Một số chuyên đề tọa độ không gian bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các chuyên đề bám sát đề thi THPT Quốc gia phần Tọa độ không gian bao gồm 12 phần nhỏ thể hiện theo chủ đề, có nhiều dạng như: Tọa độ điểm, tọa độ không gian, gọc, khoảng cách, mặt cầu, lập phương trình mặt phẳng, tương giao,... Mời các bạn cùng tham khảo phần 2 cuốn sách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số chuyên đề tọa độ không gian bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 2

LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG Vectơ chí phương Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ khác 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng. Một đường thẳng có vô sổ vectơ chi phương cùng phương với nhau nên ta có thế chọn tọa độ tỉ lệ. Phương trình của đường thẳng Phương trình của đường thằng đi qua Mn(xn, yo, zo) và cỏ veclơ chỉ phương u =(a, b, c), a' + h' +c^ ^ 0. X = Xq -\- at Phương trình tham sổ: d: y = y ^+bí , í e R z = Zq + ct Phương trình chính tắc khi a, b, c ^ 0: ------ ^ = —— — ------- . a h c Chú ý 1) Dê lập phương trình đường thẳng là tìm đủ các yếu lố xác định: điếm, VTCP và các quan hệ cho lừ già thiết đế chọn dạng phương trình thích hợp. Việc khử tham sổ, đặt tham số,... cho phép ta chuyển dạng các phương trĩnh. 2) Dường thẳng đì qua 2 điểm A, B: chọn VTCP u = AB từ đó ta có y - y .ị z-z, A B : ^ ^ yn-yA ^ H- ^ A 3) Dmrng thẳng giao tuyển của 2 mặt phẳng cắt nhau: Neu d = a n Ị3thì chọn IHCP n = [ n a , n p ] \ Ax + By + Cz + D - ữ Hoặc từ hệ [A'x + B' y + C z + D '=ữ ta chọn ra 2 bộ nghiệm (x; y; z) tương ứng toạ độ của 2 điểm thuộc giao tuyến. 4) Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng dị qua Mị và cỏ V7XIP u j Đường thăng d2 qua M2 và có VĨ^CP u 2 Cách ỉ: Dường vuông góc chung d có VTCP u = U| ;W2 85
Lập phương trình mặl phẳng (P) chứa d và d2. Tìm giao diêm A của dì và (P) thì d đi qua A và có VTCP u . d, Cách 2: Gọi đoạn vuông góc chung là AB, A e d/ và B e d2 dạng tham số theo t và t \ Tìm í và í' hang hệ điểu kiện: Ãỗ.ĩ^ = 0 , , , ’ __. . Đường vuông góc chung d là đường thăng AB. AB.U2 ~ 0 5) ỈTinh chiểu của đường thẳng d lên mặt phang (P): Cách I: Lấy 2 điểm A, B thuộc d rồi tìm hình chiếu A \ B ’ của chúng lên (P). Đường thảng d ’ cần tìm là đường thẳng A 'B Cách 2: Tim giao điếm M của d và (P) nếu có. Lấy điểm A thuộc d rồi tìm hình chiếu A ’ cùa A lên (P). Đường thăng d ’ cần tìm là dường thang MA Cách 3: Lấy điểm A thuộc d rồi tìm hình chiếu A ’ của A và hình chiểu u ’ của VTCP u lện (P). Đường thẳng d ’ cần tìm là đường thẳng qua A ’ và có VTCP u Cách 4: Tim giao diêm M của d và (P) nêu có. Tìm hình chiêu u ’ cùa VTCP u lên (P). Đường thăng d ’ cân tìm là đường thăng qua M và có VTCP u '. Cách 5: Lập phương trình mặt phang (Q) chứa d và vuông góc với (P). Đường thăng d ’ cần tìm là giao tuyến của 2 mặt phang (P) và (Q). Bài toán 8.1: Lập phương trình chính tắc của các đường thẳng: X = 2 + 2t x = 7 -t X = -l + t a) ■y = - l + 3t b)- y=5 c)
