Những bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum - Oet

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ yếu hơn cho những ánh xạ đa trị để đảm bảo cho sự tồn tại nghiệm của những bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum – Oettli.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Những bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum - Oet

Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124 NHỮNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG HỖN HỢP PARETO KIỂU BLUM - OETTLI Nguyễn Xuân Tấn1, Nguyễn Quỳnh Hoa2* 1 2 Viện Toán học Việt Nam Trường Đại học Kinh tế & QTKD – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ yếu hơn cho những ánh xạ đa trị để đảm bảo cho sự tồn tại nghiệm của những bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum – Oettli. Từ khóa: Bài toán tựa cân bằng, tựa giống như lồi, ánh xạ đa trị, nửa liên tục, miền định nghĩa. MỞ ĐẦU* Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng. Người ta thường gọi bài toán này là bài toán cân bằng cổ điển hay bài toán cân bằng vô hướng. Bài toán được phát biểu như sau: Cho X là không gian vectơ lồi địa phương, D ⊂ X là tập lồi đóng, khác rỗng và f : D× D →ℝ là hàm thoả mãn f ( x, x) = 0 với mọi x ∈ D . Tìm điểm x ∈ D sao cho f ( x, y ) ≥ 0 , với mọi y ∈ D. Điểm x được gọi là điểm cân bằng. Ta sử dụng ký hiệu (EP) để chỉ bài toán này (tiếng Anh: Equilibrium problem). Từ bài toán cân bằng cổ điển của Blum – Oettli, một số nhà toán học đã đưa ra các dạng bài toán cân bằng khác và các dạng bài toán tựa cân bằng. Mục đích của bài báo này là giới thiệu một số dạng bài toán tựa cân bằng, tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum – Oettli và một số định lý về điều kiện tồn tại nghiệm. Cho X i , Yi ( i = 1, 2 ) , Y , Z là các không gian topo Hausdorff lồi địa phương, cho D ⊆ X , K ⊆ Z là các tập con khác rỗng và C ⊆ Y là một nón. Ta đặt l ( C ) = C ∩ ( −C ) . ngẫu cực, nón đối ngẫu mạnh, nón đối ngẫu yếu của nón C lần lượt được định nghĩa: C ' = {ξ ∈ Y ' : ξ , c ≥ 0, ∀c ∈ C} ; C '+ = {ξ ∈ Y ' : ξ , c > 0, ∀c ∈ C \ l ( C )} ; C '− = {ξ ∈ Y ' : ξ , c > 0, ∀c ∈ int C} . Trong bài này, ta luôn giả sử rằng C là một nón nhọn ở trong Y với C + ≠ ∅. Cho các ánh xạ đa trị: S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , P1 , P2 , P : D × K → 2 D , Q : D × D → 2 K , G , H : K × D × D → 2Y . Lin và Tan [8] đã đặt ra và nghiên cứu các bài toán sau: 1) Bài toán tựa cân bằng Pareto trên kiểu Blum – Oettli loại 1: Tìm ( x , y ) ∈ D × K sao cho x ∈ S ( x, y ), y ∈T(x, y) và (G( y, x, x) − H( y, x, x)) ⊄ −(C \ l(C)) với mọi x ∈ S ( x, y ). 2) Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới kiểu Blum – Oettli loại 1: Nếu l ( C ) = {0} thì C được gọi là nón nhọn. Tìm ( x, y) ∈ D × K sao cho: Cho Y’ là không gian topo đối ngẫu của Y. Ta gọi ξ , y là tích vô hướng giữa ξ ∈ Y ' và x ∈ S(x, y), y ∈T (x, y) y ∈Y , xác định bởi * ξ , y = ξ ( y ) . Nón đối và (G ( y , x , x ) − H ( y , x , x )) ∩ − (C \ l (C )) = ∅ với mọi x ∈ S ( x, y ). Tel: 0977615828; Email: hoakhcb@gmail.com 119 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 3) Bài toán tựa cân bằng Pareto trên kiểu Blum – Oettli loại 2: Tìm x ∈ D , x ∈ P1 ( x ) sao cho (G ( y , x , x ) − H ( y , x , x )) ⊄ (C \ {0}) với mọi x ∈ P2 ( x), y ∈ Q( x, x). 4) Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới kiểu Blum – Oettli loại 2: Tìm x ∈ D, x ∈ P1 ( x) sao cho (G( y, x, x) − H ( y, x, x)) ∩ (C \{0}) = ∅ 106(06): 119 - 124 và (G1 ( y , v , x ) − H 1 ( v , y , x )) ∩ (C1 \ {0}) = ∅ với mọi v ∈ T ( x, y ). ( G 2 ( y , x , x ) − H 2 ( y , x , x )) ⊄ ( C 2 \ {0}) với mọi x ∈ P ( x), y ∈ Q ( x, x). 8) Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto dưới – dưới kiểu Blum – Oettli loại 1 và 2: Tìm ( x, y) ∈ D × K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈T (x, y) và (G1 ( y , v , x ) − H 1 (v , y , x )) ∩ (C1 \ {0}) = ∅ với mọi x ∈ P2 ( x), y ∈ Q( x, x). với mọi v ∈ T ( x, y ). Cho S, T, P là các ánh xạ đa trị như ở trên; G1, H1 : K × K × D → 21Y ; G2 , H2 : Y × D × D → 2Y2 . Ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán sau: ( G 2 ( y , x , x ) − H 2 ( y , x , x )) ∩ ( C 2 \ {0}) = ∅ 5) Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto trên – trên kiểu Blum – Oettli loại 1 và 2: Tìm ( x, y) ∈ D × K với mọi x ∈ P ( x), y ∈ Q ( x, x). MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Miền định nghĩa và đồ thị của các ánh xạ đa trị G : D → 2Y được định nghĩa lần lượt như sau: domG = { x ∈ D G ( x) ≠ ∅} , sao cho x ∈ S(x, y), y ∈T (x, y) và ( G 1 ( y , v , x ) − H 1 ( v , y , x )) ⊄ ( C 1 \ {0} ) với mọi v ∈ T ( x, y ). ( G 2 ( y , x , x ) − H 2 ( y , x , x )) ⊄ ( C 2 \ {0}) với mọi x ∈ P ( x), y ∈ Q ( x, x). 6) Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto trên – dưới kiểu Blum – Oettli loại 1 và 2: Tìm ( x, y) ∈ D × K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈T (x, y) và ( G 1 ( y , v , x ) − H 1 ( v , y , x )) ⊄ ( C 1 \ {0}) với mọi v ∈ T ( x, y ). ( G 2 ( y , x , x ) − H 2 ( y , x , x )) ∩ ( C 2 \ {0}) = ∅ với mọi x ∈ P ( x), y ∈ Q ( x, x). 7) Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto dưới – trên kiểu Blum – Oettli loại 1 và 2: Tìm ( x, y) ∈ D × K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈T (x, y) Gr (G ) = {( x, y ) ∈ D × Y y ∈ G ( x )}. Ánh xạ G được gọi là đóng nếu Gr(G) là một tập đóng trong không gian tích X ×Y và được gọi là ánh xạ compact nếu bao đóng của tập G(D), kí hiệu là clG(D), là một tập compact trong Y. Và G được gọi là nửa liên tục trên, ký hiệu là u.s.c (hoặc dưới, kí hiệu là l.s.c) tại x ∈ D nếu với mỗi tập V chứa G ( x ) (hoặc G(x) ∩V ≠ ∅ ), tồn tại một lân cận mở U của x sao cho G( x) ⊆ V (hoặc G( x) ∩U ≠ ∅ ) với mỗi x ∈ U và G được gọi là u.s.c (l.s.c) trên D nếu nó là u.s.c (l.s.c) với mọi x ∈ D . Ta nói rằng G là ánh xạ mở liên tục trên nếu với mỗi y ∈ Y , tập G −1 ( y) = { x ∈ D y ∈ G ( x)} là tập mở. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một cách tổng quát về khái niệm ánh xạ KKM (xem [2], [11] và [14]). Cho các ánh xạ đa trị F : K × D × D → 2 X , Q : D × D → 2 K , hoặc F : D → 2Y là một ánh xạ đa trị và C là một nón trong Y. Ta nói rằng: 120 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 1) F được gọi là C – liên tục trên (dưới) tại x ∈domF nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại một lân cận U của x sao cho: F ( x) ⊂ F ( x) + V + C x ∈ co { x1 ,..., xn } , α j ≥ 0, ∑α j = 1 tồn tại một n j =1 chỉ số j ∈ {1,..., n} sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: F ( x, x j ) ⊆ F ( x , x ) + C ( F ( x) ⊂ F ( x) + V − C ) với mọi x ∈ U ∩ domF . 