zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA HÀM VÔ TỈ

Chia sẻ: Abcdef_7 Abcdef_7 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

168
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương pháp lượng giác hóa hàm vô tỉ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA HÀM VÔ TỈ

Bài 6. Phương pháp lư ng giác hóa tích phân hàm vô t BÀI 6. PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ T I. CÁC D N G TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP I BI N S THÔNG D N G D n g tích phân i bi n s i u ki n bi n s t ∈ − π , π  ∫ f ( x, ) dx 2 2 x = a sin t a −x  2 2   t ∈ 0, π ∪  π, 3π a ) ) ∫ f ( x, ) dx 2 2 x= x −a 2 2   cos t t ∈ 0, π ) ∫ f ( x, ) dx 2 2 x = a tg t x +a 2   a+x t ∈ ( 0, π ) ∫ f  x,  dx x = a cos 2t 2  a−x  t ∈  0, π  ∫ f ( x, ( x − a ) ( b − x ) ) dx 2 x = a + ( b − a ) sin t  2   II. CÁC BÀI T P M U MINH H A : t x = a sin t ; t ∈  − π , π  ∫ f ( x, ) a 2 − x 2 dx . 1 . D ng 1:  2 2   1/2 1 x ( 1 − x 2 )3 1 t x = sin t ;t ∈  − π , π  ⇒ ∫ t • I1 = dx . π/6 π/2  2 2   x3 12 dx costdt 3 π2 π2 π2 π2 (1 − sin 2 t ) 4 4 4 cos td ( cos t ) cos t dt cos t dt cos t dt ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ I1 = = = =− sin 3 t sin 3 t sin 3 t sin 4 t π6 π6 π6 π6 π6 32 32 32 32 1 − (1 − u ) cos4 td ( cos t ) 4 4 2 u du du 1+ u ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ du = du = = = − 2 2 2 2 2 (1 − cos2 t ) (1 − u 2 ) (1 − u 2 ) (1 − u 2 ) 1− u π2 0 0 0 0 2 32 32 32 32 2  (1 + u ) + (1 − u )  1 + u2 1+ u2 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫ ∫   du −  du − du = du = +   1− u 1 + u   (1 + u ) (1 − u )  2 2 4 4 1− u 1− u 0 0 0 0 32 1 1  1 1+ u 3 2+ 3 3 3 =  3 − ln ( 2 + 3 )   − 3ln + 4u  = 3 − ln = − + 4 1 − u 1 + u 0 1− u 4 2− 3 22 0 u 32 32 t u = 3 sin t ;t ∈  − π , π  ⇒ ∫ ( 3 − x2 ) 3 − x2 dx . • I2 =  2 2   1 89
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 0 t π/6 du 3 cos t dt π6 π6 ∫ (3 − 3sin t ) ∫ 3cos 3 − 3sin2 t ( 3 cos t ) dt = t 3cos2 t ( 3 cos t ) dt 2 2 Khi ó: I2 = 0 0 π6 π6 π6 2  1 + cos 2t  9 2 ∫ ( cos ∫ ∫ (1 + 2 cos 2t + cos t ) dt = 9 t ) dt 2 2   dt = =9   2 4 0 0 0 π6 π6  1 + cos 4t  9 9 ∫ ∫ ( 3 + 4 cos 2t + cos 4t ) dt  1 + 2 cos 2t +  dt = =   4 2 8 0 0 π6 9π 3  9π 81 3 9  1 =  + 3+ = 3t + 2 sin 2t + 4 sin 4t  = + 8 0 82 8  16 64 0 1 u 1 dx t u = 2 sin t ;t ∈  − π , π  ⇒ ∫ (4 − x • I3 = . 0 t π/6  2 2   ) 4 − x2 2 0 du 2costdt π6 π6 2 cos t dt 2 cos t dt ∫ ( 4 − 4 sin ∫ 4 cos Khi ó: I3 = = t ) 4 − 4 sin t 2 2 2 2 t 4 cos t 0 0 π6 π6 π6 1  dt 1 1π 1 ∫ ∫ d ( tg t ) =  tg t  = tg = = = 4 0 2 4 cos t 4 4 6 43 0 0 0 a u a t u = a sin t ;t ∈  − π , π  ⇒ ∫ 2 2 2 a − x dx ; ( a > 0) . • I4 = x 0 t π/2  2 2   0 du acostdt π2 a ∫ ∫a Khi ó: I 4 = x 2 a 2 − x 2 dx = 2 2 2 2 2 sin t a − a sin t ( a cos t ) dt 0 0 π2 π2 π2 a4 ∫ ∫ ∫ sin a sin t ( a cos t ) ( a cos t ) dt = a 4 2 2 2 2 2 sin t cos t dt = 2t dt = 4 0 0 0 π2 4 π2 4 4 4   a π πa a (1 − cos 4t ) dt = a 1 ∫  t − sin 4t  = = ⋅=  0 8 8 4 8 2 16 0 1 90
Bài 6. Phương pháp lư ng giác hóa tích phân hàm vô t 12 0 0 dx dx du ∫ ∫ ∫ • I5 = = = 1 + − x (1 + x ) 2 1 1 ) ( − 1+x − u2 -1 2 −1 2 0 1+ 1+ 2 4 4 0 1/2 u 1 t u = sin t ;t ∈  − π , π  ⇒ Khi ó ta có: 0 t π/2  2 2   2 (costdt)/2 du π2 π2 π2 π2  2 cos t dt cos t dt dt π π ∫ 2+ ∫ ∫ ∫ 1 −  dt = − 2 I5 = = − 2J = =  2 + cos t  2 + cos t 2 2 + cos t 2 1 − sin 2 t 0 0 0 0 () 2 d tg t π2 π2 π2 π2 dt dt dt 2 ∫ ∫ 1 + 2 cos ∫ cos ∫ J= = = = ) ( t 2t t 1 + tg 2 t + 2 2 + cos t 2 2 3 + tg 0 0 0 0 2 2 2 2 π2 tg t (9 − 4 3 ) π 2 2 1 π π π arctg 2 ⇒ I13 = arctg − 2⋅ = = = = 2 18 3 3 3 3 33 33 0 1− 2 1− 2 −2 ( u + 1) du xdx xdx ∫ ∫ ∫ • I6 = = = 2 2 2 2 u2 4 − u2 ( x − 1) 3 + 2x − x ( x − 1) 4 − ( x − 1) 1− 3 1− 3 −3 u −3 −2 t u = 2 sin t ;t ∈  − π , π  ⇒ Khi ó ta có:  2 2 t −π/3 −π/4   du 2costdt −π 4 −π 4 −π 4 −π 4 1  (1 + 2 sin t ) 2 cos t dt (1 + 2 sin t ) dt 1 dt ∫ ∫ ∫ =  cotg t  I6 = = + 4  −π 3 2 −π 3 sin t 4 sin 2 t 2 2 4 sin t 4 cos t −π 3 −π 3 −π 4 −π 4 −π 4 d ( cos t ) 3 −3 1 sin t dt 3 −3 1 3 − 3 1 1 + cos t ∫ ∫ − ln = + = − = 2 2 12 2 −π 3 1 − cos t 12 2 −π 3 1 − cos t 12 4 1 − cos t −π 3 3 −3 1 2+ 2  3 −3 1 3+2 2 −  ln − ln 3  = − ln = 4 2− 2  12 12 4 3 0 1/2 u 12 x 2 dx t u = sin t ;t ∈  − π , π  ⇒ ∫ • I7 = .  2 2 0 t π/6   ( 1 − x 2 )5 0 du costdt π6 π6 π6 π6 2 2 sin t cos t dt sin t dt 13 1 ∫ ∫ ∫ ⇒ I7 = tg 2 t d ( tg t ) = tg t = = = cos 4 t 3 5 93 (1 − sin 2 t ) 0 0 0 0 1 91
