Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
1
ộ ố
ậ
M t s bài t p toán nâng cao L P 9Ớ
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
Ầ
Ề
PH N I: Đ BÀI
ứ
ấ ẳ
ỉ ố 7 là s vô t . 2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) ứ ỏ
ấ ủ
ứ
ể
ị
1. Ch ng minh ứ 2. a) Ch ng minh : (ac + bd) ứ b) Ch ng minh b t d ng th c Bunhiacôpxki : (ac + bd) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : S = x
ấ ẳ
ứ
ứ
.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy :
2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 2 + y2. + a b 2
(cid:0) ab
ứ
ằ
b) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng :
ị
ứ ứ
ấ ủ ấ ủ
ệ ữ
3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) + > - a b
+ + (cid:0) + + a b c bc a ca b ab c ấ ủ
ố ươ ố ấ ẳ
ứ
ứ
t r ng : 2 ≥ 4a
ấ ẳ
ứ
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
ị ớ c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá tr l n nh t c a tích P = ab. 3 + b3. ể ỏ 5. Cho a + b = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : M = a 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : N = a + b. ị ớ ể ứ ng. Ch ng minh : a 7. Cho a, b, c là các s d ế ằ 8. Tìm liên h gi a các s a và b bi 9. a) Ch ng minh b t đ ng th c (a + 1) ứ b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Ch ng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 ứ 10. Ch ng minh các b t đ ng th c : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ị ủ
11. Tìm các giá tr c a x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
ế ằ
t r ng : a
2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
ủ
ấ
ạ
ớ
ỏ
ị
ị
ứ
2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. V i giá tr nào c a a và b thì M đ t giá tr nh nh t ?
ấ
ỏ
ứ
ằ
ị
ấ ủ ứ
ỏ ẳ
ứ
ủ
ằ
ị
ố 12. Tìm các s a, b, c, d bi ể 13. Cho bi u th c M = a ị Tìm giá tr nh nh t đó. 2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá tr nh nh t c a P b ng 0. ể 14. Cho bi u th c P = x ỏ 15. Ch ng minh r ng không có giá tr nào c a x, y, z th a mãn đ ng th c sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
a b
ấ ủ
ị ớ
ứ
ể
16. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
2
ố ự
17. So sánh các s th c sau (không dùng máy tính) :
= A - x 1 + 4x 9
a) 7
b) 17
+ + + 15 và 7 5 1 và 45
c)
d) 3 2 và
- và 27 2 3
ế
ỉ ớ
ộ ố
ơ
ư
ỏ ơ
18. Hãy vi
2
2
23 2 19 3 ộ ố ữ ỉ 3
ả
ươ
i ph
.
ng trình : ị ớ
ấ ủ
ề
19. Gi 20. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = x
2 nh ng nh h n + 2 - 3x + + 6x 7 ứ = - 10x 21 5 2x x ệ + ớ 5x 2y v i các đi u ki n x, y > 0 và 2x + xy = 4.
.
21. Cho
t m t s h u t và m t s vô t l n h n + ể 1 2.1997
Hãy so sánh S và
.
= + + + .... S + + ... - + - 1 1.1998 1 k(1998 k 1) 1 1998 1
ứ
ằ
ố
ươ
ng thì
ỉ ố a là s vô t .
ế ố ự ấ
ứ
ằ
ố
ả 22. Ch ng minh r ng : N u s t nhiên a không ph i là s chính ph 23. Cho các s x và y cùng d u. Ch ng minh r ng :
2. 1998 1999
a)
+ (cid:0) 2 x y y x
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
2
3
b)
2
2
2
4
4
+ - (cid:0) 0 y x
.
c)
4
4
2 + 2
2
+ - (cid:0) 2 y x
� � � x y + + � � � y x � � � ỉ ố y x ố
� � � x y + � � � x y � � � � � x � � y � � ằ 24. Ch ng minh r ng các s sau là s vô t : a) 1
ố ữ ỉ
ớ
v i m, n là các s h u t , n ≠ 0.
b)
ỉ ươ
ố
ổ
ố ữ ỉ
ng nào mà t ng là s h u t không ?
+ m
2
2
� x � y � � x � y � ứ 2+ 3 n 25. Có hai s vô t d
ố
ằ
ứ
26. Cho các s x và y khác 0. Ch ng minh r ng :
2
2
2
2
2
+ + (cid:0) 4 3 x y y x
ố
ằ
ứ
ươ
ng. Ch ng minh r ng :
27. Cho các s x, y, z d
2
2
2
+ + (cid:0) x y
ộ ố ữ ỉ ớ
ủ
ổ ấ ẳ
ứ ứ
ứ
2 + ….. + an
2 + a2 ằ
y z ộ ố z x ỉ
]
[
]
[
]
ứ
ằ
.
+ (cid:0) + x y x y � � y x +� � . x y � � y z x + + . x z y ỉ ộ ố ằ 28. Ch ng minh r ng t ng c a m t s h u t v i m t s vô t là m t s vô t . 29. Ch ng minh các b t đ ng th c : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a1 2). 30. Cho a3 + b3 = 2. Ch ng minh r ng a + b ≤ 2. ứ [ 31. Ch ng minh r ng :
ấ ủ
ị ớ
ứ
ể
.
32. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
2
= A - 1 + 6x 17
ị
ỏ
ấ ủ
33. Tìm giá tr nh nh t c a :
t x + y = 4.
ấ ủ ấ ủ
ị ị ớ
ớ
ể
ế
ố
ố
ỉ
= A + + v i x, y, z > 0. ớ
ỉ ố là s vô t .
a) ab và
x z y x x y z 2 + y2 bi ế ỏ 34. Tìm giá tr nh nh t c a : A = x 35. Tìm giá tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem các s a và b có th là s vô t không n u :
ố ữ ỉ
là s h u t (a + b ≠ 0)
b) a + b và
a b
ố ữ ỉ
ứ
c) a + b, a2 và b2 là s h u t (a + b ≠ 0) 37. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : a
a b
]
ứ
ằ
3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) b + c d [ 2 x
+ + + (cid:0) 2 d + a b
c + d a 1+
ứ
ữ ố ầ
ố
i hai s mà hai ch s đ u tiên là 96.
ị ủ
ố ể
ứ
ứ ]2x b ng ằ [ 39. Ch ng minh r ng ươ ố ng a. Xét các s có d ng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Ch ng minh 40. Cho s nguyên d ồ ạ ằ r ng trong các s đó, t n t ể 41. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :
a 38. Cho a, b, c, d > 0. Ch ng minh : + b c ] [ 2 x ho c ặ ạ ố
2
2
2
1 1 - A= x = 3 B = C = D = E + x 2x 1 + - - - 2 + - x - - 1 x 3 2x 1 x
2
2
ấ “ = ” x y ra khi nào ? ả + +
= - - x 1 x - + 5x 3 ằ 3x 1 ứ
ứ
ể
ỏ
ị
.
