Một phương pháp thiết kế bộ điều khiển phi tuyến dựa vào mô hình tuyến tính hóa của đối tượng

Đỗ Trung Hải và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 118(04): 43 - 47<br /> <br /> MỘT PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN<br /> DỰA VÀO MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH HÓA CỦA ĐỐI TƯỢNG<br /> Đỗ Trung Hải1,*, Lê Thị Hồng Gấm2<br /> 1<br /> <br /> Trường ĐH Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên<br /> 2<br /> Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái Nguyên<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Bài báo trình bày kết quả nghiên cứu ứng dụng phương pháp tuyến tính hóa mở rộng (GainScheduling) để điều khiển hệ động học phi tuyến. Luật điều khiển phi tuyến được thiết kế từ mô<br /> hình tham số hóa của đối tượng, đó là mô hình tuyến tính hóa tương đương trong lân cận các điểm<br /> làm việc đã tham số hóa. Đối tượng phi tuyến chọn để điều khiển theo phương pháp này là hệ<br /> thống bình mức và việc mô phỏng thực hiện bằng phần mềm Matlab-Simulink.<br /> Từ khóa: Điều khiển, hệ phi tuyến, tuyến tính hóa, Gain Scheduling, hệ thống bình mức.<br /> Chữ viết tắt: LQR: phương pháp tối ưu tuyến tính dạng toàn phương.<br /> <br /> ĐẶT VẤN ĐỀ*<br /> Việc ứng dụng các kết quả nghiên cứu lý<br /> thuyết vào điều khiển lớp đối tượng trong<br /> thực tế sản xuất luôn là vấn đề được quan tâm<br /> nghiên cứu. Có nhiều phương pháp thiết kế<br /> bộ điều khiển cho đối tượng phi tuyến [1],[3]:<br /> Bộ điều khiển tuyến tính dựa vào mô hình<br /> tuyến tính hóa; bộ điều khiển phi tuyến dựa<br /> vào mô hình phi tuyến; bộ điều khiển phi<br /> tuyến dựa vào mô hình cận tuyến tính… Kỹ<br /> thuật thiết kế Gain-Scheduling là phương<br /> pháp thiết kế bộ điều khiển phi tuyến dựa<br /> vào mô hình tuyến tính hóa và hơn nữa việc<br /> thiết kế bộ điều khiển phi tuyến ở phương<br /> pháp này hoàn toàn có thể sử dụng các<br /> phương pháp thiết kế trong lý thuyết điều<br /> khiển tuyến tính như phương pháp gán điểm<br /> cực, phương pháp tối ưu tuyến tính dạng<br /> toàn phương LQR…<br /> PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH MỞ RỘNG<br /> (GAIN SCHEDULING)<br /> Dựa vào mô hình tuyến tính hóa tại các điểm<br /> làm việc để thiết kế các bộ điều khiển, với<br /> mỗi điểm làm việc sẽ có một mô hình tuyến<br /> tính hóa và ứng với nó ta có một bộ điều<br /> khiển. Để đảm bảo chất lượng điều khiển, khi<br /> điểm làm việc thay đổi thì phải chuyển đổi<br /> các bộ điều khiển. Trong trường hợp hệ có<br /> nhiều điểm làm việc thì việc chuyển đổi các<br /> *<br /> <br /> Tel: 0912224733; Email: dotrunghai@tnut.edu.vn<br /> <br /> bộ điều khiển này rất khó thực hiện, khắc<br /> phục nhược điểm này người ta dùng một bộ<br /> điều khiển chung cho tất các các điểm làm<br /> việc mà vẫn đảm bảo chất lượng điều khiển<br /> yêu cầu [1],[3],[5]. Phương pháp thiết kế bộ<br /> điều khiển phi tuyến chung cho tất cả các<br /> điểm làm việc dựa vào mô hình tuyến tính<br /> hóa tương đương được gọi là GainScheduling.