Miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

236
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Công thức Taylor cho phép ta khai triển một hàm khả vi vô hạn lần thành một chuỗi hàm lũy thừa. Ngược lại chính là bài toán tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa. Trước khi tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa ta phải đi tìm miền hội tụ của nó vì trên miền hội tụ ấy tổng của chuỗi hàm mới tồn tại. Từ đó, dẫn đến bài toán đi tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC MIỀN HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM LŨY THỪA VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ Nguyễn Thị Hà Phươnga*, Phan Đức Tuấnb Nhận bài: 19 – 07 – 2017 Chấp nhận đăng: Tóm tắt: Công thức Taylor cho phép ta khai triển một hàm khả vi vô hạn lần thành một chuỗi hàm lũy 25 – 09 – 2017 thừa. Ngược lại chính là bài toán tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa. Trước khi tính tổng của một http://jshe.ued.udn.vn/ chuỗi hàm lũy thừa ta phải đi tìm miền hội tụ của nó vì trên miền hội tụ ấy tổng của chuỗi hàm mới tồn tại. Từ đó, dẫn đến bài toán đi tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa. Ta biết, nếu un : avn khi n dần đến vô cùng thì hai chuỗi hàm lũy thừa với hệ số là un , vn sẽ có cùng bán kính hội tụ. Điều này cho phép ta xác định các lớp chuỗi hàm lũy thừa có cùng bán kính hội tụ thông qua việc so sánh hệ số của chúng khi n dần đến vô cùng. Trong [5], các tác giả đã chọn hàm lũy thừa ax làm đại lượng trung gian trong việc so sánh các đại lượng vô cùng bé khi x dần đến 0. Trong bài báo này chúng tôi chọn hệ số un = 1 n làm chuẩn để xác định lớp các chuỗi hàm lũy thừa có cùng bán kính hội tụ với chuỗi hàm lũy thừa nhận un làm hệ số. Sau đó, chúng tôi chỉ ra trong lớp này chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có cùng miền hội tụ với chuỗi hàm lũy thừa nhận un làm hệ số. Từ khóa: chuỗi hàm; chuỗi hàm lũy thừa; bán kính hội tụ; miền hội tụ; tiêu chuẩn so sánh; khai triển Taylor.  2 n + (−1)n 1. Đặt vấn đề n =1 n . (4) Ta biết, nếu un Ta có lim =  ¡ + (1) n → vn 2 n + (−1)n n lim = 2. (5) thì bán kính hội tụ của hai chuỗi hàm lũy thừa n → n (−1)n   trong khi đó, chuỗi số (3) thì hội tụ còn chuỗi số (4) thì u x ; v x n =1 n n n =1 n n (2) phân kì. Điều này chứng tỏ, miền hội tụ của hai chuỗi hàm lũy thừa (2) là không trùng nhau. là bằng nhau (xem [3]). Trên cơ sở đó, chúng tôi khởi đầu bài báo này bằng Một câu hỏi đặt ra là: nếu (1) được thỏa mãn thì việc tìm miền hội tụ  của chuỗi hàm lũy thừa miền hội tụ của hai chuỗi hàm lũy thừa (2) có trùng  xn nhau không?  n (6) Để trả lời cho câu hỏi trên, ta xét hai chuỗi số n =1  và thu được kết quả là (xem [3]): (−1) n  n =1 n ; (3) i.Nếu   1 thì  = [−1,1]. ii.Nếu 0    1 thì  = [−1,1). iii.Nếu   0 thì  = (−1,1). a,bTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Sau đó, chúng tôi đi tìm trong số các chuỗi hàm lũy thừa * Liên hệ tác giả Nguyễn Thị Hà Phương Email: nthphuong_kt@ued.udn.vn Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 3 (2017), 33-38 | 33