+ - 4x 5 + + 2 x G 42. a) Ch ng minh r ng : | A + B | ≤ | A | + | B | . D u ấ ủ b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau : 4x 4 x = M x + 6x 9
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
2
4
ả
ươ
i ph
ng trình :
c) Gi
2
ả
ươ
i ph
ng trình : ị ủ
+ + + 2 - + 20x 25 x x + 18x 81 4x 2 - - - = + 8x 16 .
8x 3 x ứ - = 43. Gi 4x 5 12 2x ể 44. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :
2
2
2
ể 1 1 3x x
2
2
1 = = + + - B A x x 2 = - C 2 1 9x = D - - x + 5x 6
2
2x
ả
ươ
i ph
ng trình :
45. Gi
= + = - - - G x 2 = H x - + 2x 3 3 1 x E - x 4 1 + + 2x 1 x - = 0 -
ấ ủ
ứ
ỏ
ị
ấ ủ
ị ớ
ứ
ể
46. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : 47. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
3x x 3 ể
+ . x x - + 3 x x
48. So sánh : a)
b) 5
= + + - - a 2 3 và b= 13 4 3 và 3 1
ươ
ố (n là s nguyên d
ng)
2
- = A = B + 3 1 2 n + - c) n 2 + n 1 và n+1
ủ
ứ
ể
ạ
ấ
ớ
ỏ
ị
ị
.
49. V i giá tr nào c a x, bi u th c sau đ t giá tr nh nh t :
- - = - A 1 + + 2 1 6x 9x (3x 1)
50. Tính : a)
2
2
+ - - 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2
(n ≥ 1)
= + + + + - - - d) A m 8m 16 m 8m 16 = e) B - + + n 2 n 1 n 2 n 1
ứ
ể
ọ
.
51. Rút g n bi u th c :
= M 8 41 + + - 45 4 41
ứ
ẳ
ố
ỏ
52. Tìm các s x, y, z th a mãn đ ng th c :
2
2
45 4 41 + 2 - - = + + 2 (x y z) 0
ấ ủ
ứ
ể
ỏ
ị
.
ươ
ả
i các ph
53. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : 54. Gi
2
2
2
ng trình sau : - =
(2x y) = + - - P 25x + 2 (y 2) + + 20x 4 25x 30x 9
4
- + = 2 - - - x 2 0 a) x x 2 x 2 0
2
2
2
+ = 2 + - = 2 x x - = - - - d) x x 2x 1 1 b) x + 2 e) x 1 1 x + + - = 4x 4 x 4 0 - + c) x - + g) x 2 x 3 5
- - - h) x + + 2x 1 x + = 6x 9 1 + + i) x 5 - = 2 x x 25
2
+ - - = + + - - + k) x 3 4 x 1 - = + - x 8 6 x 1 1 + + l) 8x 1 3x 5 2x 2
ố ự
ề
ệ
ỏ
.
55. Cho hai s th c x và y th a mãn các đi u ki n : xy = 1 và x > y. CMR:
ứ
ể
ọ
56. Rút g n các bi u th c :
7x 4 + 2 (cid:0) 2 2 - x y x y
5
+ + - - + a) 13 30 2 9 4 2 - + + b) m 2 m 1 m 2 m 1
+ + + + + + + - - c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 + 2 + 2 3 + d) 227 30 2 123 22 2
ứ
ằ
.
7. Ch ng minh r ng
ọ
ứ
ể
+ = + 2 3 6 2 2 2
58. Rút g n các bi u th c : ( +
)
(
)
.
59. So sánh :
+ + - - - + 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 - - 6 = = a) C b) D 2 9 6 2 3
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
5
2
ứ
=
+ + - - a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và + 2 1 c) 28 16 3 và 3 2
ể 60. Cho bi u th c :
x
+ 4x 4
ứ
ể
ậ ọ
ể
x A ủ ị a) Tìm t p xác đ nh c a bi u th c A. ứ b) Rút g n bi u th c A.
- -
ứ
ể
ọ
61. Rút g n các bi u th c sau :
- - a) 11 2 10 b) 9 2 14
+ - 3 + 11 6 2 c) + + - 2 6 2 5 + 5 2 6 + 7 2 10
ứ
ứ
ẳ
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Ch ng minh đ ng th c :
+ + = 1 2 a 1 2 b 1 2 c 1 a 1 + + b 1 c
ả ấ
ươ
i b t ph
ng trình :
.
63. Gi
2x
2
.
ấ ủ
< - - x 6 + 16x 60 2 - + (cid:0)
ị
2 + y2 , bi
t r ng :
64. Tìm x sao cho : ỏ 65. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x
x ấ
2
3 3 x ế ằ ị ớ x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
2
ể ể
ứ
.
66. Tìm x đ bi u th c có nghĩa:
2
ứ
.
ể 67. Cho bi u th c :
2
2
ứ
ể
ọ
ị ủ ể ữ ố ậ
ị ủ ủ ố
ầ
ữ ố
- 1 = = + - b) B x + 8x 8 a) A - - 16 x + 2x 1 x 2x 1 2 + - - - x x 2x 2x x = - A - - - 2x 2x x x ể ể x ứ
ị ớ
x + x a) Tìm giá tr c a x đ bi u th c A có nghĩa. b) Rút g n bi u th c A. c) Tìm giá tr c a x đ A < 2. 68. Tìm 20 ch s th p phân đ u tiên c a s :
ị ị
ế ằ
ấ ủ 4 + y4 + z4 bi
0,9999....9 (20 ch s 9) | x 2 | + | y – 1 | v i ớ | x | + | y | = 5
t r ng xy + yz + zx = 1 ố
ươ
ố
ớ
ơ
(n là s nguyên d
ng), s nào l n h n ?
ỏ ấ 69. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a : A = ấ ủ ỏ 70. Tìm giá tr nh nh t c a A = x + 71. Trong hai s : ố
+ n 2 và 2 n+1 n
ể
ị ủ
. Tính giá tr c a A theo hai cách.
72. Cho bi u th c
= + + - 7 4 3
ứ A + + 3
7 4 3 + + + - - - + 3 5)( 2 3 5)
73. Tính : ( 2 ứ
ố
74. Ch ng minh các s sau là s vô t :
5)( 2 + + - 5)( 2 ố 3 ỉ 3 5 ; 3 2 ; 2 2 3
;
75. Hãy so sánh hai s : ố a
+ = - - 2 5 và 3 3 3 và b=2 2 1 + 5 1 2
76. So sánh 4
+ - - - 7 4 7 2
ứ
ể
ọ
.