<br /> Trong phương pháp Gain−scheduling điểm<br /> làm việc không được chọn cố định mà phụ<br /> thuộc tín hiệu vào, tín hiệu ra hoặc biến trạng<br /> thái và chúng được xem như tham số của<br /> điểm làm việc. Với các giá trị khác nhau của<br /> tham số này ta có các điểm làm việc khác<br /> nhau. Xét đối tượng phi tuyến có mô hình<br /> toán học (1):<br /> d x<br /> = f ( x, u ) (1)<br /> <br />  dt<br />  y = g ( x, u )<br /> <br /> <br /> Trong đó:<br /> u = (u1 , u2 ,..., um )T là vector tín hiệu vào<br /> <br /> y = ( y1 , y2 ,..., y p )T là vector tín hiệu ra<br /> x = ( x1 , x2 ,..., xn )T là vector biến trạng thái<br /> <br /> Các vector hệ thống là:<br /> f ( x, u ) = ( f1 ( x, u ), f 2 ( x, u ),..., f n ( x, u ))T<br /> g ( x, u ) = ( g1 ( x, u ), g 2 ( x, u ),..., g r ( x, u ))T<br /> <br /> 43<br /> <br /> Đỗ Trung Hải và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> Thiết kế bộ điều khiển cho hệ (1) theo<br /> phương pháp này được thực hiện theo các<br /> bước sau:<br /> Xác định họ các điểm làm việc và tham số<br /> hóa họ các điểm làm việc<br /> Họ các điểm làm việc của đối tượng phi tuyến<br /> (1) là nghiệm của hệ phương trình (2) khi hệ<br /> thống ở chế độ dừng u = u0:<br /> <br /> 118(04): 43 - 47<br /> <br /> Xác định luật điều khiển<br /> Cấu trúc hệ điều khiển dựa vào mô hình tuyến<br /> tính tương đương như hình 1.<br /> <br /> wδ<br /> <br /> K 2 (v )<br /> <br /> uδ<br /> <br /> d xδ<br /> = A (v ) x δ + B (v )u δ<br /> dt<br /> y δ = C (v ) x δ + D (v )u δ<br /> <br /> xδ<br /> <br /> K1 (v)<br /> <br /> dx<br /> = f ( x, u )<br /> = 0 (2)<br /> dt<br /> u =u<br /> <br /> yδ<br /> <br /> 0<br /> <br /> Giả sử giải (2) ta tìm được họ các điểm làm<br /> <br />  xv <br /> <br />  u0 <br /> <br /> Luật điều khiển uδ cho mô hình tuyến tính<br /> <br /> việc có dạng: <br /> <br /> Tham số hóa họ các điểm làm việc bằng cách<br /> chọn vector tham số v phụ thuộc vào x, u<br /> hoặc y rồi biểu diễn xv, u0 theo vector tham số<br /> <br />  xv   xv (v) <br />  =<br />  (3)<br />  u0   u0 (v) <br /> Xây dựng mô hình tham số hóa<br /> Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa xấp xỉ<br /> hệ phi tuyến trong lân cận họ các điểm làm<br /> việc [1],[3]. Mô hình tuyến tính hóa tương<br /> đương phụ thuộc tham số ν (mô hình tham<br /> số hóa) như sau:<br />  xɺ δ = A (ν ) x δ (ν ) + B (ν ) u δ (4)<br />  y = C (ν ) x (ν ) + D (ν ) u<br /> δ<br /> δ<br />  δ<br /> <br /> với xδ = x − x(ν ) ; uδ = u − u 0 (ν ) ;<br /> yδ = y − g ( x(ν ), u 0 (ν ) ) A(ν ) =<br /> B (ν ) =<br /> <br /> ∂u<br /> <br /> ∂f<br /> ∂x<br /> ∂g<br /> <br /> ( x (ν ), u 0 (ν ) ) ;<br /> <br /> ( x(ν ), u (ν ) ) ; C (ν ) = ∂ x ( x(ν ), u (ν ) ) ;<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> D(ν ) =<br /> <br /> ∂g<br /> ∂u<br /> <br /> ( x(ν ), u 0 (ν ) )<br /> <br /> Và:<br /> dxv (v)<br /> dx d ( x − xv (v)) dx (5)<br /> = 0; δ =<br /> =<br /> dt<br /> dt<br /> dt<br /> dt<br /> <br /> Mô hình tuyến tính tương đương (4) được sử<br /> dụng để xác định luật điều khiển phi tuyến<br /> theo phương pháp Gain-Sheduling.<br /> 44<br /> <br /> tương đương tại điểm làm việc xv(v), u0(v),<br /> y v (v) , sẽ có dạng:<br /> uδ = K1 (v) xδ + K 2 (ν )w δ (6)<br /> <br /> Với w δ = w − w(ν ) ; K1(v), K2 (v) là hai hàm trơn<br /> <br /> này, ta được:<br /> <br /> ∂f<br /> <br /> Hình 1. Sơ đồ cấu trúc hệ dùng bộ điều khiển<br /> Gain-Scheduling với mô hình tham số hóa<br /> <br /> cần được xác định dựa trên các phương pháp<br /> tổng hợp hệ tuyến tính. Trong nội dung bài<br /> báo này sử dụng phương pháp gán điểm cực;<br /> K1(v), K2 (v) được xác định sao cho:<br /> - Hệ thống kín với phản hồi trạng thái K1(v)<br /> nhận các giá trị s1, s2, . . ., sn cho trước làm<br /> các điểm cực, hay<br /> det(sI − A(v) − K1(v)B(v)) = (s − s1)(s − s2 )...(s − sn ) (7)<br /> <br /> - Tín hiệu ra của hệ thống bám theo tín hiệu<br /> vào yδ → w δ , hay<br /> w v = g ( x(ν ), u 0 (ν ) ) (8)<br /> <br /> - Là những giá trị của bộ điều khiển chung<br /> r (w, x ) như ở hình 2 khi chúng được tuyến<br /> tính hóa tại các điểm làm việc.<br /> w<br /> <br /> u<br /> r( w ,x)<br /> <br /> Đối tượng<br /> điều khiển<br /> <br /> x<br /> Hình 2. Cấu trúc hệ điều khiển<br /> với bộ điều khiển chung<br /> <br /> y<br /> <br /> Đỗ Trung Hải và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> ∂u ∂r ∂w ∂r ∂x<br /> Hay ∂u = ∂r (w, x) (9)<br /> (10)<br /> =<br /> +<br /> ∂v ∂w ∂v ∂x ∂v<br /> ∂v<br /> ∂v<br /> ∂ u0<br /> ∂v<br /> <br /> = K 2 (v )<br /> <br /> ∂w v<br /> ∂x<br /> + K1 (v ) v (11)<br /> ∂v<br /> ∂v<br /> <br /> 118(04): 43 - 47<br /> <br /> Qo1, Qo2, Qo3 là lưu lượng nước chảy ra khỏi<br /> bình 1, bình 2 và bình 3.<br /> Qi1 = u (t ) (14)<br /> Q o1 = d 2 gh1 ( t ) = Qi 2<br /> <br /> Luật điều khiển chung sẽ là:<br /> <br /> Qo 2 = d 2gh2 (t ) = Qi 3 (16)<br /> <br /> u(t) = u 0 (ν) + K 2 (ν)[w(t)-w ν (ν)]+K1 (ν)[x(t)-x ν (ν)]<br /> <br /> Qo 3 = d 2 gh3 ( t )<br /> <br /> (12)<br /> MÔ PHỎNG<br /> Lựa chọn đối tượng<br /> Đối tượng được chọn cho việc thiết kế và mô<br /> phỏng hệ điều khiển bằng phương pháp tuyến<br /> tính mở rộng là mô hình hệ thống điều khiển<br /> mức với ba bình thông nhau như hình 3.<br /> <br /> (15)<br /> <br /> (17)<br /> <br /> g là hằng số hấp dẫn, đặt c = d 2 g , biến đổi<br /> ta được mô hình toán học của hệ là:<br /> c<br /> 1<br /> ɺ<br />  h1 ( t ) = − D h1 ( t ) + D u ( t )<br /> <br />  hɺ ( t ) = − c h ( t ) + c h ( t ) (18)<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> D<br /> D<br /> <br /> <br /> c<br /> c<br /> h3 ( t ) +<br /> h2 ( t )<br />  hɺ3 ( t ) = −<br /> D<br /> D<br /> <br />  y ( t ) = h3 ( t )<br /> <br /> Điểm dừng của hệ là nghiệm của hệ phương<br /> trình hɺ(t ) = 0 với u(t) = u0. Ta có:<br /> 1<br />  −c<br />  D h1 (t ) + D u0 = 0<br /> <br /> −c<br /> c<br /> h2 (t ) +<br /> h1 (t ) = 0 (19)<br /> <br /> D<br /> D<br />  −c<br /> c<br /> h3 (t ) +<br /> h2 (t ) = 0<br /> <br /> D<br /> D<br /> <br />  y (ν ) = h3 (t )<br /> <br /> Hình 3. Mô hình hệ thống bình thông nhau<br /> <br /> Trong đó: Tín hiệu vào u(t) là lưu lượng nước<br /> chảy vào bình 1; các biến trạng thái là mức<br /> nước ở các bình h1(t), h2(t), h3(t); tín hiệu ra là<br /> mức nước ở bình 3: y(t) = h3(t).<br /> Giả thiết: thiết diện các bình là D và thiết diện<br /> các ống cấp và xả ra ở các bình bằng d. Yêu<br /> cầu điều khiển hệ sao cho đầu ra bám theo tín<br /> hiệu đầu vào. Theo [4], từ mô hình hệ thống,<br /> ta có:<br />  dh1 ( t )<br />  D dt = Qi1 − Q o1<br /> <br />  D dh2 ( t ) = Q − Q (13)<br /> <br /> i2<br /> o2<br /> dt<br /> <br />  dh3 ( t )<br /> = Qi 3 − Q o 3<br /> D<br /> dt<br /> <br />  y ( t ) = h3 ( t )<br /> <br /> trong đó:<br /> Qi1,, Qi2,,Qi3 là lưu lượng nước chảy vào bình<br /> 1, bình 2 và bình 3.<br /> <br /> Hay<br /> <br /> u02<br />  h1 (t ) = h2 (t ) = h3 (t ) = 2 (20)<br /> c<br /> <br /> 2<br />  y (t ) = h (t ) = u0<br /> 3<br /> <br /> c2<br /> <br /> Tham số hóa điểm làm việc trên thành:<br /> <br />  v2 <br /> <br />  2<br />   h1 (v)   c <br /> 2<br /> <br />  v <br />   h2 (v)  =  2  (21)<br /> c<br /> <br />   h3 (v)   2 <br /> v <br /> <br /> <br />  c2 <br /> <br />  <br /> <br /> v2<br /> <br />  y (v) = c 2<br /> <br /> 45<br /> <br /> Đỗ Trung Hải và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> Sử dụng (4) ta xây dựng được mô hình tham<br /> số hóa của hệ thống là:<br /> ɺ<br /> c2<br /> 1<br />  hδ 1 ( t ) = − 2 Dν hδ 1 ( t ) + D u δ ( t )<br /> <br /> c2<br /> c2<br /> ɺ<br /> hδ 2 ( t ) +<br /> hδ 1 ( t ) (22)<br />  hδ 2 ( t ) = −<br /> 2 Dν<br /> 2 Dν<br /> <br /> <br /> c2<br /> c2<br />  hɺδ 3 ( t ) = −<br /> hδ 3 ( t ) +<br /> hδ 2 ( t )<br /> 2 Dν<br /> 2 Dν<br /> <br />  y δ ( t ) = hδ 3 ( t )<br /> <br /> trong đó hδ = h − h(ν ) , uδ = u − u (ν )<br /> Thiết kế bộ điều khiển phi tuyến trên cơ sở<br /> mô hình tham số hóa, sử dụng phản hồi<br /> trạng thái tổng hợp theo phương pháp gán<br /> điểm cực<br /> <br /> Sơ đồ cấu trúc điều khiển theo phương pháp<br /> phản hồi trạng thái như hình 1.<br /> <br /> 118(04): 43 - 47<br /> <br /> <br /> <br /> u0 = v<br /> <br />  w v = y v = g (u 0 , xv<br /> <br /> <br />  v2<br /> v2<br /> v2<br />  xv =  2<br /> 2<br /> c<br /> c2<br />  c<br /> <br /> <br /> Tìm được: K 2 (v) =<br /> <br /> ) =<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> v<br /> c<br /> <br /> 2<br /> <br /> (25)<br /> <br /> 2<br /> <br /> T<br /> <br /> c2<br /> − k1 − k2 − k3 (26)<br /> 2v<br /> <br /> Chọn tham số v theo tín hiệu vào, từ (12) tín<br /> hiệu điều khiển là:<br /> 3<br /> c 2 3 pw − 3a<br /> w− +<br /> ( w − h1 (t ) ) +<br /> 2<br /> 2<br /> bw<br /> 3p 2 w 2 − 6 pabw+3a<br /> (27)<br /> +<br /> ( w − h2 (t ) ) +<br /> abw<br /> p 3 w 3 − 3ap 2 w 2 + 3a 2 pw − a 3<br /> +<br /> ( w − h3 (t ) )<br /> a 2 bw<br /> u(t) =<br /> <br /> Xác định K1(v), K2(v) :<br /> <br /> Kết quả mô phỏng hệ thống bằng phần<br /> mềm Matlab-Simulink<br /> <br /> - K1(v): Hệ có 3 biến trạng thái vì<br /> <br /> Chọn thông số của đối tượng:<br /> <br /> vậy K1(v) =[k1 k2 k3] . Theo (7), K1(v) được<br /> <br /> D = 1m2; d = 0,00112 m2; c = 0,005;<br /> <br /> tổng hợp sao cho hệ với cấu trúc phản hồi<br /> trạng thái nhận các giá trị s=s1=s2=s3= -p với<br /> p>0 làm các điểm cực (không mất tính tổng<br /> quát khi chọn các điểm cực trùng nhau). Khi<br /> đó bộ điều khiển K1(v) phải thỏa mãn:<br /> <br /> a = 0,0000125; b = 1; p= 1.<br /> <br /> det ( sI − A(ν ) − B(ν )K1(v)) = (s − s1)(s − s2 )(s − s3) (23)<br /> <br /> Với A(v), B(v) được xác định từ (22). Giải<br /> (23) tìm được:<br /> − 3 pν + 3 a<br /> <br /> k1 =<br /> bν<br /> <br /> 2 2<br /> -3 p ν + 6 p abν − 3 a<br /> <br /> (24)<br /> k 2 =<br /> ν<br /> ab<br /> <br /> <br /> − p 3ν 3 + 3 a p 2 v 2 − 3a 2 pν + a 3<br /> k3 =<br /> a 2bν<br /> <br /> <br /> c2<br /> 1<br /> Với: a = 2 D b = D<br /> ,<br /> - Xác định K2(v): từ (11), với<br /> 46<br /> <br /> Trong đó các khâu:<br /> a 0,0000125 ; w 2<br /> = 40000w 2<br /> =<br /> w<br /> w<br /> c2<br /> <br /> k1 = −3 +<br /> <br /> 0.0075 ;<br /> 3<br /> k 2 = −24.104 w+6 −<br /> w<br /> w<br /> <br /> k3 =−64.108w2 + 24.104w - 3 +<br /> <br /> 0,0000125<br /> w<br /> <br /> Sử dụng phần mềm Matlab - Simulink mô<br /> phỏng ta thu được đáp ứng của hệ như hình 4.<br /> KẾT LUẬN<br /> Bài báo ứng dụng phương pháp tuyến tính mở<br /> rộng (Gain Scheduling) để xây dựng luật điều<br /> khiển phi tuyến cho một đối tượng cụ thể đó<br /> là hệ thống điều khiển mức với ba bình thông<br /> nhau. Việc tham số hóa điểm làm việc được<br /> chọn theo tín hiệu vào của hệ.<br /> Các tham số bộ điều khiển được xác định<br /> bằng phương pháp tuyến tính, cụ thể bài báo<br /> <br /> Đỗ Trung Hải và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> sử dụng phương pháp gán điểm cực để xác<br /> định các hệ số phản hồi trạng thái k1, k2, k3.<br /> Lựa chọn một bộ tham số của đối tượng, xác<br /> định luật điều khiển và sử dụng phần mềm<br /> Matlab – Simulink để mô phỏng. Kết quả mô<br /> phỏng cho thấy bộ điều khiển phi tuyến xác<br /> định theo phương pháp Gain – Scheduling<br /> mang đến cho hệ chất lượng điều khiển với<br /> thời gian quá độ 10s đáp ứng được yêu cầu về<br /> điều khiển mức của hệ thống bình thông nhau.