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương a ; t ∈  0 , π ∪  π , 3π ) ) ∫ f ( x, ) x 2 − a 2 dx . t x= 2 . D ng 2: 2 2   cos t 2 x 2 2 dx t x = 1 ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒ ) ) ∫ • I1 = . t 2 2 π/4 π/3   cos t x x2 − 1 2 sintdt/cos2 t dx π3 π3 π3 π3 sin t dt cos 2 t sin t dt sin t dt πππ ∫ ∫ cos t ∫ ∫ ⇒ I1 = = dt = − = = = cos t. tg t π 4 3 4 12 2 1 1 −1 tg t π4 π4 π4 2 cos t cos t 2 x 2 2 x 2 dx t x = 1 ; t ∈  0 , π ∪  π , 3π ⇒) ) ∫ • I2 = . t 2 2 π/4 π/3   cos t x2 − 1 2 sintdt/cos2 t dx 1 ⋅ sin t dt π 3 sin t dt π 3 π3 2 2 2 2 4 x dx cos t cos t = cos t = cos t dt ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ I2 = = 4 2 2 1 −1 sin t π 4 cos t x −1 π4 π4 2 2 2 cos t cos t 2 π3 π3 π3 1  (1 + sin t ) + (1 − sin t )  d ( sin t ) cos t dt ∫ ∫ (1 − sin ∫ d ( sin t ) = = = 4 π 4  (1 + sin t ) (1 − sin t )    cos 4 t 2 t) 2 π4 π4 π3 π3 2 11 1 1 2 1 1 ∫ ∫  d ( sin t ) = ( )   d sin t = + + +  4 π 4  1 − sin t 1 + sin t  4 π 4  (1 − sin t ) (1 + sin t ) 1 − sin2 t  2 2 π3 1 2 2+ 3  1 1 1 + sin t  1 2  = 4  2 − 3 − 2 + 3 + ln 2 − 3  − + ln = −  4  1 − sin t 1 + sin t 1 − sin t  π 4   1 2 2+ 2  2 3− 2 1 7−4 3 2  = + ln + ln − − 42− 2 2+ 2 2− 2  2 4 3−2 2   4 8 x 8 x2 − 16 t x = 4 ; t ∈ 0, π ∪  π, 3π ⇒ ) ) ∫ • I3 = dx . 0 t π/3 2 2   cos t x 4 4sintdt/cos2t dx 4 sin t dt 16  12 − 1 ⋅  π3 π3 π3 2 2  cos t  cos t 16 tg t ⋅ sin t dt ∫ ∫ ∫ 2 ⇒ I3 = = 4 tg t dt = 4 cos t 0 0 0 cos t π 3  π3 π3 (1 + tg 2 t ) − 1 dt = 4  d ( tg t ) − dt  = 4 ( tg t − t ) π 3 = 4  3 − π   ∫ ∫ ∫  =4      3 0 0  0 0 1 92
