zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Quan hệ giữa tính đơn điệu với hàm số

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

92
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

tài liệu tham khảo môn toán:quan hệ giữa tính đơn điệu với hàm số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quan hệ giữa tính đơn điệu với hàm số

T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 ÔN TẬP ĐẠO HÀM 0.1  a ) Cho hàm số y  x  cos2 x ; tìm nghiệm x  1; 5 của phương trình y '  0 b) Cho hàm số y  x  x 2  8 ; giải bất phương trình y '  0 c) Cho hàm số y  2x 2 x  2 ; giải bất phương trình y '  21   d ) Cho hàm số y  sin2 x  cos x ; tìm nghiệm x  1; 4 của phương trình y '  0 0.2     a ) Cho hàm số y  2  sin2 x  sin2 a  x  2 cos a. cos x . cos a  x a1 ) Chứng tỏ rằng y '  0; x    a 2 ) Tìm a  2; 5 để y  s in2a  x    b) Cho hàm số y  cos x  sin x . tan , x    ;  . 2  4 4    b1 ) Chứng tỏ y '  0, x    ;   4 4    b2 ) Tìm x    ;  để y  cos4 x  sin 4 x  4 4 QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ   1.1 Cho A 1;1 , B 2; 4 là hai điểm của parabol y  x 2 .Xác định điểm C thuộc parabol sao cho tiếp tuyến tại C với parabol song song với đường thẳng AB . 1.2 1.3 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau : 14 1 1 x  x3  x  5 e) y  a) y   2 x x 2 3 3 x 1 f ) y  x 4  2x 3  x 2  6x  11 b) y  4 2 3x 45 3x g) y   x  x 3  8 c) y  2 5 x 1 7 h ) y  9x 7  7x 6  x 5  12 d ) y  x 2  2x  3 5 1.4 Chứng minh rằng : 3x a ) Hàm số y  nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 1  2x -1- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 2x 2  3x b) Hàm số y  đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 2x  1 c) Hàm số y  x  x 2  8 nghịch biến trên  . d ) Hàm số y  x  cos2 x đồng biến trên  . 1.5 1.6 Chứng minh rằng : a ) Hàm số y  2x  x 2 nghịch biến trên đoạn 1;2    b) Hàm số y  x 2  9 đồng biến trên nửa khoảng  3;   4  c) Hàm số y  x  nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  2; 0 và 0;2    x 1.8 Cho hàm số y  2x 2 x  2  a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   b) Chứng minh rằng phương trình 2x 2 x  2  11 có nghiệm duy nhất . Hướng dẫn :   x 5x  8    a) y '   0, x  2;  . Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   x 2  b) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng 2;  , do đó cũng liên tục trên đoạn 2; 3  ,     y 0  11  y 3 nên theo định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục ( lớp 11), tồn tại số thực c   2; 3  sao cho y c   11 . Số thực c   2; 3  là 1 nghiệm của phương trình đã cho và vì hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   nên c   2; 3  là nghiệm duy nhất của phương trình .  1.9 Cho hàm số y  sin2 x  cos x .     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biết trên đoạn  ;   .  3 3  b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc   đoạn  0;   .   Hướng dẫn : -2- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biết trên đoạn  ;   .  3 3     Hàm số liên tục trên đoạn  0;   và y '  sin x 2 cos x  1 , x  0;    1     Vì x  0;   sin x  0 nên trong khoảng 0;  : f ' x  0  cos x  x  2 3      y '  0, x   0;  nên hàm số đồng biến trên đoạn  0;   3  3      y '  0, x   ;   nên hàm số nghịch biến trên đoạn  ;  3  3  b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc   đoạn  0;   .   5         x  0;  ta có y 0  y  y    1  y  nên phương trình cho không có nghiệm m  1;1  3 3 4 5       x   ;   ta có y   y  y    1  y  . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số 3  3 4 5       liên tục ( lớp 11 ) với m  1;1   1;  , tồn tại một số thực c   ;   sao cho y c  0 . Số c là 4 3     nghiệm của phương trình sin2 x  cos x  m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn  ;   nên trên đoạn 3  này , phương trình có nghiệm duy nhất . Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn  0;   .   1.10 Với giá trị nào của m , các hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?   m 2x 2  m  2 x  3m  1 a) y  x  2  b) y  x 1 x 1 Hướng dẫn : m m a )y  x  2  y' 1 ,x  1 x 1 2   x 1     m  0 thì y '  0; x  1 . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;  . 2  x  1  m , x  1 và y '  0  x  1  m m . Lập bảng biến thiên ta  m  0 thì y '  1   2 2 x  1  x  1    thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1  m ;1 và 1;1  m ; do đó không thoả điều kiện . -3- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Vậy :hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi m  0 Chú ý : Bài toán trên được mở rộng như sau   a1 ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến ; 1 a ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến  2;   2 a 3 ) Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến trong khoảng có độ dài bằng 2.  a 4 ) Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 0;1 và 1;2 . 