Nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của một lớp phương trình truyền nhiệt trên không gian hyperbolic thực

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của một lớp phương trình truyền nhiệt trên không gian hyperbolic thực trình bày việc thiết lập tính đặt chỉnh của nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn cho phương trình truyền nhiệt với vế phải thỏa mãn điều kiện tiệm cận hầu tuần hoàn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của một lớp phương trình truyền nhiệt trên không gian hyperbolic thực

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 NGHIỆM TIỆM CẬN HẦU TUẦN HOÀN CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN KHÔNG GIAN HYPERBOLIC THỰC Nguyễn Thị Vân Trường Đại học Thuỷ lợi, email: van@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Định nghĩa 3.1. Hàm số f Î C ( ¡ + , X ) Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng kết được gọi là hầu tuần hoàn tiệm cận nếu tồn quả trước đó [3] để nghiên cứu sự tồn tại và tại hàm h Î AP ( ¡ , X ) và j ÎC0 ( ¡ + , X ) sao duy nhất nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của cho f = h + j . một lớp phương trình truyền nhiệt trên không Ký hiệu AAP ( ¡ + , X ) : =  f : ¡ ®X, f + gian hyperbolic thực  3 ( ¡ ) . hầu tuần hoàn tiệm cận  , với chuẩn là: 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU f AAP( ¡ ) := h AP( ¡ , X ) + j C0 ( ¡ ) . + ,X + ,X Trước hết, chúng tôi tính toán cụ thể nhân b) Công thức của nhân nhiệt trên  3 ( ¡ ) : nhiệt (nghiệm của phương trình truyền nhiệt) Chúng tôi chọn lọc một số kiến thức trong trên  3 ( ¡ ) và chứng minh nửa nhóm liên bài báo [1]: kết với phương trình nhiệt bị chặn cấp mũ. Xét không gian hyperbolic thực Sau đó chứng minh nguyên lí dạng Massera 3 (¡ ) = ( x1, x2 , x3, x4 ) Î¡ 4 : x12 + x22 + x32 - x42 = -1 cho phương trình tuyến tính. Cuối cùng sử Sử dụng phép đổi biến dụng nguyên lí ánh xạ co, chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đủ nhỏ ì x1 = sin  sin q cosj  cho phương trình phi tuyến.  x2 = sin  sin q sinj í 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU  x3 = sin  cosq  x = cos  3.1. Kiến thức chuẩn bị  4 Khi đó, khoảng cách giữa các điểm trong a) Chúng tôi nhắc lại khái niệm hàm  ( ¡ ) cho bởi g = d  2 + (sinh  )2 dw 2 với 3 hầu tuần hoàn tiệm cận đã được trình bày trong [3]: dw là khoảng cách trên S 2 ( mặt cầu đơn vị trong ¡ 4 ) . AP ( ¡ , X ) : = h : ¡ ® X , h hầu tuần hoàn  Do đó toán tử Laplace- Beltrami có dạng C0 ( ¡ + , X ) : =  j : ¡ + ® X , j liên tục và  g = ¶ 2 + 2coth  ¶  + (sinh  ) -2  S 2 t® () lim j t = 0 .  trong đó coth  = e2  + 1 ,  S là toán tử2 Lp ( X ) : =  j : X ® ¡ , j khả tích bậc p e2  - 1 Laplace trên S 2 . trên X  . 98
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 Định nghĩa 3.2. Nghiệm nguyên thủy của Thay công thức phương trình truyền nhiệt ut =  g u được gọi  - 2 -3/2 - ( t - ) 4( t - ) là nhân nhiệt có công thức: K 3 (t -  ,  ) = (4 (t -  )) e e sinh  2 -3/2 - t  - vào công thức trên và đánh giá thông qua tính K 3 (t ,  ) = (4 t ) e e 4t tích phân bội, ta được sinh  Nửa nhóm liên kết sẽ có dạng u  , Lp £ u0 Lp + 3 v  , Lp ( p  3).  tg Vậy tồn tại duy nhất nghiệm mạnh đủ e u0 = ò K 3 (t ,  )u0 (  )(sinh  ) 2 d  tốt u Î Cb ( ¡ , Lp ( 3 (¡ )) ) . 