Ôn thi Đại số tổ hợp

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

146
lượt xem 77
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số tổ hợp Tài liệu cung cấp kiến thức giúp các bạn ôn thi đại học cao đẳng , kiến thức và bài tập cơ bản cực hay, và một số gợi ý giải các bài toán liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi Đại số tổ hợp

Tác gi : ThS. ðoàn Vương Nguyên CHƯƠNG I HOÁN V – CH NH H P – T H P A. TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN I. Quy t c ñ m, c ng và nhân 1. Quy t c ñ m Trong nhi u trư ng h p ta c n ph i ñ m s ph n t , s t p h p, s các s h ng c a t ng, … và không ph i lúc nào cũng th c hi n d dàng. Ta xét m t quy t c rút ra t bài toán ñơn gi n sau ñây. Bài toán Ngư i ta c n làm m t hàng rào dài 20m, c cách 2m thì chôn 1 c c. Tính s c c c n dùng. Gi i S kho ng cách gi a các c c là 20: 2 = 10. K t c c th 2 tr ñi thì s c c b ng s kho ng cách. 20 V y s c c là + 1 = 11 . 2 1.1. Quy t c V i ñi u ki n là kho ng cách gi a các s b ng nhau (cách ñ u), ta có: soá lôùn nhaát − soá nhoû nhaát soá caùc soá = + 1. khoaûng caùch giöõa 2 soá lieàn keà Ví d 1. Tính s các s t nhiên có 3 ch s chia h t cho 4. Gi i S có 3 ch s l n nh t chia h t cho 4 là 996. S có 3 ch s nh nh t chia h t cho 4 là 100. Kho ng cách gi a 2 s li n k chia h t cho 4 là 4. 996 − 100 V y có + 1 = 225 s . 4 Ví d 2. Tìm s h ng th 7 trong t ng sau: (a + x) + (a + x)4 + (a + x)7 + ... + (a + x)28 . Gi i Kho ng cách gi a s mũ c a 2 s h ng k nhau là 3. G i s mũ c a s h ng th 7 là k, ta có k −1 + 1 = 7 ⇒ k = 19 . 3 V y s h ng c n tìm là (a + x)19 . 1.2. Các d u hi u chia h t + Chia h t cho 2: s có ch s t n cùng là 0, 2, 4, 6, 8. + Chia h t cho 3: s có t ng các ch s chia h t cho 3 (ví d 2001). + Chia h t cho 4: s có 2 ch s t n cùng l p thành s chia h t cho 4 (ví d 2000, 3796, 12344). + Chia h t cho 5: s có ch s t n cùng là 0, 5. + Chia h t cho 6: s chia h t cho 2 và 3. + Chia h t cho 8: s có 3 ch s t n cùng l p thành s chia h t cho 8 (ví d 2000, 2008, 3257016). + Chia h t cho 9: s có t ng các ch s chia h t cho 9 (ví d 2007). + Chia h t cho 10: s có ch s t n cùng là 0. + Chia h t cho 11: s có hi u c a t ng các ch s hàng l và t ng các ch s hàng ch n chia h t cho 11 (ví d 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11). + Chia h t cho 25: s có 2 ch s t n cùng là 00, 25, 50, 75.
2. Quy t c c ng i) N u m t quá trình (bài toán) có th th c hi n ñư c m t trong hai cách (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m k t qu và cách th hai cho n k t qu . Khi ñó vi c th c hi n quá trình trên cho m + n k t qu . ii) N u m t quá trình (bài toán) có th th c hi n ñư c k cách (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m1 k t qu , cách th hai cho m2 k t qu , …, cách th k cho mk k t qu . Khi ñó vi c th c hi n quá trình trên cho m1 + m2 + … + mk k t qu . Ví d 3. Có 2 cu n sách toán A và B khác nhau, 2 cu n sách v t lý C và D khác nhau. C n ch n ñúng 2 cu n sách, h i có bao nhiêu cách. Gi i + Trư ng h p 1: ch n 2 cu n sách toán có 1 cách. + Trư ng h p 2: ch n 2 cu n sách v t lý có 1 cách. + Trư ng h p 3: ch n 1 cu n sách toán và 1 cu n v t lý có 4 cách là A và C, A và D, B và C, B và D. V y có 1 + 1 + 4 = 6 cách ch n. Ví d 4. T t p h p X = { a; b; c } ch n ra 1 t p h p con c a A. H i có m y cách. Gi i + Trư ng h p 1: ch n t p h p không ch a ph n t nào c có 1 cách là t p r ng. + Trư ng h p 2: ch n t p h p ch a 1 ph n t c a A có 3 cách, ñó là { a } , { b } và { c } . + Trư ng h p 3: ch n t p h p ch a 2 ph n t c a A có 3 cách, ñó là { a; b } , { a; c } và { b; c } . + Trư ng h p 4: ch n t p h p ch a 3 ph n t c a A có 1 cách, ñó là { a; b; c } . V y có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 cách ch n. 2. Quy t c nhân i) N u m t quá trình (bài toán) ñư c th c hi n theo hai giai ño n (bư c) liên ti p nhau sao cho có m cách th c hi n giai ño n th nh t, ñ ng th i ng v i m i cách ñó có n cách ñ th c hi n giai ño n th hai. Khi ñó có mn cách th c hi n quá trình trên. ii) N u m t quá trình (bài toán) ñư c th c hi n theo k giai ño n (bư c) liên ti p nhau sao cho có m1 cách th c hi n giai ño n th nh t, v i m i cách ñó có m2 cách ñ th c hi n giai ño n th hai, …, có mk cách th c hi n giai ño n th k. Khi ñó, toàn b quá trình có m1.m2…mk cách th c hi n. Ví d 5. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l p ñư c m y s t nhiên có 3 ch s phân bi t. Gi i + Bư c 1: ch n ch s hàng trăm có 7 cách (tr ch s 0). + Bư c 2: ch n ch s hàng ch c có 7 cách (tr ch s ñã ch n hàng trăm). + Bư c 3: ch n ch s ñơn v có 6 cách (tr 2 ch s ñã ch n). V y có 7.7.6 = 294 s . Ví d 6. S 12000 có bao nhiêu ư c s t nhiên. Gi i Ta có 12000 = 22.3.103 = 25.3.53 . Suy ra ư c s c a 12000 có d ng 2m.3n.5k v i m ∈ { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } , n ∈ { 0; 1 } và k ∈ { 0; 1; 2; 3 } . + Bư c 1: ch n m có 6 cách. + Bư c 2: v i m i cách ch n m có 2 cách ch n n. + Bư c 3: v i m i cách ch n m và n có 4 cách ch n k. V y có 6.2.4 = 48 ư c s . 1
Ví d 7. T các ph n t c a X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 3 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a 2a 3 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 ∈ X là s c n l p. + Trư ng h p 1: A = a1a 2 0 (a 3 = 0) . - Bư c 1: ch n a1 có 5 cách, ñó là a1 = 1 (ho c 2, 3, 4, 5). - Bư c 2: ch n a2 có 4 cách (tr ch s 0 và ch s a1 ñã ch n). Suy ra có 5.4 = 20 s A = a1a 2 0 . + Trư ng h p 2: A = a1a 2a 3 (a 3 ≠ 0) . - Bư c 1: ch n a3 có 2 cách, ñó là a3 = 2 (ho c a3 = 4). - Bư c 2: ch n a1 có 4 cách (tr ch s 0 và ch s a3 ñã ch n). - Bư c 3: ch n a2 có 4 cách t 4 ch s còn l i. Suy ra có 2.4.4 = 32 s A = a1a 2a 3 (a 3 ≠ 0) . V y có 20 + 32 = 52 s . Ví d 8. T các ph n t c a X = { 0; 2; 3; 6; 9 } có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 5 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a 2a 3a 4 a 5 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ∈ X là s c n l p. + Trư ng h p 1: a1 l . - Bư c 1: do a 1 ∈ { 3; 9 } nên a1 có 2 cách ch n. - Bư c 2: do a 5 ∈ { 0; 2; 6 } nên a5 có 3 cách ch n. - Bư c 3: do a 2 ∈ X \ { a 1; a 5 } nên a2 có 3 cách ch n. - Bư c 4: do a 3 ∈ X \ { a1; a 2 ; a 5 } nên a3 có 2 cách ch n. - Bư c 5: do a 4 ∈ X \ { a1 ; a 2 ; a 3 ; a 5 } nên a4 có 1 cách ch n. Suy ra có 2.3.3.2.1 = 36 s ñư c l p. + Trư ng h p 2: a1 ch n. - Bư c 1: do a 1 ∈ { 2; 6 } nên a1 có 2 cách ch n. - Bư c 2: do a 5 ∈ { 0; 2; 6 } \ { a1 } nên a5 có 2 cách ch n. - Bư c 3: do a 2 ∈ X \ { a 1; a 5 } nên a2 có 3 cách ch n. - Bư c 4: do a 3 ∈ X \ { a1; a 2 ; a 5 } nên a3 có 2 cách ch n. - Bư c 5: do a 4 ∈ X \ { a1 ; a 2 ; a 3 ; a 5 } nên a4 có 1 cách ch n. Suy ra có 2.2.3.2.1 = 24 s ñư c l p. V y có 36 + 24 = 60 s . Ví d 9. T các ch s 1, 2, 3 có th l p ñư c bao nhiêu s g m 2 ch s . Gi i G i A = a1a 2 v i a 1, a 2 không phân bi t là s c n l p. + Bư c 1: ch n 1 ch s ñ x p vào a1 có 3 cách. + Bư c 2: ch n 1 ch s ñ x p vào a2 có 3 cách (do các ch s không phân bi t). V y có 3.3 = 9 s . Ví d 10. C n s p x p 3 ngư i A, B, C lên 2 toa tàu (m i toa có th ch a ñư c 3 ngư i). H i có bao nhiêu cách s p x p. Gi i + Bư c 1: ngư i A có 2 s l a ch n toa tàu. 2
+ Bư c 2: v i m i cách ch n c a A thì ngư i B có 2 s l a ch n toa tàu. + Bư c 3: v i m i cách ch n c a A và B thì ngư i C có 2 s l a ch n toa tàu. V y có 2.2.2 = 8 cách s p x p. Cách gi i sai: Toa tàu th nh t có 3 cách ch n ngư i, toa th hai có 3 cách ch n ngư i. Do ñó có 3.3 = 9 cách. Sai ch là toa th nh t có nhi u cách ch n (không ch n ai c ho c ch n 1 ngư i, 2 ngư i, c 3 ngư i) ñ ng th i khi ch n ngư i A thì toa th hai không th ch n ngư i A ñư c n a! C th các trư ng h p ñó là Các trư ng h p Toa 1 2 3 4 5 6 7 8 I ABC AB AC BC C B A II ABC C B A AB AC BC Nh n xét: Ch dùng các quy t c ñ m, c ng và nhân thì ưu ñi m là ít sai sót nhưng như c ñi m là l i gi i dài dòng. II. Hoán v – Ch nh h p – T h p 1. Hoán v ð nh nghĩa Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách s p x p n ph n t c a X theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t hoán v c a n ph n t . S các hoán v c a n ph n t ñư c ký hi u là Pn. Pn = n ! = 1.2...n . Quy ư c: 0! = 1. Ví d 11. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 5 ch . H i có bao nhiêu cách. Gi i M i cách ñ i ch 1 trong 5 ngư i trên băng gh là 1 hoán v . V y có P5 = 5! = 120 cách s p. Ví d 12. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a 2a 3a 4 a 5 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 phân bi t là s c n l p. + Bư c 1: ch s a 1 ≠ 0 nên có 4 cách ch n a1. + Bư c 2: s p 4 ch s còn l i vào 4 v trí có 4! = 24 cách. V y có 4.24 = 96 s . 2. Ch nh h p ð nh nghĩa Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách ch n ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) ph n t c a X và s p x p theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t . S các ch nh h p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là Ak . n n! Ak = . n (n − k)! Nh n xét: A n = n ! = Pn . n Ví d 13. S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 7 ch . H i có bao nhiêu cách. 3
Gi i M i cách ch n ra 5 ch ng i t băng gh ñ s p 5 ngư i vào và có hoán v là m t ch nh h p ch p 5 c a 7. 7! V y có A5 = = 2520 cách s p. 7 (7 − 5)! Ví d 14. T t p h p X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có th l p ñư c m y s t nhiên có 4 ch s khác nhau. Gi i G i A = a1a 2a 3a 4 v i a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 phân bi t là s c n l p. + Bư c 1: ch s a 1 ≠ 0 nên có 5 cách ch n a1. 3 + Bư c 2: ch n 3 trong 5 ch s còn l i ñ s p vào 3 v trí A5 cách. V y có 5A5 = 300 s . 3 3. T h p ð nh nghĩa Cho t p h p X g m n ph n t phân bi t ( n ≥ 0 ) . M i cách ch n ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) ph n t c a X ñư c g i là m t t h p ch p k c a n ph n t . S các t h p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là Ck . n n! Ck = . n k !