x-x„ ^ y-y„ ^ z-z„ _ x - 2 ^ y + l^ z + 4 a b c 2 3 3 b) Đường thẳng đã cho có VTCP u = (-1; 0; 3) Vì b = 0 nên không có dạng chính tắc. c) Phương trình chính tắc của đường thẳng đã cho là: ^ ^ = —— - - - —- . Bài toán 8.2: Lập phương trình tham số và chính tắc cùa đường thẳng d: a) Qua hai điểm A(l; 3; 5), B(4; -2; 1) b) Là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P); 2x - y + z + 5 = 0; (P'); 2x - z + 3 = 0 Giải a ) d c ó VTCP u = ÃB - ( 3 ; - 5 ; - 4 ) và qua A(l; 3; 5) X = 1 + 3t ^ . y í x -\ y -3 z -5 nên có phương trình tham số: y = 3 - 5 t ; chính tăc: — — ------- 3 -5 -4 z = 5-4t b) (P), (P') có VTPT n = ( 2 ; - l ; 1), n' = ( 2; 0; - l ) . Gọi VTCP của giao tuyên d là u thì u ± n , n ' -1 1 1 2 2 -T u = n , n' = (1;4;2). 0 -1 -1 2 2 0 Các điểm thuộc giao tuyến d có toạ độ thoả mãn hệ: Í2x-y + z + 5 = 0 . Cho X = 0 thì y = 8, z = 3. 2x - z + 3 = 0 Do đó d qua M(0; 8; 3), có VTCP u = (1; 4; 2) nên có phương trình tham số và chính tắc là: 'x = t _ . X y -8 z -3 y = 8 + 4t ; - = - ----- = — - 1 4 2 z = 3 + 2t „ Í2x-y + z + 5 íy = z + 2x + 5 Cách khác: Ta có; [2x-z + 3= 0 [ z = 2x + 3 Đặt x = t thì y = 8 + 4t, z = 3 + 2t nên phương trình tham sổ là; X= t y = 8 + 4t z = 3 + 2t 87
Ngoài cách tim một điềm và VTCP, cách tạo tham số, ta có thể tìm 2 điểm trên giao tuyến. Bài toán 8.3: Viết phưong trinh tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng đi qua điểm C(l; 2; -1) và song song với đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng x + y - z + 3 = 0 ; 2 x - y + 5 z - 4 = 0. Giải Vectơ pháp tuyên của mặt phăng x + y - z + 3 = 0 1àn, = ( 1; 1; - 1) , của mặt phẳng 2x - y + 5z - 4 = 0 là nj = (2; -1; 5). Vectơ chỉ phưoTig của đường thẳng cần tìm là: u t' / 1 -1 -1 1 1 1 ' n = ni , ĩ\2 = • ‘ (4 ;-7 ;-3 ) \ -1 5 5 2 2 Do đó đường thẳng cần tìm có phương trình: X = l + 4t x -1 y -2 Z+ 1 =^ = ;
Bài toán 8.5: Lập phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC): a) A(0; 0; 1), B (-l; -2; 0), C(2; 1; -1) tại trọng tâm G của tam giác ABC. b) A(l; 0; -1), B(2; 3; -1), C(l; 3; -1) tại trực tàm H của tam giác ABC. Giải a) Ta có AB = (-1; -2; -1), AC = (2; 1; -2) nôn đưòng thẳng d vuông góc với mp(ABC) có VTCP u = [ ÃB, ÃC] = (5; -4; 3). 