0 Tính toán cụ thể, chúng ta có nửa nhóm Do đó, chúng ta có thể định nghĩa toán tử trên bị chặn cấp mũ. nghiệm như sau: t 3.2. Phương trình truyền nhiệt trên (t- )g 3  (¡ ) : ( )( ) T v t := u0 +  ò e () G  v( ) d  0 a) Trường hợp tuyến tính: Định lý 3.1. Phương trình (3.1) tồn tại Xét phương trình: duy nhất nghiệm u Î AAP ( ¡ + , Lp ( 3 (¡ )) ) ì ( ) ( ) ut t, x = g u t, x +  G t v t, x , () ( ) khi  Î AAP ( ¡ + , Lp ( 3 (¡ )) ) . í (3.1) u(0) = u0 ,  Chứng minh. trong đó Chúng ta sẽ chứng minh toán tử nghiệm (   0, v Î AAP ¡ + , Lp (  3 ( ¡ ) ) , ) bảo toàn tính chất tiệm cận hầu tuần hoàn dựa vào bổ đề 3.1. G ( t ) = sin t + sin ( 2t ) + e -t , t Î¡ , Đặt F(t, x) : =  G(t)v(t, x) . u0 Î Lp (  3 ( ¡ ) ) Dễ thấy F Î AAP ( ¡ + , Lp ( 3 (¡ )) ) . Do đó Nghiệm mạnh đủ tốt của phương trình tồn tại H Î AP ( ¡ , Lp ( 3 (¡ )) ) và (3.1) là hàm số thoả mãn phương trình tích j ÎC0 ( ¡ + , Lp ( 3 (¡ )) ) sao cho phân sau: t F = H +j . (t- )g () u t = u0 +  ò e G( )v( ) d  . Khi đó 0 t t (t- ) g Bổ đề 3.1. Tồn tại duy nhất nghiệm mạnh đủ ( )( ) T F t = e g u0 + ò e ( H + j )( ) d . tốt u Î Cb ( ¡ + , Lp ( 3 (¡ )) ) , p  3 của phương 0 Từ Bổ đề 3.1, đặt trình ( 3.1) . Hơn nữa u  , Lp £ u0 Lp +C v  , Lp với điều kiện C = 3 . Chứng minh: t (t- ) g t (t- )g ( )( ) T f t := ò e j ( ) d  . u t() Lp £ u0 p L + ò e G( )v( ) d 0 0 Lp Toán tử nghiệm có thể viết lại: £ u0 Lp 1/ p t æ ö + 3 ò ç ò [K3 (t -  ,  )(sinh  )2 ] p d  ÷ d v ,Lp 0è 0 ø 99
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 Sử dụng tính chất của nửa nhóm bị chặn 1 và các hàm thuộc các không gian và 3 < nên  (v) < . Do đó 2 , Lp AP ( ¡ , Lp ( 3 (¡ )) ) , C0 ( ¡ + , Lp ( H 3 (¡ )) ) ,  : BAAP ® BAAP . chúng tôi chứng minh được Hơn nữa, AP ( ¡ , Lp ( 3 (¡ )) ) ,  (v1 ) -  (v2 ) ,L £ 3 v1 - v2 p  , Lp £ v1 - v2  , Lp . Vậy T ( F ) Î AAP ( ¡ + , Lp ( 3 (¡ )) ) . Vì vậy,  : BAAP ® BAAP là ánh xạ co. Theo nguyên lí ánh xạ co, tồn tại duy nhất sao b) Trường hợp nửa tuyến tính: cho  ( u ) = u . Tức là Xét phương trình nửa tuyến tính trên t không gian hyperbolic thực  3 ( ¡ ) :  ( u )( t ) = u0 + ò e ( t - ) g  G ( ) u ( ) d . 0 ( ) ( ) ìut t, x = g u t, x +  G t u t, x , () ( ) Do đó tồn tại duy nhất nghiệm mạnh đủ tốt í (3.2) u(0) = u0 . với chuẩn đủ nhỏ u Î AAP ( ¡ + ; Lp ( H 3 (¡ )) ) . 1 trong đó hằng số 0 <  < , hàm G như 4. KẾT LUẬN 6 trong hệ phương trình (3.1) Trong bài báo này, chúng tôi đã thiết lập Định lý 3.2. Với u0 L đủ nhỏ, tồn tại duy p tính đặt chỉnh của nghiệm tiệm cận hầu tuần nhất nghiệm mạnh đủ tốt với chuẩn đủ nhỏ hoàn cho phương trình truyền nhiệt với vế phải thỏa mãn điều kiện tiệm cận hầu tuần u Î AAP ( ¡ + , Lp ( 3 (¡ )) ) của phương trình (3.2). hoàn. Chúng tôi sẽ nghiên cứu về tính ổn Chứng minh. định và phân rã của những nghiệm này trong Đặt các bài báo tiếp theo. ìv Î AAP ( ¡ + ; Lp ( 3 ( ¡ )) ) : AAP 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO B : = í . v   , L p £   [1] E. B. Davies and N. Mandouvalos, Heat Kernel Bounds on Hyperbolic Space and Lấy v Î BAAP . Xét phương trình tuyến tính Kleinian Groups, Proceedings of the ut ( t , x ) = g ( t , x ) +  G ( t ) v ( t , x ) . London Mathematical society, Vol. s3-57, 1, 182-208 (1988). Theo Định lý 3.1, phương trình trên có [2] N.T. Huy, P.T. Xuan, V.T.N. Ha and V.T. t ( t - ) g Mai, Periodic solutions to Navier-Stokes nghiệm u ( t ) = u0 +  ò e G ( ) v( )d . Xét equations on non-compact Einstein 0 manifolds with negative curvature, Analysis ánh xạ  (v)(t) : = u(t) . Theo Bổ đề 3.1, ta có and Mathematical Physics, 11, 60 (2021). u ,Lp £ u0 Lp + 3 v ,Lp < . Vì u0 Lp đủ nhỏ [3] N.T. Vân, Sự tồn tại và duy nhất nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của một lớp phương trình truyền nghiệt, HNKHTN, ĐHTL (2020). 100