intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
30
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này nghiên cứu về sự tồn tại, tính duy nhất, tính ổn định nghiệm của nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên bằng phương pháp “Lý thuyết chấp nhận được” và “lý thuyết về toán tử co”; chỉ ra mối liên hệ về tính ổn định nghiệm giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình tích phân ngẫu nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên

  1. NGÀNH TOÁN HỌC Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên Study stability solution of random integral equations Nguyễn Viết Tuân Email: nguyentuandhsd@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 02/3/2020 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 28/3/2020 Ngày chấp nhận đăng: 30/3/2020 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại, tính duy nhất, tính ổn định nghiệm của nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên bằng phương pháp “Lý thuyết chấp nhận được” và “lý thuyết về toán tử co”. Bài báo cũng chỉ ra mối liên hệ về tính ổn định nghiệm giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình tích phân ngẫu nhiên. Từ khóa: Tích phân ngẫu nhiên; nghiệm ngẫu nhiên; không gian Banach; ổn định nghiệm. Abstract In this paper, we study the existence, uniqueness, stability of solutions of random solutions of random integral equations by the method of “admissibility theory” and “theory of contraction”. The paper also shows the relationship of root stability between random differential equations and random integral equations. Keywords: Integral equation; random solution; Banach space; stable solution. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong bài này, chúng tôi sử dụng một số nội dung của phương pháp “Lý thuyết chấp nhận được” và Nhiều vấn đề trong toán học cũng như các bài “Lý thuyết về toán tử co” để nghiên cứu về sự tồn toán thực tế của cơ học, vật lý, kỹ thuật dẫn đến tại, tính duy nhất, tính ổn định nghiệm của nghiệm phương trình mà các hàm chưa biết nằm dưới ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên dấu tích phân, đó chính là dạng phương trình tích Volterra có dạng. phân. Đặc biệt khi cả hàm cần tìm và các yếu tố t đã cho trong phương trình tích phân đều chứa yếu tố ngẫu nhiên thì được lớp phương trình tích phân ò x ( t,w ) = h ( t,w ) + k ( t,s,w ) f ( s,x ( s,w ) ) ds 0 (1) ngẫu nhiên. Trong đó: Các lý thuyết cơ bản về phương trình tích phân đã t ≥ 0, ω là một điểm của Ω; được trình bày trong [3, 5]. Một số kết quả về sự h(t,ω) là hàm ngẫu nhiên xác định với t ≥ 0, ω ∈ Ω; tồn tại, tính duy nhất của phương trình tích phân x (t; ω) là hàm ngẫu nhiên chưa biết với t ≥ 0; ngẫu nhiên có trong [4, 5]. hạt nhân ngẫu nhiên k (t;t;ω) xác định với 0 ≤ t ≤ Phương trình tích phân Volterra là dạng phương t < ∞ và ω ∈ Ω. trình tích phân đặc biệt với một cận tích phân chưa Ngoài ra, chúng tôi cũng chỉ ra mối liên hệ về tính xác định, hàm cần tìm nằm dưới dấu tích phân và ổn định nghiệm giữa phương trình vi phân. . hàm cần tìm có thể xuất hiện bên ngoài dấu tích phân. Phương trình tích phân Volterra có nhiều ( ) ( ) ( ) ( ( )) x t, w = A w x t, w + f t, x t, w , t ³ 0 ứng dụng trong vật lý như truyền năng lượng bức và phương trình tích phân ngẫu nhiên (1). xạ, dao động của dây, trục và màng mỏng và trong 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ các bài toán kỹ thuật… Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng một số ký hiệu như: Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh 2. TS. Đào Trọng Quyết - W , F , P là một không gian xác suất, đo được. ( ) Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020 87
  2. NGHIÊN CỨU KHOA HỌC - L W , F , P là không gian các hàm đo được, bình l < k -1 , h ( t,w ) + k f ( t, 0 ) £ r (1 - l k ) 2 ( ) D B phương khả tích. Ở đây: k là chuẩn của toán tử T . -C = C ! (  + , L2 W , F , P ( là không gian các )) hàm liên tục, bị chặn trên  + với giá trị trong Chứng minh: L2 W , F , P . ( ) Chúng ta định nghĩa một toán tử U từ S vào D ( - Cg = Cg !++, L2 W , F , P là không gian các hàm ( )) như sau: t liên tục từ  + vào L2 W , F , P thỏa mãn. ( ) 1 (Ux )( t,w ) = h ( t,w ) + ò k ( t,s,w ) f ( s,x ( s,w ) ) ds (2) 0 ìï 2 ï ü2 Bây giờ chúng ta chứng minh rằng U là một toán ò ( ) í x t, w dP w ý £ zg t , t Î ! ( ) + () tử co và U ( S ) Ì S . Xét một hàm y (t,w ) trong S . îïW þï Chúng ta có thể viết: Ở đây: t z là một số dương và g(t) là một hàm liên tục, (Uy )( t,w ) = h ( t,w ) + ò k ( t,s,w ) f ( s, y ( s,w ) ) ds (3) dương trên  + . 0 Trừ phương trình (2) cho phương trình (3), chúng + ( - CC = CC !+ , L2 W , F , P là không gian các hàm ( )) ta được. liên tục từ  + vào L2 W , F , P với tôpô hội tụ đều ( ) t trên đoạn [0,T] với T ˃ 0. (Ux )( t,w ) - (Uy )( t,w ) = ò k ( t,s,w ) ëé f ( s,x ( s,w ) ) - f ( s, y ( s,w ) )ûù ds 0 Cho B và D là không gian Banach chứa trong Từ U ( S ) Ì D và D là không gian Banach thì: ( )) CC !++, L2 W , F , P và T là một toán tử tuyến tính. ( (Ux )(t,w ) - (Uy )(t,w ) Î D Định nghĩa 1. (Xem [3]) Toán tử T được gọi là (B,D) Từ giả thiết (1, 2) suy ra éë f ( s,x ( s,w ) ) - f ( s, y ( s,w ) ) ùû Î B - Chấp nhận được nếu D Í T ( B ) . từ bổ đề (1) chúng ta thấy rằng T là toán tử liên tục Trước hết, ta xét bổ đề sau. từ không gian Banach B vào D , nó có nghĩa rằng, Bổ đề 1. (Xem [4]) Cho T là một toán tử tuyến chúng ta có thể tìm được hằng số k > 0 thỏa mãn: tính từ CC ( !++ ,L2 ( W , F ,P ) ) vào chính nó. Nếu B (Tx )( t ,w ) D £ k x ( t ,w ) B . và D là không gian Banach mạnh hơn CC và cặp Khi đó: (B,D) là được chấp nhận đối với T thì T là một toán (Ux )(t,w ) - (Uy )(t,w ) D £ k f (t,x (t,w )) - f (t,x (t,w )) B tử liên tục từ B vào D . Bây giờ, áp dụng điều kiện Lipschitz’s cho trong (2) Tiếp theo, chúng ta phát biểu và chứng minh định chúng ta có. lý về điều kiện tồn tại và tính duy nhất nghiệm của (Ux )( t,w ) - (Uy )( t,w ) D £ l k x ( t,w ) - y (t,w ) D phương trình (1). Sử dụng điều kiện l k < 1 thì U là toán tử. Đinh lý 1. Nếu có được các điều kiện sau: Tiếp theo, chúng ta chứng minh U (S ) Ì S . Với mọi 1. B và D là không gian Banach mạnh hơn hàm x (t,w ) Î S chúng ta có: CC ( !