1 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là G( —; - - 0) 1 , X = —+ 5t ò 1 , Vậy phương trình tham số d: y=---4t . ò z = 3t b) Phương trình mặt phẳng (a) qua c vuông góc với AB là: l ( x - l) + 3 ( y - 3 ) = 0x + 3y - 10 = 0. Phương trình mặt phang (P) qua B vuông góc với AC là: 3 ( y - 3 ) + 2(z + l) = 0 » 3 y + 2 z - 7 = 0. Đường thẳng d qua trực tâm II của tam giác ABC và vuông góc với mặt phảng (ABC) là giao tuyến của (a ) và (P). Đường thảng d qua N(l; 3; -1) và có vectơ chỉ phương u = [n^^ , np ] = (6; -2; 3) nên có phương trình tham số là: X = 1 + 6/
5 í\3 5 - 1 3 '' « 3 3 t - 5 < i > t = — . DođóH — — 33 1 33 33 33 Đường thẳng d có VTCP MH 11. ^ hay (13;-28; 20) 3 3 ’ 33 ’ 33 ' X V—1 7 4“ 1 Vậy phương trình chính tăc của d là — = —. 13 - 2 8 20 M M Cách khác: Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của mặt phang (M, A); 4x + 4y + 3z - 1 = 0 và mặt phẳng qua M, vuông góc với A; 4x - y - 4z - 3 = 0. Bài toán 8.7: Lập phương trinh đường thẳng đi qua A (-l; 8; 5) và vuông góc với X = 1+ 2t ĩx = l - t ' 2 đường thẳng d; y = 3 - 2 t ;d': y = 2 + t' . z=l+t z = l-3t' Giải Hai đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương là u = (2; -2; 1) và V = (-1; 1; -3) vectơ chỉ phương của đường thăng cân tìm là u ' = [ u , v] = (5; 5; 0) hay (1; 1; 0). X = -l + t Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tham số: y = 8+ 1 . V z=5 Bài toán 8.8: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng sau trên mỗi mặt phẳng toạ độ. X = 5+ t x-1 _ y + 2 _ z -3 a) d: y = 3-2t b) ~2T~ 3 ~ ~ r z = 4+t Giải a) Điểm M(x; y; z) thuộc d có hình chiếu lên mp(Oyz) là M'(0; y; z) thuộc d', d' [x = 0 là hình chiếu lên mp(Oyz). Vậy phương trình tham sổ của d' là: y = 3- 2 t. z = 4+1 Tương tự thì hình chiếu lên mp(Oxy), mp(Oxz) có phương trình tham số: 90
X= 5 + l X= 5+ t y - 3-2t, y=0 z=0 z= 4+1 x = l + 2t b) ĐưÒTig thẳng d có phương trình tham số là: y = - 2 + 3t. z = 3+ 1 Mỗi điểm M(x; y; z ) e d có hình chiếu trên mp(Oxy) là điểm M'(x; y; 0) G d', d' là hình chiếu của d trôn mp(Oxy). ^x = l + 2t Vậy d' có phương trình tham số là; y = - 2 t + 3t z=0 Tương tự, ta có phương trình hình chiếu của d trên mp(Oxz), mp(Oyz) lần lượt là: X = 1+ 2t X= 0 y=0 và
X = -8 + 4t Vậy d’: y = 1 5 - 5 t . z=t Cách khác: Tìm giao đicm A của d và (P). Thế toạ độ X, y, z vào (P); t + 8 + 4t) + (3 + 2t) - 7 = 0 t- - - = A z l lì 1 ' 1' 1 Mặt phang (Q) qua d, vuông góc với (P) có VTPT n = [ u , np ] = (2; l ; -3) Đường thẳng d' của VTCP u ' = [ n , rip ] = (4; -5; 1) Từ đó suy ra phưong trình của hình chiếu d'. Bài toán 8.10: Cho đường thẳng d và mp(P) có phưong trình; 2 x = —+ t 3 d: y = - y + t , ( P ) : x - 3 y + z - 1 =0. z=t a) Viết phương trình đưòng thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P). b) Viết phương trình đường thẳng di là hìrứi chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. Giải 11 ^ a) Đường thăng d đi qua đièm A — — ;0 và có vectơ chi phương u = (1; 1; 1). v3 3 7 Gọi (Q) là mặt phang đi qua d và vuông góc với mp(P) thì giao tuyến d = (P) n (Q) là hình chiếu vuông góc của d trên (P). Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến np = (1; -3; 1). Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến ttọ = [ u , ttp ] = (4; 0; -4) hay (1; 0; -1). 92
Vì (Q) chứa đưòng thẳng d nên cũng đi qua điểm A, do đó (Q) có phương trình 2 X - — - z = 0 hay 3x - 3z - 2 = 0. 3 2 1 2 Ta có (P): X - 3y + z - 1 = 0. Đặt z = t t h ì x = — +t , y = - — + — t. 3 9 3 2 X = —+ t 3 1 2 Vậy phương trình của đường thăng d' là: y ——- + —t 9 3 z=t b) Gọi (R) là mặt phang chứa d và song song hoặc chứa Oz thì di là giao tuyến của mp(R) và mp(P). 2 _n Mặt phẳng (R) đi qua A ;0 và có vectơ pháp tuyến là ò 3 ĩi, k =( 1; -1; 0). Mặt phẳng (R) có phương trình là 3x - 3y - 13 = 0. Ta có (P): X - 3y + z - 1 = 0. r.. _ 13 10 ^ Đặt y = t t h ì x = — + t , z = - — + 2t. 3 3 13 x=—+t 3 Vậy di có phương trình tham sổ là: y=t 10 h n z —------ 2t 3 x -7 _ y -3 _ z -9 Bài toán 8.11: Viết phương trình hình chiếu của (A2): — - =-— ^ = ^ theo X —3 y ~ l z —1 phương (Ai): ----- = ------ = ------ lên mặt phăng (a): x + y + z + 3 = 0. Giải Hình chiếu A là giao luyến của (a) với (P), trong đó (P) là mặt phẳng chứa (A2), song song với (Ai). Vì (P) chứa (A2) nên đi qua A(7; 3; 9) và có VTPT ri = u,,u. = (8;4; 16) hay (2; 1;4). Do đó (p); 2(x - 7) + 1(y - 3) f 4(z - 9) = 0 hay 2x + y + 4z - 53 = 0. 93
Các điểm thuộc giao tuyến (A2) có toạ độ thoả mãn: I x+y+7+3=0 2x + y + 4 z - 5 3 = 0 Đặt z = t thì X = 56 - 3t, y = -59 + 2t x = 5 6 -3 t Vậy phương trình tham sổ của hình chiếu: y = -5 9 + 2 t. z=t Bài toán 8.12: Cho đường thẳng A và mp(P) có phương trình: X —1 V —2 z —3 (P); 2x + z - 5 = 0. 1 2 2 Viết phương trình đường thẳng di qua giao điểm A của A và (P), nằm trong (P) và vuông góc với A. Giải A dạng tham số: X = 1 + 1, y = 2 + 2t, z = 3 + 2t. Thế X, y, z vào (P) thì được t = 0 nên A(1; 2; 3). Gọi d là đưÒTnig thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với A. Khi đó, vectơ chỉ phương u ' của d phải vuông góc với vectơ chỉ phương u = (1; 2; 2) của A, đồng thời vuông góc với vectơ pháp tuyến n = (2; 0; 1) của (P), nên ta chọn: u ' = [ u , n] = (2 ;3 ;-4 ). x -1 y -2 z -3 Vậy đường thẳng d có phương trình chính tắc: -4 Cách khác: Gọi (Q) là mặt phang đi qua A và vuông góc với A thì (Q) có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của A nên có phương trình: X - 1 + 2(y - 2) + 2(z - 3) = 0 hay X + 2y + 2z - 11 = 0. Giao tuyến d của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và d -L A (vi d nằm trong (Q) mà A J_ (Q)). 1 2 X = - —+ - ( 3 3 Suy ra phương trình tham số của d là:' y = t 17 4 z —---- - - Í 3 3 94
