Lê Thúc Định và Đtg<br />
<br />
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br />
<br />
135(05): 207 - 211<br />
<br />
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN<br />
Lê Thúc Định1*, Vũ Quốc Trụ1, Trần Thị Hương2<br />
1<br />
<br />
Học viện Kỹ thuật Quân sự,<br />
Trường CĐKT Lý Tự Trọng<br />
<br />
2<br />
<br />
TÓM TẮT<br />
Bài báo trình bày phương pháp giải bài toán ổn định tĩnh của tấm có cơ tính biến thiên (FGM) chịu<br />
tác dụng của tải trọng trong mặt phẳng trung bình bằng phương pháp phần tử hữu hạn để xác định tải<br />
tới hạn. Trên cơ sở thuật toán thực hiện khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến lực tới hạn. Kết quả<br />
bài báo là cơ sở để tham khảo cho quá trình thiết kế, tính toán các kết cấu có cơ tính biến thiên.<br />
Từ khóa: ổn định, tấm, vật liệu có cơ tính biến thiên, gốm, kim loại, lực tới hạn<br />
<br />
ĐẶT VẤN ĐỀ*<br />
Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally<br />
Graded Materials - FGM) với những ưu điểm<br />
vượt trội so với vật liệu composite thông<br />
thường nên ngày càng được ứng dụng rộng<br />
rãi trong nhiều lĩnh vực như: hàng không - vũ<br />
trụ, lò phản ứng hạt nhân, công nghiệp quốc<br />
phòng, … Vì vậy, nghiên cứu đáp ứng các kết<br />
cấu FGM (đặc biệt là các kết cấu dạng tấm,<br />
vỏ) là vấn đề cấp thiết và có ý nghĩa thực tiễn.<br />
NỘI DUNG<br />
Vật liệu có cơ tính biến thiên<br />
Vật liệu có cơ tính biến thiên có nhiều loại,<br />
song trong thực tế thường được sử dụng nhiều<br />
là loại hai thành phần, nó là hỗn hợp của gốm<br />
(ceramic) và kim loại (metal) (Hình 1). Trong<br />
đó, tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu<br />
biến đổi theo chiều dày kết cấu và là hàm lũy<br />
thừa của biến chiều dày z [1], [2], [3]:<br />
<br />
đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn nở<br />
nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) của vật liệu FGM, gốm<br />
và kim loại tương ứng.<br />
z<br />
<br />
Bề mặt giàu gốm<br />
<br />
h/2<br />
0<br />
<br />
x<br />
<br />
-h/2<br />
Bề mặt giàu kim loại<br />
<br />
Hình 1. Mô hình kết cấu làm từ vật liệu FGM<br />
<br />
Mô hình bài toán và các giả thiết<br />
Xét tấm vật liệu có cơ tính biến thiên dạng<br />
hình chữ nhật: chiều dài a, chiều rộng b, chiều<br />
dày h, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh trong<br />
mặt phẳng trung bình (Hình 2). Kết cấu được<br />
xét là tấm mỏng đàn hồi. Bỏ qua biến dạng<br />
cắt ngang xz yz 0 .<br />
<br />
k<br />
<br />
z 1<br />
Vc (z) ,Vm (z) 1 Vc (z),(0 k )<br />
h 2<br />
<br />
(1)<br />
<br />
trong đó: k là chỉ số tỷ lệ thể tích; Vc , Vm là tỉ<br />
lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại<br />
tương ứng, z là trục tọa độ theo phương pháp<br />
tuyến của tấm.<br />
Tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác<br />
định theo biểu thức sau [0], [0]:<br />
k<br />
<br />
z 1<br />
Pe Pc Pm Pm<br />
h 2<br />
<br />
(2)<br />
<br />
Các phương trình cơ bản<br />
Ứng xử cơ học<br />
Véc tơ nội lực:<br />
<br />
A<br />
N <br />
<br />
<br />
<br />
M<br />
B<br />
<br />
B m <br />