77. Rút g n bi u th c :
và s 0.ố + 3 + 2
+ 2 = Q + 6 + 3
ễ
ướ ạ
ứ ậ
ủ
ổ
. Hãy bi u di n P d
i d ng t ng c a 3 căn th c b c hai
78. Cho P
= + + + + 8 4 4 ể 14 40 56 140
ể
ế ằ
ứ 2 + y2 bi
t r ng :
.
ị ủ 79. Tính giá tr c a bi u th c x
ỏ
ớ
ị
.
ấ 80. Tìm giá tr nh nh t và l n nh t c a :
+ 2 - - = 2 y 1 x 1
x 1 y - + 1 x + 1 x A
ấ ủ
ớ
ấ ủ (
v i a, b > 0 và a + b ≤ 1.
ị ớ 81. Tìm giá tr l n nh t c a :
= + = ) 2 M a b
có ít nh t ấ
ố ươ
+ - + - + -
ng (a, b, c, d > 0). =
+ - 82. CMR trong các s ố 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd hai s d
ứ
ể
ọ
.
83. Rút g n bi u th c :
+ + N + 4 6 8 3 4 2 18
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
6
ứ
ứ
, trong đó x, y, z > 0. Ch ng minh x = y = z. 1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
+ + = + + zx xy
ứ
(a, b ≥ 0).
86. Ch ng minh :
( ằ
ứ
ế
ạ
ẳ
ộ
ậ ượ
ạ
ộ
c thành m t tam giác thì các đo n
ậ ượ
ẳ
ộ
84. Cho x y z yz 85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Ch ng minh: (1 + a ) 2 87. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đ ộ c thành m t tam giác. th ng có đ dài
+ (cid:0) + 2 2(a b) ab b a
2
a , b , c cũng l p đ
2
ọ
.
88. Rút g n :
a)
b)
2
ọ ố ự
ứ
ề
ằ
ớ
ứ
ẳ
. Khi nào có đ ng th c ?
89. Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta đ u có :
2
- + (x 2) 8x - = ab b B = - A - x b a b 2 x + a (cid:0) 2 2 + a 1
ằ
b ng hai cách.
90. Tính : A
= + + - 5 3 3
91. So sánh : a)
- - và 6,9 b) 13 12 và 7 6 5 + 3 7 5 2 5
.
92. Tính :
+ - 2 3 = + P 2 + 3 + - - 2 2 3 2 2 3
ả
ươ
i ph
ng trình :
.
93. Gi
ứ
ằ 94. Ch ng minh r ng ta luôn có :
Z+
2
ứ
ế
.
ằ 95. Ch ng minh r ng n u a, b > 0 thì
+ + - - - + x 2 3 2x 5 - = < P n 2 2 + ; (cid:0) n (cid:0) x 2 1.3.5...(2n 1) 2.4.6...2n - = 2x 5 1 2n 1 2 + + (cid:0) a b a b b a
ứ
ể
ọ
A =
96. Rút g n bi u th c :
2
- - - x + 4(x 1) + x 4(x 1)
- - 1 � � -� . . 1 �-� x 1 � x 4(x 1)
ứ
ứ
ẳ
(a, b > 0 ; a ≠ b)
97. Ch ng minh các đ ng th c sau :
+ a b b a 1 = - a) a b : - ab b
(a > 0).
.
- - - 7 5 1 a + = - - b) 2 1 a + a + - - - - 14 1 2 15 1 3 7 5 a a 1 � � � � : � � �� 1 �� �� � a = - � a 1 � a � + c) 1 � �
+ + - - - - 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48
.
98. Tính : a) � � �
+ - - c) 7 48 + 7 48 � 28 16 3 . � �
99. So sánh : a)
+ + + 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7
ứ
ằ
ẳ
100. Cho h ng đ ng th c :
2
2
+ c) 18 19 và 9 d) và 5. 25 16 2
(a, b > 0 và a2 – b > 0).
+ - - - a b a b = (cid:0) (cid:0) a b a 2 a 2
ả ể
ụ
ế
ọ
Áp d ng k t qu đ rút g n :
+ - - 2 3 3 2 2 + 3 2 2 + - a) ; b) 3 + 2 + - - - 2 3 2 2 3 17 12 2 + 17 12 2 2
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
7
ứ
ể
ị
+ - - 2 10 6 c) : - - 2 3 1
2
2
30 2 2 2 10 2 2 ị 101. Xác đ nh giá tr các bi u th c sau :
v i ớ
(a > 1 ; b > 1)
2
2
- - - xy x 1. y 1 = = = a) A x a , y b + - - 1 2 1 2 1 � � + � � a � � 1 � � + � � b � � xy x 1. y 1
v i ớ
.
)2
2
+ - = < = x , m 1 b) B - - 2am ( + b 1 m + a bx + a bx a bx a bx
ứ
ể
102. Cho bi u th c
2
ấ ả
ể
ọ
ị
t c các giá tr c a x đ P(x) xác đ nh. Rút g n P(x).
ằ
ị ủ a) Tìm t ế ứ b) Ch ng minh r ng n u x > 1 thì P(x).P( x) < 0.
- - = P(x) - 2x 3x x 1 + 4x 1
ứ
ể
.
103. Cho bi u th c
+ - - + + x 2 4 x 2 = A
ọ
ứ
ứ
ể
ể ể b) Tìm các s nguyên x đ bi u th c A là m t s nguyên. ủ ặ
ộ ố ứ
ố ỏ
ị ớ
ế
ể
ế
ấ
ị
a) Rút g n bi u th c A. ấ 104. Tìm giá tr l n nh t (n u có) ho c giá tr nh nh t (n u có) c a các bi u th c sau:
2
1 - + x 2 4 x 2 4 2 x 4 - + x
- - - - - a) 9 x b) x > x (x 0) + c) 1 2 x d) x 5 4
2
1 + - - - - - e) 1 2 1 3x g) 2x + 2x 5 h) 1 + 2 x 2x 5 i) - 2x + x 3
ứ
ể
ọ
ằ
, b ng ba cách ?
105. Rút g n bi u th c :
ứ
ể
ọ
106. Rút g n các bi u th c sau :
= + - - - - A x 2x 1 x 2x 1
.
+ + - a) 5 3 5 48 10 7 4 3
ứ ớ
ứ
ằ
ẳ
107. Ch ng minh các h ng đ ng th c v i b ≥ 0 ; a ≥
+ + + - - - b) 4 + 10 2 5 4 10 2 5 c) 94 42 5 + 94 42 5
2
2
b
2
a)
b)
)
(
+ - - - a b a b + (cid:0) - (cid:0) - = (cid:0) (cid:0) a b a = b 2 a b a a b a 2 a 2
ứ
ể
ọ
108. Rút g n bi u th c :
= + - - A - + x 2 2x 4 x 2 2x 4
2
2
2
2
2
2
- + - = 109. Tìm x và y sao cho : x y 2 + x y 2
(
)
(
ấ ẳ
ứ
ứ
.