Bài toán 8.13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng A: — ^— = ----- = — và mặt phăng (P): X + 2y - 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng A:. Giải Theo giả thiết đường thẳng d đi qua giao điểm của A với (P): Toạ độ giao điểm I của A với (P) thoả mãn hệ: x+2 _ y - 2 _ z 1 ~ 1 “ ^ = í> I ( - 3 ; 1; 1) x + 2y-3z + 4 = 0 Vectơ pháp tuyến của (P): n =( l ; 2 ; - 3 ) , vectơchỉphươngcủaA : u =(1; 1;-1) Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương V = [ n , u ] = ( l ; - 2 ; - l ) nên có phương trình x = -3 + t y = l-2t . z=l-t Bài toán 8.14: Lập phương trình của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt hai đường thẳng: X= 1 X= l - 2 t ’ d; y = - 4 + t, d':
Bài toán 8.1 5 : V iế t p h ư ơ n g trìn h đ ư ò n g thẳng đ i qua A ( l ; -1 ; 1) và cắt cả hai đườ n g thẳ n g sau đây: X = 1 + 2t x = t' d; y =t d': y = -l-2t' z = 3- 1 z = 2 + t' Giải Ta có A không thuộc d và d'. Đưòng thăng d' đi qua điểm M (1; 0; 3) và có vectơ chi phương u = (2; 1; -1). Đường thẳng d' đi qua điểm M'(0; -1; 2) và có vectơ chỉ phương u ' = (1; -2; 1). Đường thẳng A cần tìm là giao tuyến của hai mặt phang: mp(A; d) và mp(A; d'). Mp(A; d) có vectơ pháp tuyến n = [ AM, u] = (-3; 4; -2), mp(A; d') có vectơ pháp tuyến n ' = [AM' , u'] = (2; 2; 2) hay (1; 1; 1). Đường thăng A có vectơ chỉ phương là [ n , n'] = (6; 1; -7) đi qua A nên có phương trình tham số là: x = l + 6t ■y = - l + t . .z = l - 7 t Ta có u . n ' = 2 + 1 - 1 = 2 9* 0 nên d căt mp(A; d'), do đó d căt A. Tương tự, vi u n = -3 - 9 - 2 = -13 0 nên d' căt mp(A; d), do đó d' căt A. Vậy A là đường thẳng đi qua A, cắt cả d và d'. A M B N Cách khác: - Ta có thể tìm giao điểm B của d' và (A; d), đưÒTig thẳng A là đường thẳng qua A và B. - Lấy điểm M(1 + 2t; t; 3 - 1) nằm trên d và điểm M'(t'; -1 - 2t'; 2 + 1') nằm trên d'. Ta tìm giá trị của t và t' sao cho điểm A, M, M' thẳng hàng, tức là AM và A M ' cùng phương: [ÃÃÌ, Ã M ' ] = õ. 96
Bài toán 8.1 6 : V iế t p h ư ơ n g trìn h của đườ n g thẳng nằm tro ng m ặt phảng y + 2>: - 0 và cắt h ai đ ư ờ n g thẳng: x =l-t x = 2 -t' d,: y -t , di. y = 4 + 2 t'. z = 4t z=1 Giải Ta tìm các giao điểm của hai đường thẳng đã cho với mặt phẳng y + 2z = 0 Tham số t ứng với giao điểm Mi của đường thẳng di với mặt phang trên là nghiệm của phương trình: t + 2. 4t = 0 => 9t = 0 t = 0. Vậy M i(l;0 ; 0). Tương tự, giao điểm của đường thẳng d2 với mặt phẳng trên !à M 2( 5 ; -2; 1) ứng với t' = -3. Đưòng thẳng phải tìm qua Mi và M 2 có VTCP x = l + 4t n = M ,M 2 = (4; -2; 1) nên có PT tham số:
Viết phưong trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ o, cắt d và song song với mp(P). Giải Gọi (P') là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ o và song song với mp(P) thì (P') có phương trình: X - 3y + z = 0. 37 35^ 35 Giao điểm I của đường thẳng d và mp(P') có toạ độ I với t 3 3 Đường thẳng đi qua o và I là đường thắng cần tìm qua o và có VTCP: X y z 3 OI = (37; 24; 35) là — = - ^ = — 37 24 35 Bài toán 8.19: Viết phương trình đường thẳng song song với dường thẳng di và cẳt cả hai đường thẳng d2 và da, biết phương trình của di, d 2 và da là; X= 1 x = -4 + 5t’ „ . , X-1 y+2 z- 2 , d.:- y = -2 + 4t ; d , : ----- = — ^— = ------- ; d, : y = - 7 + 9t' ^ ^ 1 4 3 ' z= l-t z = t' Giải Đường thăng di có vectơ chỉ phương u 1 = (0; 4; -1), các phương trình của d2 và da dưới dạng tham số: lx = l + t x = - ^ + 5t' d ,:^ y = -2 + 4t d.G y = -7 + 9t' z = 2 + 3t z = t' l'rên đường thẳng d2 lấy điểm M 2( 1 + t; -2 + 4t; 2 + 3t) và trên đường thẳng da lấy điểm Ma(-4 + 5t’; -7 + 9t'; t'). Ta có M 5M 3 = (-5 + 5t' - 1 ; -5 + 9t' - 4t; -2 + t' - 3t) Hai vectơ M 2M 3 và u 1 cùng phương khi và chỉ khi; í - 5 + 5t’- t = 0 t =0 -5 + 9 t '^ t ■2 + t'-3t t'= l 4 -1 ^ Do đó M 2 ( 1 ; - 2 ; 2 ) và Ỉ Ă M ĩ = ( 0 ; 4 ; - l ) Vậy đường thăng A đi qua M 2 và Ma có phương trình: X= 1 y = -2 + 4 t . z=2- 1 Vì M 2 Ể di nên A đúng là đường thang cần tìm. 98
Cách khác: Viểt phương trình mặt phắng (a) đi qua da và song song với di, phương trình mặt phang (P) di qua da và song song với di. Hai mặt phang đó cắt nhau theo giao tuyến A là đường thẳng cần tìm, nếu A không trùng với di. Bài toán 8.20: Lập phương trình của dường thăng A di qua điôm A(3; -1; -4) căt trục Oy và song song với mặt phăng y -t 2x = 0. Giải l'a có dicm A ở ngoài mặt phăng y + 2x 0. Phương trình mặt phang (a) di qua điếm A(3; -1; -4) và song song với mặt phẳng y + 2x = 0 có dạng y + 2x t D ~ 0, D 0. Vì điếm A(3; -1; -4) thuộc mặt phang đó nên ta tính được D = -5. Vậy mặt phăng (a) có phương trình là: y + 2x - 5 = 0. Trục Oy cắt mặt phang (a) tại điồm M(0; 5; 0). Vậy phương trinh đưcmg thẳng AM là đường thẳng cần tìm; x-3 _ y +l _z +4 -3 ~ ~ 6~~ 4 Bài toán 8.21: Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của 2 đường thẳng: X = t x = 2 + t' d: y=3 và d'; y = l - t ' z=6+t z = 2 - 1' Giải d qua A(0; 3; 6 ) ta có VTCP ĩi = (1; 0; 1) d' quaB (2; 1;2) có VTCP u ' = ( l ; - l ; - l ) Ta có u . ù ' = 0, [ u , ú '|. AB =2 nôn 2 đườiig thẳng d, d' chéo nhau và