(n − k)! Ví d 15. Có 10 cu n sách toán khác nhau. Ch n ra 4 cu n, h i có bao nhiêu cách. Gi i M i cách ch n ra 4 trong 10 cu n sách là m t t h p ch p 4 c a 10. V y có C10 = 210 cách ch n. 4 Ví d 16. M t nhóm có 5 nam và 3 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách. Gi i + Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam. - Bư c 1: ch n ra 1 trong 3 n có 3 cách. - Bư c 2: ch n ra 2 trong 5 nam có C2 . 5 Suy ra có 3C2 cách ch n. 5 + Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam. - Bư c 1: ch n ra 2 trong 3 n có C2 cách. 3 - Bư c 2: ch n ra 1 trong 5 nam có 5. Suy ra có 5C2 cách ch n. 3 + Trư ng h p 3: ch n 3 n có 1 cách. V y có 3C2 + 5C2 + 1 = 46 cách ch n. 5 3 Ví d 17. H i có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s sao cho trong m i s ñó, ch s hàng ngàn l n hơn hàng trăm, ch s hàng trăm l n hơn hàng ch c và ch s hàng ch c l n hơn hàng ñơn v . Gi i G i A = a1a 2a 3a 4 v i 9 ≥ a 1 > a 2 > a 3 > a 4 ≥ 0 là s c n l p. X = { 0; 1; 2; ...; 8; 9 } . T 10 ph n t c a X ta ch n ra 4 ph n t b t kỳ thì ch l p ñư c 1 s A. Nghĩa là không có hoán v hay là m t t h p ch p 4 c a 10. V y có C10 = 210 s . 4 4
Nh n xét: i/ ði u ki n ñ x y ra hoán v , ch nh h p và t h p là n ph n t ph i phân bi t. ii/ Ch nh h p và t h p khác nhau ch là sau khi ch n ra k trong n ph n t thì ch nh h p có s p th t còn t h p thì không. 4. Phương pháp gi i toán 4.1. Phương pháp 1. Bư c 1. ð c k các yêu c u và s li u c a ñ bài. Phân bài toán ra các trư ng h p, trong m i trư ng h p l i phân thành các giai ño n. Bư c 2. Tùy t ng giai ño n c th và gi thi t bài toán ñ s d ng quy t c c ng, nhân, hoán v , ch nh h p hay t h p. Bư c 3. ðáp án là t ng k t qu c a các trư ng h p trên. Ví d 18. M t nhóm công nhân g m 15 nam và 5 n . Ngư i ta mu n ch n t nhóm ra 5 ngư i ñ l p thành m t t công tác sao cho ph i có 1 t trư ng nam, 1 t phó nam và có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách l p t công tác. Gi i + Trư ng h p 1: ch n 1 n và 4 nam. - Bư c 1: ch n 1 trong 5 n có 5 cách. 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. 2 - Bư c 3: ch n 2 trong 13 nam còn l i có C13 cách. 2 2 Suy ra có 5A15 .C13 cách ch n cho trư ng h p 1. + Trư ng h p 2: ch n 2 n và 3 nam. - Bư c 1: ch n 2 trong 5 n có C2 cách. 5 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. - Bư c 3: ch n 1 trong 13 nam còn l i có 13 cách. Suy ra có 13A15 .C2 cách ch n cho trư ng h p 2. 2 5 + Trư ng h p 3: ch n 3 n và 2 nam. 3 - Bư c 1: ch n 3 trong 5 n có C5 cách. 2 - Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. 2 3 Suy ra có A15 .C5 cách ch n cho trư ng h p 3. V y có 5A15 .C13 + 13A15 .C2 + A15 .C5 = 111300 cách. 2 2 2 5 2 3 Cách khác: 2 + Bư c 1: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có A15 cách. + Bư c 2: ch n 3 t viên, trong ñó có n . 2 - Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam có 5.C13 cách. - Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam có 13.C2 cách. 5 3 - Trư ng h p 3: ch n 3 n có C5 cách. V y có A15 ( 5.C13 + 13.C2 + C5 ) = 111300 cách. 2 2 5 3 4.2. Phương pháp 2. ð i v i nhi u bài toán, phương pháp 1 r t dài. Do ñó ta s d ng phương pháp lo i tr (ph n bù) theo phép toán A ∪ A = X ⇒ A = X \ A . Bư c 1: chia yêu c u c a ñ thành 2 ph n là yêu c u chung X (t ng quát) g i là lo i 1 và yêu c u riêng A. Xét A là ph ñ nh c a A, nghĩa là không th a yêu c u riêng g i là lo i 2. 5
Bư c 2: tính s cách ch n lo i 1 và lo i 2. Bư c 3: ñáp án là s cách ch n lo i 1 tr s cách ch n lo i 2. Chú ý: Cách phân lo i 1 và lo i 2 có tính tương ñ i, ph thu c vào ch quan c a ngư i gi i. Ví d 19. T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau. Gi i + Lo i 1: ch s a1 tùy ý, ta có 5! = 120 s . + Lo i 2: ch s a1 = 0, ta có 4! = 24 s . V y có 120 – 24 = 96 s . Ví d 20. M t nhóm có 7 nam và 6 n . Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n . H i có bao nhiêu cách. Gi i 3 + Lo i 1: ch n 3 ngư i tùy ý trong 13 ngư i có C13 cách. 3 + Lo i 2: ch n 3 nam (không có n ) trong 7 nam có C7 cách. V y có C13 − C7 = 251 cách ch n. 3 3 Ví d 21. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 10 câu ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra. Gi i + Lo i 1: ch n 10 câu tùy ý trong 20 câu có C10 cách. 20 + Lo i 2: ch n 10 câu có không quá 2 trong 3 lo i d , trung bình và khó. - Trư ng h p 1: ch n 10 câu d và trung bình trong 16 câu có C10 cách. 16 - Trư ng h p 2: ch n 10 câu d và khó trong 13 câu có C10 cách. 13 - Trư ng h p 3: ch n 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C10 cách. 11 V y có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 ñ ki m tra. 10 10 10 10 Chú ý: Gi i b ng phương pháp ph n bù có ưu ñi m là ng n tuy nhiên như c ñi m là thư ng sai sót khi tính s lư ng t ng lo i. Ví d 22. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 7 câu ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó. H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra. Cách gi i sai: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d trong 9 câu có C7 cách. 9 - Trư ng h p 2: ch n 7 câu trung bình có 1 cách. 7 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu d và trung bình trong 16 câu có C16 cách. 7 - Trư ng h p 4: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C13 cách. 7 - Trư ng h p 5: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 cách. V y có C20 − ( 1 + C9 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 ñ ki m tra! 7 7 7 7 7 Sai sót trong cách tính s ñ lo i 2. Ch ng h n, khi tính s ñ trong trư ng h p 3 ta ñã tính l p l i trư ng h p 1 và trư ng h p 2. 6
