´u.c liˆen ho..p: 1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v`a −y 2 + 2y + 11 − 4i; 2) x + y 2 + 1 + 4i v`a ixy 2 + iy 2 − 3 ? (DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5) 7. Ch´ u.ng minh r˘a`ng z1 v`a z2 l`a nh˜ u.ng sˆo´ ph´ u.c liˆen ho..p khi v`a chı’ u.ng sˆo´ thu..c. khi z1 + z2 v`a z1z2 l`a nh˜ 8. T´ınh: √ 1) −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i)) √ 2) 24 + 10i. (DS. ±(5 + i)) √ 3) 24 − 10i. (DS. ±(5 − i)) p √ p √ √ √ 4) 1 + i 3 + 1 − i 3. (DS. ± 6, ±i 2) u.ng minh r˘`ang 9. Ch´ 1) 1 − C82 + C84 − C86 + C88 = 16; 2) 1 − C92 + C94 − C96 + C98 = 16; 3) C91 − C93 + C95 − C97 + C99 = 16. ˜ Chı’ dˆ ´ du.ng cˆong th´ a n. Ap u.c nhi. th´ u.c Newton dˆo´i v´o.i (1 + i)8 v`a (1 + i)9. 1.3 e’u diˆ Biˆ ˜ e n h`ınh ho.c. Mˆ odun v` a acgu- men Mˆo˜ i sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ d˘a.t tu.o.ng u ´.ng v´o.i diˆe’m M(a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo. v`a ngu.o..c la.i mˆo˜ i diˆe’m M (a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng dˆ `eu tu.o.ng u ´.ng v´o.i sˆo´ ph´ u.c z = a + ib. Ph´ep tu.o.ng u ´.ng du.o..c x´ac lˆa.p l`a do.n tri. mˆo.t - mˆo.t. Ph´ep tu.o.ng u ´.ng d´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo´ ph´ u.c nhu. l`a c´ ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo.. M˘a.t ph˘a’ng d´o du.o..c go.i l`a m˘a.t ph˘a’ng ph´ u.c. Tru.c ho`anh cu’a n´o du.o..c go.i l`a Tru.c thu..c, tru.c tung http://tieulun.hopto.org
14 Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´ u.c du.o..c go.i l`a Tru.c a’o. Thˆong thu.`o.ng sˆo´ ph´ u.c z = a + ib c´o thˆe’ xem −→ nhu. vecto. OM . Mˆo˜ i vecto. cu’a m˘a.t ph˘a’ng v´o.i diˆe’m dˆ `au O(0, 0) v`a diˆe’m cuˆo´i ta.i diˆe’m M(a; b) dˆ `eu tu.o.ng u ´.ng v´o.i sˆo´ ph´ u.c z = a + ib v`a ngu.o..c la.i. Su.. tu.o.ng u´.ng du.o..c x´ac lˆa.p gi˜ u.a tˆa.p ho..p sˆo´ ph´u.c C v´o.i tˆa.p ho..p c´ac diˆe’m hay c´ac vecto. m˘a.t ph˘a’ng cho ph´ep go.i c´ac sˆo´ ph´ u.c l`a diˆe’m hay vecto.. V´o.i ph´ep biˆe’u diˆ u.c, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a tr` ˜e n h`ınh ho.c sˆo´ ph´ u. c´ac sˆo´ ph´u.c du.o..c thu..c hiˆe.n theo quy t˘´ac cˆo.ng v`a tr`u. c´ac vecto.. Gia’ su’. z ∈ C. Khi d´o dˆo. d`ai cu’a vecto. tu.o.ng u ´.ng v´o.i sˆo´ ph´ u.c z du.o..c go.i l`a mˆ odun cu’a n´o. Nˆe´u z = a + ib th`ı √ √ r = |z| = a2 + b2 = z z. G´oc gi˜u.a hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu..c v`a vecto. z (du.o..c xem l`a g´oc du.o.ng nˆe´u n´o c´o di.nh hu.´o.ng ngu.o..c chiˆ `eu kim dˆ `ong hˆ`o) du.o..c go.i l`a acgumen cu’a sˆo´ z 6= 0. Dˆo´i v´o.i sˆo´ z = 0 acgumen khˆong x´ac di.nh. Kh´ac v´o.i mˆodun, acgumen cu’a sˆo´ ph´ u.c x´ac di.nh khˆong do.n tri., n´o x´ac di.nh v´o.i su.. sai kh´ac mˆo.t sˆo´ ha.ng bˆo.i nguyˆen cu’a 2π v`a Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z, trong d´o arg z l`a gi´ a tri. ch´ınh cu’a acgumen du.o..c x´ac di.nh bo’.i diˆ `eu kiˆe.n −π < arg z 6 π ho˘a.c 0 6 arg z < 2π. Phˆ`an thu..c v`a phˆ u.c z = a + ib du.o..c biˆe’u diˆ `an a’o cu’a sˆo´ ph´ ˜e n qua mˆodun v`a acgument cu’a n´o nhu. sau  a = r cos ϕ, y = r sin ϕ. http://tieulun.hopto.org
1.3. Biˆe’u diˆ ˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen 15 Nhu. vˆa.y, acgumen ϕ cu’a sˆo´ ph´ u.c c´o thˆe’ t`ım t` u. hˆe. phu.o.ng tr`ınh  a  cos ϕ = √ 2 , a + b2  b sin ϕ = √ · a2 + b2 CAC´ V´I DU . x − y 2 + 2xyi 2 V´ı du. 1. T`ım mˆodun cu’a sˆo´ z = √ p · xy 2 + i x4 + y 4 Gia’i. Ta c´o p (x2 − y 2 )2 + (2xy)2 x2 + y 2 |z| = q √ p = = 1. N 2 4 4 2 x2 + y 2 (xy 2) + ( x + y ) V´ı du. 2. Ch´ u.ng minh r˘a`ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆ `eu c´o: (i) |z1 + z2| 6 |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| 6 |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| > |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | > |z1| − |z2. Gia’i. (i) Ta c´o |z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ). V`ı −|z1z2 | 6 Re(z1 z 2) 6 |z1z2| nˆen |z1 + z2|2 6 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| 6 |z1| + |z2 |. (ii) V`ı |z2 | = | − z2| nˆen |z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|. ´ du.ng (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v`a thu du.o..c (iii) Ap |z1| 6 |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| > |z1| − |z2|. http://tieulun.hopto.org
16 Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´ u.c (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|. N Nhˆ a.n x´et. C´ac bˆa´t d˘a’ng th´ u.c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng