Mẫu đề thi giải tích 1 - ĐH Bách khoa - Đề 4

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

321
lượt xem 68
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mẫu đề thi giải tích 1 của trường ĐH Bách khoa tổng hợp các dạng bài tập kèm theo đáp án được trình bày chi tiết dễ hiểu, giúp các bạn ôn tập tốt giải tích 1. Mời các bạn cùng tham khảo nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mẫu đề thi giải tích 1 - ĐH Bách khoa - Đề 4

GI I M U Đ THI CU I KÌ GI I TÍCH 1 B n quy n thu c v Ngân Hàng Đ Thi ĐH Bách Khoa HCM https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm 1 Câu 1 Kh o sát và v đ th hàm s : √ x2 − 6x + 10 y= x−5 1.1 Hư ng d n gi i - T p xác đ nh c a hàm s : D = R \ {5} 1 - Ta vi t l i hàm s : y = (x2 − 6x + 10) 2 (x − 5)−1 1 ⇒ ln|y| = ln(x2 − 6x + 10) − ln|x − 5| 2 - Đ o hàm c a hàm s : y x−3 1 (x − 3)(x − 5) − (x2 − 6x + 10) = 2 − = y x − 6x + 10 x − 5 (x2 − 6x + 10)(x − 5) √ x2 − 6x + 10 5 − 2x ⇒y = 2 − 6x + 10)(x − 5) x−5 (x 5 − 2x = √ (x − 5)2 x2 − 6x + 10 + Đi m làm đ o hàm b ng 0: 5 y =0⇔x= 2 + Đi m làm đ o hàm không xác đ nh là: x = 5 - B ng bi n thiên: 1
5 x −∞ 2 5 +∞ y + 0 − − √ − 5 +∞ 5 y −1 −∞ 1 - K t lu n: + Hàm s đ ng bi n trên: −∞, 5 2 5 + Hàm s ngh ch bi n trên: 2 , 5 ∪ (5, +∞) √ + Hàm s đ t ch đ t c c đ i t i x = 5 và yCĐ = − 55 2 - Các đi m dùng đ v đ th : √ 26 x = −2 ⇒ y = − ≈ −0, 7284 7 √ 17 x = −1 ⇒ y = − ≈ −0, 6872 6 √ 10 x=0⇒y=− ≈ −0, 6325 5 √ 5 5 x= ⇒y=− ≈ −0, 4472 2 5 1 x=3⇒y=− 2 √ x = 6 ⇒ y = 10 ≈ 3, 1623 √ 17 x=7⇒y= ≈ 2, 0616 2 - TI M C N Đ NG: √ √ x2 − 6x + 10 5 lim = lim = +∞ x→5+ x−5 x→5+ x − 5 √ √ x2 − 6x + 10 5 lim = lim = −∞ x→5 − x−5 x→5 − x − 5 2
⇒ hàm s có x = 5 ti m c n đ ng. - TI M C N XIÊN: √ 1− 6 + 10 x2 − 6x + 10 1 x x2 a = lim = lim =0 x→∞ x−5 x x→∞ x−5 √ 6 x 1− x + 10 x2 − 6x + 10 x2 b = lim = lim 5 =1 x→+∞ x−5 x→+∞ x 1− x √ 6 |x| 1 − x + 10 x2 − 6x + 10 x2 b = lim = lim 5 = −1 x→−∞ x−5 x→−∞ x 1− x ⇒ không có ti m c n xiên. ⇒ y = 1 là ti m c n ngang v phía ph i và y = −1 là ti m c n ngang v phía trái c a đ th hàm s . - Đ TH HÀM S : 2 Câu 2 Cho mi n D gi i h n b i các đư ng cong sau: x = 0, y = −1, y = x2 − 2x Tính th tích v t th t o ra khi D quay quanh tr c Oy. 3