++ ,L2 ( W , F ,P ) ) mà (B,D) là chấp nhận được t đối với toán tử. t ò U ( x )( t,w ) = h ( t,w ) + k ( t,s,w ) f ( s,x ( s,w ) ) ds 0 (4) (Tx )( t,w ) = ò k ( t,s,w ) x ( s,w ) ds Áp dụng điều kiện (3) và bổ đề 1 chúng ta có thể 0 viết biểu diễn (4) như sau: 2. x t , w ® f t , x t , w ( ) ( ( )) là toán tử liên tục trên U ( x )( t,w ) D = h (t,w ) D + k f (t,x (t,w ) ) (5) {( S = x t, w : x t, w Î D, x t, w ) ( ) ( ) D £ r} với giá trị Trong (5), f ( t,x (t,w )) B có thể viết: B trong B , cũng thỏa mãn f ( t,x ( t,w ) ) = f ( t,x ( t,w ) ) - f ( t, 0 ) + f ( t, 0 ) B B ( ( )) - f (t, y (t, w )) f t, x t, w B £ l x t, w - y t, w ( ) ( )D £ f ( t,x ( t,w ) ) - f ( t, 0 ) + f ( t, 0 ) B B Với x t, w , y t, w Î S và l là hằng số. ( ) ( ) Sử dụng điều kiện Lipschitz’s chúng ta có: 3. h ( t , w ) Î D. f ( t,x (t,w ) ) £ l x (t,w ) - 0 D + f (t,0) B B Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên của Bây giờ chúng ta viết (5) dưới dạng: phương trình tích phân ngẫu nhiên (1), với điều U ( x )( t,w ) £ h ( t,w ) + k l x ( t,w ) + k f (t, 0 ) (6) kiện là: D D D B 88 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020
  3. NGÀNH TOÁN HỌC Từ x ( t,w ) Î S và x ( t ,w ) D £r , (6) có thể viết là: 2. f (t,x) là hàm véctơ liên tục, có giá trị với t Î !+ , + x ( t, w ) £ r thỏa mãn f ( t , 0 ) Î Cg , U ( x )( t,w ) £ h ( t,w ) + k lr + k f ( t, 0 ) (7) D D B Áp dụng điều kiện của định lý: ( ( ) ) ( ( ) ) £ l g (t ) x (t, w ) - y (t, w ) f t, x t, w - f t, y t, w h ( t,w ) D + k f ( t, 0 ) B £ r (1 - l k ) 3. h(t,x) là hàm liên tục bị chặn trên  + có giá trị trong L2 ( W , F , P ). (7) trở thành U ( x )( t,w ) D £ r (1 - l k ) + k lr Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên x (t,w ) Î S Hoặc U ( x )( t,w ) D £ r của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) bị chặn Điều đó có nghĩa là U ( x )( t ,w ) D Î S với mọi biến trên  + khi h ( t, w ) , l, f ( t, 0 ) C đủ nhỏ. g ngẫu nhiên x (t,w ) Î S hay U ( S ) Ì S . 3. KẾT QUẢ CHÍNH Từ U là toán tử co và U ( S ) Ì S , áp dụng định lý Banach về điểm bất động, tồn tại duy nhất nghiệm Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tính chất ngẫu nhiên x (t,w ) Î S thỏa mãn: ổn định của nghiệm phương trình (1). Tìm các điều t kiện để nghiệm ngẫu nhiên ổn định tiệm cận theo (Ux )( t,w ) = h (t,w ) + ò k (t,s,w ) ´ f ( s,x ( s,w ) ) ds hàm mũ. 0 = x ( t,w ) 3.1. Tính ổn định tiệm cận của nghiệm ngẫu nhiên Kết quả tổng quát của phương trình tích phân ngẫu Định lý 2. Chúng ta xét phương trình tích phân (1) nhiên (1) đã được giải quyết. với các điều kiện: Trong trường hợp đặc biệt, khi cụ thể hóa không gian B, D chúng ta sẽ thu được một số hệ quả của 1. k t, s, w ( ) £ Le -a t - s ( ) với 0 £ s £ t < +¥ , L > 0, a > 0 . định lý 1. 2. f (t,x) là hàm liên tục từ  + ×฀  vào  thỏa mãn Hệ quả 1. Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên f (t,0) = 0 và f ( t, x ) - f ( t, y ) £ l x - y . (1) trong các điều kiện sau: 3. h ( t, x ) £ r e- b t , ở đây r, b là các số dương thỏa 1) Tồn tại số A > 0 và hàm liên tục g(t) > 0 thỏa mãn. mãn 0 < b < a . t Thì tồn tại duy nhất nghiệm ngẫu nhiên của phương ò k (t, s, w ) g ( s ) ds £ A, t Î !++ trình (1) thỏa mãn: 0 2) f (t,x) là hàm véctơ liên tục, có giá trị với t Î !+ + , ì ü 1/ 2 ï 2 ï x t, w £ r ( ) thỏa mãn f ( t, 0 ) Î Cg , ï ò ( ) í x t, w dP w ý ï ( ) £ r e- b t , t Î  !