Mẫu đề thi giải tích 1 - ĐH Bách khoa - Đề 1

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

1.039
lượt xem 130
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mẫu đề thi giải tích 1 của trường ĐH Bách khoa tổng hợp các dạng bài tập kèm theo đáp án được trình bày chi tiết dễ hiểu, giúp các bạn ôn tập tốt giải tích 1. Mời các bạn cùng tham khảo nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mẫu đề thi giải tích 1 - ĐH Bách khoa - Đề 1

GI I M U Đ THI CU I KÌ GI I TÍCH 1 B n quy n thu c v Ngân Hàng Đ Thi ĐH Bách Khoa HCM https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm 1 Câu 1 Kh o sát và v đ th hàm s : √ 3 y= x3 − 2x2 1.1 Hư ng d n gi i - T p xác đ nh c a hàm s : D = R 1 - Ta vi t l i hàm s : y = (x3 − 2x2 ) 3 - Đ o hàm c a hàm s : 1 2 1 3x2 − 4x 1 3x2 − 4x y = (x3 − 2x2 )− 3 (3x2 − 4x) = = 3 3 3 (x 3 − 2x2 )2 3 3 x4 (x − 2)2 1 3x − 4 = 3 3 x(x − 2)2 4 y =0⇔x= 3 + Đi m làm đ o hàm không xác đ nh là: x = 0 và x = 2 - B ng bi n thiên: 4 x −∞ 0 3 2 +∞ y + − 0 + + 0 0 +∞ y √ 3 32 −∞ − 3 - K t lu n: 4 + Hàm s đ ng bi n trên: (−∞, 0] ∪ 3 , +∞ 4 + Hàm s ngh ch bi n trên: 0, 3 1
+ Hàm s đ t c c đ i t i x = 0 và yCĐ = 0 √ 3 + Hàm s đ t c c ti u t i x = 4 và yCT = − 332 3 - Tìm đi m u n: + Ta có: 1 3x − 4 1 1 2 y = 3 = (3x − 4)x− 3 (x − 2)− 3 3 x(x − 2) 2 3 + Logarith hóa 2 v : 1 1 2 ln(y ) = ln + ln|3x − 4| − ln|x| − ln|x − 2| 3 3 3 y 3 1 2 ⇒ = − − y 3x − 4 3x 3(x − 2) 27(x2 − 2x) − 3(3x − 4)(x − 2) − 6(3x2 − 4x) = 9x(x − 2)(3x − 4) −8 1 3x − 4 −8 = ⇒y = 3x(x − 2)(3x − 4) 3 3 x(x − 2)2 3x(x − 2)(3x − 4) −8 ⇒y = 9 3 x4 (x − 2)5 - B ng xét đi m u n và d ng đ th : x −∞ 0 2 +∞ y + + − - Các đi m mà làm cho y đ i d u là các đi m u n. - Các kho ng mà làm cho y mang d u (+) t c là lõm, d u (−) là l i. - Các đi m đ c bi t dùng đ v đ th : x=0⇒y=0 √ 3 4 32 x= ⇒y=− ≈ −1, 0582 3 3 x=2⇒y=0 - TI M C N Đ NG: + Do t p xác đ nh c a hàm s là R nên: 2
⇒ hàm s không có ti m c n đ ng. - TI M C N XIÊN: √3 x3 − 2x2 3 2 a = lim = lim 1− =1 x→∞ x x→∞ x √ 3 3 2 b = lim ( x3 − 2x2 − x) = lim x 1− −1 x→∞ x→∞ x 2 3 1− x −1 2 2 = lim 1 = lim − =− x→∞ x→∞ 2 2 3 x 33 1− x ⇒ ti m c n xiên là y =x− 2 3 ⇒ không có ti m c n ngang. - Đ TH HÀM S : + Lưu ý là ta v ti m c n xiên trư c. 2 Câu 2 Tính di n tích m t tròn xoay t o b i cung x y = e− 2 , 0 ≤ x ≤ +∞ quay quanh tr c Ox. 3