110. Ch ng minh b t đ ng th c :
2
2
2
+ + + + + (cid:0) a b c d + b d
ứ
.
111. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :
) a c + + a b c 2
+ + (cid:0) b + c c + a b a + b c ứ
.
2
2
2
2
2
2
2
2
+ + + + a 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Ch ng minh : a) b 1 a 1 b c + (cid:0) a c 6
(
ớ
v i a, b, c, d > 0.
113. CM :
ấ ủ
ỏ
ị 114. Tìm giá tr nh nh t c a :
+ + + + + + + (cid:0) + + ) ( + < c 1 3,5 ) b) ) ( + + a b ) c c b a d b d (a b)(c d) a
( = + +
ấ ủ
ỏ
.
ị 115. Tìm giá tr nh nh t c a :
ị ớ
ế
t 2x
2 + 3y2 ≤ 5.
ấ ấ ủ
ị ị ớ
.
. x (x a)(x b) x ấ ủ 2 x-
A x + = A
ươ
ả
ng trình :
i ph
ỏ 116. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = 2x + 3y bi 117. Tìm giá tr l n nh t c a A = x + 118. Gi
- - - - = 5x 1 3x 2 x 1
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
8
ả
ươ
i ph
ng trình :
119. Gi
2
2
- = + - - + x 2 x 1
ả
ươ
i ph
ng trình :
120. Gi
2
2
+ + x 2 x 1 + 2 + = + 3x
ả
ươ
i ph
ng trình :
121. Gi
21x 18 2 x + + + 2 + 2 = - - 5x 3x
ố
ứ
- 6x 7 ỉ 122. Ch ng minh các s sau là s vô t : 7x 7 + 10x 14 ; 2 4 2x x + 3 2 2 3
.
- (cid:0)
ươ
ọ
ng pháp hình h c :
2
2
2
2 ằ
ớ
v i a, b, c > 0.
ố - + ứ 123. Ch ng minh x 2 ấ ẳ ứ 124. Ch ng minh b t đ ng th c sau b ng ph + 2 b . b +
4 x ứ + + (cid:0) b(a a
ớ
ậ ượ
ạ
ẳ
ộ
ạ
ằ
ế
c) + c + (cid:0) (a b)(c d)
v i a, b, c, d > 0. bd ộ
c thành m t tam giác thì các đo n th ng
ộ c thành m t tam giác.
2
ac ẳ
ớ
v i a, b ≥ 0.
ứ 127. Ch ng minh
+ + (cid:0) a b b a
ớ
v i a, b, c > 0.
ứ 128. Ch ng minh
ứ 125. Ch ng minh ứ 126. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đ ậ ượ ộ a , b , c cũng l p đ có đ dài + + a b (a b) 4 2 b a + + b c
+ + > 2 c
ằ
. Ch ng minh r ng x
2 + y2 = 1.
129. Cho
+ 2 - - c + a b ứ x 1 y a = 2 y 1 x 1
ỏ
ị 130. Tìm giá tr nh nh t c a
.
= - - + x 2 x 1
ấ ủ
ỏ
ấ ủ A = 131. Tìm GTNN, GTLN c a ủ A ị 132. Tìm giá tr nh nh t c a
- + x 2 x 1 - + 1 x 2 + 1 x 2 = - + + 1 x x A
ấ ủ
ỏ
.
ị 133. Tìm giá tr nh nh t c a
2
2
= - + 2 - - x + 4x 12 A + 2x 5 + 2 x
)
(
134. Tìm GTNN, GTLN c a : ủ
+ + 2x 3 = - - = a) A 2x 5 x + b) A x 99 101 x
ủ
ế
ỏ
ố ươ
ằ
t x, y > 0 th a mãn
ng).
135. Tìm GTNN c a A = x + y bi
ủ
ớ
136. Tìm GTNN c a A = (x + y)(x + z) v i x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
+ 1 = (a và b là h ng s d a x b y
ớ
v i x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
137. Tìm GTNN c a ủ
2
2
t x, y, z > 0 ,
138. Tìm GTNN c a ủ
= + + A yz x zx y 2 = + + + + A xy yz zx = . 1 xy z x + x y
ớ
4
4
4
4
4
4
= + y + y z ( b a
)
(
ấ ủ (
v i a, b > 0 , a + b ≤ 1 ( )
)
(
)
b)
ớ
ấ ủ
ị
ớ
ị ớ 139. Tìm giá tr l n nh t c a : a) ) ) v i a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. ỏ 140. Tìm giá tr nh nh t c a A = 3
+ + = + + + + + + + + + z ế + bi z x ) 2 ( A ( d B b a c a a b b c d c d
ớ
v i b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.
141. Tìm GTNN c a ủ
x + 3y v i x + y = 4. c + a b
ả
+ = A
2
2
b + c d ng trình sau :
142. Gi a) x
ươ i các ph + 5x 2 3x 12 0
= + - + = - - - - b) x = 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1
- = + - + - - - - - - d) x 1 + = x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 - = x 2x 1 2
2
2
+ - - = + - - + h) x 2 4 x 2 + - x 7 6 x 2 1 + i) x x = 1 x 1
+ - - - k) 1 x = x x 1 + l) 2x + + 8x 6 - = 2 x 1 2x 2
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
2
9
2
+ = - - m) x 6 x 2 x 1 = + x 10 + + x 2 + x 5
(
) ( x 1 x
- - - + o) x 1 + + x 3 2 + + n) x 1 ) = - + 3x 5 4 2x
.
2
+ + + + + p) 2x 3 x 2 1 2 x 2
+ + - - q) 2x + = + x 2 + 2 2x
)
ứ
ể
ọ
( A 2 2
.
143. Rút g n bi u th c :
+ - 2x 2 - = 9x 4 3 2x 1 = - - 18 + 20 2 2
(
) + - n 1 1
ứ
ằ
(cid:0) n (cid:0)
.
144. Ch ng minh r ng,
Z+ , ta luôn có :
+ + + + > 1 .... 2 21x 11 ) ( + 5 3 2 1 2 1 3
ứ ở ẫ
ụ
m u :
145. Tr c căn th c
1 n 1 a) b) + + + 1 2 5 1 x + . x 1
146. Tính : a) =
+ + - - - - - - - 5 3 13 48 c) 5 3 29 12 5
ố ự
ứ
ằ
. Ch ng minh r ng a là s t
nhiên.
( + 5. 3
147. Cho
- - 29 6 20 ) ( b) 6 2 5 ) a 3 10 5 2
ố ự
ả . b có ph i là s t
nhiên không ?
148. Cho
ả
ng trình sau :
- 3 2 2 = - b + 3 2 2 + - 17 12 2
i các ph )
(
) = 3 1 x
( + 2
) 3 1 x 3 3
17 12 2 ươ - + - = - - - a) 0 b)
)
149. Gi ( (
- - - 3 1 x x 4 ( 3 ) 5 x x 3 x 3 = + c) 2 d) x - = x 5 5 - - + 5 x - + 5 x x 3
ể
ị ủ 150. Tính giá tr c a bi u th c :
= + - - - - + ứ M 12 5 29 25 4 21 + 12 5 29 25 4 21
ọ
.
151. Rút g n :
= + + A + + ... 1 + 1 + 1 + 1 2 2 3 3 4 1 - + n 1 n
ứ
ể 152. Cho bi u th c :
ọ
ả
a) Rút g n P.
b) P có ph i là s h u t không ?
1 1 1 = - P 1 + - - - - 2 3 3 + 4 4 2n 1 - + ... 5 2n ố ữ ỉ
.
153. Tính :
= + + A + + ... 1 + 2 1 1 2 1 + 4 3 3 4 1 + 100 99 99 100
ứ
.
154. Ch ng minh :
> + + + + ... n 1 1 2
ị ủ
ứ
ể
5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.
= - 1 + 3 2 2 3 1 1 n 3 . Hãy tính giá tr c a bi u th c: A = (a 17 1
ứ
(a ≥ 3)
155. Cho a 156. Ch ng minh :
2
- - - - a 2 a 3 a
ứ
(x ≥ 0)
157. Ch ng minh :
- x 0
ị ớ
ế
, bi
t x + y = 4.
158. Tìm giá tr l n nh t c a
- - < a 1 1 + > x 2 = ấ ủ S - + x 1 y 2
ị ủ
ứ
ể
.
ớ 159. Tính giá tr c a bi u th c sau v i
ứ
ứ
ẳ
160. Ch ng minh các đ ng th c sau :
- 1 2a = = + a : A - - 3 4 + 1 2a + + 1 2a 1 1 1 2a
) (
)
(
( a) 4
) + 3 1
+ - - 15 10 6 4 = 15 2 = + b) 4 2 2 6 2
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
10
(
)
) (
161.
( + 5 3
) = 2
ấ ẳ
ứ
ứ
Ch ng minh các b t đ ng th c sau :
= + - - - - 8 d) + 7 = 48 + 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2 c) 3 5 10 2 2
+ - + > + - a) 27 6 48 b) < 10 0 - 5 5 5 5 5 5
- + - - 3 4 2 0, 2 > 1,01 0 c) + + - 1 + 3 + 5 1 + 5 3 1 5 1 3 5 � � 1 � �� �� �� 5 + 5 � � �
- - 3 3 3 + + - - 3 > 2 0 d) + + - 2 2 3 1 6 2 2 6 6 + 2 6 1 + 2 � � 2 � � � �
> - - - g) e) + 2 2 - + 2 1 + 17 12 2 2 3 1
+ + - 2 2 3 2 + + 2 < - 2 2 ( - > 2 1 1,9 ) < h) 3 5 + 3 7 + 5 7 3 i) 0,8
)
(
4
ứ
ằ
ừ
. T đó suy ra:
162. Ch ng minh r ng :
- - < + - 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 1 < n
ứ ở ẫ
ụ
m u :
.
< + + < 2004 1 + + ... 2005 1 2 1 3
163. Tr c căn th c
3
3
a) b) + + + + + 2 4 3 2 1 1006009 + 4 3 + + 8 4 6 2 3
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
164. Cho
+ - = x và y= - 3 3 2 2 2 3 + 3
ấ ẳ
ứ
ứ
.
165. Ch ng minh b t đ ng th c sau :
2
ứ
ể
.
ị ủ 166. Tính giá tr c a bi u th c :
v i ớ x
2
ả
ươ
i ph
ng trình :
.
167. Gi
> + + 2002 2003 2 2 2002 2003 2003 2002 2 - x = A = + 3 = - 5 và y 3 5 + 3xy y + + x y 2 - = + - 3 2 x x - - 6x 3 x 1 x
ả ấ
i b t các pt : a)
.
168. Gi
ứ
ể
ọ
169. Rút g n các bi u th c sau :
+ (cid:0) - (cid:0) (cid:0) + 3 3 5x 72 + 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4 b) 1 4
2
2
- = - + - + - - - a) A 5 3 29 12 5 = b) B 1 a a(a 1) a a 1 a
2
2
+ 2 + + + + - - x 9 = = d) D c) C 5x 6 x 9 x 2 + - - - + 3x x (x 2) 9 x x 9
x 3 2 x - + 2x 6 1 1 1 1 = - - - E ... - - - - 1 2 2 + 3 3 4 24
ứ
ủ
ể
.
170. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c
2
25 1 = A - - 2 3 x
ấ ủ
ỏ
ớ
v i 0 < x < 1.
ị 171. Tìm giá tr nh nh t c a
ế
bi
t x + y = 4 ; b)
172. Tìm GTLN c a : ủ
= + A - 2 1 x 1 x - - = = + - a) A - + x 1 y 2 B x 1 x y 2 y
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
11
ớ
ố
ơ
ớ
. So sánh a v i b, s nào l n h n ?
173. Cho a
= - - 1997 = 1996 ; b 1998 1997
.
174. Tìm GTNN, GTLN c a : ủ
2
1 = - + 2 = b) B x + 2x 4 a) A + -
ị ớ
ấ ủ
2 + 4y2 = 1.
ấ ủ ủ
= - A x 1 x
bi
2 + y2 = 1. = . + y 1
+ 5 2 6 x 175. Tìm giá tr l n nh t c a . 2 ế ị ớ t x 176. Tìm giá tr l n nh t c a A = | x – y | bi 3 + y3 bi ế t x, y ≥ 0 ; x 177. Tìm GTNN, GTLN c a A = x = t ế 178. Tìm GTNN, GTLN c a ủ A x x x y y
2
ả
ươ
i ph
ng trình :
.
179. Gi
2
2
- - - - + 1 x x + + 3x 2 (x 2) 3 - x 1 = x 2
ả
ươ
i ph
ng trình :
.
180. Gi
+ x
.
181. CMR, (cid:0) n (cid:0)
Z+ , ta có :
+ + < + + ... 2 1 2 - = 2x 9 1 3 2 1 + (n 1) n
. Hãy so sánh A và 1,999.
182. Cho
= + + A + + ... 1 2.1998
ố
ố ữ ỉ
ề
là s h u t . Ch ng minh r ng m i s
183. Cho 3 s x, y và
ố ữ ỉ ỗ ố x ; y đ u là s h u t
+ + 6 4x 2x 1 4 3 1 3.1997 ứ 1 1999.1 ằ y+ 1 1.1999 x
ố ữ ỉ . CMR : a, b là các s h u t .
184. Cho
+ = - - a = 2 6 ; b + + 3 2 2 6 4 2 - 3 3 2 2
ứ
ể
ọ
. (a > 0 ; a ≠ 1)
185. Rút g n bi u th c :
+ - - + - a a 1 = - P 2 + a + a 2 a 1 a � � � � a 2 a a . �- a 1 �
ứ
. (a > 0 ; a ≠ 1)
186. Ch ng minh :
- - - 4 a a 4a - a 1 + + a 1 � 1 = � a � � � �� � �
(
ọ
(0 < x < 2)
187. Rút g n :
- + a 1 a 1 ) 2 � � � + x 2 8x
- x 2 x
ọ
188. Rút g n :
2
2
)
(
ả ấ
ươ
i b t ph
ng trình :
(a ≠ 0)
189. Gi
2
- b + + - a + + - ab b a ab b a + a b ab � � � � � � � � : �� � � b ab a 2 + + (cid:0) 2 x x a 5a + 2 x
)2
( A 1 a
190. Cho
ứ
ọ
- = - - : a a 1 - + �� 1 a a �� + a 1 ��
ị ủ b) Tính giá tr c a A v i a = 9.
ủ
ớ
ị
c) V i giá tr nào c a a thì | A | = A.
a � � + � � � � � ớ � � 1 a a + � � 1 a � � � ể a) Rút g n bi u th c A.
ứ
ể 191. Cho bi u th c :
ọ
ị ủ
b) Tính giá tr c a B n u
.
ế a
- - b = + + B + + - a a b 1 ab a 2 ab b ab + a b ab � � a �
ể ớ
ứ a) Rút g n bi u th c B. c) So sánh B v i 1.
� � . � = + 6 2 5
192. Cho
1 = + A - - - a b + a 1 + a b � � �
ể
ọ
a) Rút g n bi u th c A.
a ứ a b a b ế � � +� : 1 � �� b) Tìm b bi �+ � � t | A | = A.
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
12
ị ủ
c) Tính giá tr c a A khi
.
= + = + 5 4 2 ; b 2 6 2
ứ
ể
193. Cho bi u th c
ứ
ể
ọ
a) Rút g n bi u th c A.
- = - - 4 a a A - a 1 + + a 1 1 a + a 1 a 1 � � � � � �� � � a � � �
ị ủ
ế
ị ủ
.
b) Tìm giá tr c a A n u
c) Tìm giá tr c a a đ
.
ể A A>
6 = a + 6 2
ứ
ể
194. Cho bi u th c
ứ
ể
ọ
a) Rút g n bi u th c A.
- + a = - - A - 1 2 a a + a 1 a a 1 � a � 2 � �� a �� �� � � . �
ự
ệ 195. Th c hi n phép tính :
ể � � �
- - = + - A + - - 1 a + 1 a + 1 a 1 a � � �
ị ủ b) Tìm giá tr c a A đ A = 4 �� 1 a : �� 1 a �� 2
ự
ệ 196. Th c hi n phép tính :
ọ
ứ
197. Rút g n các bi u th c sau :
+ 1 a 1 a + - 3 = + B 2 + 3 + - - 2 2 3 2 2 3
(
) 3
.
v i ớ x
- x y = + a) A : . xy xy 1 + + x y 2 xy 1 y 2 + � 1 +� � x � x y � � � � � � � � �
ể � � � 1 1 � + . � � � x y � � � � = + 2
2
2
2
2
= - 2 3 ; y 3
ớ
v i x > y > 0
b)
2
+ - - - - x x y x x y = B - 2(x y)
c)
v i ớ
; 0 < a < 1
2
2
2
- + 2a 1 x = - = x C 1 a a 1 2 - � a �- 1 a � + 1 x
ớ
d)
v i a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1
) ( 1 b + 2
+ + x ( a � � � ) 1 = + - D (a b) c 1
e)
2
2
+ - - x 2 x 1 = - E . 2x 1 + - - - + x 2 x 1 - + 2x 1 x x 2x 1
ớ
ứ
v i x ≥ 2.
198. Ch ng minh :
- - x x 4 4 = + + - x x x x + 2x 4 x
. Tính a7 + b7.
199. Cho
- - - + 1 2 1 2 = = a , b 2 = -
i d ng ớ
i d ng trên.
- - 2 2 1 ướ ạ m 1
ủ
ệ
, trong đó m là s t ng n, s a ươ
ệ ố ữ ỉ
ớ
ố n vi ng trình x
ố ự nhiên. ế ượ ướ ạ c d t đ 3 + ax2 + bx + c = 0 v i các h s h u t . Tìm các
ươ 2 là m t nghi m c a ph
200. Cho a t aế 2 ; a3 d a) Vi ứ b) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ế 201. Cho bi ệ nghi m còn l
ằ t x = ạ i.
m ọ ố ộ
v i nớ
N ; n ≥ 2.
ứ 202. Ch ng minh
- (cid:0) - < 2 n 3 2 n 2 1 + 2 1 + + ... 3 1 < n
ầ
ấ
(có 100 d u căn).
ủ ố 203. Tìm ph n nguyên c a s
+ + + + 6 6 ... 6 6
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
13
204. Cho
2 � � a � � ố ữ ỉ
3 � � a � �. ằ
ố
ề
ứ
là s h u t . Ch ng minh r ng m i s
205. Cho 3 s x, y,
= + 2 a b)
ố ữ ỉ ỗ ố x , y đ u là s h u t
3. Tính a) y+ x
N :
206. CMR, (cid:0) n ≥ 1 , n (cid:0)
+ + < + + ... 2 1 2 1 3 2 1 4 3
ứ
ằ
ố ự
ỏ
nhiên a
1 , a2 , a3 , … a25 th a đk :
207. Cho 25 s t
3
25
1
2
ố ự
trong 25 s t
nhiên đó t n t
+ + + + ... 9 = . Ch ng minh r ng 1 a 1 a 1 + (n 1) n 1 a 1 a
ả
ươ
i ph
ng trình
.
208. Gi
ồ ạ i 2 s b ng nhau. + 2 2 +
ố ằ x +
- x + = 2 - - 2 x 2 x
ả
ệ
ậ
ớ
ố
i và bi n lu n v i tham s a
.
209. Gi
ả ệ ươ i h ph
ng trình
210. Gi
) ( + x 1 y ) ( + y 1 z ) ( + z 1 x
ằ
ứ
- = a - 2 1 x 1 x (cid:0) 2 + + 1 x + - 1 x = 2y (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 2z (cid:0) = (cid:0) 2x (cid:0)
ữ ố
ấ
ẩ
+ 8 3 7
ữ ố
ườ
ề
ấ
ẩ
) 7 ề có 7 ch s 9 li n sau d u ph y. ) 10
có m i ch s 9 li n sau d u ph y.
+ 7 4 3
ầ
ố
N*), ví d : ụ
211. Ch ng minh r ng : a) S ố ( b) S ố ( 212. Kí hi u aệ n là s nguyên g n
(cid:0)
ấ n nh t (n 1 ; a
1
2
3
4
= = = = = � = 1 1 a 1 ; �� 3 1,7 2 ; a 4 2 a 2
Tính :
.
1
2
3
1980
ủ
ấ
ầ
ố
213. Tìm ph n nguyên c a các s (có n d u căn) : a)
�� 2 1, 4 1 + + + + ... � 1 a 1 a 1 a a
na
b)
c)
= + + + + 2 2 ... 2 2
na
na
2
2
= + + + + = + + + + 4 4 ... 4 4 1996 1996 ... 1996 1996
ầ
ủ
ớ
+
=
+
214. Tìm ph n nguyên c a A v i n
16n
+ 8n 3
ướ ạ
ậ
ượ
ướ ấ
ế ố
ứ
ằ
4n ) 200
d
i d ng th p phân, ta đ
ữ ố ề c ch s li n tr
c d u
t s x =
A 2+
(cid:0)
215. Ch ng minh r ng khi vi
ữ ố ề
ẩ
ẩ
ấ
N : ( ph y là 1, ch s li n sau d u ph y là 9.
ữ ố ậ
ủ
ầ
) 250
.
ủ ( 216. Tìm ch s t n cùng c a ph n nguyên c a
3
2+ 3
ổ
217. Tính t ng
3
3
= + + A + + ... 24 1 2 � � � � � � � � 3 � � � � � � � �
ươ
ả
ấ ủ ị ớ ng trình : a)
i ph
4
+ +
ố ữ ỉ ươ
ồ ạ
i các s h u t d
2(3 – x) v i x ≥ 0. ớ - = 7 x ng a, b không n u :
.
218. Tìm giá tr l n nh t c a A = x 219. Gi x 1 220. Có t n t
b)
ứ
ố
ỉ
ố 221. Ch ng minh các s sau là s vô t : a)
3 5
a) a 3 2 b)
3
+ = . x 1 3 + = 2 ế a b 2 2
ấ ẳ
ứ
ớ
ố
.
ứ 222. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy v i 3 s không âm :
(cid:0) abc - + b) 3 x 2 + = b 4+ 3 + + a b c 3
ứ
ằ
t ế
. Ch ng minh r ng :
.
223. Cho a, b, c, d > 0. Bi
+ + + (cid:0) (cid:0) 1 abcd b + d + a + 1 a c + 1 b 1 c 1 d 1 81
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
2
2
14
ấ ẳ
ứ
ứ
224. Ch ng minh b t đ ng th c :
2
2
2
3
3
3
3
+ + (cid:0) + + v i x, y, z > 0 ớ x y y z z x x y y z z x
ứ
ằ
. Ch ng minh r ng : a < b.
225. Cho
3 2 3
n
= + + - 3 3 a 3 = 3 ; b
ọ ố
ứ
ớ
ươ
ng n, ta có :
.
226. a) Ch ng minh v i m i s nguyên d
ố ự
ứ
ạ
ằ
ố
ị ớ
b) Ch ng minh r ng trong các s có d ng
nhiên), s
ấ ố 3 3 có giá tr l n nh t
2
n n (n là s t - + 2
< 3 1 � �+ 1 � � n � �
ỏ
ấ ủ
.
ấ ủ
= x 1 A
2
2
x t x ≤ 4.
ị ớ
ấ ủ
ế
ỏ
- + + + x 1 x 2(2 – x) bi ế .
2 – 6) bi
ắ
ộ
t 0 ≤ x ≤ 3. ớ
ạ
ộ
m i góc c a hình vuông l n, ng
i ta c t đi m t hình
ủ ữ ậ
ườ ạ
ắ
ộ
ộ
ỏ ể c m t cái h p hình h p ch nh t không n p. Tính c nh hình vuông nh đ
3
ươ 3
= A x ị ớ 9 x ấ ủ
3
3
3
3
ị 227. Tìm giá tr nh nh t c a ỏ ị 228. Tìm giá tr nh nh t c a A = x 229. Tìm giá tr l n nh t c a ấ ị 230. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x(x Ở ỗ ế 231. M t mi ng bìa hình vuông có c nh 3 dm. ỏ ồ ấ ộ ể ượ vuông nh r i g p bìa đ đ ấ ủ ộ ể ớ th tích c a h p là l n nh t. ả ng trình sau : i các ph 232. Gi + = + 3 x 16 x 3 a) 1 + +
- b) - + 2 x
2
3
2
3
3
c) x 1 5x - = 3 d) 2 2x 1 - = x 1 1 + x 1
) 1
3
3
3
3
2
3
3
- - - - - = x 1 ( - - - x x 3x x 4 = - e) = - 2 3 g) 6 x - 2 7 x - + 7 x x 5 x 5
4
4
4
+ + 2 - = 2 - h) (x 1) x 1 1 i) + = 3 x 3 0
(a, b là tham s )ố
4
2
4
3
3
3
+ (x 1) + 2 + + 3 x 1 - = 4 + + 3 x 2 + - 4 - k) 1 x b x + + 1 x 3 l) - + 4 a x a b 2x
2 a b
.
233. Rút g n ọ
2
3
3
2
- = 1 x + + = A b 2 a 3 + + ab
ị
ỏ
ể
ị
ệ
ng trình : 3x
3 + ax2 + bx + 12 = 0 là
.
234. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ố 235. Xác đ nh các s nguyên a, b sao cho m t trong các nghi m c a ph 3+ 1 ứ 236. Ch ng minh
ỉ ố 3 3 là s vô t .
3
6
6
3
= a ấ ủ b ứ - + + x 1 x x + + 2 ủ A ộ x 1 ươ
.
237. Làm phép tính :
3
3
+ - - a) 1 2 . 3 2 2 b) + 9 4 5. 2 5
.
238. Tính :
3
3
= + + - a
.
ứ 239. Ch ng minh :
4
4
20 14 2 + + - 7 5 2 20 14 2 = 7 2 5 2
= + - - A 7 48 + 4 28 16 3 . 7 48
)
(
.
240. Tính :
3
3
ậ
ươ
ớ ệ ố
ệ
ộ
ng trình f(x) = 0 v i h s nguyên có m t nghi m là :
.
241. Hãy l p ph
3
= + 3 9 x
ị ủ
ứ
ể
3 + 3x – 14 v i ớ
.
242. Tính giá tr c a bi u th c : M = x
3
3
3
= + - 7 5 2 x 1 + 7 5 2
ả
ươ
i các ph
.