vuông góc nhau. Hai dường thẳng vuông góc nhau nôn đường vuông góc chung là giao tuyến của mặt phăng (P) qua d, vuông góc d' và (Q) qua d' vuông góc d. (P) đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến ĩ í ' có phương trình: X - (y - 3) - (z - 6 ) = 0 hay x - y - z + 9 = 0. Tương tự, (Q) đi qua diêm B và có vcctơ pháp tuyên u nen có phương trình: x - 2 ' t z - 2 = 0 hay X + z - 4 = 0. Suy ra phương trình của dường vuông góc chung của d và d' là; X = t - - x y - 5 z - 4 y = 5 + 2t=> —= = -----. 1 2 - 1 z= 4 -t 99
Bài toán 8.22: Lập phương trình đưÒTỉg vuông góc chung của hai đường thẳng: ^ x -7 y -3 z -9 x -3 y -1 Z -1 ^ ^ 1 2 -1-7 ^ 2 3 Giải (di), (d2) có vectơ chỉ phương lần lượt là: u, = (1 ;2 ;-1 ), = (-7; 2; 3) [U| , U2 ] = (8; 4; 16) nên vectơ chì phương của đường vuông góc chung A là u^ = (2; 1; 4) Mặt phẳng (P) chứa (d 2) và song song với là: 5x + 43y - 1 lz - 38 = 0; (P) n (di) = M(7; 3; 9) Đường thẳng (A) cần tìm đi qua M, có vectơ chi phương ‘A • x-7_y-3_z-9 2 " 2 ^ 4 ■ Bài toán 8.23: Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của AC vàB D biếtA (4; 1;4), B(3; 3; 1), C (l;5 ;5 ) , D (l; 1; 1). Giải PT đường AC là (d,): X= 4 - 3t, y = 1 + 4t, z = 4 + t có VTCP = (-3; 4; 1). PT đường BD là (d 2): X = 3 - 2k, y = 3 - 2k, z = 1 có VTCP = (-2; -2; 0) Gọi đường vuông góc chung là (A) qua E thuộc di, F thuộc d 2: E(4 - 3t; 1 + 4t; 4 + t); F(3 - 2k; 3 - 2k; 1) ẼE = (1 - 3t + 2k; -2 + 4t + 2k; 3 + 1). _ _ í 5 t= EE.U, X ẲJ/« LiI = — 0U ị Í26t + 1 ^2ỉvk - 8o — = 0 17 Ta có: F E .ũ ^ - 0 lt + 4 k -l = 0 17 , ^ f5 3 37 73^ , / 4 5 45 17 Suy ra E — , F — [ \7 17 1 7 ; [ \7 17 17 Đường vuông góc chung (A) có vectơ chỉ phương 45 X= - / + t 17 8_____ ^1 77)\ nen có' PP1T 1là: 45 FE = — ; — 8— , hay n(1;-1; ' y =— -t. 17 17 17, 17 z = l + 7t 100
Bài toán 8.24: Lập phương trình đường thẳng d' đối với đường thẳng —'2 y 7 —1 ■ » d: ------ = —= — qua mặt phăng (P): X + 2y + z - 1 = 0. -1 3 -7 Giải Gọi A là giao điểm của d và (P) thì A(2-t; 3t; l-7t). Thế toạ độ vào (P) thì t = 1 nên A (l; 3; - 6 ). Đưòng thẳng d đi qua B(2; 0; 1). Ta tìm hình chiếu H của B lên (P). Phương trình đưÒTig thẳng qua B, vuông góc với (P) có x = 2 + t’ VTCP ĩi = np = (1 ;2 ; 1): y = 2 t’ . z = l + t' 1 (5 2 2'^ Thê X, y, z vào (P) thì được t' = - — nên H 3’ 3’ 3 4 p Do đó điểm đổi xứng B qua (P) là B ,3 ’ 3^ ^1 -13 19^ Đường thẳng d' có VTCP A B ' = hay (1;-13; 19) v3 3 x -l_ y -3 _ z +6 nên có phương trình 1 Bài toán 8.25: Cho 2 đường thẳng: . . . x -3 y -1 Z -1 x -7 y -3 z - 9 (Ai): ------ = -------= -------và 2): ------= ------ = ------ tAiT ■và(A -7 2 3 1 2 -1 Lập phương trình đưòmg thẳng (A3) đối xứng với (A2) qua (Ai). Giải Lấy điểm M e (A2) ^ M(t + 7; 2t + 3; -t +9) Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với (Ai): V *' -7(x - 1 - 7) + 2(y - 2t - 3) + 3(z + t - 9) = 0 \ Ta có (Ai): X = -7k + 3, y = 2k + 1, z = 3k + 1 nên giao điểm của (Ai) và (P) là 2 1 .t 6t 9t - 3 .t + 3 ,-— + 1 .- — + 1 ứng với k = 31 31 31 31 Gọi M' đối xứng với M qua (Ai) thì I là trung điểm đoạn MM' nên có ^U t M' 31 31 '3 1 y 101
Vậy đường thắng (A3) cần tìm chứa các điểm M' nên có phương trình là; íx = - l + l l t y = -l-7 4 t. z = - 7 + 13t Bài toán 8.26: Viết phương trình đưcmg thẳng đi qua M (l; -5; 3) và tạo với hai đường thẳng Ox, Oy các góc bằng 60“. Giải Gọi u = (a; b; c), 'à b“ + c^ 0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm. Các đường thăng Ox, Oy có các vcctơ chì phương là í = ( 1 ; 0 ; 0 ), J = ( 0 ; 1 ; 0 ). Theo giả thiết của bài toán thì: |a| |b| „ 1 +b^ +c^ + b “ +c^ 2 a^ = = —(a“ + c“) 4a' = 4b^ = a" + c^. 4 o 2a^ = 2b^ = c^. Chọn c = \ í ĩ thi a = ± 1, b = ± 1. Vậy có 4 trường hợp xảy ra: x -1 y+5 z -3 1 ~ 1 ~ x -1 y+5 z -3 1 ~ -1 " x -1 y+5 z -3 -1 ~ 1 "■ x -1 y+5 z -3 ■ -1 ” -1 " Bài toán 8.27: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): X - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(-3; 0; 1), B (l; -1; 3) a) Viết phương trình tia AB, đoạn AB. b) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thảng dó là nhở nhất. Giải a) Vectơ chỉ phương AB = (4; -1; 2). 102
Phương trình tham số của tia AB: x = -3 + 4 t x = -3+4t y = -t , t ^ 0 , đoạnAB: y = -t ,0
Bài tập 8.4: Lập phương trình đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phang: X - 2y + 3z - 4 = 0 và 3x + 2y - 5z - 4 =0 ỈID-DS VTCP (2; 7; 4). Bài tập 8.5: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của X —9 V —1 7 + 1 •» d; -------= - — = ------ lên mặt phẳng Oxy. 3 -2 4 IID-ĐS x = 2 + 3t d': y = l-2 t . z=0 ’ X y ~ 1 z —3 Bài t.'Ịp 8.6: Cho đường thăng d: — = ------= ------- và mặt phăng (P); X + y + z - 10 = 0. Lập phương trình hình chiếu d' của d lên mặt phang (P). IID-DS X= 6 + t d': • y = - 2 - t . z=6 Bài tập 8.7: Trong không gian Oxyz cho hình chóp tử giác đều s. ABCD, biết S(3; 2; 4), B (l; 2; 3), D(3; 0; 3). Viết phương trình đường vuông góc chung cùa hai đường thẳng AC và SD. ỈỈD-DS x - 2 _ y -1 _ z -3 5 “ -1 ” 2 ■ Bài tập 8.8: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng X= -3 + 2t d: ■y = 1 - t z = - l + 4t Viết phương trình đường thẳng A đi qua A, cắt và vuông góc với d. lỉD -Đ S . x+4 y+2 z -4 A: —:— = — = ------ 3 2 - 1 Bài tập 8.9: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A (l; 4; 2), B (-l; 2; 4) và đường x -1 _ y+2 _ z thăng A: -1 1 104