2.1 Hư ng d n gi i 2.1.1 Cách 1 - Ta có: x = 0 ⇒ y = x2 − 2x = 0 - Đ i bi n c a hàm y = x2 − 2x + Ta có: x2 − 2x − y = 0 ⇒∆ =1+y ⇒x=1+ 1+y∨x=1− 1+y √ + Ta ch √ x = 1 + 1 + y (vì đư ng cong b gi i h n b i x = 0, n u ch n n x = 1 − 1 + y thì v i giá tr y > 0 làm cho giá tr x âm d n đ n không th a). - T đó ta có: 0 0 VOy = π [(1 − 1 + y)2 ]dy = π (2 + y − 2 1 + y)dy −1 −1 y2 4 π = π 2y + − (1 + y)3 |0 = −1 2 3 6 2.1.2 Cách 2 - Hoành đ giao đi m c a y = x2 − 2x và y = −1: x2 − 2x = −1 ⇒ x = 1 - Ta có công th c sau, như đã đ c p trong các đ ôn trư c: xb VOy = 2π |xf (x)|dx xa - T đó ta có: 1 1 VOy = 2π [x(x2 − 2x) − x.(−1)]dx = 2π (x3 − 2x2 + x)dx 0 0 x4 2x3 x2 π = 2π − + |1 = 0 4 3 2 6 4
3 Câu 3 Tìm α đ tích phân sau h i t +∞ 2 3 I= xα e x2 − e− x2 dx 1 Tính tích phân khi α = −5 3.1 Hư ng d n gi i - Đây là tích phân suy r ng lo i 1. - Khi x → +∞, ta có: 2 3 2 3 2 −3 5xα xα e x2 − e− x2 = xα [(e x2 − 1) − (e− x2 − 1)] ∼ xα 2 − 2 = x x x2 5 = x2−α - Đ tích phân h i t thì: 2−α>1⇒α
1 dv = e2u du ⇒ v = e2u 2 1 1 u 2u 1 1 2u 1 u 2u 1 1 2u 1 e2 1 ⇒ I1 = e |0 − e du = e |0 − e |0 = + 2 2 0 2 2 2 4 8 8 - Tính I2 : + Đ t: t = u ⇒ dt = du 1 dv = e−3u du ⇒ v = − e−3u 3 1 1 u 1 −3u 1 u 1 2 1 ⇒ I2 = − e−3u |1 + 0 e du = − e−3u |1 − e−3u |1 0 0 =− 3 + 2 3 0 3 2 3 9 9e 18 - V y: e2 2 5 I= + 3+ 8 9e 72 4 Câu 4 Gi i phương trình: a) 2(3xy 2 + 2x3 )dx + 3(2x2 y + y 2 )dy = 0 b) y + 4y + 8y = 10xe−x − 24 4.1 Hư ng d n gi i 4.1.1 Câu a - Đ t: P (x) = 2(3xy 2 + 2x3 ) = 6xy 2 + 4x3 Q(x) = 3(2x2 y + y 2 ) = 6x2 y + 3y 2 - Xét: ∂Q(x) = 12xy ∂x ∂P (x) = 12xy ∂y 6
∂Q(x) ∂P (x) ⇒ = ∂x ∂y ⇒ đây là phương trình vi phân toàn ph n. - Nghi m t ng quát c a phương trình là: x y u(x, y) = P (x, y)dx + Q(0, y)dy = C 0 0 x y ⇔ (6xy 2 + 4x3 )dx + (0 + 3y 2 )dy = C 0 0 ⇔ 3x y + x + y 3 = C 2 2 4 4.1.2 Câu b y + 4y + 8y = 10xe−x − 24 - Phương trình đ c trưng: k 2 + 4k + 8 = 0 ⇔ k1 = −2 + 2i ∨ k2 = −2 − 2i - V i k1 = −2 + 2i, nghi m c a phương trình thu n nh t: y0 = e−2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) - Ta xét: f (x) = 10xe−x − 24 = f1 (x) + f2 (x) - V i: f1 (x) = 10xe−x = Pn (x)eαx + T đó suy ra đư c: α = −1 ; Pn (x) b c 1 - Nghi m riêng có d ng: yr = xs eαx Qn (x) + Trong đó: s = 0 vì α = −1 không là nghi m đơn c a phương trình đ c trưng. Qn (x) = Ax + B vì cùng b c v i Pn (x) + Khi đó ta đư c: yr1 = e−x (Ax + B) 7
