Sách: Thống kê sinh học

Chia sẻ: Nguyen Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:128

Thêm vào BST

Báo xấu

270
lượt xem 110
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment) Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính : Ví dụ: Tung một con xúc sắc là một thí nghiệm ngẫu nhiên vì : Ta không biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra (xúc sắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6) Con xúc sắc đồng chất để 6 mặt đều có thể xuất hiện như nhau. Cách tung xúc sắc không cố ý thiên vị cho mặt nào hiện ra. Không biết chắc hậu quả nào sẽ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sách: Thống kê sinh học

Chương 1 XÁC SUẤT (Probability) 1.1. THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ: 1.1.1. Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment) Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính : - Không biết chắc hậu quả nào sẽ xảy ra. - Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy ra Ví dụ: Tung một con xúc sắc là một thí nghiệm ngẫu nhiên vì : - Ta không biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện - Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra (xúc sắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6) Ràng buộc: - Con xúc sắc đồng chất để 6 mặt đều có thể xuất hiện như nhau. - Cách tung xúc sắc không cố ý thiên vị cho mặt nào hiện ra. 1.1.2. Không gian mẫu (Sample Space) Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu của thí nghiệm đó. Ví dụ: Không gian mẫu của thí nghiệm thảy một con xúc xắc là: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Không gian mẫu của thí nghiệm thảy cùng một lúc hai đồng xu là: E = {SS, SN, NS, NN} với S: Sấp, N: Ngửa 1.1.3. Biến cố (Event) a) Biến cố - Mỗi tập hợp con của không gian mẫu là một biến cố - Biến cố chứa một phần tử gọi là biến cố sơ đẳng Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc : - Biến cố các mặt chẵn là : {2, 4, 6}. Biến cố các mặt lẻ: {1, 3, 5} - Các biến cố sơ đẳng là : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Cao Hào Thi 1
b) Biến cố xảy ra (hay thực hiện) Gọi r là một hậu quả xảy ra và A là một biến cố - nếu r ∈ A ta nói biến cố A xảy ra - nếu r ∉ A ta nói biến cố A không xảy ra Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc nếu mặt 4 xuất hiện thì: - Biến cố {2,4,6} xảy ra vì 4 ∈ {2, 4, 6} - Biến cố {1,3,5} không xảy ra vì 4 ∉ {1, 3, 5} Ghi chú: - φ ⊂ E => φ là một biến cố ∀ r, r ∉ φ => φ là một biến cố vô phương (biến cố không) - E ⊂ E => E là một biến cố ∀ r, r ∈ E => E là một biến cố chắc chắn 1.1.4. Các phép tính về biến cố Cho 2 biến cố A, B với A ⊂ E và B ⊂ E a) Biến cố hội A ∪ B (Union) Biến cố hội của 2 biến cố A và B được ký hiệu là A ∪ B: A ∪ B xảy ra (A xảy ra HAY B xảy ra) E A B A∪B b) Biến cố giao A ∩ B (Intersection) A ∩ B xảy ra (A xảy ra VÀ B xảy ra) E A B A∩B Cao Hào Thi 2
c) Biến cố phụ A (Biến cố đối lập, Component of A) A xảy ra A không xảy ra A E A d) Biến cố cách biệt ( biến cố xung khắc, mutually exclusive event) A cách biệt với B A∩B=φ A cách biệt với B A với B không cùng xảy ra E A A∩B=φ B Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, ta có không gian mẫu: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Gọi A là biến cố mặt lẻ xuất hiện => A = {1, 3, 5} - Gọi B là biến cố khi bội số của 3 xuất hiện => B = {3, 6} - Gọi C là biến cố khi mặt 4 xuất hiện => C = {4}, biến cố sơ đẳng. Ta có: A ∪ B = {1, 3, 5, 6} A ∩ B = {3} A = {2,4,6} : biến cố khi mặt chẵn xuất hiện. A ∩ C = φ => A và C là 2 biến cố cách biệt. e) Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive) Gọi A1, A2…, Ak là k biến cố trong không gian mẫu E Nếu A1∪ A2∪… ∪Ak = E thì K biến cố trên được gọi là một hệ đầy đủ. Cao Hào Thi 3
1.2. XÁC SUẤT (Probability). 1.2.1. Định nghĩa: Nếu thông gian mẫu E có N biến cố sơ đẳng và biến cố A có n biến cố sơ đẳng thì xác suất của biến cố A là : n(A) P(A) = N Một cách khác ta có thể viết : Soá tröôøng hôïp A xaûy ra P(A) = Soá tröôøng hôïp coù theå xaûy ra Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, xác suất biến cố các mặt chẵn xuất hiện là : n(A) 3 1 P(A) = = = N 6 2 1.2.2. Tính chất: a. Gọi A là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu E 0 ≤ P(A) ≤ 1 b. P (φ) = 0 => φ là Biến cố vô phương P (E) = 1 => E là Biến cố chắc chắn 1.2.3. Công thức về xác suất : a) Xác suất của biến cố hội: P (A ∪ B) = P (A) + P(B) - P( A ∩ B) Chứng minh: Gọi N : là số phần tử của không gian mẫu E n1: là số phần tử của (A - B) n2: là số phần tử của (A∩B) n3: là số phần tử của (B - A) E A n1 n2 n3 B Cao Hào Thi 4
n(A ∪ B) = n1 + n2 + n3 = n1 + n2 + n2 + n3 - n2 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) Do đó : n( A ∪ B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A ∩ B )/N P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Ghi chú : Nếu A và B là 2 biến cố cách biệt, ta có: A ∩ B = φ => P(A ∩ B) = P(φ) = 0 ==> P (A ∪ B) = P(A) + P(B) b) Xác suất của biến cố phụ (biến cố đối lập) Biến cố phụ của biến cố A trong không gian mẫu E là A : P(A) + P ( A ) = 1 Chứng minh: A∪ A = E P (A∪ A ) = P(E) P(A) + P( A ) - P(A ∩ A ) = 1 vì P(A∩ A ) = P(φ) = 0 1.2.4. Công thức nhân về xác suất : a) Xác xuất có điều kiện : Gọi P (B / A) là xác suất có điều kiện của biến cố B sau khi biến cố A đã thực hiện. P(B/A) = P(A ∩ B)/ P(A) Với P(A) > 0 ; P(B) > 0 hay P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B) Chứng minh : • Gọi E là không gian mẫu chứa hai biến cố A,B • Giả sử A thực hiện rồi thì A là biến cố chắc chắn, ta có thể chọn A làm không gian mẫu thu gọn. • Biến cố B thực hiện sau khi biến cố A xảy ra trở thành biến cố B/A. • Trong không gian mẫu biến cố B/A thực hiện nếu và chỉ nếu A ∩ B thực hiện. r ∈ B/A r∈A∩B A E B Cao Hào Thi A∩B 5
Theo định nghĩa, ta có: n (A ∩ B) n (A ∩ B) N P(A ∩ B) P( B / A ) = = = n (A) n (A) P( A) N b) Công thức nhân về xác suất: Cho hai biến cố A và B trong không gian mẫu E, xác suất của biến cố giao được tính: P(A∩B) = P(B/A) * P(A) hay P(A∩B) = P(A/B) * P(B) c) Biến cố độc lập : Biến cố gọi là độc lập với biến cố A về phương diện xác suất nếu xác suất của biến cố B không thay đổi cho dù biến cố A đã xảy ra, nghĩa là: P(B/A) = P(B) ngược lại: P(A/B) = P(A) Trong trường hợp hai biến cố độc lập, công thức nhân trở thành: P(A∩B) = P(A) * P(B) 1.2.5. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ : Giả sử biến cố B xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố của hệ đầy đủ cách biệt nhau từng đôi một A1, A2…, Ak xảy ra. Biết xác suất P(Ai) và P(B/Ai) hãy tìm P(B) A1 A2 Ak E B B∩A1 B∩A2 B∩Ak Cao Hào Thi 6
Theo giả thiết bài toán thì B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B∩Ak) P(B)= P[(B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪…∪ (B∩Ak)] = P(B∩A1) + P(B∩A2) + … + P(B∩Ak) Vì: P(B∩Ai) = P(B/Ai) * P(Ai) k P(B) = ∑ P ( B / A i ) * P (A i ) i =1 Công thức này được gọi là công thức xác xuất đầy đủ. Ví dụ: Trong nhà máy có 4 phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất chiếm 1/3 tổng sản lượng của nhà máy; Phân xưởng II chiếm 1/4; Phân xưởng III chiếm 1/4; Phân xưởng IV chiếm 1/6. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng với các phân xưởng là 0,15; 0,08; 0,05; 0,01. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho sản phẩm của nhà máy thì sản phẩm đó là phế phẩm Giải : Gọi A1, A2, A3, A4 là biến cố lấy đúng một sản phẩm của phân xưởng I,II,III,IV. Gọi B là biến cố lấy được một phế phẩm B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4) 4 ==> P(B) = ∑ P(B / A i ) * P(A i ) i =1 Theo đề bài: P(A1) = 1/3, P(A2) = 1/4, P(A3)= 1/4, P(A4) = 1/6, ∑ P(Ai) = 1 P(B/A1) = 0,15, P(B/A2) = 0,08, P(B/A3) = 0,05, P(B/A4) = 0,01 Vậy P(B) =1/3 * 0,15 + 1/4 * 0,08 + 1/4 * 0,05 + 1/6 * 0,01 = 0,0816 b) Công thức Bayes: Giải bài toán ngược của bài toán trên, tức là biết các P(Ai), P(B/Ai) và biến cố B đã xảy ra, tìm P(Ai/B) Ta có : B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4) và P(Ai∩B) = P(Ai/B) * P(B) = P(B/Ai) * P(Ai) P(B/A i ) * P(A i ) P(Ai /B) = P(B) P(B/A i ) * P(A i ) P(Ai /B) = k ∑ P(B/A i ) * P(A i ) i =1 Cao Hào Thi 7
Công thức này được gọi là công thức Bayes, hay công thức xác suất các giả thiết về các biến cố Ai có thể xem như giả thiết theo đó biến cố B xuất hiện. Ta phải tính xác suất của các giả thiết với điều kiện biến cố B xuất hiện. Ví dụ: Xét lại thí dụ 2.2, cũng với giả thiết đó bây giờ ta yêu cầu xác suất để lấy một sản phẩm của phân xưởng thứ nhất biết nó là một phế phẩm. Ta phải tìm P(A1/B) P(A1/B) = [P(B/A1) * P(A)]/P(B) = [0,15 * 1/3]/0,0816 = 0,61 1.2.6. Công thức Bernoulli : a) Công thức Bernoulli : Nếu tiến hành những phép thử độc lập, trong mỗi phép thử xác suất hiện của biến cố A như nhau và bằng p thì xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử đó được biểu diễn bằng công thức Bernoulli k Pn(k) = C pk qn-k Với q = 1-p n Ghi chú : a. Trong trường hợp biến cố A xuất hiện từ k1 đến k2 lần trong n phép thử thì ta ký hiệu xác xuất đó là Pn(k1,k2) Gọi Aki là biến cố A xuất hiện ki lần A = Aki ∪ Ak1+1 ∪…∪ Ak2 k2 Pn (k1,k2) = P(A) = ∑ C in p i q n −i i = k1 b. Khi n và k khá lớn việc tính toán Pn(k) và Pn(k1, k2) sẽ phức tạp. Để khắc phục điều đó người ta phải tìm cách tính gần đúng các xác suất đó bằng cách áp dụng các định lý giới hạn. Ví dụ: Trong thùng có 30 bi: 20 trắng và 10 đen. Lấy liên tiếp 4 bi, trong đó mỗi bi lấy ra đều hoàn lại thùng trước khi lấy bi tiếp theo và các bi đều được trộn lại. Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra có 2 bi trắng. Giải: Xác suất lấy được bi trắng p = 20/30 =2/3 có thể xem như nhau trong 4 phép thử: q = 1 - p = 1/3 áp dụng công thức Bernoulli 2 2 (4-2) 4*3⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ≈ 0,3 2 P4(2) = C p²q = 1 * 2 ⎝ 30 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 4 27 Ví dụ: Cao Hào Thi 8
Xác suất xuất hiện biến cố A bằng 0,4. Hỏi xác suất để trong 10 phép thử biến cố A xuất hiện không quá 3 lần. Giải: p = 0.4, q = 0.6 Xác suất để biến cố A xuất hiện 0 lần : P10(0) = q10 Xác suất để biến cố A xuất hiện 1 lần : P10(1) = 10pq9 Xác suất để biến cố A xuất hiện 2 lần : P10(2) = 45p2q8 Xác suất để biến cố A xuất hiện 3 lần : P10(3) = 120p3q7 Xác suất để biến cố A xuất hiện không quá 3 lần P10(0,3) = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) ≈ 0.38 Ghi chú: n! • Chỉnh hợp Apn = (n - p)! n! • Tổ hợp Cpn = p!(n - p)! • Hoán hợp pn = Cnn = n! = n* (n - 1) * ( n - 2) * …. 3 * 2 * 1 b) Số lần xuất hiện chắc chắn nhất: Trị số của Pn(k) nói chung phụ thuộc vào k. Ta tìm một số k0 sao cho Pn(k0) đạt giá trị lớn nhất. Số k0 gọi là số lần xuất hiện chắc chắn nhất của biến cố A trong n phép thử. Ta có: np-q ≤ k0 ≤ np + p p ≠ 0 và p ≠ 1 Ví dụ: Xác suất bắn trúng đích của một người bằng 0,7. Nếu người đó bắn 25 phát. Xác định số lần có khả năng trúng đích nhất. Giải : n = 25, p = 0,7, q = 0,3 np - q ≤ k0 ≤ np + p 25 * 0,7 – 0,3 ≤ k0 ≤ 25 * 0,7 + 0,7 17,2 ≤ k0 ≤ 18,2 Vì k là số nguyên, nên chọn k = 18 c) Các công thức gần đúng để tính Pn (k) và Pn (k1,k2) Các công thức được rút ra từ các định lý giới hạn. Công thức Moixre - Laplace : Pn(k) ≈ ϕ(xk)/ npq • Công thức Moixre - Laplace được sử dụng khi n khá lớn Cao Hào Thi 9
• p là xác suất của biến cố A trong phép thử Bernoulli, p không quá gần 0 và 1 xk = (k-np)/ npq ϕ(x) = 1 / 2π * e-x²/2 : hàm số Gauss y x f(x)/ 2π Ví dụ: Xác suất để sản xuất ra một chi tiết loại tốt là 0.4. Tìm xác suất để trong 26 chi tiết sản xuất ra thì có 13 chi tiết loại tốt. Vấn đề là tìm P26(13) n = 26 p = 0.4 q = 0.6 xk = (k - np)/ npq = 1,04 ϕ(xk) = ϕ(1,04) = 0,2323 P26(13) = ϕ(xk) / npq = 0,2323/2,5 = 0,093 Pn (k1, k2) ≈ ∅ (β) - ∅ (α) ∅(x) 1/2 0 -1/2 α = (k1 - np)/ npq Cao Hào Thi 10
β = (k2 - np)/ npq x ∅(x) = 1/ 2π ∫ e-x²/2dx : hàm Laplace chuẩn 0 Ví dụ: Một phân xưởng sản xuất bóng đèn đạt trung bình là 70% sản phẩm loại tốt. Tìm xác suất để trong 1000 bóng đèn có từ 652 đèn 760 bóng đèn loại tốt. Xác suất phải tìm là P1000 (652, 760) n = 1000, p = 0,7 q = 0,3 k1 = 652 k2 = 700 α = (k1 - np)/ npq = - 3,31 => ∅ (α) = ∅(-3,31) = - 0,499520 β = (k2 - np)/ npq = 4,14 => ∅ (β) = ∅(4,14) = 0,499968 P1000 (652, 760) = ∅ (β) - ∅ (α) = 0,999488 Công thức Poisson • Nếu n → ∞ và p → 0 sao cho np = λ (const) thì Pn (k) ≈ (e-λλk) / k! • Định lý Poisson cũng có thể dùng để tính gần đúng Pn (k1,k2) k2 k2 ∑ P (k) ≈ ∑ e−λ λ k Pn (k1, k2) = n k! k =k1 k =k1 Ví dụ: Tổng sản phẩm của xí nghiệp A trong 1 quí là 800. Xác xuất để sản xuất ra một phế phẩm là 0.005. Tìm xác suất để cho : 1. Có 3 sản phẩm là phế phẩm 2. Có không quá 10 sản phẩm bị hỏng Giải: n =800, p = 0,005 => λ = np = 4 1. P800(3) = e-44³/3! = 0,1954 10 2. P800(0,10) = ∑ k =0 e-44k/k! = 0, 997 Cao Hào Thi 11
Chương 2 THỐNG KÊ Thống kê là một khoa học có mục đích thu thập, xếp đặt và phân tích các dữ liệu về một tập hợp gồm các phân tử cùng loại 2.1 TẬP HỢP CHÍNH VÀ MẪU (Population and Sample) 2.1.1 Tập hợp chính (tập hợp tổng quát, tổng thể) Tập hợp chính là tập hợp tất cả các đối tượng mà ta quan tâm nghiên cứu trong một vấn đề nào đó. Số phần tử của tập hợp chính được ký hiệu là N. 2.1.2 Mẫu Mẫu là tập hợp con của tập hợp chính. Mẫu gồm một số hữu hạn n phần tử. Số n được gọi là cỡ mẫu: Tập hợp chính = {x1,x2…xN} Mẫu = {x1,x2…xn} 2.1.3 Cách chọn mẫu Có nhiều cách chọn mẫu khác nhau, nhưng nguyên tắc quan trọng nhất là làm sao mẫu phải phản ảnh trung thực tập hợp chính. Các cách chọn mẫu thường dùng: • Chọn mẫu ngẫu nhiên : đó là cách chọn n phần tử từ tập hợp chính N phần tử sao cho n mỗi tổ hợp trong C N tổ hợp đều có cùng khả năng được chọn như nhau. • Cách chọn máy móc. • Cách chọn phân lớp • Cách chọn hàng loạt • Cách chọn kết hợp (nhiều bậc) 2.2 BẢNG KÊ VÀ BIỂU ĐỒ Để mô tả các dữ liệu một cách cụ thể ta dùng bảng kê và các biểu đồ. 2.2.1 Bảng kê (Table) • Xếp đặt các dữ liệu vào một bảng theo một qui tắc nào đó ta được một bảng kê. • Bảng kê thường bắt đầu bằng tiêu đề và chấm dứt bằng một xuất xứ. + Tiêu đề : Mô tả đơn giản nội dung của bảng kê + Xuất xứ : Ghi nguồn gốc các dữ liệu trong bảng kê. Cao Hào Thi 13
Thí dụ: Bảng 2.1: Diện tích các đại dương trên thế giới Đại dương Diện tích (triệu km²) Thái Bình Dương 183 Đại Tây Dương 106,7 Ấn Độ Dương 73,8 Nam Băng Dương 19,7 Bắc Băng Dương 12,4 nguồn : Liên Hiệp Quốc 2.2.2 Biểu đồ Để có ấn tượng rõ và mạnh hơn về dữ liệu người ta trình bày dữ liệu bằng các biểu đồ: a) Biểu đồ hình thanh (Bar chart) Biểu đồ hình thanh dọc Biểu đồ hình thanh ngang Dieä n tích (trieä u km²) Dieä n tích (trieä u km²) 200 183 BBD 12.4 150 NBD 19.7 106.7 ADD 73.8 100 73.8 DTD 106.7 50 19.7 12.4 TBD 183 0 TBD DTD ADD NBD BBD 0 50 100 150 200 b) Biểu đồ hình gẫy khúc (Line Chart) Biểu đồ này thích hợp với việc biểu diễn một sự liên hệ giữa hai đại lượng với nhau: Cao Hào Thi 14
23.5 23 22.5 22 21.5 21 20.5 20 19.5 19 18.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nhiệt độ trung bình tại Đà Lạt năm 1969 c) 2.2.2.3 Biểu đồ hình tròn (Pie Chart) Dieän tích (%) ADD NBD BBD DTD TBD Biểu đồ hình tròn là một vòng tròn chia thành nhiều hình quạt. Cả hình tròn tượng trưng toàn thể đại lượng, mỗi hình quạt tương trưng một thành phần mà góc ở tâm tỷ lệ với số dữ kiện thuộc thành phần đó. 2.3 TẦN SỐ • Nếu mỗi biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω nào đấy có thể đặt tương ứng với một đại lượng xác định X = X(A), thì X được gọi là một biến ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X có thể xem như hàm của biến cố A với miền xác định là ω. • Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ lớn X,Y,Z … còn các giá trị của chúng được ký hiệu bằng các chữ nhỏ x,y,z… • Biến ngẫu nhiên được chia ra là biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục.* * - Nếu các giá trị mà biến ngẫu nhiên X cho trước có thể lập thành dãy số rời rạc các số x1,x2…,xn (dãy hữu hạn hay vô hạn) thì chính biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. - Nếu các giá trị mà biến ngẫu nhiên X cho trước có thể lấp đầy toàn bộ khoảng hữu hạn hay vô hạn [a,b] của trục số thì biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. Cao Hào Thi 15
2.3.1 Tần số (Frequency) • Gọi xi là các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên X (i = 1,2,…l) • Số lần xuất hiện của giá trị xi trong khối dữ liệu được gọi là tần số của xi và được ký hiệu là fi. l ∑f i =1 i = n với n là cỡ mẫu 2.3.2 Tần số tương đối (Relative frequency, tần suất) fi Tỉ số giữa tần số fi và cỡ mẫu n gọi là tần số tương đối n l fi Wi = n ∑ Wi = 1 i =1 2.3.3 Tần số tích lũy (Cumulative Frequency) Tần số tích lũy của một giá trị xi là tổng số tần số của giá trị này với tần số của các giá trị nhỏ hơn xi. 2.3.4 Bảng phân phối tần số Bảng phân phối tần số là bảng thiết lập sự tương quan giữa các giá trị xi của biến ngẫu nhiên X và các tần số của xi. Tùy thuộc vào loại tần số ta có: • Bảng phân phối tần số • Bảng phân phối tần số tương đối (Bảng phân phối thống kê) • Bảng phân phối tần số tích lũy. Thí dụ: • Bảng phân phối tần số tương đối của biến ngẫu nhiên rời rạc. X x1 x2 x3 … xl Wi w1 w2 w3… wl • Bảng phân phối tần số của biến ngẫu nhiên liên tục. X [ξo, ξ1) [ξ1, ξ2) [ξ2, ξ3) … [ξl-1, ξl) fi f1 f2 f3 ... fl 2.3.5 Đa giác phân phối và biểu đồ tổ chức a) Đa giác phân phối Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, để dễ nhận biết người ta trình bày phân phối thống kê của biến ngẫu nhiên rời rạc dưới dạng đa giác phân phối. Muốn vậy, ta biểu diễn các điểm liên tiếp (x1,w1),(x2,w2)…(xl,wl) trên mặt phẳng tọa độ và nối chúng bằng các đoạn thẳng. Cao Hào Thi 16
Wi x1 x2 xi xl X b) Biểu đồ tổ chức Là biểu đồ thiết lập sự liên hệ giữa tần số (hay tần số tương đối) và các khoảng chia mà các giá trị của biến ngẫu nhiên rơi vào đó. X [ξo, ξ1) [ξ1, ξ2) … [ξi-1, ξi) [ξl-1, ξl) fi f1 f2 … fi fl y yi fi/h 0 ξ ξi-1 ξi ξl-1 ξl X yi = fi/h h = ξi - ξi-1 = Const Si = yi * h = fi Si = fi Ghi chú : Đối với tần số tương đối yi = wi/hi và Si = Wi Cao Hào Thi 17
Thí dụ: Trong kết quả của phép thử biến ngẫu nhiên X lấy các giá trị sau đây: ξ1 = 2 ξ2 = 5 ξ3 = 7 ξ4 =1 ξ5 =10 ξ6 = 5 ξ7 = 9 ξ8 = 6 ξ9 = 8 ξ10 = 6 ξ11 = 2 ξ12 = 3 ξ13 = 7 ξ14 = 6 ξ15 = 8 ξ16 = 3 ξ17 = 8 ξ10 = 10 ξ19 = 6 ξ20 = 7 ξ21 = 3 ξ22 = 9 ξ23 = 4 ξ24 = 5 ξ25 = 6 1. Lập bảng phân phối tần số: 2. Xây dựng bảng phân phối thống kê 3. Vẽ đa giác phân phối Giải : 1. Cỡ mẫu n = 2, tần số fi và tần số tích lũyΣf X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fi 1 2 3 1 3 5 3 3 2 2 Fi 1 3 6 7 10 15 18 21 23 25 2. X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fi 0.04 0.08 0.12 0.04 0.12 0.2 0.12 0.12 0.08 0.08 Wi= n Σ wi = 1 w 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cao Hào Thi 18
2.4 SỐ ĐỊNH TÂM (Measure of Central Tendency) Số định tâm của nhóm dữ liệu là số đại diện cho tất cả các dữ liệu đó, nó thể hiện vai trò trung tâm của nhóm dữ liệu. Có các loại số định tâm sau: số trung bình (Mean), trung bình trọng số (Weighted mean), số trung vị (Median) và số yếu vị (Mode). 2.4.1 Số trung bình (Mean, kỳ vọng) a) Số trung bình của tập hợp chính (Population Mean) N ∑x i µ= i =1 N b) Số trung bình của mẫu (Sample Mean) n ∑x i x= i =1 n 2.4.2 Số trung bình trọng số (Weighted Mean) N ∑ w .x i i µ= i =1 N wi : trọng số ∑w i =1 i 2.4.3 Số trung vị (Median) • Số trung vị của khối Dữ liệu là số mà phân nửa giá trị quan sát được của khối Dữ liệu nhỏ hơn nó và phân nữa giá trị quan sát lớn hơn nó. • Gọi n là số giá trị quan sát được (đối với biến ngẫu nhiên rời rạc) Nếu n là số lẻ thì số trung vị là số có thứ tự (n+1)/2. Nó chính là số có vị trí ở giữa khối Dữ liệu. n n Nếu n là số chẵn thì số trung vị là trung bình cộng của hai số có thứ tự và +1 2 2 2.4.4 Số yếu vị (Mode) Số yếu vị của khối Dữ liệu là số có tần số lớn nhất Thí dụ: Cho khối dữ kiện 0 1 0 2 5 2 5 2 3 3 5 6 4 Tìm số trung bình, số trung vị và số yếu vị của khối Dữ liệu. Giải : Cao Hào Thi 19
Ta có bảng phân phối tần số : X 0 1 2 3 4 5 6 Tần số fi 2 1 3 2 1 3 1 Số trung bình (Mean) 7 ∑fx i =1 i i 2 x0 + 1x1 + 3x 2 + 2 x3 + 1x 4 + 3x5 + 1x6 X= 7 = = 2,923 13 ∑f i =1 i Số trung vị (Median): Cỡ mẫu n = 13 lẻ => (n+1)/2 = 7 0012223345556 ⇒ Số trung vị là số có thứ tự 7, nghĩa là số trung vị là 3 Số yếu vị là 2 và 5 có tần số lớn nhất là 3 Số trung vị, số yếu vị không bị lệ thuộc vào các Dữ liệu có trị số thái quá. 2.5 SỐ PHÂN TÁN (Measure of Dispersion) Số phân tán dùng để thể hiện sự khác biệt giữa các số trong dữ liệu đối với số định tâm. 2.5.1 Phương sai (Variance) a) Phương sai của tập hợp chính (Population Variance) N N ∑ ( xi − µ ) 2 ∑x 2 i σ2 = i =1 = i =1 − µ2 N N b) Phương sai của mẫu (Sample Variance) n ∑ (x i − x)2 S2 = i =1 n −1 2.5.2 Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) a) Độ lệch chuẩn của tập hợp chính (Population Standard Deviation) 1 σ = σ2 = N ∑ (x i − µ)2 b) Độ lệch chuẩn của mẫu (Sample Standard Deiation) Cao Hào Thi 20