Cách gi i sai khác: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. 7 - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có C16 cách. 7 - Trư ng h p 2: ch n 7 câu d ho c khó trong 13 câu có C13 cách. 7 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình ho c khó trong 11 câu có C11 cách. V y có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 64034 ñ ki m tra. 7 7 7 7 Sai sót do ta ñã tính l p l i s cách ch n ñ ch có 7 câu d và ñ ch có 7 câu trung bình trong trư ng h p 1 và trư ng h p 2. Cách gi i ñúng: 7 + Lo i 1: ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u. 7 - Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có C16 cách. - Trư ng h p 2: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C13 − C7 cách. 7 9 - Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 − 1 cách. 7 V y có C20 − ( C16 + C13 − C9 + C11 − 1 ) = 64071 ñ ki m tra. 7 7 7 7 7 Ví d 23. H i ñ ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ngư i, trong ñó có 5 n . T h i ñ ng qu n tr ñó ngư i ta b u ra 1 ch t ch h i ñ ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i ñ ng qu n tr và 2 y viên. H i có m y cách b u sao cho trong 4 ngư i ñư c b u ph i có n . Gi i + Lo i 1: b u 4 ngư i tùy ý (không phân bi t nam, n ). 2 - Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có A12 cách. 2 - Bư c 2: b u 2 y viên có C10 cách. 2 2 Suy ra có A12 .C10 cách b u lo i 1. + Lo i 2: b u 4 ngư i toàn nam. - Bư c 1: b u ch t ch và phó ch t ch có A2 cách. 7 2 - Bư c 2: b u 2 y viên có C5 cách. Suy ra có A2 .C2 cách b u lo i 2. 7 5 V y có A12 .C10 − A2 .C2 = 5520 cách. 2 2 7 5 5. Hoán v l p (tham kh o) Cho t p h p X có n ph n t g m n1 ph n t gi ng nhau, n2 ph n t khác l i gi ng nhau, …, nk ph n t khác n a l i gi ng nhau ( n1 + n2 + ... + n k = n ) . M i cách s p n ph n t này vào n v trí là m t hoán v l p, s n! hoán v l p là . n1 ! n2 !...n k ! Ví d 24. T các ch s 1, 2, 3 l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có ñúng 5 ch s 1, 2 ch s 2 và 3 ch s 3. Gi i Xem s c n l p có 10 ch s g m 5 ch s 1 gi ng nhau, 2 ch s 2 gi ng nhau và 3 ch s 3 gi ng nhau. 10 ! V y có = 2520 s . 5!2 ! 3! Cách gi i thư ng dùng: 5 + Bư c 1: ch n 5 trong 10 v trí ñ s p 5 ch s 1 có C10 cách. + Bư c 2: ch n 2 trong 5 v trí còn l i ñ s p 2 ch s 2 có C2 cách. 5 7
+ Bư c 3: s p 3 ch s 3 vào 3 v trí còn l i có 1 cách. V y có C10 .C2 .1 = 2520 s . 5 5 CHƯƠNG II NH TH C NEWTON PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH A. TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN I. NH TH C NEWTON ð nh nghĩa Nh th c Newton là khai tri n t ng lũy th a có d ng: ( a + b )n = C0 a n + C1 a n −1b + C2 a n −2 b2 + ... + Cn a n − k bk + ... + Cn bn n n n k n n = ∑C a k=0 k n n−k bk (n = 0, 1, 2, ...) . + S h ng th k+1 là Tk +1 = Cn a n − k bk thư ng ñư c g i là s h ng t ng quát. k + Các h s Ck ñư c tính theo công th c t h p ch p ho c d a vào tam giác Pascal sau ñây: n Ch ng h n: C6 = 1, C1 = 6, C6 = 15, C6 = 20, C6 = 15, C6 = 6, C6 = 1 . 0 6 2 3 4 5 6 Tính ch t i) Ck = Cn − k (0 ≤ k ≤ n) . n n ii) Ck + Ck −1 = Ck +1 (1 ≤ k ≤ n) . n n n PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN 1. Dùng ñ nh nghĩa và tính ch t ch ng minh ho c rút g n ñ ng th c Ví d 1. Ch ng minh ñ ng th c: Ck + 3Ck −1 + 3Ck −2 + Cn− 3 = Cn + 3 v i 3 ≤ k ≤ n . n n n k k Gi i Áp d ng tính ch t ta có: 8
Ck + 3Cn−1 + 3Cn−2 + Cn−3 = ( Ck + Ck−1 ) + 2 ( Ck −1 + Ck−2 ) + ( Ck −2 + Cn− 3 ) n k k k n n n n n k = Ck +1 + 2Ck −1 + Ck−2 = ( Cn +1 + Cn−1 ) + ( Cn−1 + Cn−2 ) n n +1 n +1 k k +1 k +1 k +1 = Cn + 2 + C n + 2 = Cn + 3 . k k −1 k Ví d 2. Tính t ng S = C14 − C15 + C16 − ... − C29 + C30 . 30 30 30 30 30 Gi i Áp d ng tính ch t ta có: S = ( C13 + C14 ) − ( C14 + C15 ) + ( C15 + C16 ) − ... − ( C29 + C29 ) + C30 = C13 − C29 + C30 = C13 . 29 29 29 29 29 29 28 29 30 29 29 30 29 V y S = 67863915 . Cách khác: ( 1 − 1 )30 = ( C0 − ... + C12 − C13 ) + ( C14 − ... − C29 + C30 ) 30 30 30 30 30 30 ⇒ ( C30 − ... + C18 − C17 ) + ( C14 − ... − C29 + C30 ) = 0 30 30 30 30 30 30 ⇒ ( S − C16 + C15 − C14 ) + S = 0 ⇒ 2S = C16 − C15 + C14 = 2C14 − C15 . 30 30 30 30 30 30 30 30 2C30 − C30 14 15 V yS= = 67863915 . 2 Ví d 3. Rút g n t ng sau: S = C2007C2006 + C1 C2005 + C2 C2004 + ... + C2007C2006 -k + ... + C2006C1 . 0 2007 2007 2006 2007 2005 k 2007 -k 2007 0 Gi i Áp d ng công th c ta có: 2007 ! (2007 − k)! 2007 ! 2006! C2007C2006 -k = k . = = 2007. 2007 -k k ! ( 2007 − k ) ! (2006 − k)!1! k ! ( 2006 − k ) ! k ! ( 2006 − k ) ! = 2007C2006 v i ∀k = 0, 1, 2, ..., 2006 . k Suy ra S = 2007 ( C2006 + C1 + ... + C2006 + ... + C2006 ) = 2007 ( 1 + 1 )2006 . 0 2006 k 2006 V y S = 2007.22006 . 2. Khai tri n nh th c Newton 2.1. D ng khai tri n D u hi u nh n bi t: Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a là 1 ho c 1 và – 1 xen k nhau. i) Khai tri n ( a + b )n ho c ( a − b )n . ii) C ng ho c tr hai v c a 2 khai tri n trên. Ví d 4. Tính t ng sau: S = C2007 − 2C1 + 22 C2007 − 23 C2007 + ... + 22006 C2006 − 22007 C2007 . 0 2007 2 3 2007 2007 Gi i Ta có khai tri n: (1 − 2)2007 = C2007 − 2C1 + 22 C2007 − ... + 22006 C2007 − 22007 C2007 . 0 2007 2 2006 2007 V y S = −1 . Ví d 5. Rút g n t ng sau: S = C2007 + 32 C2 + 34 C2007 + ... + 32004 C2007 + 32006 C2007 . 0 2007 4 2004 2006 Gi i Ta có các khai tri n: (1 + 3)2007 = C2007 + 3C1 + 32 C2 + ... + 32006 C2006 + 32007 C2007 (1) 0 2007 2007 2007 2007 9
(1 − 3)2007 = C2007 − 3C1 + 32 C2 − ... + 32006 C2007 − 32007 C2007 (2). 0 2007 2007 2006 2007 C ng (1) và (2) ta ñư c: 2 ( C2007 + 32 C2 + 34 C2007 + ... + 32006 C2007 ) = 42007 − 22007 . 0 2007 4 2006 V y S = 22006 ( 22007 − 1 ) . Ví d 6. Rút g n t ng sau: S = 32006.2C1 + 32004.23 C2007 + 32002.25 C2007 + ... + 22007 C2007 . 2007 3 5 2007 Gi i Ta có các khai tri n: (3 + 2)2007 = 32007 C2007 + 32006.2C1 + 32005.22 C2007 + ... + 3.22006 C2007 + 22007 C2007 (1) 0 2007 2 2006 2007 (3 − 2)2007 = 32007 C2007 − 32006.2C1 + 32005.22 C2 − ... + 3.22006 C2006 − 22007 C2007 (2). 0 2007 2007 2007 2007 Tr (1) và (2) ta ñư c: 2 ( 32006.2C1 + 32004.23 C2007 + 32002.25 C2007 + ... + 22007 C2007 ) = 52007 − 1 . 2007 3 5 2007 5 2007 −1 V yS= . 2 2.2. D ng ñ o hàm 2.2.1. ð o hàm c p 1 D u hi u nh n bi t: Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a tăng d n t 1 ñ n n (ho c gi m d n t n ñ n 1) (không k d u). Hai khai tri n thư ng dùng: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Ck x k + ... + Cn x n (1). n n n n n ( 1 − x ) = Cn − Cn x + Cn x − ... + ( −1 ) Cn x + ... + ( −1 )n Cn x n (2). n 0 1 2 2 k k k n i) ð o hàm 2 v c a (1) ho c (2). ii) C ng ho c tr (1) và (2) sau khi ñã ñ o hàm r i thay s thích h p. Ví d 7. Tính t ng sau: S = C1 − 2.2C2 + 3.22 C3 − ... + 29.228 C29 − 30.229 C30 . 30 30 30 30 30 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )30 = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + C29 x 29 + C30 x 30 (1). 30 30 30 30 30 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2 x + ... + 29C29 x 28 + 30C30 x 29 = 30 ( 1 + x )29 (2). 30 30 30 30 Thay x = – 2 vào (2) ta ñư c: C1 − 2.2C2 + 3.22 C3 − ... + 29.228 C29 − 30.229 C30 = 30 ( 1 − 2 )29 . 30 30 30 30 30 V y S = −30 . Ví d 8. Rút g n t ng sau: S = C1 + 3.22 C3 + 5.24 C5 + ... + 27.226 C27 + 29.228 C29 . 30 30 30 30 30 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )30 = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + C29 x 29 + C30 x 30 (1). 30 30 30 30 30 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2 x + ... + 29C29 x 28 + 30C30 x 29 = 30 ( 1 + x )29 (2). 30 30 30 30 Thay x = 2 và x = – 2 l n lư t vào (2) ta ñư c: C1 + 2.2C2 + 3.22 C3 + ... + 29.228 C29 + 30.229 C30 = 30 ( 1 + 2 )29 (3) 30 30 30 30 30 C30 − 2.2C30 + 3.2 C30 − ... + 29.2 C30 − 30.2 C30 = 30 ( 1 − 2 )29 (4). 1 2 2 3 28 29 29 30 10
C ng hai ñ ng th c (3) và (4) ta ñư c: 2 ( C1 + 3.22 C30 + 5.24 C5 + ... + 27.226 C27 + 29.228 C29 ) = 30 ( 329 − 1 ) 30 3 30 30 30 V y S = 15 ( 329 − 1 ) . Ví d 9. Rút g n t ng sau: S = 2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 . 0 2007 2007 2007 2007 Gi i Ta có khai tri n: ( x + 1 )2007 = C2007 x 2007 + C1 x 2006 + C2007 x 2005 + ... + C2007 x + C2007 (1). 0 2007 2 2006 2007 Nhân 2 v (1) v i x ta ñư c: x ( x + 1 )2007 = C2007 x 2008 + C1 x 2007 + C2007 x 2006 + ... + C2007 x 2 + C2007 x (2). 0 2007 2 2006 2007 ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c: 2008C2007 x 2007 + 2007C1 x 2006 + 2006C2007 x 2005 + ... + 2C2007 x + C2007 = (1 + 2008x) ( x + 1 )2006 (3). 0 2007 2 2006 2007 Thay x = 1 vào (3) ta ñư c: 2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 = 2009.22006 . 0 2007 2007 2007 2007 V y S = 2009.2 . 2006 Cách khác: Ta có khai tri n: ( x + 1 )2007 = C2007 x 2007 + C1 x 2006 + C2007 x 2005 + ... + C2007 x + C2007 (1). 0 2007 2 2006 2007 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: 2007C2007 x2006 + 2006C1 x 2005 + 2005C2007 x 2004 + ... + 2C2007 x + C2007 = 2007 ( x + 1 )2006 (2). 0 2007 2 2005 2006 Thay x = 1 vào (1) và (2) ta ñư c: C2007 + C1 + C2 + ... + C2006 + C2007 = 22007 (3). 0 2007 2007 2007 2007 2007C2007 + 2006C2007 + 2005C2007 + ... + C2006 = 2007.22006 (4). 0 1 2 2007 C ng (3) và (4) ta ñư c: 2008C2007 + 2007C1 + 2006C2 + ... + 2C2006 + C2007 = 2009.22006 . 0 2007 2007 2007 2007 V y S = 2009.2 . 2006 Ví d 10. Cho t ng sau: S = 2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn , v i n ∈ Z+ . n n n n n Tính n, bi t S = 320 . Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1). n n n n n 2 Nhân 2 v (1) v i x ta ñư c: C0 x 2 + C1 x 3 + C2 x 4 + ... + Cn −1x n +1 + Cn x n + 2 = x 2 ( 1 + x )n (2). n n n n n ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c: 2C0 x + 3C1 x 2 + 4C2 x 3 + ... + (n + 1)Cn −1x n + (n + 2)Cn x n +1 = 2x ( 1 + x )n + nx 2 (1 + x)n −1 (3). n n n n n Thay x = 1 vào (3) ta ñư c: 2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn = (4 + n).2n −1 . n n n n n S = 320 ⇔ (4 + n).2 n −1 = 320 . V y n = 6. Cách khác: Ta có khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1). n n n n n ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2 x + 3Cn x 2 + ... + nCn x n −1 = n ( 1 + x )n −1 (2). n n 3 n Thay x = 1 vào (1) và (2) ta ñư c: 11
