Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập đại số và giải tích ở trường trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0169<br /> Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 87-96<br /> This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯƠNG TỰ HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC<br /> GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG<br /> <br /> Nguyễn Văn Thuận1 , Nguyễn Thị Mỹ Hằng2<br /> 1 Trường Phổ thông trung học Chuyên, Trường Đại học Vinh<br /> 2 Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh<br /> <br /> Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi phân tích thực trạng về việc thực hiện thao tác tương<br /> tự hóa cho học sinh ở trường THPT và xây dựng một số biện pháp rèn luyện cho học sinh<br /> kĩ năng này (thể hiện thông qua môn Toán THPT).<br /> Từ khóa: Tương tự hóa, học sinh, bài toán.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Khi nói về vai trò của tương tự, nhà thiên văn học tài ba Kepler, người đã phát minh ra ba<br /> định luật nổi tiếng trong thiên văn học cho rằng: "Tôi vô cùng biết ơn các phép tương tự, những<br /> người thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự<br /> nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở ngại" [8, tr.148]. Có thể thấy rằng, nhận định đó rất ý nghĩa, đã<br /> nói lên tầm quan trọng của tương tự trong cuộc sống cũng như trong khoa học.<br /> D. P. Goocki [4], G. Polya [8, 9], Hoàng Chúng [1], Nguyễn Bá Kim [7], Trần Khánh<br /> Hưng [6], ... đã nghiên cứu về tương tự. Họ đã đưa ra định nghĩa về tương tự và minh họa trong<br /> môn Toán, nhưng chủ yếu ở Trung học cơ sở. Họ đã quan niệm tương tự như là một phép suy luận.<br /> Trong những năm gần đây, có một số tác giả trong các công trình nghiên cứu của mình cũng<br /> đề cập đến tương tự. Họ cũng quan niệm tương tự như là một phép suy luận, mang tính dự đoán.<br /> Chúng tôi nhận thấy rằng chưa có công trình tìm hiểu về thực trạng của việc thực hiện phép tương<br /> tự ở trường phổ thông, thiếu các biện pháp dạy học cụ thể nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng<br /> này. Trong bài viết này, chúng tôi quan niệm tương tự hóa là một thao tác tư duy, xây dựng quy<br /> trình thực hiện thao tác đó, tìm hiểu về thực trạng thực hiện thao tác tương tự hóa cho học sinh ở<br /> trường THPT và xây dựng một số biện pháp dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng này.<br /> <br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> 2.1. Kĩ năng tương tự hóa<br /> Từ việc nghiên cứu các định nghĩa về tương tự hóa của các nhà khoa học [1, 4, 6 - 9], chúng<br /> tôi thống nhất rằng Tương tự hóa là quá trình dùng trí óc để kết luận về sự giống nhau của các đối<br /> tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác từ sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu,<br /> thuộc tính nào đó nhằm mục đích tạo ra một kết quả mới, vượt qua một trở ngại.<br /> Ngày nhận bài: 15/7/2015. Ngày nhận đăng: 22/10/2015.<br /> Liên hệ: Nguyễn Thị Mỹ Hằng, e-mail: nguyenmyhang3008@gmail.com<br /> <br /> <br /> <br /> 87<br />  Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng<br /> <br /> <br /> Thao tác tương tự hóa có thể thực hiện theo các bước sau:<br /> Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết;<br /> Bước 2: Xác định các dấu hiệu, thuộc tính của vấn đề cần giải quyết;<br /> Bước 3: Xác định các vấn đề có một số dấu hiệu, thuộc tính giống với một số dấu hiệu,<br /> thuộc tính của vấn đề cần giải quyết và cách giải quyết vấn đề đó;<br /> Bước 4: Đối chiếu các dấu hiệu, thuộc tính còn lại của vấn đề cần giải quyết với các dấu<br /> hiệu, thuộc tính còn lại của các đối tượng ở bước 3 và đi đến kết luận.<br /> Có thể cho rằng, học sinh có kĩ năng tương tự hóa chính học sinh biết thực hiện các bước<br /> của quy trình trên.