intTypePromotion=1
ADSENSE

Một vài ứng dụng thực tế của công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

15
lượt xem
1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết giới thiệu về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes sử dụng trong việc tính xác suất. Đây là hai công thức hay gặp khi giải quyết các bài toán xác suất. Xuất phát từ việc xây dựng công thức tính sau đó đưa ra các ví dụ áp dụng trong các lĩnh vực kinh tế, y học giúp người đọc biết vận dụng để tính xác suất và thấy được mối liên hệ giữa toán học với đời sống rất gần gũi.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Một vài ứng dụng thực tế của công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

  1. SỐ 55/2021 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI MỘT VÀI ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES Bùi Thị Hồng Vân1,* 1 Khoa Khoa học Cơ bản, trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: hongvan2506@gmail.com Tóm tắt Từ khóa: Bài báo giới thiệu về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes sử Công thức Bayes; Độ đặc dụng trong việc tính xác suất. Đây là hai công thức hay gặp khi giải quyết các bài hiệu; Độ nhạy; Nhóm đầy đủ; toán xác suất. Xuất phát từ việc xây dựng công thức tính sau đó đưa ra các ví dụ Xung khắc từng đôi. áp dụng trong các lĩnh vực kinh tế, y học giúp người đọc biết vận dụng để tính xác suất và thấy được mối liên hệ giữa toán học với đời sống rất gần gũi. 1. GIỚI THIỆU cố H1, H2 ,...., Hn thường được gọi là các giả thuyết. Trong bài toán tính xác suất, ta có rất nhiều Công thức này cũng được hiểu là xác suất đồng khả công thức tính xác suất có thể được sử dụng. Chẳng năng hoặc là xác suất trung bình có trọng lượng của hạn tính xác suất theo định nghĩa cổ điển khi các các xác suất P( A Hi ), i  1, n . kết cục xảy ra là đồng khả năng, công thức cộng và nhân xác suất, công thức xác suất có điều kiện...Giả 2.1.2. Công thức Bayes sử A là một biến cố ngẫu nhiên nào đấy, khi tính Với giả thiết trong công thức xác suất toàn P(A) theo phương pháp đồng khả năng nhưng phần vừa xây dựng ở trên, ta có: không tính được. Vấn đề đặt ra là cần xây dựng P( AHi )  P( A).P( Hi A) công thức tính P(A). Từ đó dẫn đến hai công thức là  P( Hi ).P( A Hi ), i  1, n công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Nếu giả thiế P( A)  0 thì ta có: 2. NỘI DUNG P( Hi ).P( A Hi ) 2.1. Xây dựng công thức P( Hi A)  P( A) 2.1.1. Công thức xác suất toàn phần (công thức xác suất đầy đủ) Hay P( Hi ).P( A Hi ) P( Hi A)  n , i  1, n Giả sử A là một biến cố bất kì và  P( Hi ).P( A Hi ) H1, H2 ,...., Hn lập thành một nhóm đầy đủ các biến i 1 cố, nghĩa là ta có: H i   , i  1, n ; Công thức trên gọi là công thức Bayes. Các xác suất P( H1 ), P( H2 ),...., P( Hn ) được xác định trước n H i  H j   , i  j  1, n ; H i  . khi phép thử được tiến hành, do đó thường được gọi i 1 là các xác suất tiên nghiệm. Còn các xác suất n n P( H1 A), P( H2 A),...., P( Hn A) được xác định sau Khi đó, A  A    A  ( Hi )  (A  H i ) i 1 i 1 khi phép thử được tiến hành và biến cố A đã xảy ra, do đó gọi là các xác suất hậu nghiệm. Như vậy,  AH 1  AH 2  ...  