C0 + C1 + C2 + C3 + ... + Cn −1 + Cn = 2n (3). n n n n n n C1 + 2C2 + 3Cn + ... + (n − 1)Cn −1 + nCn = n.2n −1 (4). n n 3 n n Nhân (3) v i 2 r i c ng v i (4) ta ñư c: 2C0 + 3C1 + 4C2 + ... + (n + 1)Cn −1 + (n + 2)Cn = (4 + n).2n −1 . n n n n n S = 320 ⇔ (4 + n).2 n −1 = 320 . V y n = 6. 2.2.2. ð o hàm c p 2 D u hi u nh n bi t: Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a tăng (gi m) d n t 1.2 ñ n (n–1).n ho c tăng (gi m) d n t 12 ñ n n2 (không k d u). Xét khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + Cn x 3 + ... + Cn −1x n −1 + Cn x n (1). n n n 3 n n ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2 x + 3Cn x 2 + 4Cn x 3 + ... + nCn x n −1 = n ( 1 + x )n −1 (2). n n 3 4 n i) Ti p t c ñ o hàm 2 v c a (2) ta ñư c: 1.2C2 + 2.3Cn x + 3.4Cn x 2 + ... + (n − 1)nCn x n −2 = n(n − 1)(1 + x)n −2 (3). n 3 4 n ii) Nhân x vào 2 v c a (2) ta ñư c: C1 x + 2C2 x 2 + 3Cn x 3 + 4Cn x 4 + ... + nCn x n = nx ( 1 + x )n −1 (4). n n 3 4 n ð o hàm 2 v c a (4) ta ñư c: 12 C1 + 22 C2 x + 32 C3 x 2 + ... + n2Cn x n −1 = n(1 + nx)(1 + x)n −2 (5). n n n n Ví d 11. Tính t ng sau: S = 1.2C16 − 2.3C16 + 3.4C16 − ... − 14.15C16 + 15.16C16 . 2 3 4 15 16 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )16 = C16 + C1 x + C16 x 2 + C16 x 3 + ... + C16 x15 + C16 x16 (1). 0 16 2 3 15 16 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c C1 + 2C16 x + 3C16 x 2 + ... + 15C15 x14 + 16C16 x15 = 16 ( 1 + x )15 (2). 16 2 3 16 16 ð o hàm 2 v c a (2) ta ñư c: 1.2C16 + 2.3C16 x + 3.4C16 x 2 + ... + 15.16C16 x14 = 240(1 + x)14 (3). 2 3 4 16 Thay x = – 1 vào ñ ng th c (3) ta ñư c: 1.2C16 − 2.3C16 + 3.4C16 − ... − 14.15C15 + 15.16C16 = 0 . 2 3 4 16 16 V y S = 0. Ví d 12. Rút g n t ng sau: S = 12 C1 + 22 C2007 + 32 C2007 + ... + 20062 C2007 + 20072 C2007 . 2007 2 3 2006 2007 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )2007 = C2007 + C1 x + C2 x 2 + ... + C2006 x 2006 + C2007 x 2007 (1). 0 2007 2007 2007 2007 ð o hàm 2 v c a (1) ta ñư c: C1 + 2C2007 x + 3C2007 x 2 + ... + 2007C2007 x 2006 = 2007 ( 1 + x )2006 (2). 2007 2 3 2007 Nhân x vào 2 v c a (2) ta ñư c: C1 x + 2C2 x 2 + 3C2007 x 3 + ... + 2006C2007 x 2006 + 2007C2007 x 2007 = 2007x ( 1 + x )2006 (3). 2007 2007 3 2006 2007 ð o hàm 2 v c a (3) ta ñư c: 12 C1 + 22 C2007 x + 32 C2007 x 2 + ... + 20062 C2006 x 2005 + 20072 C2007 x 2006 2007 2 3 2007 2007 = 2007(1 + 2007x)(1 + x)2005 (4). Thay x = 1 vào ñ ng th c (4) ta ñư c 12
12 C1 + 22 C2007 + 32 C2007 + ... + 20072 C2007 = 2007.2008.22005 . 2007 2 3 2007 V y S = 2007.2008.2 . 2005 2.3. D ng tích phân D u hi u nh n bi t: 1 1 Các h s ñ ng trư c t h p (và lũy th a) gi m d n t 1 ñ n ho c tăng d n t ñ n 1. n +1 n +1 Xét khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n (1). n n n n n L y tích phân 2 v c a (1) t a ñ n b ta ñư c: b b b b b ∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x n −1 n −1 dx + C ∫ x dx n 0 1 n n n n n n a a a a a n +1 b 2 b b (1 + x ) x b x x n b n x n +1 ⇒ = C0 + C1 + ... + Cn −1 n + Cn n +1 a a n a 1 n 2 n a n +1 a b−a 0 b −a 1 2 2 bn − a n n −1 b −a n +1 n +1 (1 + b)n +1 − (1 + a)n +1 ⇒ Cn + Cn + ... + Cn + Cn = n . 1 2 n n +1 n +1 Trong th c hành, ta d dàng nh n bi t giá tr c a n. ð nh n bi t 2 c n a và b ta nhìn vào s h ng b n +1 − a n + 1 n Cn . n +1 Ví d 13. Rút g n t ng sau: 32 − 22 1 3 3 − 2 3 2 39 − 29 8 310 − 210 9 S = C9 + 0 C9 + C9 + ... + C9 + C9 . 2 3 9 10 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )9 = C9 + C1 x + C2 x 2 + ... + C9 x 8 + C9 x 9 0 9 9 8 9 3 3 3 3 3 ⇒ ∫ ( 1 + x )9 dx = C9 0 ∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x dx + C ∫ x dx 1 9 8 9 8 9 9 9 2 2 2 2 2 10 3 2 3 3 3 9 3 3 (1 + x ) x x 3 x 8 x x10 ⇒ =C + C1 0 9 9 + C2 9 + ... + C9 + C9 9 10 2 12 2 2 3 2 9 2 10 2 4 −3 10 10 3 −2 1 2 2 3 −2 8 3 −2 9 9 10 10 ⇒ = C9 + 0 C9 + ... + C9 + 9 C9 . 10 2 9 10 410 − 310 V yS= . 10 Ví d 14. Rút g n t ng sau: 22 23 24 3 2n n 2 n +1 n S = 2C0 + C1 + C2 + Cn + ... + Cn −1 + C . n 2 n 3 n 4 n n +1 n Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )n = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + Cn −1x n −1 + Cn x n n n n n n n 2 2 2 2 2 ⇒ ∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + C ∫ x dx + ... + C ∫ x dx n 0 1 2 2 n n n n n n 0 0 0 0 0 n +1 2 2 2 2 (1 + x ) x 2 x n 2 x x n +1 ⇒ = C0 + C1 + ... + Cn −1 + Cn n +1 0 n 1 0 n 2 0 n n 0 n n +1 0 13
