Nén hiệu đa Mode từ các trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp thêm Photon

NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT<br /> HỢP VÀ TRẠNG THÁI KẾT HỢP THÊM PHOTON<br /> <br /> VÕ TÌNH<br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> NGUYỄN TRUNG DŨNG<br /> Trường THPT Nghèn, Hà Tĩnh<br /> <br /> Tóm tắt: Trạng thái kết hợp thêm photon biểu hiện các tính chất phi<br /> cổ điển như là nén biên độ trực giao và thống kê sub-Poisson [1]. Trong<br /> một môi trường phi tuyến, mối liên hệ giữa nén hiệu đa mode từ các<br /> photon đơn mode ở ngõ vào với nén thông thường của photon có tần số<br /> hiệu ở ngõ ra được thiết lập thông qua các phương trình chuyển động<br /> Heisenberg. Nén hiệu đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp và<br /> kết hợp thêm photon sẽ được trình bày trong bài báo này.<br /> <br /> 1<br /> <br /> GIỚI THIỆU<br /> <br /> Sự nghiên cứu mạnh mẽ về laser từ năm 1960 đã cho ra đời một loạt các khái niệm cơ bản<br /> trong quang lượng tử như trạng thái kết hợp, trạng thái nén ... Trạng thái phi cổ điển đầu<br /> tiên là trạng thái nén (squeezed state), được đưa ra lần đầu tiên bởi D. Stoler vào năm<br /> 1970. Tiếp theo là trạng thái kết hợp thêm photon (photon-added coherent state), trạng<br /> thái này biểu hiện rõ những đặc điểm phi cổ điển như nén biên độ trực giao và thống kê<br /> sub-Poisson [1]. Trạng thái nén bậc cao đa mode được khởi đầu bởi Hillery vào năm 1989<br /> khi khảo sát hai trường hợp nén tổng và nén hiệu đơn giản nhất cho hai mode [4]. Sau đó<br /> Kumar và Gupta nâng trường hợp khảo sát lên ba mode [5]. Năm 2000 nén hiệu đa mode<br /> tổng quát đã được Nguyễn Bá Ân, Võ Tình khảo sát với các đơn mode kết hợp và đơn<br /> mode nén [2], [3]. Bài báo này trình bày khảo sát mở rộng công trình trên về nén hiệu đa<br /> mode tổng quát với các trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp thêm photon.<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 01(13)/2010: tr. 14-22<br /> <br /> 15<br /> <br /> NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP...<br /> 2<br /> <br /> NÉN HIỆU ĐA MODE TỔNG QUÁT [2], [3]<br /> <br /> Xét một quá trình chuyển đổi tần số đa sóng nhờ môi trường phi tuyến, theo đó có N<br /> mode ở ngõ vào có tần số ω1 , ω2 , ..., ωN tương tác với môi trường phi tuyến để tạo ra một<br /> mode ở ngõ ra với tần số ΩD được cho bởi<br /> ΩD =<br /> <br /> K<br /> X<br /> <br /> N<br /> X<br /> <br /> ωk −<br /> <br /> ωj > 0<br /> <br /> (1)<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> k=1<br /> <br /> trong đó 1 ≤ K < N (N ≥ 2). Quá trình vật lý này được mô tả bằng Hamiltonian sau<br /> ˆD =<br /> H<br /> <br /> N<br /> X<br /> <br /> N<br /> K<br /> ³<br /> ´<br /> Y<br /> Y<br /> +<br /> ωj n<br /> ˆ j + ΩD n<br /> ˆ D + gD cˆ+<br /> c<br /> ˆ<br /> c<br /> ˆ<br /> +<br /> h.c<br /> .<br /> q<br /> p<br /> D<br /> <br /> j=1<br /> <br /> p=K+1<br /> <br /> (2)<br /> <br /> q=1<br /> <br /> trong đó n<br /> ˆ j = cˆ+<br /> ˆj , n<br /> ˆ D = cˆ+<br /> ˆD , với cˆ+<br /> ˆj là các toán tử sinh, hủy ứng với các mode ở<br /> j c<br /> j , c<br /> Dc<br /> +<br /> ngõ vào có tần số ωj và cˆD , cˆD là các toán tử sinh, hủy của mode ΩD ở ngõ ra. Hằng số<br /> tương tác phi tuyến gD thường nhỏ hơn tần số ωj , ΩD của các mode rất nhiều, do đó ta<br /> có thể biểu diễn các toán tử như sau<br /> cˆj = Cˆj exp(−iωj t),<br /> <br /> cˆD (t) = CˆD (t)exp(−iΩD t),<br /> <br /> (3)<br /> <br /> trong đó Cˆj (t), CˆD (t) biến thiên theo thời gian chậm hơn nhiều so với exp(−iωj t) và<br /> exp(−iΩD t).<br /> Toán tử "tập thể" ứng với các mode ωj được định nghĩa như sau:<br /> N<br /> K<br /> i<br /> h<br /> Y<br /> Y<br /> ˆ D (ϕ, t) = 1 exp(−iϕ)<br /> Q<br /> Cˆk (t)<br /> Cˆ + (t) + h.c ,<br /> 2<br /> k=1<br /> <br /> (4)<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> với ϕ là góc tạo bởi toán tử tập thểhtrên với trục thực của imặt phẳng phức.<br /> ˆ D (ϕ, t), Q<br /> ˆ D (ϕ + π , t) = i FˆD (N, t), trong đó<br /> Từ (4) ta suy ra hệ thức giao hoán Q<br /> 2<br /> 2<br /> FˆD (N, t) = FˆD+ (N, t) =<br /> <br /> K<br /> Y<br /> <br /> (1 + n<br /> ˆ k (t))<br /> <br /> k=1<br /> <br /> N<br /> Y<br /> j=K+1<br /> <br /> n<br /> ˆ j (t) −<br /> <br /> K<br /> Y<br /> k=1<br /> <br /> n<br /> ˆ k (t)<br /> <br /> N<br /> Y<br /> <br /> (1 + n<br /> ˆ j (t)).<br /> <br /> (5)<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> Như vậy, trạng thái "tập thể" của các mode ωj được gọi là nén hiệu đa mode tổng quát<br /> dọc theo hướng ϕ nếu<br /> 1<br /> V QD (ϕ, t) − |hFˆD (N, t)i| < 0,<br /> (6)<br /> 4<br /> ˆ D (ϕ, t)2 i − hQ<br /> ˆ D (ϕ, t)i2 .<br /> trong đó phương sai V QD (ϕ, t) = hQ<br /> Mối liên hệ giữa nén hiệu của các mode ωj ở ngõ vào với nén thông thường của mode ΩD<br /> ở ngõ ra được rút ra bằng cách dùng Hamiltonian (2) để thiết lập phương trình chuyển<br /> <br /> 16<br /> <br /> VÕ TÌNH - NGUYỄN TRUNG DŨNG<br /> <br /> động cho các toán tử cần quan tâm, hệ phương trình thu được có dạng<br /> K<br /> N<br /> Y<br /> Y<br /> ∂ Cˆl (t)<br /> ˙<br /> Cˆl (t) ≡<br /> = −igD CˆD (t)<br /> Cˆk+ (t)<br /> Cˆj (t) (1 ≤ l ≤ K),<br /> ∂t<br /> K<br /> <br /> Y<br /> ∂ Cˆl (t)<br /> ˙<br /> = −igD CˆD (t)<br /> Cˆk+ (t)<br /> Cˆl (t) ≡<br /> ∂t<br /> k=1<br /> <br /> (7)<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> k=1,k6=l<br /> <br /> N<br /> Y<br /> <br /> Cˆj (t) (K + 1 ≤ l ≤ N ),<br /> <br /> (8)<br /> <br /> j=K+1,j6=l<br /> <br /> N<br /> K<br /> Y<br /> Y<br /> ∂ CˆD (t)<br /> ˙<br /> +<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> Cˆj (t).<br /> CD (t) ≡<br /> = −igD<br /> Ck (t)<br /> ∂t<br /> k=1<br /> <br /> (9)<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> ˆ<br /> Đạo hàm riêng phần bậc hai theo thời gian của C(t)<br /> được suy ra từ (9)<br /> ¨<br /> 2 ˆ<br /> CD (t)FˆD (N, t).<br /> CˆD (t) = −gD<br /> <br /> (10)<br /> <br /> Từ đây, trong phép gần đúng thời gian ngắn, sự phụ thuộc thời gian của nghiệm CˆD (t)<br /> dưới dạng khai triển Taylor đến bậc hai có dạng (quy ước CˆD ≡ CˆD (t = 0), ...)<br /> CˆD (t) = CˆD − igD t<br /> <br /> K<br /> Y<br /> k=1<br /> <br /> Cˆk<br /> <br /> N<br /> Y<br /> j=K+1<br /> <br /> g 2 t2 ˆ ˆ<br /> Cˆj+ −<br /> CD F (N ).<br /> 2<br /> <br /> (11)<br /> <br /> Phương trình (11) cũng cho thấy CˆD (t) phụ thuộc vào gD t hơn là t, biểu hiện sự biến thiên<br /> chậm hơn nhiều của CˆD (t) so với sự biến thiên của cˆD (t) ∝ exp (−iΩD t). Điều này hoàn<br /> toàn phù hợp với biểu thức được đưa ra ở (3). Gọi<br /> i<br /> h<br /> ˆ C (ϕ, t) = 1 CˆD (t) exp (−iϕ) + Cˆ + (t) exp (iϕ)<br /> X<br /> D<br /> D<br /> 2<br /> <br /> (12)<br /> <br /> là toán tử biên độ trực giao của mode ΩD ở ngõ ra. Thế (11) vào (12) và xét trường hợp<br /> ban đầu mode ngõ ra ở trạng thái kết hợp hoặc chân không, nghĩa là V XCD (ϕ) = 1/4 thì<br /> ta có phương trình với phương sai của biên độ trực giao này là<br /> "<br /> #<br /> ˆD (N )i<br /> h<br /> F<br /> 1<br /> 2 2<br /> t V QD (ϕ + π/2) −<br /> .<br /> (13)<br /> V XCD (ϕ, t) − = gD<br /> 4<br /> 4<br /> hFˆD (N )i = |hFˆD (N )i| nếu trung bình lượng tử của số các mode ở ngõ vào thỏa mãn điều<br /> kiện<br /> ¶<br /> µ<br /> ¶<br /> K µ<br /> N<br /> Y<br /> Y<br /> h1 + n<br /> ˆj i<br /> h1 + n<br /> ˆk i<br /> ><br /> .<br /> (14)<br /> hˆ<br /> nk i<br /> hˆ<br /> nj i<br /> k=1<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> Trong trường hợp này, phương trình (13) trở thành<br /> "<br /> #<br /> ˆD (N )i|<br /> |h<br /> F<br /> 1<br /> 2 2<br /> t V QD (ϕ + π/2) −<br /> .<br /> V XCD (ϕ, t) − = gD<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> (15)<br /> <br /> 17<br /> <br /> NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP...<br /> <br /> 1<br /> ˆ C với phương<br /> < 0 cho X<br /> D<br /> 4<br /> trình (15), suy ra mối quan hệ quan trọng cần thiết lập: nén hiệu đa mode tổng quát ở<br /> ngõ vào được thực hiện thì nén hiệu thông thường của mode có tần số hiệu mới xuất hiện.<br /> Mặt khác, nếu các mode ở ngõ vào được nén hiệu đa mode dọc theo hướng ϕ nào đó ở<br /> thời điểm t = 0 thì mode ở ngõ ra sẽ được nén thông thường dọc theo hướng ϕ − π/2 ở<br /> thời điểm t > 0 ngay sau đó. Khi điều kiện về trung bình lượng tử của số mode ở ngõ vào<br /> (14) được thỏa mãn, sử dụng các công thức (4), (5), (6) ta sẽ suy ra biểu thức cụ thể của<br /> điều kiện nén hiệu đa mode phụ thuộc vào các mode ở ngõ vào như sau:<br /> Kết hợp (6) và điều kiện nén thông thường V XCD (ϕ + π/2, t) −<br /> <br /> n<br /> V = < exp(2iϕ)<br /> <br /> K<br /> hY<br /> <br /> hCˆk2 i<br /> <br /> N<br /> Y<br /> <br /> hCˆj+2 i −<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> k=1<br /> <br /> +<br /> <br /> K<br /> Y<br /> <br /> hˆ<br /> nk i<br /> <br /> k=1<br /> <br /> K<br /> Y<br /> <br /> k=1<br /> N<br /> Y<br /> <br /> N<br /> Y<br /> <br /> hCˆk i2<br /> <br /> io<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> (1 + hˆ<br /> nj i) −<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> hCˆj+ i2<br /> <br /> K<br /> Y<br /> k=1<br /> <br /> |hCˆk i|2<br /> <br /> N<br /> Y<br /> <br /> |hCˆj+ i|2 < 0. (16)<br /> <br /> j=K+1<br /> <br /> Dựa vào (16) ta sẽ khảo sát nén hiệu đa mode với các hệ đặc biệt. Nếu V < 0 và điều kiện<br /> trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào (14) được thỏa mãn thì hệ có nén hiệu. Còn<br /> không, hệ không được nén hiệu.<br /> 3<br /> <br /> TRẠNG THÁI KẾT HỢP THÊM PHOTON [1]<br /> <br /> Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa là<br /> a<br /> ˆ+m |αi<br /> a<br /> ˆ+m |αi<br /> |α, mi = p<br /> =<br /> ,<br /> [m!Lm (−|α|2 )]1/2<br /> hα|ˆ<br /> am a<br /> ˆ+m |αi<br /> <br /> (17)<br /> <br /> ở đây |αi là trạng thái kết hợp, m là số nguyên không âm, Lm (x) là đa thức Laguerre bậc<br /> m theo x. Trạng thái kết hợp thêm photon thể hiện các tính chất phi cổ điển như tính nén<br /> và tuân theo thống kê sub-Poisson [1].<br /> 4<br /> <br /> NÉN HIỆU ĐA MODE TỔNG QUÁT VỚI CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT<br /> HỢP THÊM PHOTON<br /> <br /> a) Trường hợp các mode ωK+1 , ωK+2 , ..., ωK+J (1 ≤ J ≤ N − K) kết hợp thêm photon<br /> còn các mode còn lại đều kết hợp<br /> Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái<br /> này như sau:<br /> hCˆk2 i = hCˆk i2 = αk2 ,<br /> hˆ<br /> nk i = |hCˆk i|2 = |αk |2 ,<br /> <br /> hCˆj+2 i = hCˆj+ i2 = αj∗2 ,<br /> hˆ<br /> nj i = |hCˆj+ i|2 = |αj |2 .<br /> <br /> (18)<br /> (19)<br /> <br /> 18<br /> <br /> VÕ TÌNH - NGUYỄN TRUNG DŨNG<br /> <br /> Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp thêm photon ta tính được một số giá trị trung bình ở<br /> trạng thái này như sau:<br /> Pm<br /> Pm<br /> 2)<br /> 2<br /> L<br /> (−|α<br /> |<br /> i<br /> p<br /> +<br /> ∗<br /> +2<br /> ∗2<br /> i=0<br /> i=0 (m + 1 − i)Li (−|αp | )<br /> hCˆp i = αp<br /> , hCˆp i = αp<br /> ,<br /> (20)<br /> 2<br /> 2<br /> Lm (−|αp | )<br /> Lm (−|αp | )<br /> hˆ<br /> np i =<br /> <br /> (m + 1)Lm+1 (−|αp |2 )<br /> − 1.<br /> Lm (−|αp |2 )<br /> <br /> (21)<br /> <br /> Xét trường hợp các mode kết hợp là giống nhau αk = reiθ ; các mode kết hợp thêm photon<br /> là giống nhau αp = ρeiβ , biểu thức của điều kiện nén hiệu là<br /> h³ Pm (m + 1 − i)L (−ρ2 ) ´J<br /> i<br /> 2J<br /> i=0<br /> V1 = Cos[2ϕ + 2(2K + J − N )θ − 2Jβ]ρ<br /> Lm (−ρ2 )<br /> ³ (m + 1)L<br /> ³ Pm L (−ρ2 ) ´2J i<br /> 2 ´<br /> m+1 (−ρ ) J<br /> 2(N −K−J)<br /> i=0 i<br /> r<br /> +<br /> (1 + r2 )N −K−J<br /> −<br /> Lm (−ρ2 )<br /> Lm (−ρ2 )<br /> ³ Pm L (−ρ2 ) ´2J<br /> 2J<br /> i=0 i<br /> −ρ<br /> r2(N −K−J) . (22)<br /> Lm (−ρ2 )<br /> Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào (xét với θ = β = 0) là<br /> ³<br /> ´J ³ 1 + r2 ´N −2K−J<br /> (m + 1)Lm+1 (−ρ2 )<br /> D1 =<br /> − 1 < 0.<br /> (m + 1)Lm+1 (−ρ2 ) − Lm (−ρ2 )<br /> r2<br /> <br /> (23)<br /> <br /> Theo biểu thức tần số hiệu (1), V 1 được khảo sát theo các trường hợp sau:<br /> - N = 2: +K = 1; J = 1.<br /> - N = 4: +K = 1; J = 1, 2, 3<br /> - N = 3: +K = 1; J = 1, 2<br /> +K = 2; J = 1, 2<br /> +K = 2; J = 1.<br /> +K = 3; J = 1.<br /> Kết quả khảo sát hàm V1 cho thấy hệ không có nén hiệu trong trường hợp này.<br /> b) Trường hợp các mode ω1 , ω2 , ..., ωJ (1 ≤ J ≤ K) kết hợp thêm photon còn các mode<br /> còn lại đều kết hợp.<br /> Sử dụng các trị trung bình đã tính được và xét trường hợp các mode kết hợp là giống nhau<br /> αk = reiθ ; các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = ρeiβ , ta có:<br /> Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào (xét với θ = β = 0) là<br /> ³ 1 + r2 ´N −2K+J ³<br /> ´J<br /> (m + 1)Lm+1 (−ρ2 )<br /> D2 =<br /> −<br /> < 0.<br /> (24)<br /> r2<br /> (m + 1)Lm+1 (−ρ2 ) − Lm (−ρ2 )<br /> Biểu thức của điều kiện nén hiệu là<br /> h³ Pm (m + 1 − i)L (−ρ2 ) ´J<br /> i<br /> i=0<br /> V2 = Cos[2ϕ + 2(2K − J − N )θ + 2Jβ]ρ<br /> Lm (−ρ2 )<br /> ³ Pm L (−ρ2 ) ´2J i<br /> ³ (m + 1)L<br /> ´J<br /> 2<br /> m+1 (−ρ )<br /> 2(N −K)<br /> i=0 i<br /> −<br /> r<br /> +<br /> −<br /> 1<br /> (1 + r2 )N −K<br /> Lm (−ρ2 )<br /> Lm (−ρ2 )<br /> ³ Pm L (−ρ2 ) ´2J<br /> i=0 i<br /> − ρ2J<br /> r2(N −K) . (25)<br /> Lm (−ρ2 )<br /> 2J<br /> <br />