Phần 1: Khảo sát hàm bậc 3

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

616
lượt xem 123
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu cung cấp kiến thức giúp các bạn ôn thi đại học cao đẳng vê khỏa sát hàm bậc 3, kiến thức và bài tập cơ bản cực hay, và một sô gợi ý giải các bài toán liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần 1: Khảo sát hàm bậc 3

OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3 (Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn) Giaû söû : y = ax3 + bx2 + cx + d vôùi a  0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b b 1) y” = 0  x = (a  0 ) 3a b x= laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. 3a 2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau : i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm  haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng) ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm  haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm) iii)a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2  haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2. Ngoaøi ra ta coøn coù : + x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. + haøm soá taêng treân (, x1) + haøm soá taêng treân (x2, +) + haøm soá giaûm treân (x1, x2) iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2  haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù : + haøm soá giaûm treân (, x1) + haøm soá giaûm treân (x2, +) + haøm soá taêng treân (x1, x2) 3) Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø haèng soá khaùc 0; thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q 4) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät y'  0 coù 2 nghieäm ph n bieät x1 , x 2  aâ   y(x1 ).y(x 2 )  0  5) Giaû söû a > 0 ta coù : i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät >  y'  0 coù 2 nghieäm ph n bieät thoûa   x1  x 2 aâ    y()  0  y(x1 ).y(x 2 )  0  ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät <  y'  0 coù 2 nghieäm ph n bieät thoûa x1  x 2   aâ    y()  0  y(x1 ).y(x 2 )  0  Töông töï khi a < 0 . 6) Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M  (C). Neáu M  I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu tröôøng hôïp hôn. 7) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau  y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán) 8) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a  0) khi x =  laø 1 nghieäm cuûa (1). Neáu x =  laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1) nghieäm cuûa (1) laø x =  vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta coù caùc tröôøng hôïp sau: i) neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x =  ii) neáu (2) coù nghieäm keùp x =  thì (1) coù duy nhaát nghieäm x =  iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät   thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x =  vaø 1 nghieäm khaùc  thì (1) coù 2 nghieäm. v) neáu (2) coù nghieäm keùp   thì (1) coù 2 nghieäm BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3 Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (Cm) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình laø y = x3 + mx2  m vaø y = kx + k + 1. (I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 1) Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C). 2) Goïi  laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C) veõ töø E   vôùi (C). 3) Tìm E   ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau. 4) Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh. 5) Tìm M  (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C). (II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi. 6) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (Cm). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy vuoâng goùc nhau. 7) Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. 8) Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. 9) Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2). b) haøm soá nghòch bieán trong (0, +). 10) Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng. 11) Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (Dk) caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau. 12) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1). 13) Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. BAØI GIAÛI PHAÀN I : m = 3 Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm) 1) Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x  heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi M laø k1 = – 3n2 + 6n  (0, 3] (vì n  (0, 2)). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi tieáp
1 tuyeán taïi M coù heä soá goùc laø k 2 =  (vôùi 0 < k1  3). Hoaønh ñoä cuûa tieáp k1 1 tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm cuûa – 3x2 + 6x =  (= k2) k1 1  3x2 – 6x  = 0. Phöông trình naøy coù a.c < 0,  k1  (0, 3] neân coù 2 k1 nghieäm phaân bieät,  k1  (0, 3]. Vaäy treân (C) luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M. 2) E (e, 1)  . Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) + 1 (D).   x3  3n2  3  h(x  e)  1 (D) tieáp xuùc (C)  heä  2 coù nghieäm.   3x  6x  h  Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø : – x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1) 3 2  – x + 3x – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)  (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)  x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex  x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2) 2 (2) coù  = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) coù nghieäm x = 2  8 – 2(3e – 1) + 2 = 0  e = 2 5 Ta coù  > 0  e < – 1 hay e > . 3 Bieän luaän : 5 i) Neáu e < – 1 hay < e < 2 hay e > 2 3  (1) coù 3 nghieäm phaân bieät  coù 3 tieáp tuyeán. 5 ii) Neáu e = – 1 hay e = hay e = 2 3  (1) coù 2 nghieäm  coù 2 tieáp tuyeán. 5 iii) Neáu – 1 < e <  (1) coù 1 nghieäm  coù 1 tieáp tuyeán. 3 Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân phöông trình (1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2,  e. 3) Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1),  e vaø ñöôøng x =  khoâng laø tieáp tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn.  (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa : y'(x1).y'(x2) = – 1
 5  e  1 e   3   x1 , x 2 laø nghieäm cuûa (2)  (3x 2  6x )(3x 2  6x )  1 1 1 2 2    5  e  1 hay e  3   x x  3e  1   1 2  x .x  1 2  1 2  9x1.x 2 (x1  2)(x 2  2)  1   5  e  1 hay e    3  9 [1  (3e  1)  4]  1  55  55   e= . Vaäy E  ,1 27  27  4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p laø nghieäm cuûa : y' = p  3x2 – 6x + p = 0 (3) Ta coù ' = 9 – 3p > 0  p < 3 Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá goùc baèng p. Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3). Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù : x3  x 4  b  1 2 2a y3  y 4  (x3  x3 )  3(x3  x2 )  6 2  3 4 4  1 2 2 Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa M 3M4. 5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a  0) ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng :  M  (C), ta coù : i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M. ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M. Caùch 2 : Goïi M(x0, y0)  (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù daïng : y = k(x – x0)  x3  3x2  3 0 0 (D) Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :  x3  3x2  3  (3x2  6 x)( x  x0 )  x0  3x0  3 3 2 (5)  x3  x3  3(x2  x2 )  (x  x0 )(3x2  6x)  0 0 0  x  x0  0  x2  xx 0  x2  3x  3x0  3x2  6x  0 0  x  x0 hay 2x  (3  x0 )x  x2  3x0  0 2 0  x  x0 hay (x  x0 )(2x  x0  3)  0
3  x0  x  x 0 hay x  2 Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0)  (C) 3  x0  x0   x0  1 2 Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán). Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x0 Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), m  y + x3 = m (x2 – 1) , m x2  1  0 x  1 x  1    hay  y  1 y  1 3 y  x  0 Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1). Vì y' = – 3x2 + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi H vaø K coù heä soá goùc laàn löôït laø : a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m. 2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau.  10  a1.a2 = – 1  9 – 4m2 = – 1  m = . 2 7) Haøm coù cöïc trò  y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät.  3x2 = 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät. 2m  x = 0 vaø x = laø 2 nghieäm phaân bieät. 3  m  0. Khi ñoù, ta coù : 2  1 1  y   m 2 x  m    x  m y' 9  3 9  vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø : 2 y  m 2 x  m (vôùi m  0) 9 8) Khi m  0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù : 2m x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 = 3 2  2   y(x1).y(x2) =  m 2 x1  m  m 2 x2  m  9  9  2 4 =  m 2 (x1  x2 )  m 2 =  m 4  m 2 9 27 Vôùi m  0, ta coù y(x1).y(x2) < 0
4 2   m 1  0 27 27 3 3  m2   m 4 2 Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät. y'  0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2   y(x1 ).y(x2 )  0 3 3  m  2 Nhaän xeùt : 3 3 i) Khi m   thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm aâm vaø 1 nghieäm döông. 2 3 3 ii) Khi m  thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm. 2 9) a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2)  – 3x2 + 2mx  0, x  (1,2). Neáu m  0 ta 2m coù hoaønh ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø . 3  2m  i) Neáu m < 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân  ,0 . Vaäy loaïi tröôøng hôïp m < 0  3   ii) Neáu m = 0  haøm luoân nghòch bieán (loaïi).  2m  iii) Neáu m > 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân 0,  3   2m  Do ñoù, ycbt  m > 0 vaø [1,2]  0,  3   2m  2  m3 3 b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0.  2m  Khi m  0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân   , vaø haøm soá cuõng  3   nghòch bieán treân [0, +). Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +) thì m  0. Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn. m 10) y" = – 6x + 2m , y" = 0  x = 3 (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau.  y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân truïc hoaønh.
 3 3  3 3 m  m  2  2  m  3 2  y   0     m  m. m  m  0  3   27  9  3 3 m  3 6   2 m  2  2m  1  0 2  27  11) Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C m) vaø (Dk) laø – x3 + mx2 – m = kx + k + 1  m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3  x + 1 = 0  m(x – 1) = k + 1 – x + x2  x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11) a) Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät  (11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1 1  m  1  k  m  1  0   2  (m  1)  4(k  m  1)  0  k  2m  3   (*)  m 2  2m  3 k  4 b) Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1)  (Cm) neân ta coù : (Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.  m 2m 3   (Dk) qua ñieåm uoán  ; 3 27  m  cuûa (Cm)    2m 3 m    m  k  1  1 27 3  2m 3  27m  27  k (**) 9(m  3) Vaäy ycbt  k thoûa (*) vaø (**). 12) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng : y = k(x + 1) + 1 (Dk) Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D k) vaø (Cm) laø : – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12) 2 2 3  m(x – 1) = (– 3x + 2mx)(x + 1) + 1 + x  x + 1 = 0  m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2  x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13) m 1  x=–1  x 2
y' (–1) = – 2m – 3 2  m  1  m  1  m  1 1 2 y'    3   2m  = (m – 2m – 3)  2   2   2  4 Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø : y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 1 y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1 4 Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông trình (12) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông trình (13) chaéc chaén coù nghieäm laø x = – 1. 13) Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x coù heä soá goùc laø : h = – 3x2 + 2mx b m Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi x    (hoaønh ñoä ñieåm uoán) 2a 3 Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát. 2 2  2 m  m2 m2 Nhaän xeùt :  3x  2mx  3 x      3 3 3 Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d, ta coù : i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû nhaát. ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.