22 1 23 2 2n 2n +1 n 3 n +1 − 1 ⇒ 2C0 + Cn + Cn + ... + Cn −1 + Cn = . n 2 3 n n n +1 n +1 3 n +1 − 1 V yS= . n +1 Ví d 15. Rút g n t ng sau: 22 − 1 1 23 + 1 2 2100 − 1 99 2101 + 1 100 S = 3C100 + 0 C100 + C100 + ... + C100 + C100 . 2 3 100 101 Gi i Ta có khai tri n: ( 1 + x )100 = C100 + C1 x + C100 x 2 + ... + C100 x 99 + C100 x100 0 100 2 99 100 2 2 2 2 2 ⇒ ∫ (1 + x ) dx = C ∫ dx + C ∫ xdx + ... + C ∫ x dx + C ∫x 100 0 1 99 99 100 100 100 100 100 100 dx . −1 −1 −1 −1 −1 2 2 2 2 ( 1 + x )101 x2 x2 99 x 100 x101 ⇒ = C100 + C1 0 100 + ... + C100 + C100 100 101 −1 1 −1 2 −1 100 −1 101 −1 3101 2 −1 1 2 2 − 1 99 100 2 + 1 100 101 ⇒ = 3C100 + 0 C100 + ... + C100 + C100 . 101 2 100 101 3101 V yS= . 101 3. Tìm s h ng trong khai tri n nh th c Newton 3.1. D ng tìm s h ng th k S h ng th k trong khai tri n (a + b)n là Ck −1a n −(k −1)bk −1 . n Ví d 16. Tìm s h ng th 21 trong khai tri n (2 − 3x)25 . Gi i S h ng th 21 là C25 2 (−3x)20 = 25.320 C25 x 20 . 20 5 20 3.2. D ng tìm s h ng ch a xm + S h ng t ng quát trong khai tri n (a + b)n là Ck a n −k bk = M(k).x f(k) (a, b ch a x). n + Gi i phương trình f(k) = m ⇒ k 0 , s h ng c n tìm là: Ck0 a n −k0 bk0 và h s c a s h ng ch a xm là M(k0). n Ví d 17. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n + 2 x ( x 4 18 . ) Gi i S h ng t ng quát trong khai tri n x 4 18 + 2 x ( ) = ( 2−1 x + 4x−1 ) là: 18 18 − k C18 ( 2−1 x ) ( 4x−1 ) = C18 23k −18 x18−2k . k k k S h ng không ch a x ng v i 18 − 2k = 0 ⇔ k = 9 . V y s h ng c n tìm là C18 29 . 9 Ví d 18. Tìm s h ng ch a x37 trong khai tri n ( x 2 − xy ) . 20 Gi i S h ng t ng quát trong khai tri n ( x − xy ) là C20 (x 2 )20−k (−xy)k = (−1)k C20 x 40− k y k . 2 20 k k 14
S h ng ch a x37 ng v i 40 − k = 37 ⇔ k = 3 . V y s h ng c n tìm là −C20 x 37 y 3 = −1140x 37 y 3 . 3 Cách khác: S h ng t ng quát trong khai tri n ( x 2 − xy ) = x 20 ( x − y )20 là: 20 x 20C20 x 20− k (−y)k = (−1)k x20C20 x 20−k y k . k k S h ng ch a x37 ng v i 20 − k = 17 ⇔ k = 3 . V y s h ng c n tìm là −x 20C20 x17 y 3 = −1140x 37 y 3 . 3 Ví d 19. Tìm s h ng ch a x3 trong khai tri n ( 1 + x + x 2 ) . 10 Gi i S h ng t ng quát trong khai tri n ( 1 + x + x ) = [ 1 + x ( 1 + x ) ]10 là C10 x k (1 + x)k . 2 10 k Suy ra s h ng ch a x3 ng v i 2 ≤ k ≤ 3 . + V i k = 2: C10 x 2 (1 + x)2 = C10 (x 2 + 2x 3 + x 4 ) nên s h ng ch a x3 là 2C10 x 3 . 2 2 2 + V i k = 3: C10 x 3 (1 + x)3 có s h ng ch a x3 là C10 x 3 . 3 3 V y s h ng c n tìm là ( C10 + 2C10 ) x 3 = 210x 3 . 3 2 Cách khác: Ta có khai tri n c a ( 1 + x + x 2 ) = [ 1 + x ( 1 + x ) ]10 là: 10 C10 + C10 x(1 + x) + C10 x 2 (1 + x)2 + C10 x 3 (1 + x)3 + ... + C10 x10 (1 + x)10 . 0 1 2 3 10 S h ng ch a x ch có trong C10 x (1 + x) và C10 x (1 + x) . 3 2 2 2 3 3 3 + C10 x 2 (1 + x)2 = C10 (x 2 + 2x 3 + x 4 ) ⇒ 2C10 x 3 . 2 2 2 + C10 x 3 (1 + x)3 = C10 (x 3 + 3x 4 + 3x 5 + x 6 ) ⇒ C10 x 3 . 3 3 3 V y s h ng c n tìm là 2C10 x 3 + C10 x 3 = 210x 3 . 2 3 3.3. D ng tìm s h ng h u t + S h ng t ng quát trong khai tri n (a + b)n là: m r C a b = C .a b (a, b là vô t ). k n n −k k k n p q   m p ∈ℕ  + Gi i h phương trình  r  (k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ n) ⇒ k 0 .  ∈ℕ  q   k0 n −k0 k0 S h ng c n tìm là Cn a b . ( ) 10 1 Ví d 20. Tìm s h ng h u t trong khai tri n +35 . 2 Gi i  1 1 10   1 + 2 2.5 3  ( ) 10 k k S h ng t ng quát trong khai tri n 1 + 5 = 3   là 1 Ck 2 2.5 3 .  2   2    32 10   S h ng h u t trong khai tri n th a ñi u ki n: 15
k  ∈ℕ  2 k = 0   ( k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ 10 ) ⇒  k k = 6.  ∈ℕ   3  1 0 1 + V i k = 0: s h ng h u t là C10 = . 32 32 1 6 3 2 2625 + V i k = 6: s h ng h u t là C10 2 .5 = . 32 2 1 2625 V y s h ng c n tìm là và . 32 2 3.4. D ng tìm h s ch a xk trong t ng n s h ng ñ u tiên c a c p s nhân T ng n s h ng ñ u tiên c a c p s nhân v i công b i q khác 1 là: 1 − qn Sn = u1 + u2 + ... + u n = u1 . 1−q Xét t ng S(x) = (1 + bx)m +1 + (1 + bx)m +2 + ... + (1 + bx)m + n như là t ng c a n s h ng ñ u tiên c a c p s nhân v i u1 = (1 + bx)m +1 và công b i q = (1 + bx) . Áp d ng công th c ta ñư c: m +1 1 − (1 + bx) n (1 + bx)m + n +1 − (1 + bx)m +1 S(x) = (1 + bx) = . 1 − (1 + bx) bx 1 Suy ra h s c a s h ng ch a xk trong S(x) là nhân v i h s c a s h ng ch a x k +1 trong khai tri n: b (1 + bx)m + n +1 − (1 + bx)m +1 . Ví d 21. Tìm h s c a s h ng ch a x4 trong khai tri n và rút g n t ng sau: S(x) = ( 1 + x )4 + ( 1 + x )5 + ( 1 + x )6 + ... + ( 1 + x )15 . Gi i T ng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 s h ng nên ta có: 1 − (1 + x)12 (1 + x)16 − (1 + x)4 S(x) = (1 + x)4 = . 1 − (1 + x) x Suy ra h s c a s h ng ch a x4 là h s c a s h ng ch a x5 trong (1 + x)16 . V y h s c n tìm là C16 = 4368 . 5 Nh n xét: B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c: C4 + C5 + C6 + ... + C15 = C16 . 4 4 4 4 5 Ví d 22*. Tìm h s c a s h ng ch a x2 trong khai tri n và rút g n t ng sau: S(x) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x )2 + ... + 99 ( 1 + x )99 + 100 ( 1 + x )100 . Gi i Ta có: S(x) = ( 1 + x )[ 1 + 2 ( 1 + x ) + ... + 99 ( 1 + x )98 + 100 ( 1 + x )99 ] . ð t: f(x) = 1 + 2 ( 1 + x ) + 3 ( 1 + x )2 + ... + 99 ( 1 + x )98 + 100 ( 1 + x )99 F(x) = (1 + x) + ( 1 + x )2 + ( 1 + x )3 + ... + ( 1 + x )99 + ( 1 + x )100 ⇒ S(x) = f(x) + xf(x) và F/ (x) = f(x) . 16