Nguyễn Thị Hà Phương, Phan Đức Tuấn  Để chứng minh Định lí 2.2, ta đi chứng minh một  n =1 un x n (7) số bổ đề sau: Bổ đề 2.3. Cho Pk ( x) là đa thức bậc k có dạng thỏa mãn điều kiện Pk ( x) = xk + p1xk −1 + ... + pk , (11) un lim =  ¡ + (8) n→ 1 n trong đó, k  ¥ , pi  ¡ (i = 1, k ). Khi đó chuỗi hàm nào có miền hội tụ trùng với chuỗi hàm lũy Pk ( x + 1) P ( x) lim = lim k k = 1. (12) thừa (6). Trong bài báo này chúng tôi chứng minh chuỗi x →+ Pk ( x) x →+ x hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (9) nếu thỏa mãn điều kiện Chứng minh. Sử dụng quy tắc bỏ vô cùng lớn bậc (8) sẽ có miền hội tụ trùng với chuỗi hàm lũy thừa (6). thấp, ta có k 2. Chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Pk ( x + 1) ( x + 1)k  x +1  lim = lim = lim   = 1. Chúng tôi bắt đầu từ chuỗi hàm lũy thừa có dạng x →+ Pk ( x) x →+ x k x →+  x   p0 n k + p1n k −1 + ... + pk Tương tự, ta cũng thu được đẳng thức thứ 2 của (12). qn n = n0 0 m + q1n m −1 + ... + qm xn (9) Bổ đề 2.4. Cho Pk ( x) là đa thức có dạng (11). Khi đó, tồn tại số n0  ¥ sao cho: trong đó, k , m  ¥ ; pi , q j  ¡ (i = 0, k; ) j = 0, m ; Pk ( x)  0, x  n0 . p0  0, q0  0 và q0 nm + q1nm−1 + ... + qm  0, n  n0 . Chứng minh. Nếu k = 0 thì Do sự hội tụ, phân kì của hai chuỗi số   P0 (x) = x0 = 1  0, x  ¡ .  u ;   u , (  0) n =1 n n =1 n Nếu k  0 thì từ lim Pk ( x) = + là như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử x →+ p0 = q0 = 1. Nghĩa là, chuỗi hàm lũy thừa (9) được viết suy ra tồn tại n0  ¥ sao cho Pk ( x)  0, x  n0 . lại dưới dạng Bổ đề 2.5. Cho Pk ( x), Q m ( x) là các đa thức có  k −1  n + p1n k + ... + pk n  Q (n) x . (10) dạng (11). Khi đó, nếu m  k thì tồn tại n0  ¥ sao Pk (n) m −1 x n := n n = n0 m + q1n + ... + qm n = n0 m cho hàm Pk ( x) Qm ( x) giảm với mọi x  n0 . Định nghĩa 2.1. Chuỗi hàm (10) được gọi là chuỗi Chứng minh. Đặt hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ và số  = m − k được gọi là Pk ( x) x k + p1 x k −1 + ... + pk độ lệch bậc của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (10). f ( x) = = . Qm ( x) xm + q1 x m−1 + ... + qm Định lí 2.2. Cho  là độ lệch bậc của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (10). Khi đó, miền hội tụ của Ta có hai chuỗi hàm (10) và (6) là trùng nhau. Nghĩa là: Pk ( x)Qm ( x) − Qm ( x) Pk ( x) A( x) i. Nếu   1 thì miền hội tụ của chuỗi hàm (10) là f ( x) = := . Qm2 ( x) Qm2 ( x) [−1;1]. ii. Nếu 0    1 thì miền hội tụ của chuỗi hàm Do Pk ( x), Q m ( x) là các đa thức nên A( x ) cũng là (10) là [ −1;1). một đa thức có hạng tử bậc cao nhất là (k − m) xm+k −1. iii. Nếu   0 thì miền hội tụ của chuỗi hàm (10) Với m, k  ¥ và m  k nên m + k − 1  0. Theo Bổ đề là ( −1;1). 2.4, thì tồn tại số n1  ¥ sao cho đa thức 34
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 3 (2017), 33-38 (k − m)−1 A( x)  0, x  n1, suy ra, A( x)  0, x  n1. Chọn   n0 = max S + 1, n1 , với S = x  ¡ : Qm ( x) = 0. Ta có  n = n0 (−1) n vn = v n = n0 n f  ( x)  0, x  n0 . Do đó, hàm f giảm với mọi x  n0 . nên chuỗi số (17) hội tụ tuyệt đối. Suy ra, chuỗi số (16) hội tụ. Bổ đề 2.6 ([1]). Với mọi n0  ¢ + , chuỗi số dương Như vậy, miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (10)  là [−1;1].  