<br /> <br /> 2.2. Thực trạng về việc thực hiện tương tự hóa trong dạy học giải bài tập Đại số<br /> và Giải tích của học sinh ở trường Trung học phổ thông<br /> Trong học tập, học sinh (HS) gặp nhiều tình huống sử dụng thao tác tương tự hóa nhưng<br /> không phải em nào cũng biết tương tự hóa chỉ mang tính dự đoán, mọi kết quả của tương tự hóa<br /> đều phải chứng minh mới khẳng định được tính đúng đắn. Chẳng hạn như việc chuyển các phép<br /> biến đổi của phương trình sang phép biến đổi của bất phương trình; chuyển từ việc giải bài tập này<br /> sang giải bài tập kia có cùng dạng; việc chuyển từ các phép biến đổi của dãy số sang phép biến<br /> đổi của hàm số; ..., không phải tất cả các thao tác chuyển đó đều đúng. Tuy nhiên, có nhiều HS đã<br /> công nhận mặc nhiên các kết quả tương tự đó.<br /> Ví dụ 1: Tìm điều kiện cần và đủ để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ 0, (a 6= 0) có nghiệm<br /> thực?<br /> Có HS giải như sau: Điều kiện cần và đủ để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ 0, (a 6= 0) có<br /> nghiệm thực là ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.<br /> HS đã áp dụng tương tự điều kiện có nghiệm thực của bất phương trình bậc hai như đối với<br /> phương trình bậc hai. Trong trường hợp này, điều kiện ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 chỉ là điều kiện đủ chứ<br /> không phải là điều kiện cần để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ 0 (a 6= 0) có nghiệm thực.<br /> Chẳng hạn, đối với bất phương trình x2 + x + 1 ≥ 0, có biệt thức ∆ = −3 < 0, nhưng bất phương<br /> trình có nghiệm thực với mọi x. Việc có nghiệm của bất phương trình phụ thuộc vào dấu của hệ<br /> số a và dấu của biệt thức ∆. Với ∆ ≥ 0 thì tam thức ở vế trái có thể nhận giá trị không âm, có thể<br /> nhận giá trị không dương, do đó bất phương trình luôn có nghiệm. Còn nếu ∆ < 0 thì tam thức<br /> vế trái luôn cùng dấu với hệ số a trên tập xác định, tức bất phương trình có thể vô nghiệm cũng có<br /> thể có nghiệm ∀x ∈ R, điều này phụ thuộc vào dấu của hệ số a.<br /> Từ dạy học chủ đề phương trình sang dạy học chủ đề bất phương trình có nhiều nét tương<br /> tự, nhưng không phải suy luận tương tự nào cũng đúng. Chẳng hạn, HS thường ngộ nhận về những<br /> phép biến đổi như sau (chú ý rằng các phép biến đổi sau đối với phương trình là đúng đắn):<br /> (<br /> f (x) f (x) ≥ 0<br /> +) ≥0⇔<br /> g(x) g(x) 6= 0;<br /> (<br /> 1 1 g(x) > f (x)<br /> +) > ⇔<br /> f (x) g(x) f (x) 6= 0;<br /> (<br /> g(x) ≥ 0<br /> +) |f (x)| ≥ g(x) ⇔<br /> f (x) ≥ g 2 (x);<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 88<br />  Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích...<br /> <br /> <br /> f (x) ≥ g(x)<br /> +) |f (x)| ≥ |g(x)| ⇔<br /> f (x) ≥ −g(x);<br /> (<br /> p g(x) ≥ 0<br /> +) f (x) ≥ g(x) ⇔<br /> f (x) ≥ g 2 (x);<br /> +) af (x) ≥ ag(x) ⇔ f (x) ≥ g(x);<br /> (<br /> f (x) ≥ g(x)<br /> +) loga f (x) ≥ loga g(x) ⇔<br /> g(x) ≥ 0; ....<br /> Do đó, khi dạy học chủ đề bất phương trình, giáo viên (GV) phải hình dung trước những sai<br /> lầm có thể xảy ra đối với HS để khắc phục kịp thời.<br /> Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi:<br /> a) và un+1 = 6un + 5, ∀n ≥ 1<br /> b) u1 = 2 và un+1 = 4un + 2n + 3, ∀n ≥ 1<br /> Bài tập này được yêu cầu giải sau khi HS vừa giải xong bài tập số 43 [10, tr. 122], có nội<br /> dung như sau:<br /> Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1 và un+1 = 5un + 8, với mọi n ≥ 1.<br /> a) Chứng minh rằng dãy số , với vn = un + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng<br /> quát của cấp số nhân đó.<br /> b) Dựa vào kết quả phần a), hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (Un ).<br /> Nhiều HS đã giải câu a) của ví dụ 2 tương tự như câu a) của bài tập 43 bằng cách đặt<br /> vn = un + 2 một cách máy móc mà không hiểu tại sao trong bài tập đó người ta lại làm như thế.