intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chương 2. Nguyên hàm, tích phân - Bài 6

Chia sẻ: Khong Huu Cuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
152
lượt xem 13
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Chương 2. Nguyên hàm, tích phân. Bài 6 Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2. Nguyên hàm, tích phân - Bài 6

  1. Chương 2. Nguyên hàm, tích phân. Bài 6. PP lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ BÀI 6. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 2 x3 4 − x 2 dx ∫ 1, I1 = −1 π π Cách 1: Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt . Khi x = −1 → t = − và x = 2 → t = 6 4 3 ⇒ x3 4 − x 2 = ( 2sin t ) 4 − sin 2 t = 16sin 3 t cos t π4 π4 (1 − cos2 t ) cos2 td ( cos t ) 3 2 ∫ ∫ ⇒ I1 = 32sin t cos tdt = −32 −π 6 −π 6 π4 π4 ⎛ cos3 t cos5 t ⎞ ( ) = −32 ∫ cos t − cos t d ( cos t ) = −32 ⎜ 2 4 − ⎟ ⎜3 5⎟ ⎝ ⎠ −π 6 −π 6 ⎛ 3 3 9 3 ⎞ 11 3 28 2 ⎛1 1⎞ = −32 ⎜ − + 32 ⎜ ⎜ 24 − 160 ⎟ = 5 − 15 ⎟ ⎟ ⎝ 6 2 20 2 ⎠ ⎝ ⎠ Cách 2: Đặt t = 4 − x 2 ⇒ t 2 = 4 − x 2 ⇒ tdt = − xdx và x 2 = 4 − t 2 Khi x = −1 → t = 3 và x = 2 → t = 2 3 2 3 ⎛ 4t 3 t 5 ⎞ ( ) ( ) 2 2 2 4 ⇒ I1 = − ∫ 4 − t t dt = ∫ 4t − t dt = ⎜ −⎟ ⎜3 5⎟ ⎝ ⎠2 3 2 ⎛ 4.3 3 9 3 ⎞ ⎛ 4.2 2 4 2 ⎞ 11 3 28 2 =⎜⎜ 3 − 5 ⎟ − ⎜ 3 − 5 ⎟ = 5 − 15 ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 dx ∫ 2, I 2 = ( x2 −1) 32 3 3x Đặt t = x 2 − 1 ⇒ t 2 = x 2 − 1 ⇒ tdt = xdx và x 2 = t 2 + 1 Khi x = 3 → t = 2 và x = 2 → t = 3 (t 2 + 1) − t 2 dt 3 3 3 tdt dt ⇒ I1 = ∫ =∫ =∫ 2 ( t + 1) t 2 ( t + 1) t 2 ( t + 1) t 23 22 22 2 2 2 3 ( t 2 + 1) − t 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 1 =∫⎢ ⎥ dt = ∫ ⎢ 2 − − dt 2⎥ 2 ⎢ ( t + 1) t (t + 1) ⎥⎦ 2 ⎢⎣ (t + 1) t (t + 1) ⎥⎦ 2 2 2 2 2 2 ⎣ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1
  2. Chương 2. Nguyên hàm, tích phân. Bài 6. PP lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ 3 3 3 1 1 1 ∫ ∫ ∫ = dt − dt − dt (t + 1) t2 t2 +1 2 2 2 2 2 Để tránh sử dụng arctan tôi xin trình bày như sau: 3 3 3 −t −3 1 2 3 −2 ∫ ∫ A1 = dt = t dt = = − t2 3 12 27 2 2 2 3 ( ) 1 dt . Ta đặt t = tan u ⇒ dt = 1 + tan 2 u du ∫ A2 = 2 t +1 2 π Khi t = 2 ⇒ u = arctan 2 và t = 3 ⇒ u = arctan 3 = 3 π3 π ∫ ⇒ A2 = du = − arctan 2 3 arctan 2 3 ( ) 1 dt . Ta đặt t = tan u ⇒ dt = 1 + tan 2 u du ∫ A3 = ( ) 2 t2 +1 2 π Khi t = 2 ⇒ u = arctan 2 và t = 3 ⇒ u = arctan 3 = 3 π3 π3 1 + tan 2 u 1 ∫ ∫ ⇒ A2 = du = du ( ) 2 sin 2 u 2 arctan 2 1 + tan u arctan 2 1 + cos 2u π3 π3 π3 1 + cos2u 1⎛ sin 2u ⎞ cos 2udu = ∫ ∫ = du = ⎜ u + ⎟ 2 2⎝ 2 ⎠ arctan 2 arctan 2 arctan 2 1⎛π 2π ( ) ⎞ 1⎛ ⎞ = ⎜ − arctan 2 ⎟ + ⎜ sin − sin 2 arctan 2 ⎟ 2⎝ 3 ⎠ 4⎝ 3 ⎠ ( ) 3 1 2 tan arctan 2 1⎛π ⎞ = ⎜ − arctan 2 ⎟ + − ( ) ⎠ 8 4 1 + tan 2 arctan 2 2⎝ 3 1⎛π ⎞ 3 2 = ⎜ − arctan 2 ⎟ + − 2⎝ 3 ⎠8 6 2 tan t (ở đây lưu ý trong phần rút gọn kết quả sử dụng ct: sin 2t = ) 1 + tan 2 t Vậy ta dễ dàng tính được I1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2
  3. Chương 2. Nguyên hàm, tích phân. Bài 6. PP lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ 2 dx ∫ 3, I 3 = ( ) 32 x3 x 2 + 4 2 3 Đặt x = 2 tan t ⇒ dx = 2 (1 + tan t ) dt π π 2 Khi x = ⇒ t = và x = 2 ⇒ t = 6 4 3 ( ) 2 1 + tan 2 t dt π4 π4 π4 cos 4 dt 1 dt 1 ∫ ∫ ∫ ⇒ I3 = = = ( ) 1 3 2 32 3 32 3 π 6 sin t 3 π 6 ( 2 tan t ) 4 tan 2 t + 4 π 6 tan t cos t cos 4 dt u 4 du Đặt u = cos t ⇒ du = − sin tdt và =− (1 − u 2 ) sin 3 t 2 π π 3 2 Khi t = →u = và t = → u = . Do đó 6 2 4 2 ( ) ⎛ ⎞ 3 2 u4 −1 + 1 32 32 u 4 du ⎜ u2 +1 ⎟ 1 I3 = ∫ =∫ du = ∫ ⎜ + ⎟ du ( ) ( ) ( ) 2 2 u2 −1 u2 −1 2 ⎟ 2 2⎜ 2 2 2 2 u −1 2 2 u −1 ⎝ ⎠ 3 2⎛ ⎞ 3 2⎛ 2⎞ 1⎛ 1 1⎞ 2 3 1 1 ⎜1 + ⎟ du = ∫ ⎜1 + ⎟ du = ∫ +⎜ − + + ( ) ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ u2 −1 4 ⎝ u −1 u +1 ⎠ ⎟ 2 2 u − 1 4 ( u − 1) 4 ( u + 1) ⎟ 2 2 2⎜ ⎝ ⎠ 22 ⎝ ⎠ 32 32 32 32 d ( u − 1) 1 d ( u + 1) 3 du 1 ∫ ∫ u2 −1 4 ∫ u −1 2 4 ∫ u +1 2 = du + ++ 2 2( ) 2 2( ) 2 22 22 32 32 32 ⎛1⎞ ⎛ 1⎞ 3 − 2 ⎛ 3 u −1 ⎞ = + ⎜ ln −⎜ −⎜ = ... ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 u + 1 ⎠ 2 2 ⎝ 4 ( u − 1) ⎠ 2 2 ⎝ 4 ( u + 1) ⎠ 2 2 2 (đến đây các bạn tính tiếp đến kq cuối cùng) Lưu ý: Với bài toán này ta cũng có thể giải bằng cách đặt t = x 2 + 4 , rồi biến đổi tương tự như bài trên. Các bạn thử xem sao nhé! 1 2+ x 4, I 4 = ∫ x 3 dx 2− x 0 Đặt x = 2 cos 2t ⇒ dx = −4sin 2tdt . Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3
  4. Chương 2. Nguyên hàm, tích phân. Bài 6. PP lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ π π Khi x = 0 ⇒ t = và x = 1 ⇒ t = 4 6 cos 2t 2+ x 3 2 + 2 cos 2t cos t = ( 2 cos 2t ) Ta có: x3 = 8cos3 2t = 8cos3 2t 2 2− x 2 − 2 cos 2t sin t sin t π4 π4 cos t cos t 3 cos3 2t. ∫ ∫ ⇒ I4 = .4sin 2tdt = 32 8cos 2t. .2sin t cos tdt sin t sin t π6 π6 π4 π4 ( cos3 2t + cos4 2t ) dt cos3 2t (1 + cos2t ) dt = 32 ∫ ∫ = 32 π6 π6 π 4⎛ 2⎞ cos 6t + 3cos 2t ⎛ 1 + cos4t ⎞ ∫⎜ ⎟ dt = 32 +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 2 ⎝ ⎠ π 6⎝ ⎠ π4 1 + cos8t ⎞ ⎛ ∫ =8 ⎜ cos 6t + 3cos 2t + 1 + 2cos4t + ⎟ dt ⎝ ⎠ 2 π6 π4 ∫ ( cos8t + 2 cos 6t + 4cos4t + 6 cos 2t + 3) dt =4 π6 π4 ⎛ sin 8t sin 6t ⎞ = 4⎜ + + sin 4t + 3sin 2t + 3t ⎟ = ... ⎝8 3 ⎠π 6 (đến đây các bạn tính tiếp đến kq cuối cùng) Với bài toán này, các bạn sẽ có cách tính gắn ngọn với phép đổi biến sau: 2+ x 4 4 ⇒ t 2 = −1 + t= ⇒ x = 2− 2 2− x 2− x t +1 Sau đó các phép tính toán thực hiện như trên. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2