zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Quan hệ giữa tính đơn điệu với hàm số

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

91
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

tài liệu tham khảo môn toán:quan hệ giữa tính đơn điệu với hàm số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quan hệ giữa tính đơn điệu với hàm số

T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 ÔN TẬP ĐẠO HÀM 0.1  a ) Cho hàm số y  x  cos2 x ; tìm nghiệm x  1; 5 của phương trình y '  0 b) Cho hàm số y  x  x 2  8 ; giải bất phương trình y '  0 c) Cho hàm số y  2x 2 x  2 ; giải bất phương trình y '  21   d ) Cho hàm số y  sin2 x  cos x ; tìm nghiệm x  1; 4 của phương trình y '  0 0.2     a ) Cho hàm số y  2  sin2 x  sin2 a  x  2 cos a. cos x . cos a  x a1 ) Chứng tỏ rằng y '  0; x    a 2 ) Tìm a  2; 5 để y  s in2a  x    b) Cho hàm số y  cos x  sin x . tan , x    ;  . 2  4 4    b1 ) Chứng tỏ y '  0, x    ;   4 4    b2 ) Tìm x    ;  để y  cos4 x  sin 4 x  4 4 QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ   1.1 Cho A 1;1 , B 2; 4 là hai điểm của parabol y  x 2 .Xác định điểm C thuộc parabol sao cho tiếp tuyến tại C với parabol song song với đường thẳng AB . 1.2 1.3 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau : 14 1 1 x  x3  x  5 e) y  a) y   2 x x 2 3 3 x 1 f ) y  x 4  2x 3  x 2  6x  11 b) y  4 2 3x 45 3x g) y   x  x 3  8 c) y  2 5 x 1 7 h ) y  9x 7  7x 6  x 5  12 d ) y  x 2  2x  3 5 1.4 Chứng minh rằng : 3x a ) Hàm số y  nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 1  2x -1- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 2x 2  3x b) Hàm số y  đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 2x  1 c) Hàm số y  x  x 2  8 nghịch biến trên  . d ) Hàm số y  x  cos2 x đồng biến trên  . 1.5 1.6 Chứng minh rằng : a ) Hàm số y  2x  x 2 nghịch biến trên đoạn 1;2    b) Hàm số y  x 2  9 đồng biến trên nửa khoảng  3;   4  c) Hàm số y  x  nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  2; 0 và 0;2    x 1.8 Cho hàm số y  2x 2 x  2  a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   b) Chứng minh rằng phương trình 2x 2 x  2  11 có nghiệm duy nhất . Hướng dẫn :   x 5x  8    a) y '   0, x  2;  . Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   x 2  b) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng 2;  , do đó cũng liên tục trên đoạn 2; 3  ,     y 0  11  y 3 nên theo định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục ( lớp 11), tồn tại số thực c   2; 3  sao cho y c   11 . Số thực c   2; 3  là 1 nghiệm của phương trình đã cho và vì hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   nên c   2; 3  là nghiệm duy nhất của phương trình .  1.9 Cho hàm số y  sin2 x  cos x .     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biết trên đoạn  ;   .  3 3  b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc   đoạn  0;   .   Hướng dẫn : -2- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biết trên đoạn  ;   .  3 3     Hàm số liên tục trên đoạn  0;   và y '  sin x 2 cos x  1 , x  0;    1     Vì x  0;   sin x  0 nên trong khoảng 0;  : f ' x  0  cos x  x  2 3      y '  0, x   0;  nên hàm số đồng biến trên đoạn  0;   3  3      y '  0, x   ;   nên hàm số nghịch biến trên đoạn  ;  3  3  b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc   đoạn  0;   .   5         x  0;  ta có y 0  y  y    1  y  nên phương trình cho không có nghiệm m  1;1  3 3 4 5       x   ;   ta có y   y  y    1  y  . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số 3  3 4 5       liên tục ( lớp 11 ) với m  1;1   1;  , tồn tại một số thực c   ;   sao cho y c  0 . Số c là 4 3     nghiệm của phương trình sin2 x  cos x  m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn  ;   nên trên đoạn 3  này , phương trình có nghiệm duy nhất . Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn  0;   .   1.10 Với giá trị nào của m , các hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?   m 2x 2  m  2 x  3m  1 a) y  x  2  b) y  x 1 x 1 Hướng dẫn : m m a )y  x  2  y' 1 ,x  1 x 1 2   x 1     m  0 thì y '  0; x  1 . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;  . 2  x  1  m , x  1 và y '  0  x  1  m m . Lập bảng biến thiên ta  m  0 thì y '  1   2 2 x  1  x  1    thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1  m ;1 và 1;1  m ; do đó không thoả điều kiện . -3- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Vậy :hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi m  0 Chú ý : Bài toán trên được mở rộng như sau   a1 ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến ; 1 a ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến  2;   2 a 3 ) Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến trong khoảng có độ dài bằng 2.  a 4 ) Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 0;1 và 1;2 . 