Bài 6. Phương pháp lư ng giác hóa tích phân hàm vô t dx a ( )( ) ;t ∈ 0 , π ∪ π , π ∫ (x • I4 = ( a > 0) . t x= 2 2 ) x −a cos t 2 2 2 2 −a 1 asintdt a tg t dt ∫ ∫ ε⋅a ⇒ I4 = ⋅ = 2 3 3 2  2 1  cos t cos t tg t 1 a − 1 a  − 1 2 2  cos t   cos t  d ( sin t ) dt 1 cos t dt 1 −1 ∫ ε.a ∫ ∫ +c = = = = 2 2 2 2 2 2 2 cos t tg t ε.a sin t ε.a sin t ε.a sin t trong ó ε = 1 n u tgt > 0 và ε = − 1 n u tgt < 0 2a x a2 2a x2 − a2 t x = a ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒ ) ) ∫ • I5 = dx . t π/4 π/3 2 2   cos t x a2 asintdt/cos2t dx  a sin t dt  a 2  12 − 1 ⋅ π3 π3 π3 2 2 2  cos t  cos t a tg t ⋅ sin t dt ∫ ∫ ∫ 2 ⇒ I5 = = a tg t dt = a cos t π4 π4 π4 cos t π 3  π3 π3 (1 + tg 2 t ) − 1 dt = a  d ( tg t ) − dt  = a ( tg t − t ) π 3 = a  3 − 1 − π   ∫ ∫ ∫  =a   π 4   12  π4   π4 π4 2a x a2 2a 2 2 x −a t x = a ; t ∈ 0, π ∪ π, 3π ⇒ ) ) ∫ • I6 = dx . t π/4 π/3 2 2   x2 cos t a2 asintdt/cos2t dx  a sin t dt a 2  12 − 1 ⋅  π3 π3 π3 2 2 2 2  cos t  cos t a tg t ⋅ sin t dt sin t ∫ ∫ ∫ cos ⇒ I5 = dt = = 2 2 3 () a cos t t a π4 π4 π4 cos t 2 π3 π3 π3 2 2  (1 + sin t ) − (1 − sin t )  sin t cos t sin t 1 ∫ ∫ (1 − sin ∫ d ( sin t ) = d ( sin t ) dt = = 4 π 4  (1 + sin t ) (1 − sin t )    cos 4 t 2 t) 2 π4 π4 π3 π3 2 11 1 1 2 1 1 ∫ ∫  d ( sin t ) = d ( sin t )  = − + − ( (1 + sin t ) 1 − sin2 t  4 π 4  1 − sin t 1 + sin t  2 2 4 π 4  1 − sin t )  π3 1 2 2 + 3  2 3 − ln ( 2 + 3) 1 1 1 + sin t  1 2  = 4 = − ln − ln = − − 4 1 − sin t 1 + sint 1 − sin t  π 4 2− 3 2+ 3 2− 3  2 1 93
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương t x = a tg t ; t ∈  0 , π ) ∫ f ( x, ) x 2 + a 2 dx . 3 . D ng 3: 2  1 1 3 x ( 1 + x 2 )5 1 t x = tg t ;t ∈  0, π ⇒ ) ∫ t π/6 π/4 • I1 = dx . 2  x8 1 3 dx dt cos 2 t 5 (1 + tg t ) 2 π 4  1  dt2 π 4 cos t dt π 4 d ( sin t )  dt 5 2  π4 cos t =  cos t  cos t = ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ I1 = = 8 8 8 8 tg t tg t sin t π 6 sin t π6 π6 π6 π4 π4 1 −1 ( 8 2 − 128) = 128 − 8 2 ∫ ( sin t )−8 d ( sin t ) = − = = 7 7 7 7 sin t π6 π6 0 0 1 ∫ ∫ ∫ ( x + 1)2 + 1 d ( x + 1) = u 2 + 1 du 2 • I2 = x + 2x + 2dx = -1 −1 0 0 1 u t u = tg t ;t ∈  0 , π ⇒ ) 0 t π/4 Khi ó ta có: 2  du dt cos 2 t π4 π4 π4 π4 1 d ( sin t ) dt dt cos t dt ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ u 2 + 1 du = tg 2 t + 1 I2 = = = = 2 3 4 (1 − sin 2 t )2 cos t cos t cos t 0 0 0 0 0 2 π4 π4 2  (1 + sin t ) + (1 − sin t )  1 1 1 1 ∫ ∫  (1 + sin t ) (1 − sin t )  d ( sin t ) = 4  d ( sin t )  = +  1 − sin t 1 + sin t    4 0 0 π4 π4 1 1 1 + sin t   2 1 1 1 1 ∫ d ( sin t ) =  + ln = + + − 1 − sin t  0 ( 2 2 2 4 1 − sin t 1 + sin t  4  1 − sin t ) (1 + sin t ) 1 − sin t  0 1 2 2+ 2  2 21 = = + ln + ln 3 + 2 2 − 4 2− 2 2+ 2 2− 2  2 4   12 u2 − 1 1+ x 1+ x 4udu ∫ ⇒x= 2 • I3 = dx . t u= ; dx = ( u 2 + 1)2 1− x 1− x u +1 0 1 3 u 3 2 4u du () t u = tg t;t ∈ 0 , π ⇒ ∫ (u ⇒ I3 = . t π/4 π/3 2 2 + 1) 2 1 dt/cos2 t du π3 π3 π3 (1 − cos 2u ) du = 2  u − 1 sin 2u   3 π ∫ ∫ 4 sin 2 u du = 2 ⇒ I3 =  +1− =  π4 2 6 2 π4 π4 1 94
Bài 6. Phương pháp lư ng giác hóa tích phân hàm vô t 3 -2 3 −2 3 dx dx du ∫ ∫ ∫ • I4 = = = 3 3 ( u2 +1)3 ( x + 2 ) 2 ( x 2 + 4x + 5 ) ( x + 2)2 ( x + 2)2 + 1 u2   −1 −1 1 1 u 3 t u = tg t ;t ∈  0 , π ⇒ ) t π/4 π/3 Khi ó ta có: 2  du dt cos 2 t π3 π3 π3 π3 cos3 t cos3 t 1 − sin 2 t  −1  dt ∫ ∫ ∫ ⇒ I4 = d ( sin t ) =  − sin t  dt = ⋅ =  sin t π4 2 2 2 2 tg t cos t sin t sin t π4 π4 π4  −2 3   −2 2  −7 6 9 2 −7 3 = − = − − + = 2  2 2 23 22 6 3 2 2 2 x − x 2 − 2x + 2 x − ( x − 1) + 1 dx dx ∫ x+ ∫x+ • I5 = ⋅ = ⋅ 2 2 x − 2x + 2 x − 2x + 2 ( x − 1) + 1 ( x − 1) + 1 2 2 1 1 0 1 u 1 2 u +1− u +1 du t u = tg t ;t ∈  0 , π ⇒ ) ∫ u +1+ 0 t π/4 . = ⋅ 2  2 2 u +1 u +1 0 du dt cos 2 t π4 π4 2 tg t + 1 − tg t + 1 dt sin t + cos t − 1 ∫ ∫ sin t + cos t + 1 dt ⇒ I5 = ⋅ = t ( tg t + 1) 2 2 2 tg t + 1 + tg t + 1 cos 0 0 π4 π4   2 dt π π ∫ 1 − sin t + cos t + 1  dt = 4 − 2 ∫ sin t + cos t + 1 = 4 − 2J =   0 0 π4 π4 π4 dt dt dt ∫ ∫ ∫ 2 cos J= = = ) ( t cos t + 2 cos 2 t t 1 + tg t sin t + cos t + 1 2 2 sin 0 0 0 2 2 2 2 2 () d tg t π4 π4 π π ) ( 2 = ln 1 + tg t = ln 1 + tg π = ln 2 ⇒ I12 = − 2 ln 2 = − ln 2 ∫ = t 2 8 4 4 1 + tg 0 0 2 1 1 0 • I 6 = ∫ x x − 2x + 2 dx = ∫ x ( x − 1) + 1 dx = ∫ ( u + 1) u 2 + 1 du 2 2 0 0 −1 0 u −1 t u = tg t ;t ∈  0 , π ⇒ ) Khi ó ta có: 0 t −π/4 2  dt/cos2 t du 1 95
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 0 0 0 dt 1 + tg t sin t + cos t ∫ ∫ ∫ 2 (1 + tg t ) 1 + tg t I6 = dt = dt = 2 3 4 cos t cos t cos t −π 4 −π 4 −π 4 2 0 0 0 0  (1 + sin t ) + (1 − sin t )  d ( sin t ) d ( cos t ) sin t dt ∫ ∫ ∫ ∫ (1 + sin t )(1 − sin t )  d ( sin t ) = + =− + −π 4   cos4 t (1 − sin2 t )2 cos4 t −π 4 −π 4 −π 4 0 0 2 1 1 1 ∫  d ( sin t )  = + +  1 − sin t 1 + sin t  3cos3 t −π 4 −π 4 0  ( 1− 2 2 1 1 2 ∫ d sin t ) = + + + ( 2 2 2 3  1 − sin t ) (1 + sin t ) 1 − sin t  −π 4 0 1− 2 2  1 1 + sin t  1 + ln = + −   1 − sin t 1 + sin t 1 − sin t  −π 4 3 1− 2 2  2 2 −1 1+ 4 2 2 + 2 ln (1 + 2 ) − = + ln = − 2+ 2 2− 2 2 +1 3 3 2 x2 + (3 2) 3 2 3 2 9 + 2x 2 ∫ ∫ • I7 = dx = 2 dx x2 x2 32 32 x 32 3 2 3 tg t ;t ∈  0, π ⇒ ) t x= Khi ó ta có: 2 t π/6 π/4  2 ( 2 cos 2 t ) dx 3 dt 2 2 ( tg 2 t + 1) x + (3 2) (3 2) 2 3 2 π4 3 dt ∫ ∫ I7 = 2 dx = 2 ⋅ 2 2 2  3 tg t  x 2 cos t π6 32   2  π4 π4 22 22 u2 + 1 − u2 d ( sin t ) dt du ∫ cos t sin ∫ cos ∫ ∫ =2 =2 =2 =2 du u (1 − u ) u (1 − u ) 2 2 t sin 2 t 2 2 2 2 t π6 π6 12 12   22 22 22  1 1+ u 1  du du  2 3+ 2 2 ∫ ∫ = 2 = 2  ln ln −2+2 2 + − =  u 2 2  2 1− u u 1 2 2 3 1− u   12 12 0 1 x 1 t x = tg t ;t ∈  0, π ⇒ ) ∫x 3 2 1 96 = •I 1 + x dx .
Bài 6. Phương pháp lư ng giác hóa tích phân hàm vô t 0 t π/4 dx dt cos 2 t π4 π4 π4 π4 tg3 t sin 3 t 1 − cos2 t dt ∫ ∫ cos ∫ cos ∫ 3 2 ⇒ I8 = d ( cos t ) tg t 1 + tg t dt = dt = − = cos 2 t 3 6 cos6 t t t 0 0 0 0 π4 π4 π4 1 1 d ( cos t ) d ( cos t ) 2 ∫ ∫ = (1 + 2 ) =− + = − 3 6 4 5  5 cos t 3cos t  0 15 cos t cos t 0 0 0 1 x 1 x 2 dx t x = tg t ;t ∈  0, π ⇒ ) ∫ (x 0 • I9 = t . π/4 2  + 1) x 2 + 1 2 0 dx dt cos 2 t π4 π4 π4 π4 tg2 t 2 2 2 dt sin t sin t cos t sin t ∫ (1+ tg t ) ∫ ∫ ∫ 1− sin d ( sin t ) I9 = dt = dt = ⋅ = 2 cos2 t 2 cos t 2 2 1 + tg t cos t t 0 0 0 0 π4 π4  1 1 + sin t    1 2 ∫ − sin t  = ln (1 + 2 ) − − 1 d ( sin t ) =  ln =  2  0  1 − sin t  2 1 − sin t 2 0 1 x 1 3 1 ( x2 + 1) x2 + 1 t x = tg t ;t ∈  0, π ⇒ ) ∫ • I10 = dx . t 2 π/6 π/4  x3 13 dx dt cos 2 t (1 + tg 2 t ) π4 π4 π4 2 1 + tg t dt dt sin t ∫ ∫ sin ∫ sin I10 = dt ⋅ = = 3 2 3 2 4 t cos 2 t tg t cos t t cos t π6 π6 π6 2 π4 π4 π4  cos2 t + 1 − cos2 t  d ( cos t ) d ( cos t ) ∫ ∫ ∫  d ( cos t ) = =− =− (1 − cos2 t ) cos2 t π 6 (1 − cos2 t ) cos2 t π 6  (1 − cos2 t ) cos t  2 2   π6 π4 π4 π4 π4 2 2  cos t 1  cos t  ( d ( cos t ) d ( cos t ) ∫ ∫ ∫ ∫  d ( cos t ) = 2 d cos t ) = + + + 2 2 2 2  1 − cos t cos t  1 − cos t π 6 cos t π 6  1 − cos t  π6 π6 π4 π4 2  1 1 1 1 + cos t 1 ∫  d ( cos t )  =  2 ln − + −  1 − cos t 1 + cos t   1 − cos t cos t  π 6 4 0 π4  9 1 + cos t 1  1 1 1 9 1+ 2 2 +   = ln =  ln −1− 2 − − +  4 1 − cos t cos t 4  1 − cos t 1 + cos t   π 6 2 2 + 3 3 1 97
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương  a+ x  () t x = a cos 2t ; t ∈ 0 , π ∫ f  x,  dx . 4 . D ng 4:  a−x 2 0 5/2 x 52 5+ x t x = 5 cos 2t ; t ∈ 0, π  ⇒ ∫ • I1 = dx . t π/4 π/6  2   5−x 0 dx −10sin2tdt π6 π4 2 5 (1 + cos 2t ) cos t ∫ ∫ ⇒ I1 = ( −10 sin 2t ) dt = 10 ( 2 sin t cos t ) dt (1 − cos 2t ) sin 2 t 5 π4 π6 π4 π4 π4 ( ) (1 + cos 2t ) dt = 10  t + 1 sin 2t  = 5π + 5 2 − 3  ∫ ∫ 2 cos 2 t dt = 10  = 10  π6 6 2 2 π6 π6 0 3/2 x 3/2 3+ x t x = 3 cos 2t ; t ∈ 0, π  ⇒ ∫ x2 • I2 = dx . t π/4 π/6  2   3−x 0 dx − 6sin2tdt π6 π4 2 3 (1 + cos 2t ) ( −6sin 2t ) dt = 54 cos2 2t cos t ( 2sin t cos t ) dt ∫ (9cos 2t ) ∫ ⇒ I2 = 2 3 (1 − cos 2t ) sin 2 t π4 π6 π4 π4 π4 ∫ ∫ ∫ ( cos cos 2 2t ( 2 cos 2 t ) dt = 54 2t + cos3 2t ) dt cos2 2t (1 + cos 2t ) dt = 54 2 = 54 π6 π6 π6 π4 π4  1 + cos 4t cos 6t + 3cos 2t  27   1 1 3 ∫ = 54   dt =  2t + 2 sin 4t + 6 sin 6t + 2 sin 2t  +   2 π6 2 4 π6 27  π 1 3   π 3 3 3   27  π 4   − +  −  +  =  + − 3  = + 2  2 6 2   3 4  2  6 3  4 t x = a + ( b − a ) sin 2 t ; t ∈ 0, π  ∫ f ( x, ( x − a ) ( b − x ) ) dx . 5 . D ng 5:  2   3a + b a+b x = a + ( b − a) sin2 t a+b x 2 4 2  dx ∫ ⇒ t • I1 = (a < b). t ∈0, π  t π/6 π/4 ( x − a)( b − x) 3a+b  2   4 dx (b− a)sin2tdt π4 π4 π4 π π ( b − a ) sin 2t dt 2sin t cos t dt π ∫ ∫ ∫ 2 dt = 2  4 − 6  = 6 ⇒ I1 = = =   ( b − a ) sin 2 t (1 − sin 2 t ) 2 2 2 sin t cos t π6 π6 π6 III. CÁC BÀI T P D ÀNH CHO B N CT GI I 2 2 2 1 dx dx 2+x ∫ ∫x ∫ ∫ x3 4 − x 2 dx ; I2 = ; I4 = x 3 I1 = ; I3 = dx 32 32 2−x (x − 1) x ( x + 4) 3 2 3 2 −1 o 3 23 1 98

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1116 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.