Mẫu đề thi giải tích 1 - ĐH Bách khoa - Đề 2

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

423
lượt xem 105
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mẫu đề thi giải tích 1 của trường ĐH Bách khoa đề số 2 gồm các bài tập kèm theo lời giải được trình bày chi tiết dễ hiểu, giúp các bạn ôn tập tốt toán giải tích. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mẫu đề thi giải tích 1 - ĐH Bách khoa - Đề 2

GI I M U Đ THI CU I KÌ GI I TÍCH 1 B n quy n thu c v Ngân Hàng Đ Thi ĐH Bách Khoa HCM https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm 1 Câu 1 Kh o sát và v đ th hàm s : y = x2 ln2 x 1.1 Hư ng d n gi i - T p xác đ nh c a hàm s : D = (0, +∞) - Đ o hàm c a hàm s : 1 y = 2xln2 x + x2 .2lnx. = 2xln2 x + 2xlnx = 2xlnx(lnx + 1) x 1 y = 0 ⇔ 2xlnx(lnx + 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = e - B ng bi n thiên: 1 x 0 e 1 +∞ y + 0 − 0 + 1 +∞ e2 y 0 0 - K t lu n: + Hàm s đ ng bi n trên: 0, 1 ∪ [1, +∞) e + Hàm s ngh ch bi n trên: 1 , 1 e + Hàm s đ t c c đ i t i x = 1 và yCĐ = e12 e + Hàm s đ t c c ti u t i x = 1 và yCT = 0 - Tìm đi m u n: y = 2xlnx(lnx + 1) = (2lnx + 2)(lnx + 1) + 2lnx = 2ln2 x + 6lnx + 2 1
√ √ 2 −3 − 5 −3 + 5 y = 0 ⇔ ln x + 3lnx + 1 = 0 ⇔ lnx = ∨ lnx = 2 2 √ √ −3− 5 −3+ 5 ⇒x=e 2 ∨x=e 2 - B ng xét đi m u n và d ng đ th : √ √ x e −3− 5 2 e −3+ 5 2 +∞ y 0 − 0 + - Các đi m mà làm cho y đ i d u là các đi m u n. - Các kho ng mà làm cho y mang d u (+) t c là lõm, d u (−) là l i. - Các đi m đ c bi t dùng đ v đ th : √ √ −3− 5 7 + 3 5 −3−√5 x = e 2 ≈ 0, 0729 ⇒ y = e ≈ 0, 0365 2 1 1 x = ≈ 0, 3679 ⇒ y = 2 ≈ 0, 1353 e e √ √ −3+ 5 7 − 3 5 −3+√5 x = e 2 ≈ 0, 6825 ⇒ y = e ≈ 0, 0680 2 x=1⇒y=0 - TI M C N Đ NG: lnx 1 ln2 x lnx x2 lim x2 ln2 x = lim 1 = lim x 1 = lim 1 = lim x 2 = lim x→0− − x→0 x2 − x→0 − x3 x→0− − x2 x→0− x3 x→0− 2 = 0 = lim x2 ln2 x + x→0 ⇒ hàm s không có ti m c n đ ng. - TI M C N XIÊN: x2 ln2 x a = lim = lim xln2 x = ∞ x→∞ x x→∞ Ta đã bi t ti m c n xiên c a hàm s có d ng y = ax + b, nhưng a ti n ra vô cùng nên hàm s không có ti m c n xiên. Mà hàm s ch có ti m c n ngang khi và ch khi a = 0. Nên suy ra hàm s cũng không có ti m c n ngang. - Đ TH HÀM S : + Lưu ý là v i x ≤ 0 thì hàm s không xác đ nh nên ta v đ n g c t a đ O thì d ng l i. 2
2 Câu 2 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i: x + y = 2, (x − 1)(y + 2) = 2 2.1 Hư ng d n gi i - Ta vi t l i các phương trình: x+y =2⇔y =2−x 4 − 2x (x − 1)(y + 2) = 2 ⇔ xy − y + 2x = 4 ⇔ y = x−1 - Tìm hoành đ giao đi m: 4 − 2x 2−x= x−1 + V i x = 1, ta đư c: (2 − x)(x − 1) = 4 − 2x ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2 ∨ x = 3 - Đ đơn gi n trong vi c bi t đư ng c a hàm nào n m trên, hàm nào n m dư i, ta kh o sát b ng cách sau: + Đ t: 4 − 2x f (x) = 2 − x g(x) = x−1 + L y b t kì f (x) − g(x) ho c g(x) − f (x), v i t a đ x ∈ (2; 3) (2 và 3 là hoành đ giao đi m) 3