2.1 Hư ng d n gi i - Ta có công th c tính di n tích m t tròn xoay t o b i cung quay quanh tr c Ox là: b S = 2π |f (x)| 1 + [f (x)]2 dx a −x x - Do hàm f (x) = e luôn dương v i m i x nên |f (x)| = e− 2 . 2 - Đ o hàm c a hàm f (x): 1 x f (x) = − e− 2 2 - Lúc đó ta có: +∞ x 1 S = 2π e− 2 1 + e−x dx 0 4 + Đ t: x 2 t = e− 2 ⇒ t2 = e−x ⇒ 2tdt = −e−x dx ⇒ dx = − dt t + Đ i c n: x=0⇒t=1 ; x = +∞ ⇒ t = 0 + Tích phân tr thành: 0 t√ 2 1 √ S = 2π 4 + t2 − dt = 2π 4 + t2 dt = 2πI1 1 2 t 0 + Đ t: √ t u= 4 + t2 ⇒ du = √ dt 4 + t2 dv = dt ⇒ v = t + V y tích phân I1 tr thành: √ 1 t2 I1 = t 4 + t2 |1 − 0 √ dt 0 4 + t2 √ 1 √ 1 −4 = 5− 4 + t2 dt + √ dt 0 0 4 + t2 √ 1 4 ⇒ 2I1 = 5+ √ dt 0 4 + t2 4
√ 1 5 dt ⇒ I1 = +2 √ 2 0 4 + t2 + Mà ta đã bi t công th c tích phân b t đ nh sau: dx √ √ = ln|x + x2 ± a2 | + C x 2 ± a2 + Nên suy ra: √ √ √ 5 √ 1 5 1+ 5 ⇒ I1 = + 2ln(t + t2 + 4)|0 = + 2ln 2 2 2 - V y di n tích c n tính là: √ √ √ 5 1+ 5 √ 1+ 5 S = 2π + 2ln =π 5 + 4ln 2 2 2 3 Câu 3 Tìm α đ tích phân sau h i t 1 2 dx I= √ 0 xα 1 − 4x2 Tính tích phân khi α = −2 3.1 Hư ng d n gi i - Ta th y 2 c n c a tích phân làm cho bi u th c dư i d u tích phân không xác đ nh. Nên ta tách ra thành 2 tích phân suy r ng lo i 2 như sau: 1 1 4 dx 2 dx I= √ + √ = I1 + I2 0 xα 1 − 4x2 1 4 xα 1 − 4x2 - Xét tích phân I1 : 1 4 dx I1 = √ 0 xα 1 − 4x2 5
Xét khi x → 0+ : + Khi α < 0: 1 √ ∼0 xα 1 − 4x2 ⇒ I1 h i t . + Khi α = 0: 1 1 √ ∼√ ∼1 xα 1 − 4x2 1 − 4x2 ⇒ I1 h i t . + Khi α > 0: 1 1 √ ∼ α xα 1 − 4x 2 x - Như v y thì đ I1 h i t thì trong trư ng h p này α ph i th a 0 < α < 1 - T ng h p l i thì v i α < 1 thì I1 h i t ! - Xét tích phân I2 : 1 2 dx I2 = √ 1 4 xα 1 − 4x2 1− + Xét khi x → 2 : + Khi α < 0: 1 1 1 √ = ∼√ xα 1 − 4x2 xα (1 + 2x)(1 − 2x) 2 21 α (1 − 2x) 1 1 =√ = 1 1 2 21 α 2 1 2 −x 2−α+1 2 −x 2 ⇒ do đây là tích phân suy r ng lo i 2 và α = 1 < 1 nên I2 h i t . 2 + Khi α = 0: 1 1 √ ∼ 1 xα 1 − 4x2 2 1 −x 2 2 ⇒ I2 h i t . + Khi α > 0: 1 1 √ ∼ 1 xα 1 − 4x2 1 2−α+1 2 − x 2 6