2   a 5 ) Gọi x 1  x 2 là hai nghiệm của phương trình x  1  m  0 . Tìm m để : a 5.1 ) x 1  2x 2 a 5.2 ) x 1  3x 2 a 5.3 ) x 1  3x 2  m  5 a 5.4 ) x 1  5x 2  m  12   2x 2  m  2 x  3m  1 1  2m 2m  1 b) y   2x  m   y '  2  2 x 1 x 1   x 1 1     m  y '  0, x  1 , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;  2 1  m  phương trình y '  0 có hai nghiệm x 1  1  x 2  hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2     x 1 ;1 và 1; x 2 , trường hợp này không thỏa . 1.11 Với giá trị nào của m , các hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ? 1.12 Với giá trị nào của m , các hàm số nghịch biến trên  1   a ) y   x 3  2x 2  2m  1 x  3m  2 3 Hướng dẫn : 1   a )y   x 3  2x 2  2m  1 x  3m  2  y '  x 2  4x  2m  1,  '  2m  5 3 5 2    m   thì y '   x  2  0 với mọi x  , y '  0 chỉ tại điểm x  2 . Do đó hàm số nghịch biến 2 trên  . 5    m   hay  '  0 thì y '  0, x   . Do đó hàm số nghịch biến trên  . 2 5      m   hay  '  0 thì y '  0 có hai nghiệm x 1, x 2 x 1  x 2 . Hàm số đồng biến trên khoảng 2   x 1 ; x 2 . Trường hợp này không thỏa mãn . -4- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Ngoài ra ta có thể trình bày : Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi a  1  0 5   2m  5  0  m     '  0 2  5 Vậy hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi m   2 Chú ý : Bài toán trên được mở rộng như sau   a1 ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến 2; 1 a ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến  0;1 và  2; 3  2 a 3 ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến trong khoảng có độ dài bằng 1.  a 4 ) Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 . 13 2      x  m  1 x 2  2m  3 x  1.13 Cho hàm số f x  3 3 a ) Với giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên  b) Với giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên :      b4 )  1;0  b1 ) 1;  b2 ) 1;1 b3 ) ; 1     1.21 Cho hàm số f x  2 sin x  tan x  3x   a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2   b) Chứng minh rằng 2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;  .  2 Hướng dẫn :   a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nữa khoảng  0;   2    Hàm số f x  2 sin x  tan x  3x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2 2    1  cos x 2 cos x  1 2 cos3 x  1  3 cos2 x 1    f ' x  2 cos x   0, x   0;  3  2 2 2  2 cos x cos x cos x    Do đó hàm số f x  2 sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng  0;   2 -5- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12   b) Chứng minh rằng 2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;   2    Hàm số f x  2 sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và  2       f x  f 0  0, x   0;  ; do đó 2 sin x  tan x  3x  0 mọi x   0;  hay  2  2   2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;   2 1.22    a ) Chứng minh rằng hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2 3 x   b) Chứng minh rằng tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2 Hướng dẫn :    a ) Chứng minh rằng hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2    Hàm số f x  tan x  x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2 1     1  tan2 x  0, x   0;  . fx 2  2 cos x    Do đó hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2 3 x   b) Chứng minh rằng tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2        Hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và f x  f 0  0, x   0;  hay  2  2   tan x  x , x   0;   2 x3    Ta lại xét hàm số g x  tan x  x   0;  . trên nửa khoảng 3  2 3 x    Hàm số g x  tan x  x  liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm 3  2 1       1  x 2  tan 2 x  x 2  0, x   0;  vì tan x  x , x   0;  . g' x  2  2  2 cos x -6- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 x3    Do đó hàm số g x  tan x  x   0;  và đồng biến trên nửa khoảng 3  2 x3       g x  g 0  0, x   0;  hay tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2  2 4    1.23 Cho hàm số f x  x  tan x với mọi x   0;   4    a ) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn  0;  .  4 4   b) Từ đó suy ra rằng x  tan x với mọi x   0;  .  4  Hướng dẫn :   a ) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn  0;  .  4 4    Hàm số f x  x  tan x liên trục trên đoạn  0;  và có đạo hàm  4  4 1 4  4       tan 2 x , x   0;  f' x  f ' x  0  tan x  ,   2  4  cos x   4  4     1  tan nên tồn tại một số duy nhất c   0;  sao cho tan c  Vì 0  4  4       f ' x  0, x  0; c  hàm số f x đồng biến trên đoạn x  0; c          f ' x  0, x   c;   hàm số f x nghịch biến trên đoạn x  c;   4  4 4 4       b) Dễ thấy 0  f x  f c ; x  0;   x  tan x  0 hay x  tan x với mọi x   0;  .  4  4   -7- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1116 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.