<br /> Trong khi dạy giải bài tập, nếu GV cứ yêu cầu HS giải hết bài này sang bài khác mà không<br /> có những lí giải xác đáng thì HS sẽ không giải được những bài tập có cấu trúc tương tự. Chẳng<br /> hạn, sau khi HS giải xong bài tập 43 ở trên, nếu GV không giải thích tại sao lại đặt vn = un + 2<br /> thì đa số HS sẽ không giải được bài tập a) của ví dụ 2. G. Polya cho rằng: "Một sự trình bày đúng<br /> trong sách hay trên bảng vẫn có thể khó hiểu và chẳng bổ ích gì, nếu không nêu được mục đích của<br /> các giai đoạn nối tiếp, nếu như người đọc và người nghe không thể hiểu tác giả làm cách nào để<br /> có sự chứng minh như vậy, nếu sự trình bày không gợi cho anh ta tự tìm được một sự chứng minh<br /> tương tự" [8, tr. 53].<br /> Có thể giải thích cho HS số 2 trong phép đặt vn = un +2 được tìm như sau: Đặt vn = un +a,<br /> khi đó công thức truy hồi trở thành: vn+1 = 5vn − 4a + 8. Để vn là cấp số nhân thì −4a + 8 = 0<br /> hay a = 2.<br /> HS tiếp tục giải câu b) của ví dụ 2 như sau: Đặt vn = un + a ⇒ vn+1 = un+1 + a. HS<br /> đã tìm a để vn là một cấp số nhân. Do vn+1 = 4vn − 3a + 2n + 3 nên vn là một cấp số nhân thì<br /> 2n + 3 2.1 + 3 11<br /> −3a + 2n + 3 = 0 ⇒ a = . Khi đó, vn là một cấp số nhân với v1 = u1 + = ,<br /> 3 3 3<br /> 11 n−1<br /> công bội q = 4 nên có số hạng tổng quát là vn = .4 . Suy ra, số hạng tổng quát của un là:<br /> 3<br /> 11 2n + 3<br /> un = .4n−1 − .<br /> 3 3<br /> Một lần nữa, HS đã sai lầm khi giải tương tự như câu a), đó là tìm hằng số a để vn = un + a<br /> là một cấp số nhân. Tuy nhiên, với bài này, HS không thể tìm được hằng số a để vn là một cấp số<br /> nhân vì trong số hạng tổng quát của un còn có lượng biến thiên 2n.<br /> <br /> <br /> <br /> 89<br />  Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng<br /> <br /> √<br /> x2 − 2x + 4 + 2x<br /> Ví dụ 3: Tính lim .<br /> x→−∞ x+1<br /> Rất nhiều học sinh đã giải bài toán này tương tự như tìm giới hạn của dãy số. Các em đã<br /> giải như sau:<br /> r<br /> √ 2 4<br /> 1− + 2 +2<br /> x2 − 2x + 4 + 2x x x 1+2<br /> lim = lim = = 3.<br /> x→−∞ x+1 x→−∞ 1 1<br /> 1+<br /> x<br /> √ Sai lầm ở đây là do học sinh đã thực hiện phép biến đổi chia cả tử và mẫu của phân thức<br /> x2 − 2x + 4 + 2x<br /> cho x mà không chú ý giả thiết x → −∞. Thật ra, khi x → −∞ thì<br /> x+1 r<br /> √ 2 4<br /> − 1− + 2<br /> x2 − 2x + 4 + 2x x x<br /> = .<br /> x+1 1<br /> 1+<br /> x<br /> Qua một số ví dụ nêu trên, có thể thấy rằng nếu GV chưa phân tích kĩ từng yếu tố, từng<br /> phép biến đổi và HS chưa có ý thức trong việc tìm hiểu các dụng ý của lời hướng dẫn giải bài toán,<br /> thì rất ít HS làm được các bài toán có cấu trúc tương tự.<br /> <br /> 2.3. Một số biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh<br /> Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập kĩ năng tương tự hóa trong quá trình giải toán bằng cách<br /> liên hệ nó với một bài toán tương tự đơn giản hơn, rồi tìm cách vận dụng kết quả hoặc phương<br /> pháp giải của bài toán tương tự này để giải bài toán đã cho.<br /> Cách thức thực hiện:<br /> - Yêu cầu HS giải những bài toán mà việc giải những bài toán đó có thể nghĩ về những bài<br /> toán tương tự dễ hơn;<br /> - Tìm cách giải bài toán tương tự dễ hơn đó;<br /> - Dùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình.<br /> Ví dụ 4: Cho n ∈ N ∗ , hãy tính các tổng sau:<br /> 1 1 1 1<br /> S1 = + + ... + + ;<br /> 1.2 2.3 (n − 1) n n (n + 1)<br /> 1 1 1 1<br /> S2 = + + ... + + ;<br /> 1.3 3.5 (n − 2) n n (n + 2)<br /> 1 1 1 1<br /> S3 = + + ... + + .<br /> 1.2.3 2.3.4 (n − 1) n (n + 1) n (n + 1) (n + 2)<br /> GV có thể hướng dẫn HS tìm tổng S1 bằng các câu hỏi gợi ý như sau: Tổng S1 được rút gọn<br /> bằng cách nào? Các số hạng trong tổng có mối quan hệ ra sao? Số hạng tổng quát của tổng là gì?