TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM THÁI NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN: TOÁN LÝ
PHẠM THANH HIẾU
SÁCH GIAO BÀI TẬP
Học phần : Toán cao cấp- Thống kê
Số tín chỉ : 03
Mã số : MAS131
Thái Nguyên, 2017
1
PHẦN 1. TOÁN CAO CẤP
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài tập 1: Thực hiện phép nhân hai ma trận:
60
53
74
5124
159
)
72
510
611
43
)ba
Bài tập 2: Giải hệ phương trình:
12
12
12
12
)1
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
432
632
423
132
)2
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
3 2 3
3) 2 3 6
3 4 11
x y z
x y z
x y z
2 3 1
4) 3 4 2 3
5 2 2
x y z
x y z
x y z
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5 1
5) 3 0
2 3 8 3 3
x x x x
x x x x
x x x x
41
3 2 0
6) 5 2 0
7 7 4 2
x y z
x y z
x y z
x y z
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài tập 1: Tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số sau đây:
xxyxxy
x
x
ycot.)6;52)5;
1
1
)4 2
Bài tập 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
1/
x
exxy 32 ).123(
; 2/
x
exxy 23 ).2(
; 3/
xxxy 2sin).42( 2
4/
x
exy 22 ).1(
; 5/
x
exy 22 )12(
6/
x
exxy 32 )3(
;
Bài tập 3: Một người nông dân cần quây 3 chuồng nuôi bò liền nhau có cùng diện tích
là 15m2 bằng dây thép gai. Hỏi người nông dân nên quây chuồng có kích thước như
thế nào để vừa đủ yêu cầu về diện tích mỗi chuồng mà tốn ít dây thép nhất?
Bài tập 4: Một người chăn nuôi bò sữa có 200m rào để quây hai chuồng bò bằng nhau
hình chữ nhật. Hỏi người đó nên quây chuồng có kích thước như thế nào để diện tích
mỗi chuồng là lớn nhất?
Bài tập 5: Tổng doanh thu (đôla) khi sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được cho
bởi hàm số sau:
32
450 52500 ( 0)R x x x x
Hỏi công ty nên đưa ra mức sản suất là bao nhiêu sản phẩm để có được doanh thu lớn
nhất.
2
Bài tập 6: Sự lây lan của virut có thể được mô hình bởi:
.120,12 23 tttN
Với N số lượng người bị nhiễm ( tình bằng hàng trăm người), t là thời gian tính bằng
tuần.
a) Theo anh (chị) dự đoán tối đa có bao nhiêu người bị nhiễm virut trên?
b) Virut sẽ lây lan nhanh nhất vào thời điểm nào?
Bài tập 7: Khi rác thải đổ xuống ao, sự phân hủy của rác thải tiêu hao oxy. Mức oxy
có trong ao khi rác thải bị oxy hóa được mô hình bởi:
.0;
1
1
2
2
t
t
tt
O
Với t là thời gian tính bằng tuần.
a) Khi nào mức oxy là thấp nhất? Mức đó là bao nhiêu?
b) Khi nào mức oxy là cao nhất? Mức đó là bao nhiêu?
Bài tập 8: Tác dụng (E) của một loại thuốc giảm đau sau khi vào dòng máu
t
giờ
được cho bởi:
.5,40),39(
27
132 ttttE
Tìm tỷ lệ tác dụng trung bình của E trong khoảng thời gian từ 1 đến 2h và tỷ lệ tác
dụng tức thời tại thời điểm t=2 giờ.
Bài tập 9: Sự phát triển của một loài vi khuẩn được mô hình bởi hàm số
,
50
4
1500 2
t
t
P
Với t là thời gian tính bằng (h). Tìm tỷ lệ tăng trưởng của số lượng vi khuẩn tại thời
điểm t=2.
Bài tập 10: Một công ty vừa ước lượng rằng chi phí (tính bằng đôla) cho
x
đơn vị sản
phẩm được sản xuất (
)0x
được mô hình bởi hàm số
2
0002,004,0800 xxC
. Hỏi
công ty nên đưa ra mức sản xuất là bao nhiêu sản phẩm để mức chi phí trung bình cho
một sản phẩm là nhỏ nhất?
Bài tập 11: Lợi nhuận thu được từ việc bán
x
cái đồng hồ báo thức được mô hình bởi
hàm số
3
0,0002 10 ($)P x x
a) Tìm lợi nhuận biên cho mức sản xuất 50 chiếc.
b) Lợi nhuận thực tế tăng lên bao nhiêu khi tăng mức sản xuất từ 50 đến 51 chiếc.
So sánh con số đó với lợi nhuận biên ở trên rồi rút ra kết luận.