+ N u f (x) − g(x) > 0 thì f (x) n m trên g(x). Và ngư c l i. + T đó suy ra hàm 2 − x n m trên. - Di n tích hình ph ng c n tính: 3 3 4 − 2x 2x − 4 S= 2−x− dx = 2−x+ dx 2 x−1 2 x−1 3 2 x2 = 2−x+2− dx = 4x − − 2ln|x − 1| |3 2 2 x−1 2 15 3 = − 2ln2 − 6 = − 2ln2 2 2 3 Câu 3 Cho tích phân +∞ dx I= √ 1 (xm + 2) x2 − 1 Tìm m đ tích phân I h i t và tính tích phân khi m = 2. 3.1 Hư ng d n gi i - Do x = 1 làm cho bi u th c trong d u tích phân không xác đ nh. Nên đây là tích phân suy r ng lo i 1 và 2. - Tách ra thành 2 tích phân sau: 2 +∞ dx dx I= √ + √ = I1 + I2 1 (xm + 2) x2 − 1 2 (xm + 2) x2 − 1 - Xét tích phân I1 sau: 2 2 dx dx √ = 1 (xm + 2) x2 − 1 1 (xm + 2) (x − 1)(x + 1) + Khi x → 1+ : 1 1 ∼ √ 1 (xm + 2) (x − 1)(x + 1) 3 2(x − 1) 2 4
+ Đây là tích phân suy r ng lo i 2, th y α = 1 < 1 ⇒ I1 h i t . 2 - Xét tích phân I2 : +∞ dx I2 = √ 2 (xm + 2) x2 − 1 + Khi x → +∞ ta xét các trư ng h p c a m như sau: * Khi m < 0, xét: 1 1 √ ∼ (x m + 2) x2 − 1 2x ⇒ α = 1 ⇒ I2 phân kỳ ⇒ I phân kỳ * Khi m = 0, xét: 1 1 √ ∼ (xm + 2) x2 − 1 3x ⇒ α = 1 ⇒ I2 phân kỳ ⇒ I phân kỳ * Khi m > 0, xét: 1 1 √ ∼ m+1 (xm + 2) x2 − 1 x + Như v y khi m > 0 thì ta th y m + 1 > 1 ⇒ I2 h i t (do đây là tích phân suy r ng lo i 1). - K t lu n: + Do I1 h i t nên đ I h i t thì ch ph thu c vào I2 . Suy ra, I h i t khi m > 0. - Tính tích phân khi m = 2: Khi m = 2, tích phân đã cho tr thành: +∞ dx I= √ 1 (x2 + 2) x2 − 1 + Bi n đ i, ta đư c: +∞ +∞ dx dx I= √ = 1 (x2 + 2) x2 − 1 1 x(x2 + 2) 1− 1 x2 + Đ t: 1 1 1 t= 1− 2 ⇒ t2 = 1 − 2 ⇒ x2 = x x 1 − t2 5
t ⇒ xdx = dt (1 − t2 )2 + Tích phân đã tương đương v i: +∞ 1 t xdx (1−t2 )2 = 1 dt 1 x2 (x2 + 2) 1− 1 0 ( 1 + 1−t2 1−t2 2)t x2 1 t 1 1 1−t2 1 1 1 1 = t dt = 3 dt = √ √ dt 0 1−t2 + 2t 2 0 2 − t2 2 0 6 +t 6 −t 2 2 √ √ 1 6 6 1 1 2 +t+ 2 −t 1 1 1 = √ √ √ dt = √ √ + √ dt 2 6 0 6 +t 6 −t 2 6 0 6 −t 6 +t 2 2 2 2 √ √ √ 6 1 6 6 1 +t = √ −ln − t + ln +t |1 = √ 0 ln √ 2 |1 0 2 6 2 2 2 6 6 −t 2 1 √ = √ ln(5 + 2 6) 2 6 4 Câu 4 Gi i phương trình: √ y 2x y 4 arctan x a) √ − 2 = √ y 1+x 1 + x2 b) y + 5y − 14y = (12x + 21) cos 2x − (64x + 81) sin 2x 4.1 Hư ng d n gi i 4.1.1 Câu a √ y 2x y 4 arctan x √ − = √ (1) y 1 + x2 1 + x2 - Đ t: √ y y z= y ⇒ z = √ ⇒ √ = 2z 2 y y 6
- T đó (1), tr thành: 2x 4 arctan x 2z − 2 z= √ 1+x 1 + x2 x 2 arctan x ⇔z − 2 z= √ (2) 1+x 1 + x2 - Đ t: x x 1 d(1 + x2 ) P (x) = − ⇒ P (x)dx = − dx = − 1 + x2 1+x 2 2 1 + x2 1 ⇒ P (x)dx = − ln(1 + x2 ) 2 2 arctan x Q(x) = √ 1 + x2 - Nghi m t ng quát c a phương trình là: z = e− P (x)dx e P (x)dx Q(x)dx + C 1 2) 1 2) 2 arctan x ⇒ z = e 2 ln(1+x e− 2 ln(1+x √ dx + C 1 + x2 √ 2 arctan x √ = 1 + x2 dx + C = 1 + x2 2 arctan xd(arctan x) + C 1 + x2 √ ⇒ z = 1 + x2 arctan2 x + C - V y ta suy ra đư c: 2 y = z 2 = (1 + x2 ) arctan2 x + C 4.1.2 Câu b y + 5y − 14y = (12x + 21) cos 2x − (64x + 81) sin 2x (3) - Phương trình đ c trưng: k 2 + 5k − 14 = 0 ⇔ k1 = −7 ∨ k2 = 2 7