<br /> Có thể phân tích số hạng tổng quát đó như thế nào?<br /> Với những câu hỏi dẫn dắt như trên, HS sẽ chỉ ra được số hạng tổng quát của tổng là<br /> 1<br /> , số hạng này được phân tích như sau:<br /> k (k + 1)<br /> 1 (k + 1) − k k+1 k 1 1<br /> = = − = − .<br /> k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) k k+1<br /> <br /> <br /> 90<br />  Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích...<br /> <br /> <br /> Từ đó, HS có thể tính tổng S1 dễ dàng bằng cách phân tích mỗi số hạng của tổng thành hiệu<br /> của hai số hạng, trong đó số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng thứ k+1, do đó<br /> chúng triệt tiêu lẫn nhau.<br /> 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n<br /> S1 = − + − + ... + − + − =1− = .<br /> 1 2 2 3 n−1 n n n+1 n+1 n+1<br /> Tổng S2 có nét tương tự với tổng S1 và quá trình tương tự hóa bắt đầu xuất hiện.<br /> Hãy tìm cách tách số hạng tổng quát của S2 ? Phải chăng tương tự như phân tích mỗi số<br /> 1 1 1<br /> hạng của tổng S1 , tức là = − ? Thử kiểm tra lại, các em thấy điều gì?<br /> k (k + 2) k k+2<br /> 1 1 k+2−k 2<br /> − = = .<br /> k k+2 k (k + 2) k (k + 2)<br /> Do đó, số hạng tổng quát của S2 được tách thành như sau:<br />  <br /> 1 1 1 1<br /> = − .<br /> k (k + 2) 2 k k+2<br /> Việc tách như vậy cũng có tính chất số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng<br /> thứ k+1, do đó chúng triệt tiêu lẫn nhau.<br />    <br /> 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br /> S2 = − + − + ... + − + − = −<br /> 2 1 3 3 5 n−2 n n n+2 2 1 n+2<br /> n<br /> = .<br /> n+2<br /> Tổng S3 cũng có nhiều nét giống với tổng S1 . Mỗi số hạng của tổng S3 có dạng<br /> 1<br /> , k = 1, 2, ..., n gần giống với mỗi số hạng của tổng S1 .<br /> k (k + 1) (k + 2)<br /> 1 1 1 1<br /> Bắt đầu từ số , thử suy nghĩ xem nếu ở tổng S1 chúng ta phân tích = − , thì<br /> 1.2.3 1.2 1 2<br /> 1 1 1 1<br /> có thể ở tổng S3 , chúng ta có thể phân tích = − − chăng?<br /> 1.2.3 1 2 3<br /> (HS dễ dàng kiểm tra được nhận định trên là sai).<br /> Ở bài toán tính tổng S1 ở trên, HS đã tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số, vậy đối với<br /> tổng S3 , để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số, HS thử ghép đôi từ những số ở mẫu. Mẫu số<br /> 1 1 1<br /> của số hạng đầu có ba số 1, 2, 3, HS thử ghép thành (1,2) và (2,3), có nghĩa là: = − .<br />   1.2.3 1.2 2.3<br /> 1 1 2 1 1<br /> Hãy kiểm tra lại kết quả xem! − = . Như vậy, kết quả gấp đôi , hay =<br />   1.2 2.3 6 1.2.3 1.2.3<br /> 1 1 1<br /> − . Hãy thử xét tiếp số hạng thứ hai!<br /> 2 1.2 2.3<br />  <br /> 1 1 2 1 1 1 1<br /> − = , hay = − .<br /> 2.3 3.4 24 2.3.4 2 2.3 3.4<br /> Hãy thử thêm vài trường hợp nữa! Kết quả đã khả quan, từ đó có thể đưa ra giả thuyết:<br />  <br /> 1 1 1 1<br /> ∀n ∈ N ta có:<br /> ∗ = − .<br /> n (n + 1) (n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1) (n + 2)<br /> Lúc đó ta có:     <br /> 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br /> S3 = − + − + ... + −<br /> 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 n (n + 1) (n + 1) (n + 2)<br /> <br /> 91<br />  Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng<br /> <br /> <br /> n (n + 3)<br /> = .<br /> 4 (n + 1) (n + 2)<br /> Bây giờ, giả thử có HS lại ghép ba số 1, 2, 3 thành hai bộ số (1,3) và (2,3) thì sẽ như thế<br /> nào?  <br /> 1 1 1 1 1 1<br /> Khi đó − = , nên được tách thành − . Tuy nhiên, việc tách này<br /> 1.3 2.3 6 1.2.3 1.3 2.3<br /> lại không có tính chất số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng thứ k+1, nên không<br /> rút gọn được tổng S3 .<br /> GV cũng có thể hướng dẫn HS khai thác bài toán trên theo hướng sau đây:<br /> 1 (k + 1) − k 1 1<br /> Để tính tổng S1 , HS tiến hành phân tích: = = − , tức là<br /> k (k + 1) k (k + 1) k k+1<br /> HS đã lấy (k + 1) − k ở tử số, trong đó k + 1 và klà hai thừa số ở mẫu.<br /> Tương tự khi tính tổng S2 , HS cũng sẽ sử dụng phương pháp phân tích như trên, và kết quả<br /> (k + 2) − k 2 1<br /> có được là: = . Từ đó, HS thấy được sự phân tích đúng đắn là =<br />  k (k<br />  + 2) k (k + 2) k (k + 2)<br /> 1 1 1<br /> − .<br /> 2 k k+2<br /> Khi tính tổng S3, HS cũng liên hệ đến phương  pháp trên và các em phân tích như sau:<br /> 1 1 (k + 2) − k 1 1 1<br /> = = − .<br /> k (k + 1) (k + 2) 2 k (k + 1) (k + 2) 2 k (k + 1) (k + 1) (k + 2)<br /> Sau khi HS biết cách tính các tổng S1 , S2 , S3 , bằng thao tác tương tự hóa, GV yêu cầu HS<br /> tính các tổng sau:<br /> 1 1 1<br /> S4 = + + ... + ;<br /> 1.4 4.7 (3n − 2) (3n + 1)<br /> 1 1 1<br /> S5 = + + ... + ∀n ∈ N ∗ , trong đó (un ) là cấp số cộng với công sai<br /> u1 u2 u2 u3 un un+1<br /> d 6= 0 và un 6= 0 với ∀n ∈ N ∗ .<br /> Bằng cách tương tự, HS có thể tính được tổng S5 ở trên như sau:<br />    <br /> 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n<br /> S5 = − + − + ... + − = − = .<br /> d u1 u2 u2 u3 un un+1 d u1 un+1 u1 un+1<br /> Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho.<br /> GS. Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: "Học sinh học toán xong rồi làm bài tập. Vậy các bài<br /> tập đó ở đâu mà ra? Ai là người đầu tiên nghĩ ra các bài tập đó, nghĩ như thế nào? Ngay nhiều giáo<br /> viên cũng chỉ biết sưu tầm các bài tập trong các sách giáo khoa khác nhau, chưa biết cách sáng tác<br /> ra các đề bài tập" [11, tr. 93].<br /> G. Polya cho rằng: "Có thể là sẽ không có một phát minh nào trong toán học sơ cấp cũng<br /> như cao cấp, thậm chí trong bất cứ lĩnh vực nào, nếu ta không dùng những thao tác tư duy như<br /> khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, ... Phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh, và<br /> trong một số phát minh nó chiếm vai trò quan trọng hơn cả" [9, tr. 23].<br /> Vấn đề tương tự của hai bài toán có thể được xem xét dưới các khía cạnh sau:<br /> - Chúng có đường lối giải, phương pháp giải giống nhau;<br /> - Nội dung của chúng có những nét giống nhau;<br /> - Chúng đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau.<br /> <br /> <br /> 92<br />  Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích...<br /> <br /> <br /> Cần tạo cho HS một thói quen là khi giải một bài toán nên đặt câu hỏi là tại sao lại có bài<br /> toán đó, bài toán đó được giải như thế nào, làm thế nào tạo được bài toán gần giống như vậy (về<br /> đường lối giải hoặc về cấu trúc nội dung). Nhiều khi, phân tích cách giải của bài toán đã cho có<br /> thể tạo được các bài toán khác.<br /> Cách thức thực hiện:<br /> Quy trình tạo ra bài toán mới bằng tương tự hóa có thể theo các bước sau đây:<br /> - Phân tích cấu trúc và cách giải của bài toán đã cho;<br /> - Tạo bài toán mới tương tự với bài toán đã cho;<br /> - Giải bài toán mới vừa tạo được;<br /> - Phát biểu bài toán mới.<br /> Ví dụ 5: Tạo một bài toán tương tự với bài toán sau:<br /> p<br /> Giải phương trình: 3 (2x + 1) (x2 − x + 2) = 2x2 + 5 (1)<br /> - Phân tích cấu trúc và cách giải của bài toán đã cho<br /> Về mặt cấu trúc, phương trình (1) có vế trái là căn bậc hai của tích một nhị thức bậc nhất<br /> với tam thức bậc hai, vế phải(là một tam thức bậc hai. Về cách giải, trước hết là liên tưởng tới dạng<br /> p g (x) ≥ 0<br /> cơ bản f (x) = g (x) ⇔<br /> f (x) = g 2 (x) .<br /> Tuy nhiên đối với trường hợp này phương trình có được sau khi bình phương hai vế là<br /> phương trình bậc bốn không có nghiệm hữu tỉ nên việc giải sẽ rất khó khăn. Vì<br />
vậy, phải hướng<br /> 2<br /> dẫn học sinh nhìn vế phải của phương trình dưới dạng 2x + 1 + 2 x − x + 2 . Khi đó, (1) sẽ là<br /> √ √<br /> phương trình đẳng cấp bậc hai đối với 2x + 1 và x2 − x + 1. Mà phương trình đẳng cấp bậc<br /> hai đã có thuật giải. Lời giải cụ thể như sau:<br /> p
<br /> (1) ⇔ 3 (2x + 1) (x2 − x + 2) = 2x + 1 + 2 x2 − x + 2 .<br /> <br /> √ √ 2 2 u=v<br /> Đặt u = 2x + 1, v = x − x + 2, (1) trở thành 3uv = u + 2v ⇔<br /> 2<br /> u = 2v.<br /> Nếu u = v thì: <br /> (<br /> √ √ 2x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1<br /> 2x + 1 = x2 − x + 2 ⇔ ⇔ 2<br /> 2x + 1 = x2 − x + 2 x2 − 3x + 1 = 0<br />  √<br /> 3− 5<br />  x= 2√<br /> ⇔<br /> 3+ 5<br /> x=<br /> 2<br /> Nếu u = 2v thì: <br /> (<br /> √ √ 2x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1<br /> 2x + 1 = 2 x2 − x + 2 ⇔
⇔ 2<br /> 2x + 1 = 4 x2 − x + 2 4x2 − 6x + 7 = 0<br /> (vô nghiệm).<br /> √ √<br /> 3− 5 3+ 5<br /> Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = và x = .<br /> 2 2<br /> - Tạo bài toán mới tương tự với bài toán đã cho.<br /> GV yêu cầu HS tìm câu trả lời tại sao lại có thể tạo được phương trình như thế? Có phải mọi<br /> <br /> 93<br />  Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng<br /> <br /> <br /> phương trình có cấu trúc tương tự như vậy đều giải được và cách giải tương tự như trên hay không?<br /> Thử xét một phương trình có cấu trúc giống (1) (vế trái là căn bậc hai của tích một nhị thức bậc<br /> nhất với tam thức bậc hai, vế phải là một tam thức bậc hai):<br /> p<br /> 4 (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + 8 (2).<br /> HS tìm cách biểu diễn vế phải của phương trình (2) tuyến tính theo (x + 3) và x2 + 2x + 3<br /> nhưng không thể được.<br />
<br /> Thật vậy, giả sử có thể phân tích x2 + 5x + 8 = a (x + 3) + b x2 + 2x + 8 . Sử dụng đồng<br /> <br /> <br /> 1 = b<br /> nhất thức hai vế ta có 5 = a + 2b , hệ phương trình này vô nghiệm. Do đó phương trình (2)<br /> <br /> <br /> 8 = 3a + 8b<br /> không thể giải theo cách của phương trình (1). Mấu chốt của sự không giải được theo cách trên là<br /> do không thể phân tích vế phải theo (x + 3) và x2 + 2x + 3, hay cụ thể hơn, là do hệ phương trình<br /> bậc nhất hai ẩn nhưng lại ba phương trình nên có thể vô nghiệm. Vậy, để tạo được phương trình<br /> tương tự chỉ cần biểu diễn vế phải của (2) theo (x + 3) và x2 + 2x + 3. Vấn đề đặt ra là vế phải<br /> phải là biểu thức nào để có thể biểu diễn được như vậy? Giả sử vế phải đã
biểu thị tuyến tính theo<br /> (x + 3) và x2 + 2x + 3, chẳng hạn vế phải là 3 (x + 3) + 1 x2 + 2x + 3 = x2 + 5x + 12, thì ta<br /> có phương trình:<br /> p<br /> 4 (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + 12<br /> Việc chọn hệ số 3 đứng trước x + 3 và hệ 2<br /> √ số 1 đứng√trước x + 2x + 3 cũng có dụng ý là<br /> làm cho phương trình đẳng cấp bậc hai đối với x + 3 và x + 2x + 3 có nghiệm hữu tỉ.<br /> 2<br /> <br /> - Trình bày lại lời giải phương trình:<br /> p<br /> 4 (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + 12<br /> - Phát biểu bài toán.<br /> Như vậy, bằng cách thay a và b bởi các số cụ thể, HS có một loạt các bài tập tương tự. Và<br /> cũng bằng cách như trên, GV có thể yêu cầu HS đề xuất một số phương trình tương tự như (1) để<br /> có được một hệ thống bài tập phong phú.<br /> Xây dựng một số tình huống có chứa lời giải các bài toán với những sai lầm do tương tự<br /> hóa, hướng dẫn học sinh phân tích để giúp họ nhận ra các sai lầm thường gặp và tìm cách khắc<br /> phục.<br /> Cách thức thực hiện:<br /> - GV xây dựng một số tình huống có chứa lời giải sai lầm hoặc yêu cầu HS giải các bài toán<br /> có thể gặp phải sai lầm do tương tự hóa;<br /> - GV hướng dẫn HS phân tích, tìm ra sai lầm từ các ví dụ cụ thể, sau đó tổng hợp lại để khái<br /> quát cho một lớp các bài toán cùng loại;<br /> - GV hướng dẫn HS tìm các biện pháp dạy học thích hợp nhằm giúp HS khắc phục các sai<br /> lầm.<br /> Ví dụ 6: GV có thể cho HS tìm sai lầm trong các lời giải sau của bài toán "Một hộp đựng<br /> "Một hộp đựng 20 viên bi gồm 8 bi xanh, 7 bi đỏ, 5 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp.<br /> Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 6 viên bi đó có đủ cả 3 màu?".<br /> Lời giải 1: Công việc chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp có thể thực hiện bởi các trường<br /> hợp (TH) sau:<br /> TH 1: Chỉ có màu xanh có C86 cách; TH 2: Chỉ có vàng, loại này không có cách nào (vì chỉ<br /> có 5 viên bi vàng); TH 3: Chỉ có màu đỏ, loại này có C76 cách; TH4: Có cả xanh, đỏ và vàng: x<br /> <br /> 94<br />  Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích...<br /> <br /> <br /> cách chọn. Theo quy tắc cộng, ta có: x +C86 +C76 = C20 6 ⇒ x = C 6 - C 6 -C 6 (cách chọn).<br /> 20 8 7<br /> Lời giải 2: Công việc chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp có thể thực hiện bởi các trường<br /> hợp (TH) sau:<br /> TH 1: Chỉ 2 màu xanh và đỏ có C15 6 cách; TH 2: Chỉ 2 màu xanh và vàng có C 6 cách;<br /> 13<br /> TH 3: Chỉ 2 màu đỏ và vàng có C12 cách; TH 4: Chỉ màu xanh có C86 cách; TH5: Chỉ màu đỏ có<br /> 6<br /> <br /> C76 cách; TH 6: Cả xanh, đỏ và vàng có x cách chọn. Theo quy tắc cộng, ta có: x +C15 6 +C 6 +C 6 +<br /> 13 12<br /> 6 6 6 6 6 6 6 6 6<br /> C8 +C7 =C20 ⇒ x = C20 - C15 -C13 -C12 - C8 -C7 (cách chọn).<br /> Các lời giải trên đã sai lầm ở chỗ: Các TH đưa ra chưa độc lập, việc thực hiện công việc của<br /> TH này bị trùng lặp ở TH kia. Chẳng hạn, đối với lời giải 1, trong C15 6 cách chọn chỉ có hai màu<br /> 6<br /> xanh và đỏ, trường hợp cả 6 bi đều xanh sẽ lặp lại trong C13 cách chọn chỉ có 2 màu xanh và vàng.<br /> Đối với lời giải 2, trong C15 6 cách chọn chỉ có hai màu xanh và đỏ, trường hợp cả 6 bi đều xanh sẽ<br /> 6<br /> lặp lại trong C8 cách ở TH 4 chỉ có màu xanh.<br /> Trước khi yêu cầu học sinh tìm sai lầm trong hai lời giải này, giáo viên đã cho HS giải bài<br /> toán sau: ""Một hộp đựng 20 viên bi gồm 8 bi xanh, 12 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong<br /> hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 6 viên bi đó có đủ cả hai màu?". Có thể giải bài toán<br /> này như sau:<br /> Công việc chọn 6 viên bi trong hộp được thực hiện bởi các trường hợp: TH1: Cả 6 viên bi<br /> đều màu xanh, loại này có C86 cách chọn; TH2: Cả 6 viên bi đều màu đỏ, loại này có C12 6 cách<br /> <br /> chọn; TH3: Có cả hai màu xanh và đỏ có x cách chọn. Theo quy tắc cộng, ta có: x+C12 6 + C6 =<br /> 8<br /> 6 6 6 6<br /> C20 ⇒ x = C20 -C12 - C8 (cách chọn).<br /> HS đã sử dụng thao tác tương tự hóa để làm ví dụ 1, tức là các em cũng đã phân chia các<br /> cách chọn 6 viên bi theo tiêu chí có cả 3 màu giống như có cả 2 màu (lời giải 1). Trong lời giải 2,<br /> tuy không rập khuôn như lời giải 1 nhưng vẫn có cách suy nghĩ giống như thế, dẫn tới đếm lặp.<br /> Từ đó, có thể đưa ra nhận xét tổng quát về nguyên nhân sâu xa của việc thực hiện thao tác<br /> tương tự sai lầm này là do HS không biết phân chia một bài toán đếm thành các trường hợp riêng<br /> đơn giản hơn để đếm, không biết dựa vào tiêu chí nào để phân chia, không biết yêu cầu của việc<br /> phân chia một khái niệm, từ đó dẫn đến sai lầm là phân chia không đầy đủ các trường hợp, hoặc<br /> các trường hợp đưa ra không độc lập (không biết vận dụng quy tắc cộng) .<br /> Sau khi HS đã làm bài toán "Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ, gồm 4 chữ số phân biệt?", GV có<br /> thể yêu cầu HS giải bài toán tương tự "Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn, gồm 4 chữ số phân biệt?".