D k <br />
<br />
(3)<br />
<br />
trong đó: N Nx , N y , Nxy - véc tơ lực màng;<br />
T<br />
<br />
trong đó Pe, Pc, Pm là tính chất hiệu dụng (mô<br />
*<br />
<br />
Hình 2. Mô hình bài toán<br />
<br />
Tel: 0982 140560, Email: ledinhvhp@gmail.com<br />
<br />
M M x ,M y ,M xy - véc tơ mô men uốn và<br />
T<br />
<br />
xoắn; [A], [B], [D] là ma trận độ cứng màng,<br />
207<br />
<br />
Nitro PDF Software<br />
100 Portable Document Lane<br />
Wonderland<br />
<br />
Lê Thúc Định và Đtg<br />
<br />
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br />
<br />
ma trận độ cứng tương tác màng-uốn-xoắn và<br />
ma trận độ cứng uốn tương ứng:<br />
h<br />
<br />
A, B, D E 1, z, z<br />
2<br />
<br />
h<br />
<br />
2<br />
<br />
(4)<br />
<br />
m 0m L <br />
1 w 2 <br />
<br />
<br />
2 x <br />
2<br />
<br />
1 w <br />
L <br />
2 y <br />
w w <br />
<br />
<br />
x y <br />
<br />
<br />
<br />
(5)<br />
<br />
2w<br />
y 2<br />
<br />
T<br />
<br />
2<br />
<br />
2w <br />
<br />
xy <br />
<br />
(6)<br />
<br />
với u, v, w là các thành phần chuyển vị tại<br />
một điểm thuộc mặt trung bình của tấm theo<br />
các phương x, y, z.<br />
Phương trình ổn định<br />
Theo [3], phương trình cân bằng của tấm dưới<br />
tác dụng của tải trọng tĩnh trong mặt phẳng<br />
trung bình có dạng:<br />
K m <br />
<br />
0<br />
<br />
(9)<br />
<br />
u<br />
<br />
Tấm được xem là mất ổn định khi bắt đầu bị<br />
uốn, tức là tồn tại q u 0 . Nghĩa là phương<br />
<br />
0 q m Pm <br />
<br />
<br />
<br />
K u K g q u 0 <br />
<br />
K u K g <br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
<br />
(11)<br />
<br />
trong đó: K 0g là ma trận độ cứng hình học<br />
được xác định từ trạng thái ứng suất ban đầu<br />
khi giải phương trình (8) với cường độ lực<br />
nén ban đầu P0 tác dụng trong mặt phẳng<br />
trung bình.<br />
Giải bài toán trị riêng (11) ta tìm được các giá<br />
trị khác nhau của . Tuy nhiên, để xác định<br />
trị số lực tới hạn nhỏ nhất ta chọn giá trị<br />
th min .<br />
Xác định các ma trận phần tử<br />
Chọn phần tử phẳng chữ nhật 4 nút, mỗi nút<br />
có 5 bậc tự do (Hình 3).<br />
<br />
w4<br />
<br />
(7)<br />
<br />
trong đó: K m - ma trận độ cứng màng; K u ma trận độ cứng uốn; K g - ma trận độ cứng<br />
<br />
(10)<br />
<br />
Ở trạng thái tới hạn, giả thiết cường độ của<br />
lực tới hạn gấp lần cường độ của lực được<br />
chọn ban đầu để tính ma trận độ cứng hình<br />
học K 0g . Khi đó (10) có dạng:<br />
<br />
K u K 0g <br />
<br />
Véc tơ độ cong:<br />
<br />
<br />
g<br />
<br />
trình (9) có nghiệm khác 0. Điều này xảy ra<br />
khi và chỉ khi:<br />
<br />
Véc tơ biến dạng màng (có kể đến biến dạng lớn):<br />
<br />
2w<br />
2<br />
x<br />
<br />
(8)<br />
<br />
Phương trình cân bằng do uốn:<br />
u<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
0 <br />
E z <br />
<br />
E<br />
0 <br />
1<br />
1 2 <br />
1 <br />
0 0<br />
<br />
2 <br />
<br />
<br />
k <br />
<br />
K m q m Pm <br />
<br />
K K q 0<br />
<br />
dz<br />
<br />
2<br />
<br />
u <br />
<br />
<br />
x <br />
v <br />
0m <br />
;<br />
y <br />
u v <br />
<br />
y x <br />
<br />
135(05): 207 - 211<br />
<br />
z<br />
<br />
y4<br />
<br />
y<br />
<br />
w3<br />
<br />
v4<br />
x4<br />
u4<br />
<br />
w1<br />
<br />
y3<br />
w2<br />
<br />
v1<br />
x1<br />
u1<br />
<br />
v2<br />
x2<br />
u2<br />
<br />
hình học phụ thuộc vào ứng suất do tải trọng<br />
tác dụng trong mặt phẳng trung bình gây nên<br />
còn được gọi là ma trận ứng suất;<br />
T<br />
qm u1 v1 ... u n vn - véc tơ chuyển vị màng<br />
<br />
y1<br />
<br />
tổng<br />
<br />
Véc tơ chuyển vị tại nút thứ i của tấm:<br />
<br />
thể<br />
<br />
của<br />
<br />
qu w1 x1 y1 ... w n xn yn <br />
<br />
T<br />
<br />
kết<br />
cấu;<br />
- véc tơ chuyển<br />
<br />
vị uốn tổng thể của kết cấu; n- tổng số nút của<br />
kết cấu.<br />
Khai triển (7) ta được hai phương trình sau:<br />
Phương trình cân bằng do nén:<br />
<br />
y2<br />
<br />
v3<br />
x3<br />
u3<br />
<br />
x<br />
<br />
Hình 3. Phần tử tấm phẳng chữ nhật 4 nút<br />
<br />
qi ui<br />
<br />
vi w i xi yi <br />
<br />
T<br />
<br />
(12)<br />
<br />
trong đó: ui , vi - chuyển vị nút trong trạng<br />
thái ứng suất phẳng (chuyển vị màng);<br />
w i , xi , yi - chuyển vị nút trong trạng thái uốn<br />
(chuyển vị uốn).<br />
<br />
208<br />
<br />
Nitro PDF Software<br />
100 Portable Document Lane<br />
Wonderland<br />
<br />
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br />
<br />
Véc tơ chuyển vị nút của phần tử:<br />
<br />
ta có:<br />
(13)<br />
<br />
với q em - chuyển vị màng của phần tử, q eu chuyển vị uốn của phần tử:<br />
v1 u 2<br />
<br />
qeu w1<br />
<br />
x1 y1 w 4<br />
<br />
v2<br />
<br />
u 3 v3 u 4<br />
x 4<br />
<br />
N m4<br />
<br />
0<br />
<br />
N m4 <br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
Nu 2<br />
<br />
N u11<br />
<br />
y4 <br />
<br />
(15)<br />
<br />
Ma trận độ cứng hình học:<br />
<br />
T<br />
<br />
0 <br />
N m4 <br />
<br />
(16)<br />
<br />
N u12 <br />
<br />
(17)<br />
<br />
Ma trận biến dạng màng:<br />
(18)<br />
<br />
Ma trận biến dạng uốn:<br />
<br />
<br />
Bu11 Bu12 <br />
<br />
N mj <br />
<br />
y <br />
,<br />
N mj <br />
<br />
x <br />
T<br />
<br />
0<br />
N mj<br />
y<br />
<br />
2 N uk<br />
2<br />
x<br />
<br />
2 N uk<br />
y 2<br />
<br />
Buk <br />
<br />
j 1 4;<br />
(20)<br />
T<br />
<br />
2<br />
<br />
2 N uk <br />
, k 1 12 <br />
xy <br />
<br />
Ma trận biến dạng tương tác màng uốn (ảnh<br />
hưởng của lực màng đến chuyển vị uốn của<br />
tấm):<br />
<br />
G G1 G 2 <br />
N uk <br />
x <br />
G k N <br />
uk <br />
y <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
S<br />
<br />
N<br />
<br />
N N x<br />
<br />
<br />
xy<br />
<br />
N xy <br />
N y <br />
<br />
(24)<br />
<br />
Theo [6], các ma trận tổng thể được xác định<br />
như sau:<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
i 1<br />
<br />
i 1<br />
<br />
(25)<br />
<br />
n<br />
<br />
K 0g [K g0 ]e<br />
<br />
trong đó: Km ,Ku , Kg0 tương ứng là ma trận<br />
độ cứng màng, ma trận độ cứng uốn, ma trận<br />
độ cứng hình học ban đầu tổng thể. Chú ý dấu<br />
tổng trong (25) không phải là phép cộng ma<br />
trận thông thường mà là cách biểu diễn sự sắp<br />
xếp khi ghép nối các ma trận phần tử theo<br />
thuật toán của phương pháp PTHH.<br />
KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN<br />
<br />
(19)<br />
<br />
trong đó:<br />
N mj<br />
<br />
x<br />
Bmj <br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
[K g ]e [G]T [N][G]dS ;<br />
<br />
i 1<br />
<br />
thức đại số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ x, y.<br />
<br />
Bm Bm1 Bm2 Bm3 Bm4 <br />
<br />
(23)<br />
<br />
S<br />
<br />
K m [K m ]e ; K u [K u ]e ;<br />
<br />
trong đó: N mj j 1 4 , N uk k 1 12 là các biểu<br />
<br />
Bu Bu1 Bu 2 <br />
<br />
Ma trận độ cứng uốn của phần tử:<br />
[K u ]e [Bu ]T [D][Bu ]dS<br />
<br />
Ma trận hàm dạng uốn:<br />
<br />
N u N u1<br />
<br />
(22)<br />
<br />
S<br />
<br />
(14)<br />
<br />
T<br />
<br />
Ma trận hàm dạng màng:<br />
N m1<br />
0<br />
<br />
[K m ]e [Bm ]T [A][Bm ]dS<br />
<br />
v4<br />
<br />
Biểu diễn chuyển vị và biến dạng của một<br />
điểm thông qua chuyển vị nút của phần tử ta<br />
nhận được các ma trận hàm dạng và ma trận<br />
biến dạng như sau:<br />
<br />
Nm <br />
<br />
Ma trận độ cứng màng của phần tử:<br />
<br />
G11 G12 ;<br />
<br />
Xét tấm chữ nhật có cơ tính biến thiên gồm 2<br />
vật liệu thành phần là nhôm và nhôm ô xít với<br />
các thuộc tính vật liệu là: Em 7.1010 N / m2 ,<br />
Ec 38.1010 N / m2 , m c 0.3 , k 0.5 . Tấm có<br />
chiều dài a = 2m, chiều rộng b = 1m, chiều<br />
dày h = 0.01m, chịu liên kết ngàm cứng một<br />
cạnh ngắn, lực P0 10 N tác dụng trong mặt<br />
phẳng trung bình (Hình 4).<br />
y<br />
z<br />
P0<br />
<br />
1m<br />
<br />
q <br />
q e em <br />
q eu <br />
<br />
qem u1<br />
<br />
135(05): 207 - 211<br />
<br />
0,01m<br />
<br />
Lê Thúc Định và Đtg<br />
<br />
x<br />
2m<br />
<br />
(21)<br />
<br />
k 1 12 <br />
<br />
Hình 4. Mô hình chịu lực của tấm FGM<br />
<br />
Xác định lực tới hạn<br />
<br />
Xây dựng các ma trận tổng thể<br />
Theo [6Error! Reference source not found.]<br />
<br />
Giải bài toán với các số liệu nêu trên ta nhận<br />
được giá trị lực tới hạn: Pth 220,023 N.<br />
Khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến lực<br />
209<br />
<br />
Nitro PDF Software<br />
100 Portable Document Lane<br />
Wonderland<br />
<br />
Lê Thúc Định và Đtg<br />
<br />
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br />
<br />
tới hạn<br />
* Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích (k):<br />
Luc toi han - chi so mu ti le the tich<br />
<br />
135(05): 207 - 211<br />
<br />
khi thiết kế kết cấu tấm FGM cần chú ý đến<br />
tỷ số giữa 2 cạnh để đảm bảo khả năng ổn<br />
định cho tấm.<br />
* Ảnh hưởng của chiều dày tấm (h):<br />
<br />
350<br />
<br />
Luc toi han - chieu day tam<br />
1800<br />
<br />
300<br />
<br />
Luc toi han - Pth (N)<br />
<br />
1600<br />
250<br />
<br />
Luc toi han - Pth (N)<br />
<br />
1400<br />
<br />
200<br />
<br />
150<br />
<br />
100<br />
<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
Chi so mu ti le the tich - k<br />
<br />
8<br />
<br />
9<br />
<br />
10<br />
<br />
200<br />
<br />
Hình 5. Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích<br />
<br />
Từ đồ thị (Hình 5) ta thấy: khi chỉ số mũ tỉ lệ<br />
thể tích tăng thì lực tới hạn giảm. Điều này là<br />
phù hợp với quy luật hàm vật liệu vì khi k<br />
tăng, tỷ lệ thành phần gốm giảm, thành phần<br />
kim loại tăng, làm cho mô đun đàn hồi của<br />
vật liệu FGM giảm nên độ cứng uốn của tấm<br />
giảm. Giá trị lực tới hạn thay đổi rất nhanh<br />
khi giá trị của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích thay đổi<br />
trong khoảng 0 k 3 . Do vậy, khi thiết kế<br />
vật liệu FGM cần chú ý lựa chọn giá trị của k<br />
sao cho phù hợp để nâng cao khả năng ổn<br />
định của tấm.<br />
<br />
0<br />
0.004<br />
<br />
0.006<br />
<br />
0.008<br />
<br />
0.01<br />
0.012<br />
0.014<br />
Chieu day tam - h (m)<br />
<br />
0.016<br />
<br />
Qua đồ thị (Hình 7) ta có nhận xét: kích thước<br />
chiều dày tấm có ảnh hưởng rất lớn đến lực<br />
tới hạn. Lực tới hạn tăng phi tuyến so với<br />
chiều dày. Do đó, để tăng khả năng ổn định<br />
cho tấm ta có thể tăng chiều dày của tấm, tuy<br />
nhiên phải chú ý đến tính kinh tế và tính công<br />
nghệ của kết cấu.<br />
* Ảnh hưởng đồng thời của tỉ số a/b và chỉ số<br />
mũ k<br />
Luc toi han - ti so kich thuoc a/b va chi so mu k<br />
6000<br />
<br />
Luc toi han - ti so giua chieu dai va chieu rong<br />
<br />
5000<br />
<br />
k=0 (ceramic)<br />
k=0.5<br />
k=1.0<br />
k=1.5<br />
k=2.0<br />
<br />
4000<br />
<br />
k= (metal)<br />
<br />
Luc toi han - Pth [N]<br />
<br />
4000<br />
<br />
Luc toi han - Pth (N)<br />
<br />
3000<br />
2500<br />
<br />
0.02<br />
<br />
Hình 7. Ảnh hưởng của chiều dày tấm<br />
<br />
* Ảnh hưởng của tỷ số giữa chiều dài và<br />
chiều rộng (a/b):<br />
<br />
3500<br />
<br />
0.018<br />
<br />
3000<br />
<br />
2000<br />
<br />
2000<br />
<br />
1000<br />
<br />
1500<br />
1000<br />
<br />
0<br />
0.5<br />
<br />
1<br />
<br />
500<br />
0<br />
0.5<br />
<br />
1<br />
<br />
1.5<br />
2<br />
2.5<br />
3<br />
3.5<br />
4<br />
Ti so giua chieu dai va chieu rong - a/b<br />
<br />
4.5<br />
<br />
5<br />
<br />
Hình 6. Ảnh hưởng của tỉ số chiều dài và chiều rộng<br />
<br />
Kết quả kháo sát (Hình 6) cho thấy tỷ số giữa<br />
chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh hưởng<br />
lớn đến giá trị lực tới hạn của tấm FGM. Khi<br />
tỷ số a/b tăng thì lực tới hạn lại giảm và giảm<br />
rõ rệt trong khoảng 0,5 a / b 2,5 . Như vậy,<br />
<br />
1.5<br />
2<br />
Ti so chieu dai va chieu rong - a/b<br />
<br />
2.5<br />
<br />
3<br />
<br />
Hình 8. Ảnh hưởng đồng thời của tỉ số a/b và chỉ<br />
số mũ tỉ lệ thể tích k<br />
<br />
Từ kết quả khảo sát ảnh hưởng đồng thời của<br />
tỉ số kích thước a/b và chỉ số mũ k (Hình 8),<br />
ta thấy giá trị lực tới hạn của tấm nhôm oxit<br />
(gốm) là lớn nhất, của tấm nhôm (kim loại) là<br />
nhỏ nhất, của tấm FGM nằm trung gian giữa<br />
kim loại và gốm. Kết quả này là hợp lý vì độ<br />
<br />
210<br />
<br />
Nitro PDF Software<br />
100 Portable Document Lane<br />
Wonderland<br />
<br />
Lê Thúc Định và Đtg<br />
<br />
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br />
<br />
cứng của ceramic lớn hơn độ cứng của kim<br />
loại, độ cứng của FGM là trung gian giữa<br />
ceramic và kim loại, phụ thuộc vào quy luật<br />
phân bố tỷ lệ thể tích các thành phần.<br />
KẾT LUẬN<br />
Bằng phương pháp PTHH, tác giả đã giải bài<br />
toán ổn định đàn hồi tuyến tính tấm FGM,<br />
xây dựng chương trình tính toán và khảo sát<br />
số. Trong đó, khảo sát một số yếu tố ảnh<br />
hưởng đến lực tới hạn của tấm FGM.<br />
Từ kết quả khảo sát số, bài báo đã đưa ra các<br />
nhận xét làm cơ sở tham khảo cho việc thiết<br />
kế và chế tạo các kết cấu bằng vật liệu FGM.<br />
TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />
1. Ibrahim H.H., Tawfik M. (2010), “Limit-cycle<br />
Oscillations of Functionally Graded Material<br />
Plates Subject to Aerodynamic and Thermal<br />
<br />
135(05): 207 - 211<br />
<br />
Loads”, Journal of Vibration and Control, 16(14),<br />
pp. 2147-2166.<br />
2. Lee S. L, Kim J. H (2009), “Thermal postbuckling and limit-cycle oscillation of functionally<br />
graded panel with structural damping in<br />
supersonic airflow”, Composite Structures (91),<br />
pp. 205-211.<br />
3. Lee S.-L., Kim J.-H. (2007), “Thermal Stability<br />
Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load”,<br />
World Academy of Science, Engineering and<br />
Technology, (32), pp. 60-65.<br />
4. Phạm Tiến Đạt, Lê Thúc Định (2011), “Tính<br />
toán tấm composite có cơ tính biến thiên chịu tải<br />
trọng tĩnh”, Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật (141),<br />
tr. 22-27.<br />
5. Vũ Dũng Mạnh (2008), Nghiên cứu ổn định của<br />
tấm, vỏ mỏng chịu tác dụng của tải trọng động,<br />
Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Học viện KTQS, Hà Nội.<br />
6. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. (1991), The<br />
Finite Element Method, Volume 2, McGraw-Hill<br />
Book Company.<br />
<br />
SUMMARY<br />
STATIC STABILITY ANALYSIS<br />
OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES<br />
Le Thuc Dinh1*, Vu Quoc Tru1, Tran Thi Huong2<br />
1<br />
<br />
Military Technical Academy<br />
Ly Tu Trong Technical College<br />
<br />
2<br />
<br />
This article presents a method of solving for the static stability problem of functionally graded<br />
material plates subjected to load in mid-plane based on Finite Element Method (FEM) algorithm to<br />
define critical loads. On the algorithm, investigate some effective fators to value of critical loads.<br />
The result of this paper is basis to refer in design and compute for functionally graded material<br />
structure.<br />
Keywords: stability, plate, functionally graded material, ceramic, metal, critical load<br />
<br />
Ngày nhận bài:31/12/2014; Ngày phản biện:23/01/2015; Ngày duyệt đăng: 31/5/2015<br />
Phản biện khoa học: TS. Nguyễn Văn Dũng – Học viện Kỹ thuật Quân sự<br />
*<br />
<br />
Tel: 0982 140560, Email: ledinhvhp@gmail.com<br />
<br />
211<br />
<br />
Nitro PDF Software<br />
100 Portable Document Lane<br />
Wonderland<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