Suy ra h s c a s h ng ch a x2 c a S(x) b ng t ng h s s h ng ch a x và x2 c a f(x), b ng t ng 2 l n h s s h ng ch a x2 và 3 l n h s s h ng ch a x3 c a F(x). T ng F(x) có 100 s h ng nên ta có: 1 − (1 + x)100 (1 + x)101 − (1 + x) F(x) = (1 + x) = . 1 − (1 + x) x + H s s h ng ch a x2 c a F(x) là C101 . 3 + H s s h ng ch a x3 c a F(x) là C101 . 4 V y h s c n tìm là 2C101 + 3C101 = 12582075 . 3 4 Nh n xét: B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c: 2C2 + 3C2 + 4C2 + ... + 99C2 + 100C100 = 2C101 + 3C101 . 2 3 4 99 2 3 4 Ví d 23*. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n và rút g n t ng sau: S(x) = ( 1 + x ) + 2 ( 1 + x )2 + ... + (n − 1) ( 1 + x )n−1 + n ( 1 + x )n . Gi i Ta có: S(x) = ( 1 + x )[ 1 + 2 ( 1 + x ) + ... + (n − 1) ( 1 + x )n −2 + n ( 1 + x )n −1 ] . ð t: f(x) = 1 + 2 ( 1 + x ) + 3 ( 1 + x )2 + ... + (n − 1) ( 1 + x )n−2 + n ( 1 + x )n−1 F(x) = (1 + x) + ( 1 + x )2 + ( 1 + x )3 + ... + ( 1 + x )n −1 + ( 1 + x )n ⇒ S(x) = f(x) + xf(x) và F/ (x) = f(x) . Suy ra h s c a s h ng ch a x c a S(x) b ng t ng h s s h ng không ch a x và ch a x c a f(x), b ng t ng h s s h ng ch a x và 2 l n h s s h ng ch a x2 c a F(x). T ng F(x) có n s h ng nên ta có: 1 − (1 + x)n (1 + x)n +1 − (1 + x) F(x) = (1 + x) = . 1 − (1 + x) x + H s s h ng ch a x c a F(x) là C2 +1 . n 2 + H s s h ng ch a x c a F(x) là C3 +1 . n n(n + 1)(2n + 1) V y h s c n tìm là C2 +1 + 2C3 +1 = n n . 6 Nh n xét: B ng cách tính tr c ti p h s c a t ng s h ng trong t ng ta suy ra ñ ng th c: n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 + n2 = . 6 3.5. D ng tìm h s l n nh t trong khai tri n Newton Xét khai tri n (a + bx)n có s h ng t ng quát là Ck a n −k bk x k . n ð t u k = Cna n− k bk , 0 ≤ k ≤ n ta có dãy h s là { u k } . ð tìm s h ng l n nh t c a dãy ta th c hi n các k bư c sau: u Bư c 1: gi i b t phương trình k ≥ 1 ta tìm ñư c k0 và suy ra u k0 ≥ u k0 +1 ≥ ... ≥ u n . u k +1 u Bư c 2: gi i b t phương trình k ≤ 1 ta tìm ñư c k1 và suy ra u k1 ≥ u k1 −1 ≥ ... ≥ u 0 . u k +1 Bư c 3: s h ng l n nh t c a dãy là max { u k0 , u k1 } . 17
Chú ý: ð ñơn gi n trong tính toán ta có th làm g n như sau:  u k ≥ u k +1  Gi i h b t phương trình   ⇒ k 0 . Suy ra h s l n nh t là Ck0 a n−k0 bk0 .  u k ≥ u k −1   n Ví d 24. Tìm h s l n nh t trong khai tri n ( 1 + 0,2x )17 . Gi i Khai tri n ( 1 + 0,2x ) có s h ng t ng quát là C17 (0,2)k x k . 17 k Ta có:   17 ! 17 !  k  C17 (0,2) ≥ C17 (0, 2) k k +1 k +1  5 k ! ( 17 − k ) ! ≥ (k + 1)! ( 16 − k ) !    ⇔  k   C17 (0,2) ≥ C17 (0, 2)  k k −1 k −1   17 ! 17 !   ( ≥5  k ! 17 − k ) !   (k − 1)! ( 18 − k ) !  5(k + 1) ≥ 17 − k  ⇔  ⇔ 2 ≤ k ≤ 3.  18 − k ≥ 5k   + V i k = 2: h s là C17 (0,2)2 = 5, 44 . 2 + V i k = 3: h s là C17 (0,2)3 = 5, 44 . 3 V y h s l n nh t là 5,44. Ví d 25. Tìm h s l n nh t trong khai tri n 1 + ( 2x 10 3 ) . Gi i ( ) 10 2x 1 1 k Khai tri n 1 + = 10 ( 3 + 2x )10 có s h ng t ng quát là 10 C10 310−k2k x k . 3 3 3 Ta có:   10! 10!  C10 310− k2k ≥ C10+1 39− k2k +1 k k 3  k ! ( 10 − k ) ! ≥2    (k + 1)! ( 9 − k ) !  k 10− k k ⇔   C10 3 2 ≥ C10−1 311− k2k −1 k   10! 10!   2 ( ≥3  k ! 10 − k ) !   (k − 1)! ( 11 − k ) !  3(k + 1) ≥ 2(10 − k)  17 22 ⇔  ⇔ ≤k≤ ⇒ k = 4.  2(11 − k) ≥ 3k  5 5  1 4 1120 V y h s l n nh t là 10 C10 3624 = . 3 27 II. PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp gi i toán Bư c 1: ñ t ñi u ki n cho bài toán. + Px có ñi u ki n là x ∈ ℕ . + A y , Cy có ñi u ki n là x ∈ ℕ, y ∈ ℕ và 0 ≤ y ≤ x . x x Bư c 2: áp d ng công th c tính ñ ñưa bài toán v phương trình, h phương trình quen thu c. Bư c 3: gi i phương trình, h phương trình r i d a vào ñi u ki n ñ ch n nghi m. 18
Chú ý: Do tính ch t ñ c bi t nghi m là s t nhiên nên ñôi khi ta ph i th và ñoán nghi m. Ch ng h n: x! = 1 ⇔ x = 0 ∨ x = 1. (x − 5)(x − 4)(x − 3)(x − 2)x = 120 ( = 6 ! ) ⇔ x = 6 . 30 Ví d 26. Gi i phương trình A x −1 + 2Px −1 = x +1 P. 7 x Gi i x ∈ ℕ  x ∈ ℕ  ði u ki n   ⇔  . x − 1 ≥ 0  x ≥ 1    Ta có: 30 (x + 1)! 30 A x −1 + 2Px −1 = x +1 Px ⇔ + 2(x − 1)! = x! 7 2! 7  4 x = ⇔ 7(x − 1)! x(x + 1) + 28(x − 1)!− 60(x − 1)! x = 0 ⇔ 7x − 53x + 28 = 0 ⇔  2 7. x = 7  So v i ñi u ki n ta ñư c nghi m là x = 7. Ví d 27. Gi i phương trình: Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 = 1023 . x x x x x Gi i x ∈ ℕ  x ∈ ℕ  ði u ki n   ⇔  .  x − 10 ≥ 0   x ≥ 10    Ta có: Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 = 1023 x x x x x ⇔ Cx −10 + Cx −9 + Cx −8 + ... + Cx −2 + Cx −1 + Cx = (1 + 1)10 + Cx − 1 . x x x x x x x V y x = 10.  A y : Py−1 + Cx − y = 126  x Ví d 28. Gi i h phương trình  x  .   Py +1 = 720  Gi i    x, y ∈ ℕ   x, y ∈ ℕ  ði u ki n  0 ≤ y ≤ x ⇔    .   1 ≤ y ≤ x  y − 1 ≥ 0     Ta có:   x! x!  A x : Py −1 + Cx = 126 x−y  y   ( x − y ) !(y − 1)! + (x − y)! y ! = 126   ⇔   Py +1 = 720     (y + 1)! = 6 !     x! x!  6.x !   ( x − 5 ) ! 4 ! + (x − 5)! 5! = 126 ⇔  (x − 5)! 5! = 126 ⇔    x = 7  ⇔   .     y = 5   y=5  y=5    19