<br /> Có một số HS đã giải bài toán này tương tự bài toán đã làm, cụ thể như sau: Giả sử số tự nhiên<br /> cần lập có dạng abcd và công việc lập số tự nhiên này trải qua 3 giai đoạn. Giai đoạn 1 chọn chữ<br /> số hàng đơn vị d từ tập hợp {0; 2; 4; 6; 8} có 5 cách chọn (tương tự số tự nhiên lẻ, d chọn từ tập<br /> hợp {1; 3; 5; 7; 9}); giai đoạn 2 chọn chữ số hàng nghìn a từ tập E = {0; 1; 2; ...; 9} |{0; d}<br /> có 8 cách chọn; giai đoạn 3 chọn hai chữ b và c từ tập E| {a; d} có A28 cách chọn. Theo quy tắc<br /> nhân có tất cả 5.8.A28 cách chọn. Mỗi cách chọn là một số thỏa mãn yêu cầu bài toán nên đáp số là<br /> 5.8.A28 số. Tuy nhiên, lời giải trên đã phạm phải sai lầm ở chỗ trong giai đoạn 1 nếu d chọn là chữ<br /> số 2 thì trong giai đoạn 2 chữ số a có 8 cách chọn, còn nếu trong giai đoạn 1 chữ số d được chọn là<br /> 0 thì ở giai đoạn 2 chữ số a lại có 9 cách chọn. Tức là cách chọn ở giai đoạn 2 phụ thuộc vào cách<br /> chọn ở giai đoạn 1. Nguyên nhân sai lầm ở đây là do HS thực hiện thao tác tương tự hóa xem số<br /> cách đếm số chẵn cũng giống như số cách đếm số lẻ và HS nắm không chính xác về điều kiện để<br /> có thể thực hiện quy tắc nhân.<br /> Từ việc phân tích các sai lầm mà HS thường gặp phải do thực hiện thao tác tương tự hóa<br /> trong các ví dụ nêu trên, trong khi dạy học các quy tắc đếm, GV cần thiết và có thể đưa ra những<br /> lưu ý cơ bản về điều kiện tiến hành các quy tắc nhằm giúp HS khắc phục các sai lầm đó.<br /> Đối với quy tắc nhân, GV cần đưa ra sơ đồ sau:<br /> <br /> <br /> 95<br />  Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Qua sơ đồ này, GV nhấn mạnh để HS thấy công việc A muốn hoàn thành buộc phải trải qua<br /> tất cả các giai đoạn từ A1 đến Ak , không bỏ qua giai đoạn nào, không có cách nào ở giai đoạn thứ<br /> Ai+1 lại có thể phụ thuộc vào cách nào đó ở giai đoạn thứ Ai , hay nói cách, khác ứng với mỗi cách<br /> chọn ở giai đoạn A1 thì sẽ có mi+1 cách chọn ở giai đoạn Ai+1 . Và điều trước hết là phải biết chỉ<br /> ra các hành động cần làm khi thực hiện công việc A, sau đó mới tìm số cách thực hiện mỗi hành<br /> động đó.<br /> <br /> 3. Kết luận<br /> Thao tác tương tự hóa rất quan trọng trong cuộc sống cũng như trong học tập. Nếu trong<br /> quá trình dạy học, giáo viên có các biện pháp thích hợp thì học sinh sẽ được rèn luyện kĩ năng này.<br /> Cụ thể là học sinh sẽ giải được các bài toán tương tự dễ dàng hơn, học sinh tạo được bài toán mới,<br /> từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo.<br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> [1] Hoàng Chúng, 1969. Rèn luyện khả năng sáng tạo toán ở trường phổ thông. Nxb Giáo dục,<br /> Hà Nội.<br /> [2] Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô<br /> Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình. Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao.<br /> Nxb Giáo dục, Hà Nội.<br /> [3] Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh, 2001. Lôgic Toán. Nxb Thanh Hóa, Thanh Hóa.<br /> [4] D. P. Goocki, 1974., Lôgic học. Nxb Giáo dục, Hà Nội.<br /> [5] Nguyễn Thị Mỹ Hằng, 2013. Thiết lập bài toán mới trên cơ sơ khai thác bài toán đã cho<br /> bằng tương tự hóa. Tạp chí Giáo dục, (318), tr. 43-45.<br /> [6] Trần Khánh Hưng, 2000. Giáo trình phương pháp dạy - học Toán (Phần đại cương). Nxb<br /> Giáo dục, Hà Nội.<br /> [7] Nguyễn Bá Kim, 2002. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.<br /> [8] G. Polya, 2010. Sáng tạo Toán học. Nxb Giáo dục. Hà Nội.<br /> [9] G. Polya, 2010. Toán học và những suy luận có lí. Nxb Giáo dục, Hà Nội.<br /> [10] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng<br /> Thắng, 2007. Đại số và giải tích 11 nâng cao. Nxb Giáo dục, Hà Nội.<br /> [11] Nguyễn Cảnh Toàn, 1997. Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên<br /> cứu toán học, Tập I. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.<br /> ABSTRACT<br /> <br /> Teaching the use of analogy to mathematics students in secondary schools<br /> <br /> In this paper, we look at examples of high school students’ use of the operation of analogy<br /> and ways in which this skill could be taught to students in high school mathematics classrooms.<br /> Keywords: Analogy, student, problem.<br /> <br /> 96<br />