2) F được gọi là C – lồi trên (dưới) trên D nếu với mỗi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [ 0,1] , ta có: α F ( x1 ) + (1 − α ) F ( x2 ) ⊆ F (α x1 + (1 − α ) x2 ) + C (F (α x1 + (1 − α ) x2 ) ⊆ α F ( x1 ) + (1 − α )F ( x2 ) − C). (hoặc F ( x, x) ⊆ F ( x, x j ) − C ). SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Cho X, Z, D, K, Yi, Ci như trong lời mở đầu. Cho các ánh xạ đa trị: S : D × K → 2 D , T : D × K → 2K , P : D → 2D , F được gọi là tựa giống như lồi trên (dưới) trên D nếu với mỗi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [ 0,1] , hoặc F ( x1 ) ⊆ F (α x1 + (1 − α ) x 2 ) + C hoặc F ( x2 ) ⊆ F (α x1 + (1 − α ) x2 ) + C (hoặc F (α x1 + (1 − α ) x2 ) ⊆ F ( x1 ) − C F1 : K × K × D → 2Y1 , F2 : K × D × D → 2Y2 . Trong đó: F1 ( y , v, x ) = G1 (v, y , x ) + H1 (v, y , x ) với ( y, v, x) ∈ K × K × D, F2 ( y, x, t ) = G2 ( y, t , x) + H 2 ( y , t , x) Trong [5], Ferro đã đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng một ánh xạ đa trị là C – lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C – tựa giống như lồi trên (dưới) và ngược lại, một ánh xạ đa trị là C – tựa giống như lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C – lồi trên (dưới). Định nghĩa 2.1 Cho ánh xạ đa trị F : D×D→2Y. Ta nói rằng: 1) F được gọi là C – lồi chéo trên (dưới) đối với giá trị thứ hai nếu với mỗi tập hữu hạn D , x ∈ c o { x1 , ..., x n } , n n j =1 j =1 x = ∑ α j x j , α j ≥ 0, ∑ α j = 1 điều kiện sau được thỏa mãn: n ∑α j =1 j Q : D × D → 2K , Gi , H i : K × D × D → 2Y , hoặc F (α x1 + (1 − α ) x2 ) ⊆ F ( x2 ) − C ) { x1 , ..., x n } ⊆ 106(06): 119 - 124 F ( x , x j ) ⊆ F ( x , x ) + C với mọi y ∈ K n với ( y, x, t ) ∈ D × D × K . Ta có các định lý sau: Định lý 3.1 Ta giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) D, K là các tập compact lồi khác rỗng; 2) S là ánh xạ đa trị mở, liên tục dưới với giá trị lồi khác rỗng và T là một ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng và A = {( x, y) ∈ D × K ( x, y) ∈ S ( x, y) × T ( x, y)} là một tập đóng; 3) P là ánh xạ mở liên tục dưới và P( x ) ⊆ S ( x, y ) với ( x, y ) ∈ A. Với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ đa trị Q(., t ) : D → 2 K là nửa liên tục dưới với giá trị compact; 4) F1 ( y, y, x ) ∩ C1 ≠ ∅, F2 ( y , x, x ) ∩ C2 ≠ ∅ với mọi ( y, x) ∈ K × D; (hoặc F ( x, x) ⊆ ∑ α j F ( x, x j ) − C ) 5) Ánh xạ đa trị F1 là (−C1 ) – liên tục trên và 2) F được gọi là C – tựa giống như lồi chéo trên (dưới) đối với giá trị thứ hai nếu với mỗi C1 – liên tục dưới. Ánh xạ đa trị F2 là (−C2 ) – liên tục trên và với mỗi y ∈ Y cố định, ánh xạ đa trị N 2 : K × D → 2Y được xác định bởi j =1 t ập h ữu h ạn { x1 , ..., x n } ⊆ n D , x = ∑α j x j , j =1 2 N 2 ( y, x) = F2 ( y, x, x) là C2 – liên tục dưới; 121 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 6) Với mỗi ( x, y ) ∈ D × K cố định, ánh xạ đa trị F1 ( y,., x): K → 2Y1 là C1 – lồi dưới (hoặc C1 106(06): 119 - 124 – tựa giống như lồi dưới) và với mỗi y ∈ K ánh xạ đa trị F2 ( y,.,.) : D × D → 2Y2 là C2 – lồi dưới đối với giá trị thứ hai (hoặc C – tựa giống như lồi dưới đối với giá trị thứ hai). 