- Nghi m c a phương trình thu n nh t: y0 = C1 e−7x + C2 e2x - Ta có: f (x) = (12x+21) cos 2x−(64x+81) sin 2x = (12x+21) cos 2x+(−64x−81) sin 2x - Xét: f (x) = eαx (Pn (x) cos βx+Qm (x) sin βx) = (12x+21) cos 2x+(−64x−81) sin 2x + T đó suy ra đư c: α=0 ; β=2 ; Pn (x) b c 1 ; Qm (x) b c 1 - Nghi m riêng có d ng: yr = xs eαx (Hk (x) cos βx + Tk (x) sin βx) + Trong đó: s = 0 vì α + βi = 2i không là nghi m c a phương trình đ c trưng. B c c a Hk (x) và Tk (x) xác đ nh b i: k = max{m, n} = max{1, 1} = 1 (m, n là b c c a đa th c Pn (x) và Qm (x)). + Khi đó ta đư c: yr1 = (Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x yr1 = A cos 2x − 2(Ax + B) sin 2x + C sin 2x + 2(Cx + D) cos 2x A C = 2 Cx + D + cos 2x − 2 Ax + B − sin 2x 2 2 A C yr1 = 2C cos 2x−4 Cx + D + sin 2x− 2A sin 2x + 4 Ax + B − cos 2x 2 2 = −4 (Ax + B − C) cos 2x − 4 (Cx + D + A) sin 2x + Thêm nhân thêm h s đ c ng theo v , ta đư c: −14yr1 = −14(Ax + B) cos 2x − 14(Cx + D) sin 2x A C 5yr1 = 10 Cx + D + cos 2x − 10 Ax + B − sin 2x 2 2 8
yr1 = −4 (Ax + B − C) cos 2x − 4 (Cx + D + A) sin 2x + C ng 2 v l i, ta đư c: yr1 + 5yr1 − 14yr1 = [(−18A + 10C)x + (−18B + 10D + 5A + 4C)] cos 2x +[(−18C − 10A)x + (−18D − 10B + 5C − 4A)] sin 2x + T đó ta có h sau:   −18A + 10C = 12  A = 1   5A − 18B + 4C + 10D = 21  B = 2 ⇒ −10A − 18C = −64  C = 3    −4A − 10B + 5C − 18D = −81   D=4 - K T LU N: Nghi m t ng quát c a phương trình là: y = C1 e−7x + C2 e2x + (x + 2) cos 2x + (3x + 4) sin 2x 5 Câu 5 Gi i h phương trình:  x (t) = x − 3y + z (1)  y (t) = 3x − 3y − z (2)  z (t) = 3x − 5y + z (3)  5.1 Hư ng d n gi i 5.1.1 Phương pháp Euler - Xét phương trình đ c trưng sau: 1−λ −3 1 3 −3 − λ −1 = 0 ⇔ −λ3 − λ2 + 4λ + 4 = 0 3 −5 1−λ ⇒ λ1 = −2 ∨ λ2 = −1 ∨ λ3 = 2 9
+ Đ ti n trong vi c tính toán phương trình đ c trưng ta có đ nh lý sau đây:   a11 a12 a13 Cho A = a21 a22 a23  a31 a32 a33 + Thì: |A − λI| a22 a23 a a a a = −λ3 + tr(A)λ2 − + 11 13 + 11 12 λ + det(A) a32 a33 a31 a33 a21 a22 + V i: tr(A) = a11 + a22 + a33 là V T c a ma tr n A - Tương ng v i λ1 = −2, ta xét h sau:  3p1 − 3p2 + p3 = 0    2 3p − p2 − p3 = 0 ⇒ P1 = 3  1  3p1 − 5p2 + 3p3 = 0 3 - Tương ng v i λ1 = −1, ta xét h sau:  2p1 − 3p2 + p3 = 0    1 3p − 2p2 − p3 = 0 ⇒ P2 = 1  1  3p1 − 5p2 + 2p3 = 0 1 - Tương ng v i λ1 = 2, ta xét h sau:  −p1 − 3p2 + p3 = 0    4 3p − 5p2 − p3 = 0 ⇒ P3 = 1  1  3p1 − 5p2 − p3 = 0 7 - V y:   x X(t) = y  = C1 eλ1 t P1 + C2 eλ2 t P2 + C3 eλ3 t P3 z       2 1 4 = C1 e−2t 3 + C2 e−t 1 + C3 e2t 1 3 1 7 10
2C1 e−2t + C2 e−t + 4C3 e2t   =  3C1 e−2t + C2 e−t + C3 e2t  3C1 e−2t + C2 e−t + 7C3 e2t - Đ ki m ch ng l i nghi m c a h đã đúng hay không, ta thay các nghi m tương ng này vào h , sao cho 2 v b ng nhau là đư c. 11