Bài tập 12: Tính các đạo hàm riêng cấp 1 :
1)
23
( , ) sin(2 ) xy
f x y x y e
; 2)
2
24
( , ) os( ) x
f x y c x y e
; 3)
245
( , ) 3
xy
f x y e x y
;
4)
33 42
( , ) 5
xy
f x y e x y
; 5)
33 2
( , ) cos(5 )
xy
f x y e x
; 6)
yx
exyxf 2
.),(
.
Bài tập 13: Tìm vi phân toàn phần của các hàm số hai biến số :
1)
)cos(),( xy
xyeyxf
; 2)
)sin(),( xy
xyeyxf
; 3)
yxxyxf .ln),(
3
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Bài tập 1: Tính các tích phân
;
1
11
/1 4
22
dx
x
xx
;sin/2 dxxx
;
12
/3
3
4dx
x
x
;)13(/6;
)21(
4
/5;2/4 243
22
332 dxxx
x
xdx
dxxx
xx
dx
dx
xx
x
x
xdx
2
3
2
2ln.
/9;
43
1
/8;
4
3
/7
Bài tập 2: Tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn theo một đơn vị thời gian t được
đo bởi:
;
25.01
3000
tdt
dP
Trong đó, t là thời gian tính bằng đơn vị ngày. Khi t = 0 thì số vi khuẩn p = 1000.
a/ Viết phương trình mô tả số lượng vi khuẩn theo thời gian t;
b/ Số vi khuẩn là bao nhiêu sau 3 ngày;
c/ Sau bao lâu số vi khuẩn sẽ lên đến 12 000 con.
Bài tập 3: Doanh thu biên cho việc bán một sản phẩm được mô hình bởi:
,
1
100
02,050
x
x
dx
dR
Với
x
là số lượng hàng hóa đã bán.
a/ Tìm hàm doanh thu R biết khi
;00 Rx
b/ Tìm tổng doanh thu khi bán được 1500 sản phẩm;
c/ Phải bán được bao nhiêu sản phẩm để tổng doanh thu đạt 60230 đôla.
Bài tập 4: Mức lương trung bình cho một người quản lý ( S đôla) ở Mỹ được thay đổi
với tỷ lệ:
;.7,2621 07,0 t
e
dt
dS
Với t = 5 tương ứng với năm 1995. Năm 2001, mức lương trung bình cho người quản
lý đã là 118,496 đôla.
a/ Tìm hàm số mô tả mức lương trung bình của người quản lý mỗi năm;
b/ Năm 1999, mức lương trung bình của người quản lý là bao nhiêu?
Bài tập 5: Do sự cung cấp thiếu oxy nên cá hồi trong hồ đang bị chết dần. Tỷ lệ thay
đổi của số lượng cá hồi trong hồ được đo bởi:
20
.125
t
e
dt
dP
.
Với t là thời gian tính bằng ngày. Khi t =0 thì số cá hồi trong hồ là 2500.
a/ Viết phương trình mô tả số lượng cá hồi theo thời gian t;
b/ Số lượng cá hồi còn là bao nhiêu sau 15 ngày.
Bài tập 6: Một vườn ươm cây xanh thường bán một loại cây bụi sau 5 năm trồng và
chăm sóc. Tỷ lệ phát triển của cây sau 5 năm được đo bởi:
16,17
6,17
2
t
t
dt
dh
,
4
Với t là thời gian tính bằng năm, h là chiều cao của cây tính bằng cm. Biết mầm cây
trước khi đem ươm cao 6 cm.
a/ Tìm hàm số mô tả chiều cao của cây;
b/ Khi cây được đem bán thì chúng cao bao nhiêu?
Bài tập 7: Chi phí biên cho việc sản xuất
x
đơn vị sản phẩm được mô hình bởi:
,04,032 x
dx
dC
Biết chi phí để sản xuất một đơn vị sản phẩm là 50.000 đồng. Tìm tổng chi phí để sản
xuất 200 sản phẩm.
Bài tập 8: Lợi nhuận biên của một sản phẩm được bởi
2,120005,0 x
dx
dP
.
a/ Lợi nhuận sẽ tăng lên bao nhiêu khi bán hàng tăng từ 100 đến 110 đơn vị.
b/ Lợi nhuận sẽ tăng lên bao nhiêu khi bán hàng tăng từ 100 đến 110 đơn vị.
Bài tập 9: Tính các tích phân sau:
2
03
3
4
2
0
12
10 2
1
03
2
1
3
1
23
1
0
2
cossin
cossin
/8;
2sin
/7;
sin1
cos
/6
;
2
24
/5;
1
2
/4;ln/3
;/2;
1
3
/1
dx
xx
xx
x
dx
x
xdx
dx
xx
x
dx
x
x
dxx
dx
x
xxx
dx
x
e
e
e
x
Bài tập 10: Tính các tích phân suy rộng:
0
222
04
2
0232
22
2
2
./6;
1
/5;
1
/4
;
1
1
/3;
)1(
arctan
/2;
1
sin.
1
/1
dxex
xx
dx
xx
dx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
a