<br /> m<br /> <br /> 2.5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Giá trị đặt<br /> 1.5<br /> <br /> 1<br /> <br /> Đáp ứng<br /> đầu ra của<br /> 0.5<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 10<br /> <br /> 20<br /> <br /> 30<br /> <br /> 40<br /> <br /> 50<br /> <br /> 60<br /> <br /> s<br /> <br /> Hình 4. Đáp ứng của hệ thống<br /> <br /> 118(04): 43 - 47<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh, Hán<br /> Thành Trung, (2006) "Lý thuyết điều khiển phi<br /> tuyến”, Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.<br /> [2]. Nguyễn Phùng Quang, (2003) “MATLAB và<br /> Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động”, Nhà<br /> xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.<br /> [3]. A. ISIDORI, (1995), “Nonlinear Control<br /> System”. Springer.<br /> [4].<br /> Kayode Owa1, Sanjay Sharma, Robert<br /> Sutton, (2013), “Nonlinear Model Predictive<br /> Control Strategy Based on Soft<br /> Computing Approaches and Real Time<br /> Implementation on a Coupled-Tank System”,<br /> International Journal of Advanced Research in<br /> Computer Science and Software Engineering,<br /> Volume 3, Issue 5, Page 1350-1359.<br /> [5]. Lokman Abdullah, Zamberi Jamaludin,<br /> Qumrul Ahsan, Jailani Jamaludin, Nur Aidawaty<br /> Rafan, Chiew Tsung Heng, Kamaruzaman Jusoff<br /> and Mariana Yusoff, (2013),“ Evaluation on<br /> Tracking Performance of PID, Gain Sheduling<br /> and Classical Cascade P/PI Controller on XY<br /> Table Ballscrew Drive System”, World Applied<br /> Sciences Journal 21, Pages 1-10.<br /> <br /> SUMMARY<br /> LINEARIZED MODELS OF THE OBJECTS BASED A METHOD FOR<br /> DESIGNING NONLINEAR CONTROLLERS<br /> Do Trung Hai1,*, Le Thi Hong Gam2<br /> 1<br /> <br /> College of Technology – TNU; 2College of Education – TNU<br /> <br /> In this paper, the research and application of the expanded linearization method, i.e., Gainscheduling, to control nonlinear dynamic systems is presented. The nonlinear control rule is<br /> based on the parameterized model of the objects which is equivalent to the linearization around the<br /> operating points after parameterization. The nonlinear objects of the proposed method are level<br /> tanks; those are simulated using Matlab-Simulink.<br /> Key words: Control, nonlinear system, linearized, Gain Scheduling, level tanks.<br /> <br /> Ngày nhận bài: 13/3/2014; Ngày phản biện: 15/3/2014; Ngày duyệt đăng: 25/3/2014<br /> Phản biện khoa học: TS. Đặng Danh Hoằng – Trường ĐH Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên<br /> <br /> *<br /> <br /> Tel: 0912224733; Email: dotrunghai@tnut.edu.vn<br /> <br /> 47<br /> <br />