243. Gi
2
+ + - = 25 x 3
ng trình : a) - = x 9
3b)
3
3
3
- - x 2 + 2 (x 3) c) + 2 x + 4 32 2 x = 32 3 6
ứ
ủ
ể
.
244. Tìm GTNN c a bi u th c :
)
)
(
ố ươ
ứ
ng a, b, c, d. Ch ng minh : a + b + c + d ≥
245. Cho các s d
( 44 abcd .
= + + + + + 3 + - A x 2 1 x 1 1 x x 2 1
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
3
3
2
2
15
ọ
; x > 0 , x ≠ 8
246. Rút g n :
3
3 2 x x
3
3
- - 4 = + + P x x 3 x 2 - - + 8 x 3 x 2 + 2 x 2 x 2 x � 3 � � � � : 2 � � � + � � � � � � � � 3 � �
ủ
ươ
ệ là nghi m c a ph
ng trình x
247. CMR :
= - � � � � 3 – 6x – 10 = 0. x + 17 + 5 17
3
ứ
ị ể . Tính giá tr bi u th c y = x
3 – 3x + 1987.
248. Cho
3
5 1 = + - x 4 15 - 4 15
3
ứ
ứ
ẳ
.
249. Ch ng minh đ ng th c :
3
3
3
3
3
+ + - a 2 5. 9 4 5 = - - a 1 - - 5. + 9 4 5 + 2 a a
ấ ẳ
ứ
ứ
.
250. Ch ng minh b t đ ng th c :
ứ
ể
ọ
251. Rút g n các bi u th c sau :
3
4
2
4
3
3
3
+ + + < - - 9 4 5 2 5 2 2,1 0 � 3 5 . � � 2 � 3 � �
2 a b
a)
3
2
3
3
3
(
2
2
3
3
3
+ + = - - A b) b 2 a 3 + + b + b 8 24 + b 8 - a ab b 2 b � � � � � 1 b 1 3 b � � +� 1 2 4b �� . ) � � �+ 1 2. � � � � � � � � �
3 a a
2 a b
c)
.
3
2
3
3
2 a b 3 a
2
2
- - 1 = + C + 3 2a b 2 - - ab b a ab a � � . � 3 �
ị ủ
ứ
ể
ế ằ
. Tính giá tr c a bi u th c M bi
t r ng:
.
2
2
ỏ
(a < b)
ứ
ằ
ộ
ế
ủ
ị 253. Tìm giá tr nh nh t c a : 254. Ch ng minh r ng, n u a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác thì :
- - � � � � 252. Cho = M x + + 4a 9 2 + 4x 8 2 - - 2 x 2 x + - 4x 9 = + - - x ấ ủ 2bx b P x + = 4x 8 + + 2 2ax a ạ
ị ủ
ứ
t x + y = 2 và xy = 1
ế
ị ủ
ứ
ể
t a – b =
255. Tìm giá tr c a bi u th c | x – y | bi 256. Bi
x ộ abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) ế ể
A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca. - + + + + =
2 + 1 , b – c = 2 1, tìm giá tr c a bi u th c :
ế ằ
t r ng :
.
257. Tìm x, y, z bi
- + - x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5
ộ ằ
ị ủ
ế
ố . CMR, n u 1 ≤ x ≤ 2 thì giá tr c a y là m t h ng s .
3
= + - - - + x 2 x 1 x 2 x 1
(x ≥ 1).
: ử
258. Cho y 259. Phân tích thành nhân t
= - - - x 1 x
ữ ậ
ấ ả
ệ
ớ
ng chéo b ng 8
t c các hình ch nh t có đ ạ
ề
ằ
ạ
M 7 x 1 ườ
+ - 2 x ấ ữ ậ ằ 2 , hãy tìm hình ch nh t có di n tích l n nh t. 260. Trong t ứ 261. Cho tam giác vuông ABC có các c nh góc vuông là a, b và c nh huy n là c. Ch ng minh r ng ta luôn có
:
.
ố ươ
ứ
ằ
ng a, b, c, a’, b’, c’. Ch ng minh r ng :
(cid:0) c
+ a b 2 262. Cho các s d
N u ế
.
ươ
ng trình : | x
2 – 1 | + | x2 – 4 | = 3. ị ủ
ả i ph ứ
ứ
ụ
ằ
ộ
263. Gi ể 264. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c C không ph thu c vào x, y :
(
) 4
+ + = + + + + = = aa' bb ' cc ' (a b c)(a ' b ' c ') thì a a' b b ' c c '
ớ
v i x > 0 ; y > 0.
ị ể
ứ
ứ
ụ
ộ
265. Ch ng minh giá tr bi u th c D không ph thu c vào a:
+ x y 1 = - - C 4xy + x y 2 x y - + y x + x y + x y + y x � � � � � � � �
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
16
ớ
v i a > 0 ; a ≠ 1
+ - - + - a a 1 = - D 2 + a + a 2 a 1 a � � � � a 2 a a �- a 1 �
ứ
ể
.
266. Cho bi u th c
ọ
ứ
ể
ứ
ể ị ủ
ớ
ể
ị
- c 1 = + - B a + + a ac c a + - � � � � � � + - a ac c c ac c ac a
ứ
ớ
v i m ≥ 0 ; n ≥ 1
ể 267. Cho bi u th c :
a) Rút g n bi u th c B. b) Tính giá tr c a bi u th c B khi c = 54 ; a = 24 c) V i giá tr nào c a a và c đ B > 0 ; B < 0. � 2mn �+ 2 1 n �
ủ � A= m+ � �
+ - m + 1 2mn 2 1+n 1 2 n
ị ủ
ọ
ể
ứ
.
b) Tìm giá tr c a A v i
ớ m
a) Rút g n bi u th c A. ị
ấ ủ
ỏ
= + 56 24 5
c) Tìm giá tr nh nh t c a A. + 1 x
268. Rút g n ọ
2
- - x = - - - 1 D - 1 x - + 2 - - 1 x x 1 2 x + - 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x � � - + 1 x � � � �
ớ
v i x ≥ 0 ; x ≠ 1.
269. Cho
ể
ọ
b) Tìm x sao cho P < 0.
a) Rút g n bi u th c P.
= - - P - - - 2 x x 1 x 1 2 x x �� : 1 �� �� �� �� �� � �+ � � � � 1 + x 1 x x ứ
ứ
ể
.
270. Xét bi u th c
2x x
ứ
ằ
ọ
s x > 1. Ch ng minh r ng : y | y | = 0
b) Gi
ể ấ ủ
ỏ
ị
a) Rút g n y. Tìm x đ y = 2. c) Tìm giá tr nh nh t c a y ?
+ + x 2x = + - 1 y - x + x 1 x ả ử