n 1 (13) n = n0 ii. Nếu 0    1. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh như hội tụ khi và chỉ khi   1. (i) ta thu được chuỗi số (14) phân kỳ. Chứng minh Định lí 2.2. Áp dụng Bổ đề 2.3, ta suy Ta xét sự hội tụ của chuỗi số (16). Từ Bổ đề 2.5, ta ra bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (10) là R = 1. suy ra tồn tại n1  ¥ sao cho dãy {vn } giảm khi n  n1 Khi x = R = 1, ta xét sự hội tụ của chuỗi số Mặt khác, sử dụng quy tắc bỏ vô cùng lớn bậc thấp   ta có  v . Pk (n) := n (14) Pk (n) nk 1 Q n =1 m ( n) n =1 lim vn = lim = lim m = lim  = 0. n → n → Qm (n) n → n n → n Theo Bổ đề 2.4 thì tồn tại n0  ¥ sao cho chuỗi số Theo tiêu chuẩn Leibnitz, ta suy ra chuỗi đan dấu  v (15)   (−1) v , n n = n0 n n (n2 = max{n0 , n1}) n = n2 là chuỗi số dương. Do đó, ta sẽ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương (15) bằng cách so sánh với chuỗi số hội tụ. Từ đó, suy ra chuỗi số (16) hội tụ. Như vậy, miền dương (13). hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (10) là [ −1;1). Khi x = − R = −1, ta xét sự hội tụ của chuỗi số iii. Nếu   0. Ta có   1 khi  = 0,  (−1)  (−1) v . Pk (n) lim (1)n vn =  n := n (16) n =1 Qm (n) n =1 n n→ + khi   0. Từ (15), ta suy ra chuỗi số  0 khi n →  nên theo điều kiện Do đó, (1)n vn →  cần ta suy ra các chuỗi số (14), (16) phân kỳ. Vậy miền  (−1) v n = n0 n n (17) hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (10) là ( −1;1). Định lí 2.2 đã được chứng minh. là chuỗi đan dấu. Ví dụ 2.7. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm lũy i. Nếu   1. Theo Bổ đề 2.3, ta có thừa sau: vn Pk (n) nm  n2 − 3n lim n → 1/ n = lim n → n k Qm (n) = 1. (18) n n =1 4 +6 xn ; (19) Áp dụng tiêu chuẩn so sánh 2 (tiêu chuẩn xét sự hội  n+4 tụ của chuỗi số dương [4]) và Bổ đề 2.6, ta thu được chuỗi số dương (15) hội tụ. Suy ra, chuỗi số (14) cũng n n =1 2 +n xn . (20) hội tụ. Chuỗi hàm (19) là chuỗi hàm với hệ số hữu tỉ có độ Mặt khác, ta có lệch bậc  = 2 nên theo Định lí 2.2, ta suy ra miền hội là [−1,1]. Tương tự chuỗi hàm (20) có độ lệch bậc  = 1 nên suy ra miền hội tụ là [ −1,1). 35
Nguyễn Thị Hà Phương, Phan Đức Tuấn Nhận xét 2.8. Qua Ví dụ 2.7, ta nhận thấy rằng việc Chuỗi hàm (25) được viết lại dưới dạng tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ  n n2  −1  chỉ là việc xác định độ lệch bậc. −   x  . n =1 n + 3  3  (27) 3. Quy về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Đặt X = −1 x , khi đó (27) là chuỗi hàm lũy thừa với a. Biến đổi sơ cấp hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc  = 1 nên suy ra miền hội tụ Không có phương pháp chung để quy một chuỗi của chuỗi hàm (27) theo X là [ −1,1). Do đó, ta suy ra hàm về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cụ thể ta có thể biến đổi sơ cấp miền hội tụ của chuỗi hàm (25) theo x là (−, −1)  [1, +). để quy về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ và nhờ đó Chuỗi hàm (26) được viết lại dưới dạng suy ra miền hội tụ một cách nhanh chóng. Sau đây là  n n6 − 7n 4 + 3 (x ) n một số ví dụ minh họa: 2 . (28) Ví dụ 3.1. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau: n =1 5 + 9n 3 −1  3n (n + 2) Đặt X = x 2  0, khi đó (28) là chuỗi hàm lũy thừa  2n n =1 2 − 3n xn ; (21) với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc  = −1. Kết hợp với điều kiện X  0 ta suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm  n2 + 5n − 7  5 (n n 2 + 1) xn . (22) (28) theo X là [0,1). Do đó, ta có miền hội tụ của n =1 chuỗi hàm (26) theo x là ( −1,1). Chuỗi hàm (21) được viết lại dưới dạng  b. Trường hợp riêng n+2  2n n =1 2 − 3n (3x)n . (23) Trong chứng minh Định lí 2.2, khi 0    1, nhờ Bổ đề 2.5 ta chỉ ra dãy {vn } là dãy giảm. Đó là một Đặt X = 3 x, khi đó chuỗi hàm (23) là chuỗi hàm trong hai điều kiện để suy ra chuỗi đan dấu (16) hội tụ. lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc  = 1. Áp dụng Trong trường hợp tổng quát nếu dãy {u n } thỏa mãn Định lý 2.2, ta thu được miền hội tụ của chuỗi hàm (23) điều kiện (8) thì không suy ra dãy {| un |} là dãy giảm. theo X là [ −1,1). Do đó, ta suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm (21) theo x là  −1 3,1 3) . Thật vậy, ta xét chuỗi số sau   (−1)n + n Tương tự, chuỗi hàm (22) được viết lại dưới dạng n=2 un =  n=2 (−1)n n (29)  n n2 + 5n − 7  x   n =1   . n2 + 1  5  (24) Ta có un n + (−1)n n Đặt X = x 5, ta thu được chuỗi hàm lũy thừa với hệ lim = lim = 1. n→ 1 n n→ n số hữu tỉ có độ lệch bậc  = 0. Theo Định lí 2.2, ta suy miền hội tụ của chuỗi hàm (24) theo X là ( −1,1). Như Tuy nhiên, dãy {| un |} không là dãy giảm. Vì nếu vậy, miền hội tụ của chuỗi hàm (22) theo x là (−5,5). ngược lại thì theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi đan dấu (29) hội tụ, trong khi chuỗi (29) phân kì. Ví dụ 3.2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau: Trong trường hợp riêng   (0,1] thì mệnh đề sau  (−1)n +1 n2  (n n =1 3 + 3) x n ; (25) cho ta kết quả tương tự Định lí 2.2. Mệnh đề 3.3. Giả sử dãy {u n } thỏa mãn điều kiện  (8). Khi đó n − 7n + 3 6 4 n n =1 5 + 9n − 13 x 2n . (26) 36
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 3 (2017), 33-38 i. Nếu   1 thì miền hội tụ của chuỗi hàm lũy Nhận xét 3.5. Trong Ví dụ 3.4, nếu áp dụng quy tắc thừa (7) là [−1,1]. bỏ vô cùng lớn bậc thấp thì ta có thể xem chuỗi hàm ii. Nếu   0 thì miền hội tụ của chuỗi hàm lũy (31), (32) như là các chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ thừa (7) là ( −1,1). có độ lệch bậc tương ứng là  = 3 / 2,  = −1 / 2. Chứng minh. Từ điều kiện (8), suy ra bán kính hội 4. Kết luận tụ của chuỗi hàm lũy thừa (7) bằng với chuỗi hàm lũy thừa (6) và bằng 1. Khi x =  R = 1, ta xét sự hội tụ Bài báo đã phát triển ý tưởng chọn hàm lũy thừa để làm đại lượng trung gian trong việc so sánh các đại các chuỗi số sau: lượng vô cùng bé trong [5] bằng việc chọn chuỗi hàm  lũy thừa (6) làm chuỗi hàm trung gian trong việc tìm  (1) u n =1 n n (30) miền hội tụ của chuỗi hàm. Bài báo đã đưa ra một cách tiếp cận mới khi tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa i. Nếu   1 thì kết hợp giữa (8) và tiêu chuẩn so đó là so sánh với chuỗi hàm trung gian (6). Nhờ đó, mà sánh 2 (tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương [4]), miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ được ta suy ra chuỗi số dương xác định thông qua việc tìm độ lệch bậc  . Bên cạnh đó   bài báo cũng đã đưa ra phương pháp quy một chuỗi hàm  n =1 (1)n un = u n =1 n , lũy thừa về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ. Qua đó, tìm ra miền hội tụ của nó một cách nhanh chóng. hội tụ. Do đó, các chuỗi số (30) là hội tụ tuyệt đối. Vậy Trong bài báo này chúng tôi chưa đưa ra kết quả miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (7) là [−1,1]. cho các chuỗi hàm thỏa mãn điều kiện (8) với ii. Nếu   0 thì từ (8), ta có un →  0 khi n → .   (0,1]. Đây là một vấn đề mở mà chúng tôi sẽ tiếp  0 khi n →  nên theo điều kiện cần Do đó, (1)n un → tục nghiên cứu trong thời gian đến. suy ra các chuỗi số (30) phân kì. Vậy miền hội tụ của Tài liệu tham khảo chuỗi hàm lũy thừa (7) là ( −1,1). Ví dụ 3.4. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau: [1] B. D. Demidovic (1975). Bài tập giải tích toán học. Tập 1, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.  4n + 3 [2] Đ. C. Khanh (2000). Giải tích một biến. NXB  n =1 n2 + n xn ; (31) ĐHQG TP. Hồ Chí Minh. [3] N. Đ. Trí, T. V. Đĩnh và N. H. Quỳnh (2008). Bài  tập toán cao cấp. Tập 2, NXB Giáo dục. n + ln n  2+ n =1 n xn . (32) [4] V. Tuấn (2011), Giáo trình giải tích toán học. Tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam. [5] Phan Đức Tuấn và Nguyễn Thị Thu Thủy (2017). Ta có Ứng dụng vô cùng bé tương đương tính giới hạn hàm 4n + 3 1 số. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư lim : = 2. phạm - Đại học Đà Nẵng, 22(01), 26-30. n → n +n 2 n3 Theo Mệnh đề 3.3, ta suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (31) là [−1,1]. Tương tự, từ n + ln n 1 lim = 1, n → 2+ n n Ta suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (32) là ( −1,1). 37
Nguyễn Thị Hà Phương, Phan Đức Tuấn CONVERGENCE DOMAINS OF POWER SERIES WITH RATIONAL COEFFICIENTS Abstract: The Taylor’s expansion enables us to expand an infinitely differentiable function into a power series. The opposite problem is the summation of a power series. Before calculating the sum of a power series, we need to find its domain of convergence because only on that domain does the sum of the series exist. This leads to the problem of finding the radius of convergence of the power series. We know that if un : avn when n tends to infinity, two power series with coefficients un , vn will have the same radius of convergence. This allows us to identify which types of power series have the same radius of convergence by comparing their coefficients as n tends to infinity. In [5], the authors chose the power function ax as an intermediary in comparing the extremely small quantities when x tends to result in zero. In this article, we choose the coefficient un = 1 n as a standard to determine the types of power series that have the same radius of convergence with the series with factor un . Then we go on to indicate that in this class, the power series with rational coefficients have the same domain of convergence with the power series with factor un . Key words: series; power series; radius of convergence; domain of convergence; comparison tests; Taylor’s expansion. 38