2   a 5 ) Gọi x 1  x 2 là hai nghiệm của phương trình x  1  m  0 . Tìm m để : a 5.1 ) x 1  2x 2 a 5.2 ) x 1  3x 2 a 5.3 ) x 1  3x 2  m  5 a 5.4 ) x 1  5x 2  m  12   2x 2  m  2 x  3m  1 1  2m 2m  1 b) y   2x  m   y '  2  2 x 1 x 1   x 1 1     m  y '  0, x  1 , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;  2 1  m  phương trình y '  0 có hai nghiệm x 1  1  x 2  hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2     x 1 ;1 và 1; x 2 , trường hợp này không thỏa . 1.11 Với giá trị nào của m , các hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ? 1.12 Với giá trị nào của m , các hàm số nghịch biến trên  1   a ) y   x 3  2x 2  2m  1 x  3m  2 3 Hướng dẫn : 1   a )y   x 3  2x 2  2m  1 x  3m  2  y '  x 2  4x  2m  1,  '  2m  5 3 5 2    m   thì y '   x  2  0 với mọi x  , y '  0 chỉ tại điểm x  2 . Do đó hàm số nghịch biến 2 trên  . 5    m   hay  '  0 thì y '  0, x   . Do đó hàm số nghịch biến trên  . 2 5      m   hay  '  0 thì y '  0 có hai nghiệm x 1, x 2 x 1  x 2 . Hàm số đồng biến trên khoảng 2   x 1 ; x 2 . Trường hợp này không thỏa mãn . -4- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 Ngoài ra ta có thể trình bày : Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi a  1  0 5   2m  5  0  m     '  0 2  5 Vậy hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi m   2 Chú ý : Bài toán trên được mở rộng như sau   a1 ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến 2; 1 a ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến  0;1 và  2; 3  2 a 3 ) Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến trong khoảng có độ dài bằng 1.  a 4 ) Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 . 13 2      x  m  1 x 2  2m  3 x  1.13 Cho hàm số f x  3 3 a ) Với giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên  b) Với giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên :      b4 )  1;0  b1 ) 1;  b2 ) 1;1 b3 ) ; 1     1.21 Cho hàm số f x  2 sin x  tan x  3x   a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2   b) Chứng minh rằng 2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;  .  2 Hướng dẫn :   a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nữa khoảng  0;   2    Hàm số f x  2 sin x  tan x  3x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2 2    1  cos x 2 cos x  1 2 cos3 x  1  3 cos2 x 1    f ' x  2 cos x   0, x   0;  3  2 2 2  2 cos x cos x cos x    Do đó hàm số f x  2 sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng  0;   2 -5- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12   b) Chứng minh rằng 2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;   2    Hàm số f x  2 sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và  2       f x  f 0  0, x   0;  ; do đó 2 sin x  tan x  3x  0 mọi x   0;  hay  2  2   2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;   2 1.22    a ) Chứng minh rằng hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2 3 x   b) Chứng minh rằng tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2 Hướng dẫn :    a ) Chứng minh rằng hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2    Hàm số f x  tan x  x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2 1     1  tan2 x  0, x   0;  . fx 2  2 cos x    Do đó hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2 3 x   b) Chứng minh rằng tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2        Hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và f x  f 0  0, x   0;  hay  2  2   tan x  x , x   0;   2 x3    Ta lại xét hàm số g x  tan x  x   0;  . trên nửa khoảng 3  2 3 x    Hàm số g x  tan x  x  liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm 3  2 1       1  x 2  tan 2 x  x 2  0, x   0;  vì tan x  x , x   0;  . g' x  2  2  2 cos x -6- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
T.s Nguyễn Phú Khánh -Đà Lạt Bài tập vấn đề liên quan Hàm số lớp 12 x3    Do đó hàm số g x  tan x  x   0;  và đồng biến trên nửa khoảng 3  2 x3       g x  g 0  0, x   0;  hay tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2  2 4    1.23 Cho hàm số f x  x  tan x với mọi x   0;   4    a ) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn  0;  .  4 4   b) Từ đó suy ra rằng x  tan x với mọi x   0;  .  4  Hướng dẫn :   a ) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn  0;  .  4 4    Hàm số f x  x  tan x liên trục trên đoạn  0;  và có đạo hàm  4  4 1 4  4       tan 2 x , x   0;  f' x  f ' x  0  tan x  ,   2  4  cos x   4  4     1  tan nên tồn tại một số duy nhất c   0;  sao cho tan c  Vì 0  4  4       f ' x  0, x  0; c  hàm số f x đồng biến trên đoạn x  0; c          f ' x  0, x   c;   hàm số f x nghịch biến trên đoạn x  c;   4  4 4 4       b) Dễ thấy 0  f x  f c ; x  0;   x  tan x  0 hay x  tan x với mọi x   0;  .  4  4   -7- Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.