AH n . công thức Bayes cho phép ta đánh giá lại xác suất Vì các H1, H2 ,...., Hn xung khắc từng đôi nên xảy ra các giả thuyết sau khi đã biết kết quả của AH1, AH2 ,...., AHn cũng xung khắc từng đôi. Do đó: phép thử. Công thức này còn được gọi là công thức xác suất các giả thuyết. P( A)  P( AH1 )  P( AH2 )  ...  P( AHn ) 2.1.3. Chú ý  P( H1 ).P( A H1 )  P( H2 ).P( A H2 )  ... n ...  P( Hn ).P( A Hn ) Từ công thức Bayes suy ra  P( Hi A)  1 n i 1   P( Hi ).P( A Hi ). Do đó: P( A B)  1  P( A B) i 1 Công thức trên được gọi là công thức xác suất P( B A)  1  P( B A) toàn phần hay công thức xác suất đầy đủ. Các biến 14 KH&CN QUI
  2. KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 55/2021 n Theo kinh nghiệm của nhà sản xuất cho thấy tỉ Mặt khác, do  P( Hi A)  1 nên lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng i 1 với những cách trả lời trên là 45%, 20%, 2%. n n a, Đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó; P( A)   P( AHi )   P( A).P( Hi A)  P( A) i 1 i 1 b, Tính xem trong số khách hàng thực sự mua sản Vậy không tính được P(A) theo phương pháp phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời “Sẽ mua” này. khi được phỏng vấn. 2.2. Một số ví dụ áp dụng Giải 2.2.1. Bài toán trong kinh tế a, Thị trường tiềm năng của sản phẩm chính là tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm Ví dụ 1: Một phân xưởng có ba máy sản xuất cùng một loại sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm tương Gọi A là biến cố: “Chọn ngẫu nhiên một khách ứng là 1%, 2%, 0,5%. Biết rằng máy I sản xuất ra hàng thì người đó thực sự mua sản phẩm”; 30%, máy II sản xuất ra 20% và máy III là 50% sản H1 là biến cố: khách hàng trả lời “Sẽ mua”; phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tìm xác H2 là biến cố: khách hàng trả lời “Có thể sẽ suất để sản phẩm đó là phế phẩm. mua”; Giải H3 là biến cố: khách hàng trả lời “Không mua”. Gọi A là biến cố: “Lấy được sản phẩm là phế Ta thấy biến cố A có thể xảy ra đồng thời với phẩm” một trong ba biến cố H1, H2 , H3 và ba biến cố Gọi H1, H2 , H3 lần lượt là biến cố chọn được H1, H2 , H3 tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố. sản phẩm do máy I, máy II, máy III sản xuất. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: Ta dễ dàng suy ra H1, H2 , H3 tạo thành nhóm 3 đầy đủ các biến cố. Theo giả thiết, ta có: P( A)   P( Hi ).P( A Hi ). i 1 P( H1 )  0,3; P( H2 )  0, 2; P( H3 )  0,5 Theo giả thiết, ta có các xác suất sau: P( A H1 )  0, 01; P( A H2 )  0, 02; P( A H3 )  0, 005 80 235 185 Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: P( H1 )  ; P( H2 )  ; P( H3 )  500 500 500 3 P( A)   P( Hi ).P( A Hi ). P( A H1 )  0,45; P( A H2 )  0,2; P( A H3 )  0,02 i 1 Thay vào công thức trên, ta có:  0,3.0,01  0,2.0,02  0,5.0,005 80 235 185 P( A)  .0,45  .0,2  .0,02  0,1734  0,0095  0,95% 500 500 500 Trở lại bài toán trên, giả sử lấy ra một sản Vậy thị trường tiềm năng của sản phẩm đó là phẩm và thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất sản 17,34%. phẩm đó do máy III sản xuất. b, Áp dụng công thức Bayes: Theo công thức Bayes ta có: P( H1 ).P( A H1 ) 0,16.0, 45 P( H1 A)    0, 4152 P( H3 ).P( A H3 ) 0,5.0, 005 P( A) 0,1734 P( H3 A)    0,2632 P( A) 0, 0095 Nghĩa là trong số khách hàng thực sự mua sản Ta nhận thấy xác suất hậu nghiệm P( H3 A) đã phẩm thì có 41,52% trả lời “Sẽ mua”. có sự thay đổi so với xác suất tiên nghiệm P( H3 ). 2.2.2. Bài toán trong y học Ví dụ 3: Tỉ lệ bệnh B tại một địa phương bằng Ví dụ 2: Trước khi đưa một sản phẩm ra thị 0,02. Dùng một phản ứng giúp chẩn đoán, nếu trường nhà sản xuất đã phỏng vấn ngẫu nhiên 500 người bị bệnh thì phản ứng dương tính 95%, nếu khách hàng về sản phẩm đó và thu được kết quả người không bị bệnh thì phản ứng dương tính 10%. như sau: a, Tìm xác suất dương tính của phản ứng; Câu trả lời Số ngƣời b, Một người làm phản ứng thấy dương tính, tìm Sẽ mua 80 xác suất sao cho đó là người bị bệnh; Có thể sẽ mua 235 c, Tìm xác suất chẩn đoán đúng của phản ứng. Không mua 185 Giải KH&CN QUI 15
  3. SỐ 55/2021 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Gọi A là biến cố: “Phản ứng dương tính”  P( B).P( A B)  P( B).P( A B) A là biến cố:” Phản ứng âm tính”.  0,02.0,95  0,98.0,9  0,901 B là: “Phản ứng xác định có bệnh B”. Nhận xét: Ta có thể phân tích B là: “Phản ứng xác định không có bệnh B”. P(Đ) = P( AB)  P( AB)  P( A).P( B A)  P( A).P( B A) Đ là: “Phản ứng xác định đúng”. Nghĩa là giá trị của phản ứng là giá trị trung Tổ chức y tế thế giới quy ước gọi (theo tài liệu bình của độ nhạy và độ đặc hiệu hoặc giá trị trung [3]): bình của giá trị dương tính và giá trị âm tính. P( A B) là độ nhạy. 3. KẾT LUẬN Công thức xác suất toàn phần và công thức P( A B) là độ đặc hiệu. Bayes là hai công thức quen thuộc trong xác suất, P( B A) là giá trị của phản ứng dương tính. nó có mặt ở các tài liệu và giáo trình về xác suất. Để giải quyết các bài toán xác suất đỡ khó khăn thì P( B A) là giá trị của phản ứng âm tính. việc gọi tên được hiện tượng và sử dụng công thức P(Đ ) là giá trị của phản ứng. tính xác suất phù hợp là rất cần thiết. Bài viết này a, Dễ thấy B và B tạo thành nhóm đầy đủ các biến trình bày chi tiết các vấn đề liên quan đến hai công cố. thức trên. Từ việc chứng minh hai công thức đến Từ công thức xác suất toàn phần, ta có: các ví dụ áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau giúp người đọc hiểu rõ vấn đề và vận dụng được trong P( A)  P( B).P( A B)  P( B).P( A B) các tình huống thích hợp của đời sống. Theo giả thiết: P( B)  0,02; P( B)  0,98 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. TS.Nguyễn Cao Văn (chủ biên), TS. Trần Thái P( A B)  0,95; P( A B)  0,1 Ninh (2002), Lí thuyết xác suất và thống kê Vậy: P( A)  0, 02.0,95  0,98.0,1  0,117 toán, Nxb Giáo dục. b, Theo công thức Bayes, ta có: [2]. TS.Nguyễn Cao Văn (chủ biên), TS. Trần Thái P( B).P( A B) 0,02.0,95 Ninh (2002), TS Nguyễn Thế Hệ, Bài tập xác P( B A)    0,162 suất và thống kê toán, Nxb Giáo dục. P( A) 0,117 [3]. TS. Đặng Đức Hậu (2011), Xác suất thống kê, c, Ta có: P(Đ)= P( AB)  P( AB) Nxb Giáo dục. [4]. PGS. TS. Nguyễn Hữu Bảo (2004), Xác suất thống kê, Nxb Thủy Lợi. 16 KH&CN QUI
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2