6) Với mỗi ( x, y ) ∈ D × K cố định, ánh xạ đa trị F1 ( y,., x) : K → 2Y1 là C1 – lồi dưới (hoặc C1 – tựa giống như lồi dưới) và với mỗi y ∈ K ánh xạ đa trị F2 ( y,.,.) : D × D → 2Y2 là C2 – lồi dưới đối với giá trị thứ hai (hoặc C – tựa giống như lồi dưới đối với giá trị thứ hai). 7) Với mỗi (x, y) ∈ D× K cố định, các ánh xạ đa trị 7) Với mỗi (x, y) ∈ D× K cố định, các ánh xạ đa trị G1 (.,., x) : K × K → 2Y1 , G2 ( y,.,.): D× D → 2Y2 G1 (.,., x) : K × K → 2Y1 , G2 ( y,.,.): D× D → 2Y2 là đơn điệu trên. là đơn điệu trên. Khi đó, tồn tại ( x, y ) ∈ D × K sao cho: Khi đó, tồn tại ( x, y ) ∈ D × K sao cho: x ∈ S ( x, y ), y ∈ T ( x, y ); x ∈ S ( x , y ), y ∈ T ( x , y ); (G1 ( y, v, x) − H1 (v, y, x)) ⊄ (C1 \{0}) (G1 ( y , v , x ) − H 1 ( v , y , x )) ⊄ (C1 \ {0}) ∀ v ∈ T ( x , y ); ∀v ∈ T ( x, y ); (G 2 ( y , x , t ) − H 2 ( y , t , x )) ∩ (C 2 \ {0}= ∅ (G2 ( y, x, t ) − H 2 ( y, t , x)) ⊄ (C2 \{0} ∀ t ∈ P ( x ), y ∈ Q ( x , t ). ∀t ∈ P( x), y ∈ Q( x, t ). Định lý 3.2 Ta giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: Định lý 3.3 Ta giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) D, K là các tập compact lồi khác rỗng; 1) D, K là các tập compact lồi khác rỗng; 2) S là ánh xạ đa trị mở, liên tục dưới với giá trị lồi khác rỗng và T là một ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng và 2) S là ánh xạ đa trị mở, liên tục dưới với giá trị lồi khác rỗng và T là một ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng và A = {( x, y) ∈ D × K ( x, y ) ∈ S ( x, y) × T ( x, y)} A = {( x, y) ∈ D × K ( x, y ) ∈ S ( x, y) × T ( x, y)} là một tập đóng; là một tập đóng; 3) P là ánh xạ mở liên tục dưới và P( x ) ⊆ S ( x, y ) với ( x, y ) ∈ A. Với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ đa trị Q(., t ) : D → 2 K là nửa liên tục dưới với giá trị compact; 3) P là ánh xạ mở liên tục dưới và P( x ) ⊆ S ( x, y ) với ( x, y ) ∈ A. Với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ đa trị Q(., t ) : D → 2 K là nửa liên tục dưới với giá trị compact; 4) F1 ( y , y , x ) ⊆ C 1 , F2 ( y , x , x ) ⊆ C 2 với mọi ( y, x) ∈ K × D; 4) với mọi ( y , x ) ∈ K × D; 5) Ánh xạ đa trị F1 là ( − C 1 ) – liên tục trên 5) Ánh xạ đa trị F1 là C1– liên tục dưới và C1 – liên tục dưới. Ánh xạ đa trị F2 là và ( − C 1 ) – liên tục dưới. Ánh xạ đa trị F2 là (−C2 ) – liên tục trên và với mỗi y ∈ Y cố định, ánh xạ đa trị N 2 : K × D → 2 Y2 được xác định bởi N 2 ( y, x) = F2 ( y, x, x) là C2 – liên tục dưới; F1 ( y , y , x ) ⊆ C 1 , F 2 ( y , x , x ) ⊆ C 2 (−C2 ) – liên tục trên và với mỗi y ∈ Y cố định, ánh xạ đa trị N 2 : K × D → 2Y2 được xác định bởi N 2 ( y, x) = F2 ( y, x, x) là C2 – liên tục dưới; 122 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124 6) Với mỗi (x, y) ∈ D× K cố định, ánh xạ đa trị F1 ( y,., x ) : K → 2Y1 là C1 – lồi dưới (hoặc 6) Với mỗi ( x, y ) ∈ D × K cố định, ánh xạ đa C1 – tựa như lồi dưới) và với mỗi