yr1 = −e−x (Ax + B) + Ae−x = e−x (−Ax + A − B) yr1 = −e−x (−Ax + A − B) − Ae−x = e−x (Ax − 2A + B) + Nhân thêm h s đ c ng theo v , ta đư c: 8yr1 = e−x (8Ax + 8B) 4yr1 = −e−x (Ax + B) + Ae−x = e−x (−4Ax + 4A − 4B) yr1 = −e−x (−Ax + A − B) − Ae−x = e−x (Ax − 2A + B) + C ng 2 v l i, ta đư c: yr1 + 4yr1 + 8yr1 = e−x (Ax − 2A + B) + e−x (−4Ax + 4A − 4B) + e−x (8Ax + 8B) = e−x (5Ax + 2A + 5B) + T đó ta có: e−x (5Ax + 2A + 5B) = 10xe−x + T đó ta có h sau: 5A = 10 A=2 ⇒ 4 2A + 5B = 0 B = −5 + Ta có nghi m riêng ng v i f1 (x) là: 4 yr1 = e−x 2x − 5 - V i: f2 (x) = −24 = Pn (x)eαx + T đó suy ra đư c: α=0 ; Pn (x) b c 0 - Nghi m riêng có d ng: yr = xs eαx Qn (x) - Tương t , suy ra: yr2 = A 8
yr2 = 0 yr2 = 0 + Nhân thêm h s đ c ng theo v , ta đư c: 8yr2 = 8A 4yr1 = 0 yr1 = 0 + Suy ra: 8A = −24 ⇒ A = −3 + K T LU N: Nghi m c a phương trình là: 4 y = e−2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) + e−x 2x − −3 5 5 Câu 5 Gi i h phương trình: x = −11x + 5y − 2e−t (1) y = −30x + 14y (2) 5.1 Hư ng d n gi i 5.1.1 Phương pháp kh - Ta l y 30 × (1) − 11 × (2), ta đư c: 30x − 11y = −4y − 60e−t (3) - Đ o hàm 2 v c a phương trình (2) theo t, ta đư c: y = −30x + 14y ⇒ 30x = −y + 14y (4) - Thay (4) vào (3), ta đư c: y − 3y − 4y = 60e−t (3) 9
+ Phương trình đ c trưng: k 2 − 3k − 4 = 0 ⇒ k1 = −1 ∨ k2 = 4 + Nghi m c a phương trình thu n nh t: y0 = C1 e−t + C2 e4t + Ta xét: f (t) = 60e−t = eαt Pn (t) + Suy ra: α = −1 ; Pn (t) b c 0 + Nghi m riêng c a phương trình không thu n nh t có d ng: yr = ts eαt Qn (t) + Trong đó: s = 1 do α = −1 là nghi m đơn c a phương trình thu n nh t. Qn (t) = A do cùng b c v i Pn (t) + Do đó: yr = Ate−t yr = Ae−t − Ate−t = e−t (−At + A) yr = −e−t (−At + A) − Ae−t = e−t (At − 2A) + Nhân h s đ c ng theo v d dàng, ta đư c: −4yr = −4Ate−t −3yr = e−t (3At − 3A) yr = e−t (At − 2A) + C ng theo v l i ta đư c: yr − 3yr − 4yr = −5Ae−t + Và ta có: 60e−t = −5Ae−t ⇒ A = −12 - V y nghi m t ng quát là: y = C1 e−t + C2 e4t − 12te−t 10
+ Suy ra: y = −C1 e−t + 4C2 e4t − 12e−t + 12te−t + Thay vào (2), ta đư c: −C1 e−t + 4C2 e4t − 12e−t + 12te−t = −30x + 14[C1 e−t + C2 e4t − 12te−t ] ⇔ 30x = C1 e−t − 4C2 e4t + 12e−t − 12te−t + 14C1 e−t + 14C2 e4t − 168te−t ⇔ 30x = 15C1 e−t + 10C2 e4t − 180te−t + 12e−t 1 1 2 ⇔ x = C1 e−t + C2 e4t − 6te−t + e−t 2 3 5 - K T LU N: Nghi m c a h phương trình là: x = 2 C1 e−t + 3 C2 e4t − 6te−t + 2 e−t 1 1 5 y = C1 e−t + C2 e4t − 12te−t - Đ ki m ch ng l i nghi m c a h đã đúng hay không, ta thay các nghi m tương ng này vào h , sao cho 2 v b ng nhau là đư c. 11