⇒ I2 h i t . K T LU N: Do I2 đã h i t nên đ cho I h i t thì I1 ph i h i t . V y α < 1 th a mãn. * Tính tích phân khi α = −2 - Khi α = −2 thì ta có tích phân sau: 1 1 2 x2 1 2 x2 I= √ dx = dx 0 1 − 4x2 2 0 1 − x2 4 + Đ t: 1 π π x= sin t v i − ≤ t ≤ 2 2 2 1 ⇒ dx = cos tdt 2 + Đ i c n: 1 π x=0⇒t=0 ; x= ⇒t= 2 2 - Tích phân tr thành: π π 1 2 2 1 2 1 cos 2x x sin 2x π π sin t = − dt = − |0 = 2 8 0 8 0 2 2 16 32 32 4 Câu 4 Gi i phương trình: 2 2x + y a) y = , y(1) = 2 x b) y − 2y + 2y = e2x (3 cos x − sin x) 4.1 Hư ng d n gi i 4.1.1 Câu a 2 2x + y y 2 y = = 2+ x x 7
- Đ t: y u= ⇒ y = ux ⇒ y = u x + u x - Thay vào phương trình ta đư c: du u x + u = (2 + u)2 ⇔ .x + u = 4 + 4u + u2 dx du dx ⇔ = u2 + 3u + 4 x - L y tích phân 2 v : du dx dx = ⇔ I1 = u2 + 3u + 4 x x - Tính I1 : + Bi n đ i: du du = u2 + 3u + 4 3 2 7 u+ 2 + 4 + Đ t: √ 3 7 π π u+ = tan t v i − < t < 2 2 2 2 √ 7 1 ⇒ du = dt 2 cos2 t + Và ta suy ra đư c: 3 2 t = arctan u+ √ 2 7 + Tích phân I1 tr thành: √ √ 7 1 7 1 2 cos2 t 2 cos2 t 2 7 dt = dt =√ t 4 tan2 t + 74 7 1 4 cos2 t 7 - V y ta đư c: 2 √ t = ln|x| + C 7 2 3 2 ⇔ C = √ arctan u + √ − ln|x| 7 2 7 8
2 y 3 2 ⇔ C = √ arctan + √ − ln|x| 7 x 2 7 - Thay đi u ki n ban đ u y(1) = 2 vào ta đư c: 2 3 2 2 √ C = √ arctan 2+ √ = √ arctan 7 7 2 7 7 - V y nghi m c a phương trình là: 2 y 3 2 2 √ √ arctan + √ = ln|x| + √ arctan 7 7 x 2 7 7 4.1.2 Câu b y − 2y + 2y = e2x (3 cos x − sin x) - Phương trình đ c trưng: k 2 − 2k + 2 = 0 ⇔ k1 = 1 − i ∨ k2 = 1 + i - V i k1 = 1 − i, nghi m c a phương trình thu n nh t: y0 = ex (C1 cos x − C2 sin x) - Ta có: f (x) = e2x (3 cos x − sin x) = eαx [Pn (x) cos βx + Qm (x) sin βx] + T đó suy ra đư c: α=2 ; β = −1 ; Pn (x) b c 0 ; Qm (x) b c 0 - Nghi m riêng có d ng: yr = xs eαx (Hk (x) cos βx + Tk (x) sin βx) + Trong đó: s = 0 vì α + βi = 2 − i không là nghi m c a phương trình đ c trưng. B c c a Hk (x) và Tk (x) xác đ nh b i: k = max{m, n} = max{0, 0} = 0 (m, n là b c c a đa th c Pn (x) và Qm (x)). + Khi đó ta đư c: yr = e2x (A cos x − B sin x) 9
yr = 2e2x (A cos x − B sin x) + e2x (−A sin x − B cos x) = e2x [(2A − B) cos x + (−A − 2B) sin x] yr = 2e2x [(2A−B) cos x+(−A−2B) sin x]+e2x [−(2A−B) sin x+(−A−2B) cos x] = e2x [(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x] + Thêm nhân thêm h s đ c ng theo v , ta đư c: 2yr = e2x (2A cos x − 2B sin x) −2yr = e2x [(−4A + 2B) cos x + (2A + 4B) sin x] yr = e2x [(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x] + C