Một phương pháp điều khiển trượt mới không có pha tiếp cận

Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> MỘT PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT MỚI<br /> KHÔNG CÓ PHA TIẾP CẬN<br /> Cao Tiến Huỳnh1, Lê Trần Thắng1, Trần Văn Nhân2*<br /> Tóm tắt: Điều khiển chế độ trượt có ưu điểm làm cho hệ thống không bị tác<br /> động với sự biến đổi của các tham số và có thể gỡ bỏ hoàn toàn các nhiễu loạn.<br /> Tuy nhiên, các đặc điểm này chỉ có giá trị trong pha trượt [2],[3]. Thiết kế bề mặt<br /> trượt có thể cải thiện hiệu năng của bộ điều khiển bằng cách giảm thiểu hoặc loại<br /> bỏ thời gian tiếp cận để đạt đến pha trượt. Trong bài báo này, một phương pháp<br /> thiết kế bề mặt trượt mới được đề xuất nhằm đạt được mục đích nêu trên.<br /> Từ khóa: Pha trượt; Điều khiển trượt; Thiết kế bề mặt trượt mới.<br /> <br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> Quỹ đạo không gian trạng thái của hệ thống điều khiển chế độ trượt (Sliding mode<br /> control-SMC) có thể được chia thành hai phần thể hiện cho hai chế độ khác nhau của hoạt<br /> động hệ thống. Các quỹ đạo bắt đầu từ một điều kiện ban đầu ở xa bề mặt trượt và hướng<br /> về phía bề mặt trượt trong một khoảng thời gian xác định. Phần của quỹ đạo trước khi tiếp<br /> cận với bề mặt trượt được gọi là pha tiếp cận (reaching phase) và khoảng thời gian diễn ra<br /> của nó được gọi là thời gian tiếp cận (reaching time) [2], [3].<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 1. Điều khiển chế độ trượt.<br /> Khi quỹ đạo hội tụ đến bề mặt trượt, pha trượt (sliding phase) bắt đầu và quỹ đạo hệ<br /> thống nhanh chóng tiến về gốc tọa độ dọc theo bề mặt trượt trong một khoảng thời gian<br /> xác định được gọi là thời gian trượt (sliding time). Nói chung, thiết kế của một bộ điều<br /> khiển chế độ trượt (SMC) liên quan đến việc thiết kế một bề mặt trượt thể hiện động lực<br /> ổn định mong muốn và một luật điều khiển đảm bảo pha tiếp cận và pha trượt [8]. Trong<br /> pha tiếp cận các quỹ đạo hệ thống rất nhạy cảm với các biến đổi của tham số và nhiễu loạn<br /> nhưng trong pha trượt hệ thống bất biến với điều đó. Bài báo này đề xuất một mặt trượt<br /> mới đảm bảo triệt tiêu ảnh hưởng của pha tiếp cận đến chất lượng hoạt động của hệ thống<br /> và đảm bảo tính ổn định bền vững ngay từ điểm khởi đầu của hệ thống trong không gian<br /> trạng thái.<br /> 2. MÔ TẢ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN BẬC HAI<br /> Xét một lớp hệ thống điều khiển phi tuyến bậc hai được mô tả như sau:<br /> x1  x2<br /> (1)<br /> x 2  f ( x, t )  f ( x, t )  b( x, t )u  d (t )<br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 65, 02 - 2020 63<br />  Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br /> <br /> Trong đó, x1 , x2 là các biến trạng thái của hệ thống và:<br /> x(t )  [x1 (t ) x2 (t )]T (2)<br /> Là véc tơ trạng thái, t là thời gian, u là tín hiệu điều khiển; b, f là các hàm số bị<br /> chặn đã biết; f là thành phần bất định của mô hình; d là các nhiễu loạn bên ngoài. Giả<br /> sử tồn tại một hằng số dương  là giá trị biên nhỏ nhất của giá trị tuyệt đối b( x, t ) :<br /> inf{ b( x, t ) }= >0 (3)<br /> Do f và d chưa biết và bị chặn nên tồn tại hằng số dương  sao cho:<br /> f ( x, t )  d (t )   (4)<br /> Các điều kiện ban đầu của hệ thống:<br /> x10  x1 (t0 ); x20  x2 (t0 ) (5)<br /> Quỹ đạo mong muốn của hệ thống (1) là một hàm số của thời gian:<br /> xd (t )  [x1d (t ) x2 d (t )]T (6)<br /> Trong đó, x2d (t )  x1d (t ) là một hàm số vi phân theo thời gian. Sai số bám sát theo<br /> quỹ đạo được định nghĩa bởi véc tơ sau:<br /> e(t )  [e1 (t ) e2 (t )]T  x(t )  xd (t ) (7)<br /> Vậy:<br /> e1 (t )  x1d (t )  x1 (t ) (8)<br /> e2 (t )  x2d (t )  x2 (t ) (9)<br /> e1 (t0 )  e0  0;t0  0; (10)<br /> Tọa độ điểm khởi đầu của hệ thống trong không gian sai số là (e1 (t0 ), e2 (t0 )) . Tọa độ<br /> này luôn xác định và phụ thuộc vào cấu trúc vật lý của hệ thống.<br /> 3. THIẾT KẾ MẶT TRƯỢT MỚI<br /> 3.1. Phân tích các đặc điểm của mặt trượt truyền thống<br /> Mặt trượt truyền thống cho hệ thống điều khiển phi tuyến bậc hai (1) có dạng như sau [2]:<br /> s(e, t )  e2 (t )  ce1 (t )  0 (11)<br /> Trong đó, c  0 là một hằng số.<br /> Để xác định giá trị sai số bám sát e1 (t ) và sai số theo tốc độ e2 (t ) , cần giải phương<br /> trình:<br /> e2 (t )  ce1 (t )  0 (12)<br /> Do e2 (t )  e1 (t ) nên (12) được đưa về dạng phương trình vi phân bậc nhất của e1 (t ) :<br /> e1 (t )  ce1 (t )  0 (13)<br /> Với điều kiện ban đầu (10) và t0  0 , sử dụng phương pháp giải phương trình vi phân<br /> thông thường dễ dàng xác định được các nghiệm phương trình (13) trong khoảng thời gian:<br /> <br /> <br /> 64 C. T. Huỳnh, L. T. Thắng, T. V. Nhân, “Một phương pháp điều khiển trượt … pha tiếp cận.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> e1 (t )  e0 ect (14)<br /> e2 (t )  ce0 ect (15)<br /> Từ (14) và (15) rút ra các nhận xét về mặt trượt truyền thống như sau [2] (hình 2):<br /> - Sai số bám sát của hệ thống hội tụ nhanh về 0 theo hàm mũ và không tồn tại bất kỳ độ<br /> quá chỉnh nào.<br /> - Nếu hệ số c nhỏ thì thời gian tiếp cận của hệ thống nhỏ, nhưng động học của hệ<br /> thống chậm.<br /> - Ngược lại, nếu hệ số c lớn thì thời gian tiếp cận của hệ thống lớn, nhưng động học<br /> của hệ thống lại nhanh hơn, hệ thống nhanh hội tụ hơn.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 2. Các đáp ứng sai số trong không gian trạng thái<br /> với các giá trị c khác nhau.<br /> Quá trình phân tích trong trong các phần trên đã chỉ rõ rằng việc lựa chọn mặt trượt sẽ<br /> quyết định đến hoạt động và hiệu năng của hệ thống (1). Mục tiêu của mặt trượt được đề<br /> xuất trong bài báo này là vừa đảm bảo được đặc tính động học nhanh của hệ thống, vừa loại<br /> bỏ được pha tiếp cận, đảm bảo tính ổn định bền vững của hệ thống ngay từ điểm khởi đầu.<br /> 3.2. Đề xuất mặt trượt biến đổi mới<br /> Ý tưởng để loại bỏ pha tiếp cận đó là điểm đại diện ban đầu phải nằm trên mặt trượt<br /> ngay tại thời điểm ban đầu t0  0 .Vì thế, từ mặt trượt truyền thống (11), một mặt trượt<br /> mới được đề xuất như sau (hình 3):<br /> 3.2.1. Trường hợp e2 (t )  0<br /> <br /> s1  e2 (t )  c1e1 (t )  A  0, khi 0  t  t1<br /> <br /> s (e, t )  s2  e2 (t )  c2 e1 (t )  B  0, khi t1  t  t2 (16)<br /> <br /> s3  e2 (t )  c3e1 (t )  0, khi t  t2<br /> Trong đó: A, B là các hằng số; mặt trượt s1 là một đường thẳng đi qua điểm ban đầu<br /> và song song với mặt trượt truyền thống s3 nên c1  c3 . Mặt trượt s2 và s1 sử dụng trục<br /> e1 (t ) làm đường phân giác nên hệ số góc của s1 là:<br /> c2 c1 c3 (17)<br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 65, 02 - 2020 65<br />  Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 3. Biễu diễn mặt trượt mới trong không gian sai số.<br /> Hơn nữa, để thực sự loại bỏ pha tiếp cận và đảm bảo tính bất biến với nhiễu loạn ngay<br /> từ khi bắt đầu sự chuyển động của nó thì các hằng số c1 , A phải được chọn như là điểm<br /> đại diện của hệ thống tại thời điểm ban đầu t  t0 , nghĩa là mặt trượt s1 phải đi qua điểm<br /> ban đầu (e2 (t0 ), e1 (t0 ))<br /> Vì thế điều kiện sau phải được thỏa mãn:<br /> s1  e2 (t0 )  c1e1 (t0 )  A  0 (18)<br /> Với điều kiện ban đầu (10) và t0  0 , sử dụng phương pháp giải phương trình vi phân<br /> thông thường dễ dàng xác định được các nghiệm phương trình (18) trong khoảng thời gian<br /> t t0 , t1 :<br />  A<br /> e1 (t )  e0   ec1t <br /> A<br /> (19)<br />  c1  c1<br />  A<br /> e2 (t )  c1 e0   ec1t (20)<br />  c1 <br /> Từ (18) và t0  0 xác định được:<br /> A  e2 (t0 )  c1e0 (21)<br /> Để tính toán thời điểm chuyển sang sử dụng mặt trượt s2 cần giải phương trình:<br /> e1 (t1 )  c1e1 (t1 )  A  e1 (t1 ) (22)<br /> Trong đó, t1 là thời điểm mặt trượt s1 với trục e1(t). Từ đây tính được:<br />  A  c1t1 A<br /> e1 (t1 )  e0   e  (23)<br />  c1 1 c1 1<br /> Vậy:<br /> <br /> <br /> 66 C. T. Huỳnh, L. T. Thắng, T. V. Nhân, “Một phương pháp điều khiển trượt … pha tiếp cận.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br />  A  c1t1 A<br /> e1 (t1 )  e0   e <br />  c1 1 c1 1<br /> (24)<br /> 1  e1 (t1 )(1 c1 )  A <br /> t1  ln<br /> c1  e0 (c1 1)  A <br /> Thời điểm t2 mặt trượt s2 chuyển sang s3 được xác định bởi phương trình:<br /> s2  s3<br /> e2 (t2 )  c2 e1 (t2 )  B  e2 (t2 )  c3 e1 (t2 )<br /> (c2  c3 )e1 (t2 )  B (25)<br /> B B<br /> e1 (t2 )  ; e1 (t2 )   ec3t2<br /> c2  c3 2c2<br /> 1  B <br /> t2  ln  <br /> c3  2c2 <br /> 3.2.2. Trường hợp e2 (t )  0<br /> Trong trường hợp này chỉ sử dụng hai mặt trượt:<br /> s2  e2 (t )  c2 e1 (t )  B  0, khi t0  t  t1<br /> s(e, t )   (26)<br /> s3  e2 (t )  c3 e1 (t )  0, khi t  t1<br /> Trong đó, c2 và c3 thỏa mãn (17) và:<br /> B  e2 (t0 )  c2 e0 (27)<br /> Thời điểm t1 trong (26) được xác định theo kết quả ở (24), vậy:<br />  B  c1t1 B<br /> e1 (t1 )  e0   e <br />  c2  1 c2  1<br /> (28)<br /> 1  e1 (t1 )(1  c2 )  B <br /> t1  ln<br /> c1  e0 (c2  1)  B <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 1.4. Biểu diễn mặt trượt mới trong không gian sai số.<br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 65, 02 - 2020 67<br />  Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br /> <br /> 4. XÂY DỰNG LUẬT ĐIỀU KHIỂN VỚI MẶT TRƯỢT ĐỀ XUẤT<br /> Xây dựng luật điều khiển với mặt trượt s1<br /> 1 2<br /> Chọn hàm Lyapunov dạng: V  s . Đạo hàm của V là: V  s1 s1 .<br /> 2 1<br /> Đặt e1  e1 (t ) , ta có:<br /> <br /> V  s1 (e1  c1e1 )  s1 [( <br /> x1d  <br /> x1 )  c1e1 ] (29)<br /> <br /> Do <br /> x1  x 2 , kết hợp (1) và (29) được:<br /> V  s1 [<br /> x1d  c1e1  f  f  bu  d ] (30)<br /> Từ (30) đề xuất một luật điều khiển như sau:<br /> 1<br /> u  [  ks1   sgn( s1 )  <br /> x1d  c1e1  f ] (31)<br /> b<br /> Trong đó:   0; k  0.<br /> Vậy:<br /> V   s1[ks1   sgn( s1 )  f  d ]<br /> V  ks12   s1  s1 (f  d ) (32)<br /> V  ks 2   s  s f  d<br /> 1 1 1<br /> <br /> Kết hợp (4) ta được:<br /> V   ks12   s1   s1<br /> (33)<br /> V   ks12  s1 (    )<br /> Vậy chỉ cần chọn    sẽ đảm bảo cho V  0 . Mặt khác, từ (33) dễ thấy: V  0 với<br /> mọi giá trị s  0 . Theo lý thuyết hàm Lyapunov hệ thống (1) ổn định tiệm cận (đpcm).<br /> 1<br /> <br /> Do các mặt trượt trong (16) và (26) có dạng giống nhau nên bộ điều khiển dạng (31)<br /> cũng đảm bảo cho hệ thống (1) ổn định tiệm cận trong các trường hợp sử dụng mặt trượt<br /> khác nhau trong hai trường hợp đã phân tích trong các mục (3.2.1) và (3.2.2).<br /> 5. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG<br /> Mô phỏng HTĐBSMT sử dụng động cơ một chiều không chổi than (Torque BLDC<br /> motor) có mô hình toán học đầy đủ được mô tả như sau [9]:<br /> K e [TeTm<br /> x (t )  Tm <br /> x (t )  x (t )]  f ( x )  d (t )  u (t ) (34)<br /> Trong đó, Te là hằng số điện từ, Tm là hằng số điện cơ, Ke là hệ số tỷ lệ.<br /> Vậy: a3=KeTeTm; a2=KeTm; a1=Ke;<br /> Thực hiện mô phỏng với động cơ điện S Series Brushless Torque Motor- Aerotech S-<br /> 180-44-A có công suất 313W, các tham số được quy đổi theo [5],[6]. Tham số momen<br /> quán tính của hệ thống được tính trên cơ sở tải cân bằng và có khối lượng 30 kg. Các tham<br /> số của đối tượng:<br /> <br /> <br /> <br /> 68 C. T. Huỳnh, L. T. Thắng, T. V. Nhân, “Một phương pháp điều khiển trượt … pha tiếp cận.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> 1 2 3<br /> K t  2, 2 Nm / A; J  7, 40  10 kgm ; L  3, 4  10 H<br /> 1 3<br /> R  12,8 ; K e  2, 5650897; Tm  17  10 ( s ); Te  L R  0, 27  10 ( s )<br /> 3<br /> K eTm  4,3606525; K eTeTm  1,177376  10<br /> Các hệ số ai :<br /> 3<br /> a1  2,5650897; a2  4,3606525; a3  1,177376  10<br /> <br /> Vậy 1n<br /> a  2,5650897; a 2n<br />  4,3606525<br /> .<br /> Do a3 quá nhỏ nên có thể bỏ qua số hạng chứa a3 trong (34) mà hầu như không ảnh<br /> hưởng nhiều đến chất lượng động học của hệ thống [7].<br /> Lúc này phương trình dùng mô phỏng có dạng:<br /> K e [Tm <br /> x (t )  x (t )]  f ( x )  d (t )  u (t ) (35)<br /> Đưa (35) về dạng (1) và áp dụng các kết quả đã nghiên cứu để mô phỏng.<br />   <br /> Đặt : d t  5  [ sin(t )  sin 2t ]  10   , vậy trong (33) chọn   10 , do<br /> k  0 tùy ý nên có thể chọn k  15 . Tín hiệu đặt: xd  t   sin( t ).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 5. Sơ đồ mô phỏng.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 6. Quỹ đạo pha của hệ thống luôn ở pha trượt khi chọn thời điểm<br /> chuyển mặt trượt đúng (đối với mặt trượt đề xuất (16)).<br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 65, 02 - 2020 69<br />  Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 7. Quỹ đạo pha của hệ thống đối với mặt trượt truyền thống (11).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 8. Sai số bám vị trí khi sử dụng mặt trượt đề xuất (16).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 9. Sai số bám vị trí khi sử dụng mặt trượt truyền thống (11).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 10. Tín hiệu điều khiển khi sử dụng mặt trượt đề xuất (16).<br /> <br /> <br /> 70 C. T. Huỳnh, L. T. Thắng, T. V. Nhân, “Một phương pháp điều khiển trượt … pha tiếp cận.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 11. Tín hiệu điều khiển khi sử dụng mặt trượt truyền thống (11).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 12. Quỹ đạo pha của hệ thống khi chọn thời điểm chuyển mặt trượt sai.<br /> * Nhận xét:<br /> - Quỹ đạo pha của hệ thống sẽ luôn ở trong pha trượt khi sử dụng dạng mặt trượt đề<br /> xuất kết hợp với bộ điều khiển đảm bảo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov và lựa chọn thời<br /> điểm chuyển đổi các mặt trượt đúng (hình 6).<br /> - So sánh kết quả mô phỏng (bảng 1):<br /> Bảng 1. So sánh kết quả mô phỏng khi sử dụng mặt trượt (11) và (16).<br /> TT Trường hợp Mặt trượt truyền thống Mặt trượt đề xuất (16)<br /> Tham số (11)<br /> 1 Thời gian quá độ 0.164 0.4415<br /> (s)<br /> 2 Sai số xác lập (%) 2.58 x 10-3 2.67 x 10-3<br /> 3 Pha tiếp cận Có Không<br /> 4 Tín hiệu điều khiển Tương tự khi dùng (16) Tương tự khi dùng (11)<br /> Kết quả mô phỏng cho thấy trong hai trường hợp thời gian quá độ (khi sai số < 2%) và<br /> sai số xác lập chênh lệch không đáng kể, tín hiệu điều khiển tương tự nhau. Tuy nhiên,<br /> mặt trượt đề xuất cùng với bộ điều khiển (31) đảm bảo cho hệ thống luôn ở pha trượt.<br /> - Khi tính toán và lựa chọn sai thời điểm chuyển đổi các mặt trượt; quỹ đạo pha hệ<br /> thống sẽ không đảm bảm luôn ở trong pha trượt (hình 12).<br /> 6. KẾT LUẬN<br /> Bài báo đã trình bày một phương pháp điều khiển trượt mới trên cơ sở đề xuất một<br /> dạng mặt trượt tổ hợp đảm bảo loại bỏ được pha tiếp cận và hệ thống luôn ổn định bền<br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 65, 02 - 2020 71<br />  Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br /> <br /> vững ngay từ điểm khởi đầu của hệ thống. Các kết quả chứng minh bằng lý thuyết và mô<br /> phỏng của bài báo làm tăng thêm tính ưu việt cho điều khiển trượt.<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Editors: Xinghuo Yu · Mehmet Önder Efe, “Recent Advances in Sliding Modes: From<br /> Control to Intelligent Mechatronics”, Springer International Publishing Switzerland,<br /> 2015.<br /> [2]. Vadim Utkin, Jurgen Guldner, Jingxin Shi, “Advanced Sliding Mode Control for<br /> Electromechanical Systems”, (Second Edition), Taylor & Francis Inc, America, 2009.<br /> [3]. Vadim Utkin, “ Sliding Modes in Control and Optimization”, Springer, Berlin, 1992.<br /> [4]. Andrei A. Agrachev, A. Stephen Morse, Eduardo D. Sontag, Héctor J. Sussmann,<br /> Vadim I. Utkin, “Nonlinear and Optimal Control Theory: Lectures given at the<br /> C.I.M.E. Summer School held in Cetraro”, Italy, June 19–29, 2004.<br /> [5]. PITTMAN Motors, Servo motor application note.<br /> [6]. Aerotech.Inc,http://www.aerotech.com/product-catalog/motors/rotary-motors/bm-<br /> series.aspx?p=%2fproduct-catalog%2fmotors.aspx<br /> [7]. Смольников П.П., Синтез квазиоптимальных систем автоматического<br /> управления. Энергия, Ленинград 1987.<br /> [8]. Asif Chalanga, MachhindranathPatil, BijnanBandyopadhyay, Hemendra Arya,<br /> “Output regulation using new sliding surface with an implementation on inverted<br /> pendulum system”, European Journal of Control 45, tr 85–91, 2019.<br /> [9]. Nguyễn Trung Kiên, “Xây dựng phương pháp tổng hợp hệ thống điều khiển các đài<br /> quan sát tự động định vị từ xa các đối tượng di động”, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Viện<br /> Khoa học và Công nghệ quân sự, 2015.<br /> ABSTRACT<br /> A NEW SLIDING CONTROL METHOD<br /> WITHOUT THE REACHING PHASE<br /> Sliding mode control provides insensitivity to parameter variations and complete<br /> rejection of disturbances. However, this property is only valid in the sliding phase.<br /> Sliding surface design can be used to improve controller performance by<br /> minimizing or eliminating the time to reach the sliding phase. In this paper, a new<br /> sliding surface design method is proposed to achieve the above purpose.<br /> Keywords: Sliding phase; Sliding mode control; New sliding surface design.<br /> <br /> Nhận bài ngày 15 tháng 11 năm 2019<br /> Hoàn thiện ngày 15 tháng 01 năm 2020<br /> Chấp nhận đăng ngày 17 tháng 02 năm 2020<br /> <br /> Địa chỉ: 1 Viện Tự động hóa Kỹ thuật quân sự;<br /> 2<br /> Học viện Hải quân.<br /> *<br /> Email: tranvannhannt@gmail.com.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 72 C. T. Huỳnh, L. T. Thắng, T. V. Nhân, “Một phương pháp điều khiển trượt … pha tiếp cận.”<br />