+ îW þ ( ( ) ) ( ( ) ) £ l g (t ) x (t, w ) - y (t, w ) f t, x t, w - f t, y t, w Chứng minh: 3) h ( t , x ) là hàm liên tục bị chặn trên  + có giá trị Chúng ta phải chứng minh rằng, cặp không gian trong L2 ( W , F , P ). Banach (Cg,Cg) với g (t ) = e-b t là chấp nhận được theo Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên điều kiện (1) và (2) của định lý. x ( t,w ) Î S của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) Đó là (Cg,Cg) là chấp nhận được đối với toán tử thỏa mãn: được định nghĩa bởi: 1 t ìï 2 üï 2 (Tx )(t, w ) = ò k (t, s, w ) x ( s, w ) ds (8) x t, w ( )C 0£t ï ò ( ) = sup í x t , w dP w ý £ r ( ) 0 îW þï Chuẩn của (8) có thể được viết: Với t Î ! + và h t, w , l, f t, 0 ( ) ( ) C đủ nhỏ. t + g (Tx )(t, w ) £ ò k (t, s, w ) x ( s, w ) ds (9) Hệ quả 2: 0 Áp dụng điều kiện (1) của định lý, chúng ta có: Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) trong t -a t - s ( ) x t, w ds các điều kiện sau: (Tx )(t, w ) £L e ò ( ) (10) 0 1. Tồn tại số A > 0 và hàm liên tục g(t) thỏa mãn Do đó: t t k t, s, w £ A và ( ) ò g ( s ) ds £ ¥. -a t - s ( ) é x t, w / g s ù g s ds 0 (Tx )(t, w ) £L e ò ë( ) () () û (11) 0 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020 89
  4. NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Sử dụng điều kiện của chuẩn trên không C g , bất Nhân 2 vế của (13) với e - A(w )t , ta có: đẳng thức (11) có thể viết: æ - A(w )t . ö çe x t, w ( ) ÷ - A(w )t t -a t - s ( ) g s ds ç ÷=e f t, x t, w( ( )) ò -A w t (Tx )( t, w ) £M e () ç - A w e ( ) x t, w ( ) ( ) ÷ è ø 0 t Nhưng -a t - s ( ) e- b s ds æ ( ) d / dt x t, w ö -A w t = Mòe e ( ) ( )÷ 0 (12) { ( d / dt ) e ( ) x (t, w ) = çç -A w t ç } è -A w e ( ) - A(w )t ÷ x t, w ÷ ( ) ø = Me -a t é1 / a - b ù æç e(a - b )t - 1ö÷ ( ) ë ûè ø Vì vậy: =M a -b ( ) -1 (e -bt - e -a t ) ( d / dt ) {e- A(w )t x (t, w )} = e- A(w )t f (t, x (t, w )) (14) Từ 0 < b < a , chúng ta có thể làm trội bất đẳng thức Tích phân từ t0 đến t hai vế của (14) ta có: (12) như sau: æ - A(w )t ö t çe x t, w - ÷ ( ) - A(w ) s ( ) ò -1 -b t = e f s, x s, w ds (15) ( ( )) (Tx )(t, w ) £M a -b( ) (e - e-a t ) ç - A(w )t0 ÷ çe x t0 , w ÷ t -1 - b t è ø 0 0 thỏa mãn. 1/ 2 ì 2 ü ï 2 ï { P w Re Y k w < -a , k = 1, 2,..., n = 1 } t ®¥ ò ( ) lim í x t, w dP w ý ( ) =0 ( ) îïW þï Ở đây Y k (w ) , k = 1, 2,..., n là giá trị riêng của ma trận 3.2. Mối liên hệ về tính ổn định nghiệm của A (ω). phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương 2) f (t,x) là hàm liên tục từ  +×฀  ฀→  thỏa mãn n n trình tích phân ngẫu nhiên f ( t, x ) - f ( t , y ) £ l x - y ,với f ( t, 0 ) = 0 và l đủ nhỏ. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: Thì tồn tại duy nhất nghiệm ngẫu nhiên của phương . trình tích phân ngẫu nhiên (16) thỏa mãn: x t, w = A w x t, w + f t, x t, w , t ³ 0 ( ) ( ) ( ) ( ( )) (13) 1 Trong đó: ìï 2 üï 2 t ®¥ ò ( ) lim í x t , w dP w ý = 0 ( ) 1) x (t,ω) là véc tơ ngẫu nhiên chưa biết cấp n × 1; îïW þï Chứng minh: 2 ) A (ω) là ma trận cấp n × n mà các phần tử của nó là các hàm đo được; Để chứng minh kết quả này, chúng ta chứng minh rằng cặp không gian Banach (Cg,Cg) là chấp nhận 3) f ( t, x ) , t Î !+ , x Î ! + là một hàm véctơ. + được dưới điều kiện 1) và 2) với g t = e-b t và sau () Bây giờ chúng ta biến đổi phương trình vi phân (13) đó áp dụng định lý 2. thành phương trình tích phân dạng đặc biệt của Ta có chuẩn của không gian Cg ! + , L2 ( W , F , P ) ( ) phương trình (1). được định nghĩa bởi. 90 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020
  5. NGÀNH TOÁN HỌC 1 -1 ìï 2 üï 2 (Tx )(t, w ) C £k a -b ( ) x t, w ( )C () ò ( ) g g x t, w ( ) = sup é1 / g t ù í x t , w dP w ( ) ý Cg ë û tÎ! ïîW ïþ Do đó, với x ( t, w ) Î Cg  ( ! + , L2 ( W , F , P ) + ) ta có ( ) ( Với mọi hàm x t, w Î Cg ! ++ , L2 W , F , P( )) chúng ta ( )) ! + , L2 W , F , P Ì Cg  TCg  ( ( ! + , L2 W , F , P + ( )) và cặp + định nghĩa toán tử tích phân như sau: không gian Banach (Cg,Cg) là chấp nhận được. t (Tx )(t, w ) = ò k (t, s, w ) x ( s, w ) ds (17) Phần còn lại của chứng minh tương tự định lý 1. 0 A w t -s ( )( ) , 0 £ s £ t < ¥ Từ k ( t , s, w ) = e phương trình 4. KẾT LUẬN (17) trở thành. Bài báo trình bày được các điều kiện tồn tại nghiệm, t A w t -s chứng minh sự duy nhất và tính ổn định nghiệm (Tx )(t, w ) = ò e ( )( ) x ( s, w ) ds + của nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân 0 Hoặc ngẫu nhiên. Cụ thể hóa được dạng nghiệm của t một số dạng đặc biệt của phương trình tích phân (Tx )(t, w ) £ ò e A(w )(t -s ) x ( s, w ) ds ngẫu nhiên. Chỉ ra được sự liên hệ về tính ổn định (18) nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên và 0 Nó đã được chứng minh trong [2, 3] bởi Morozan phương trình tích phân ngẫu nhiên. rằng tồn tại tập con D Ì W mà P ( D ) = 1 và Một số hướng nghiên cứu tiếp theo như: Phương A w t -s ( )( ) £ ke-a (t - s ) trình tích phân ngẫu nhiên theo thang thời gian; Mô e (19) tả và giải quyết các bài toán kỹ thuật bằng phương Với w Î D, k > 0 , đặt (19) vào bất đẳng thức (18) trình tích phân. chúng ta có: t -a t - s ( ) x s, w ds (Tx )( t, w ) £k e ò ( ) TÀI LIỆU THAM KHẢO 0 t (20) -a t - s ( ) e-a ( t - s ) é x s, w / g s ù g s ds [1] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng £ ke ò ( ) () () ë û cao, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội. 0 Từ g (t ) = e-b t , 0 < b < a bất đẳng thức (20) trở thành: [2] Cấn Văn Tuất (2005), Phương trình vi phân t tích phân, Nhà xuất bản Đại học sư phạm. -a t - s ( ) 1 / e- b t x s, w e- b t ds (Tx )(t, w ) £k e ò ( ( ) ) [3] C. Cordeanu (1973), Integral Equations and Stability of Feedback Systems, Academic 0 t s a -b ( ) ds Press, New York. £ k x t, w ( )C g e-a t e ò 0 (21) [4] Tsokos.C. (1969), On the Stochastic Intergral -1 -bt -a t Equation of the Volterra Type, Mathematical £ k x t, w ( ) C (a - b ) g (e -e ), t ³ 0 Systems Theory. Bất đẳng thức (21) có thể được làm trội như sau: [5] Bharucha-Reid A.T (1972), Random Integral -1 (Tx )(t, w ) £ k x t, w ( ) C (a - b ) e -b t (22) Equations, Academic Press NewYork. g [6] T.A.Burton (1983), Volterra Intergral and Bởi vì 0 < b < a . Chia bất đẳng thức (22) cho e- b t , Diferential Equations, Academic Press, chúng ta có: New York. THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ Nguyễn Viết Tuân - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Năm 2006: Tốt nghiệp Đại học ngành Sư phạm Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 + Năm 2011: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 + Năm 2019: Tiến sĩ, Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình trong cơ học chất lỏng - Email: nguyentuandhsd@gmail.com - Điện thoại: 0978 235 234 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020 91
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0