ng 2 v l i, ta đư c: yr − 2yr + 2yr = e2x [(2A − 4A + 2B + 3A − 4B) cos x + (−2B + 2A + 4B − 4A − 3B) sin x] = e2x [(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] + T đó ta có: e2x [(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] = e2x (3 cos x − sin x) + T đó ta có h sau: A − 2B = 3 A=1 ⇒ −2A − B = −1 B = −1 - K T LU N: Nghi m t ng quát c a phương trình là: y = ex (C1 cos x − C2 sin x) + e2x (cos x − sin x) 5 Câu 5 Gi i h phương trình: x = x + 2y + et (1) y = −x + 3y (2) 10
5.1 Hư ng d n gi i 5.1.1 Phương pháp kh - C ng 2 v c a phương trình (1) và (2) l i ta đư c: x + y = 5y + et (3) - Đ o hàm 2 v c a phương trình (2) theo bi n t, ta đư c: y = −x + 3y ⇒ x = −y + 3y (4) - Thay (4) vào (3), ta đư c: −y + 3y + y = 5y + et ⇔ y − 4y + 5y = −et + Phương trình đ c trưng: k 2 − 4k + 5 = 0 ⇒ k1 = 2 + i ∨ k2 = 2 − i + Nghi m c a phương trình thu n nh t ng v i k1 = 2 + i: y0 = e2t (C1 cos t + C2 sin t) + Ta có: f (t) = −et = Pn (t)eαt + Suy ra: α=1 ; Pn (t)b c 0 + Nghi m riêng c a phương trình không thu n nh t có d ng: yr = ts eαt Qn (t) Trong đó: s = 0 do α = 1 không là nghi m đơn c a phương trình đ c trưng. Qn (t) = A vì Qn (t) cùng b c v i Pn (t) + Lúc đó, ta có: yr = Aet yr = Aet yr = Aet 11
+ Và ta đư c: 5yr = 5Aet −4yr = −4Aet yr = Aet + Suy ra: yr − 4yr + 5yr = 2Aet + Mà ta có: 1 −et = 2Aet ⇒ A = − 2 - Ta có nghi m riêng: 1 yr = − et 2 - Suy ra nghi m t ng quát: 1 y = e2t (C1 cos t + C2 sin t) − et 2 + Đ o hàm theo bi n t nghi m t ng quát v a tìm, ta đư c: 1 y = 2e2t (C1 cos t + C2 sin t) + e2t (−C1 sin t + C2 cos t) − et 2 1 = e2t [(2C1 + C2 ) cos t + (−C1 + 2C2 ) sin t] − et 2 + Thay vào phương trình (2), ta đư c: 1 1 e2t [(2C1 +C2 ) cos t+(−C1 +2C2 ) sin t]− et = −x+3 e2t (C1 cos t + C2 sin t) − et 2 2 1 1 ⇒ x = 3 e2t (C1 cos t + C2 sin t) − et −e2t [(2C1 +C2 ) cos t+(−C1 +2C2 ) sin t]+ et 2 2 = e2t [(3C1 − 2C1 − C2 ) cos t + (3C2 + C1 − 2C2 ) sin t] − et = e2t [(C1 − C2 ) cos t + (C1 + C2 ) sin t] − et - V y nghi m c a h phương trình là: x = e2t [(C1 − C2 ) cos t + (C1 + C2 ) sin t] − et 1 y = e2t (C1 cos t + C2 sin t) − 2 et - Đ ki m ch ng l i nghi m c a h đã đúng hay không, ta thay các nghi m tương ng này vào h , sao cho 2 v b ng nhau là đư c. 12