y ∈ K ánh xạ đa trị F2 ( y,.,.) : D × D → 2Y2 là C2 – lồi dưới đối với giá trị thứ hai (hoặc C – tựa giống như lồi dưới đối với giá trị thứ hai). C1 – tựa giống như lồi dưới) và với mỗi y ∈ K ánh xạ đa trị F2 ( y,.,.) : D × D → 2Y2 là C2 – lồi dưới đối với giá trị thứ hai (hoặc C – tựa giống như lồi dưới đối với giá trị thứ hai) 7) Với mỗi (x, y) ∈ D× K cố định, các ánh xạ đa trị 7) Với mỗi (x, y) ∈ D× K cố định, các ánh xạ đa trị G1 (.,., x) : K × K → 2Y1 , G2 ( y,.,.): D× D → 2Y2 trị F1 ( y,., x ) : K → 2 1 là C1 – lồi dưới (hoặc Y G1 (.,., x) : K × K → 2Y1 , G2 ( y,.,.): D× D → 2Y2 là đơn điệu trên. là đơn điệu trên. Khi đó, tồn tại ( x, y ) ∈ D × K sao cho: x ∈ S ( x, y ), y ∈ T ( x, y ); (G1 ( y, v, x) − H1 (v, y, x)) ∩ (C1 \{0}) = ∅ ∀v ∈ T ( x, y ); (G2 ( y, x, t ) − H 2 ( y, t , x)) ⊄ (C2 \{0} Khi đó, tồn tại ( x, y ) ∈ D × K sao cho: x ∈ S ( x , y ), y ∈ T ( x , y ); (G1 ( y , v , x ) − H 1 ( v , y , x )) ∩ (C1 \ {0}) = ∅ ∀ v ∈ T ( x , y ); (G 2 ( y , x , t ) − H 2 ( y , t , x )) ∩ (C 2 \ {0} = ∅ ∀ t ∈ P ( x ), y ∈ Q ( x , t ). ∀t ∈ P( x), y ∈ Q( x, t ). Định lý 3.4 Ta giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) D, K là các tập compact lồi khác rỗng; 2) S là ánh xạ đa trị mở, liên tục dưới với giá trị lồi khác rỗng và T là một ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng và A = {( x, y) ∈ D × K ( x, y) ∈ S ( x, y) ×T ( x, y)} là một tập đóng; 3) P là ánh xạ mở liên tục dưới và P( x ) ⊆ S ( x, y ) với ( x, y ) ∈ A. Với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ đa trị Q(., t ) : D → 2 K là nửa liên tục dưới với giá trị compact; 4) F1 ( y , y , x ) ⊆ C 1 , F 2 ( y , x , x ) ⊆ C 2 với mọi ( y, x) ∈ K × D; 5) Ánh xạ đa trị F1 là C1 – liên tục dưới và ( −C1 ) – liên tục dưới. Ánh xạ đa trị F2 là ( −C2 ) – liên tục dưới và với mỗi y ∈ Y cố định, ánh xạ đa trị N 2 : K × D → 2Y2 được xác định bởi N 2 ( y , x ) = F2 ( y , x , x ) là C2 – liên tục dưới; TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aubin, J.-P. and Frankowska H. (1990), Setvalued analysis, Birkhauser. [2] Aubin, J.-P. and Cellina A. (1994), Differential Inclusion, Springer Verlag, Heidelberg, Germany. [3] Blum, E. and Oettli, W. (1993), From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems, The Mathematical Student, Vol. 64, 1-23. [4] Fan, K. (1961), A generalization of Tychonoff's fixed point theorem, Mathematics Annalen,142, 305-310. [5] F. Ferro,F. (1982), Minimax Type Theorems for n-Valued Functions, Annali di Matematica Pura ed Applicata, Vol. 32, pp. 113-130. [6] Gurraggio, A. and Tan, N. X. (2002), On General Vector Quasi-Optimization Problems, Mathematical Methods of Operation Research, Vol 55,347-358. [7] N. X. Hai and P. Q. Khanh (2007), The solution existence of general variational inclusion problems, J. Math. Anal. Appl, 328, pp. 12681277. [8] Lin, L.J and Tan, N. X. (2007), On quasivariational inclusion problems of type I and related problems, J Glob Optim, 39, 393-407. [9] Lin, L.J. , Yu, Z. T. and Kassay, G. (2002), Existence of Equilibria for Monotone multivalued Mappings and Its Applications to Vectorial 123 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn