Ệ
Ế
SÁNG KI N KINH NGHI M NĂM 2017
Ề
ƯƠ
Ọ
Ạ
Đ TÀI:PH
NG PHÁP QUY N P TOÁN H C
Ở Ầ I.M Đ U I.1 Lý do ch n đ tài:
ọ ạ ươ ượ ng pháp đ
ổ ng trình ph thông.Song tài li u nghiên c u còn ít,ch
l p 11 và ch có 1 ti
ế ầ ủ ộ
ể ả i các bài toán liên quan đ n s t
ứ ự ế ả ả nhiên l ắ ế ổ
ể ọ ả ạ ờ ợ
ể ả ộ ố ơ ươ i thích h p đ gi ng d y đ h c sinh s ọ t h n. i gi ng pháp quy n p toán h c”. Ngày m t t
ứ
ọ ề ử ụ ươ c s d ng ng pháp quy n p toán h c” là ph “Ph ươ ệ ố ươ ng xuyên su t ch ạ ỉ ố ở ớ ượ t.Trong khi th c t c phân ph i trình đ gi ng d y ỏ ữ ớ ọ h c sinh trên l p nh ng năm qua và yêu c u c a b môn đòi h i ph i nghiên ậ ụ ạ ế ố ự ươ ứ i c u ,v n d ng ph ng pháp đ gi ế ế ở ậ ấ ầ b c ph thông.Chính vì th Tôi đã tìm các bài toán và s p x p r t c n thi t ử ệ ố ộ m t cách có h th ng và l ạ ụ d ng“Ph I.2 M c đích nghiên c u: ươ ứ ệ ọ ụ “Ph
ng pháp quy n p toán h c” là tài li u b tr ki n th c cho các ọ ạ ọ ậ ọ ỏ em h c sinh trong quá trình h c t p và ôn thi h c sinh gi ổ ợ ế i.
ọ ấ ậ ệ ố
ọ ạ ứ ươ
ế ươ nhiên n trong ch ượ ự ậ c s v n ẳ ng pháp quy n p toán h c” vào các bài toán ch ng minh đ ng ế ố ự ứ ng trinh
ứ I.4.Ph
ấ
ế I.5 Nh ng đi m m i c a sáng ki n kinh nghiêm
: ử ụ ượ ể ạ ả ụ Thông qua h th ng ví d và bài t p. H c sinh th y đ ủ ụ d ng c a “Ph ứ ấ ẳ th c,b t đ ng th c và chia h t liên quan đ n s t ổ ậ b c ph thông. ố ượ ứ : ng nghiên c u I.3 Đ i t ớ H c sinh l p 11,12 ươ Ph Ph ữ Ch rõ “Ph ng pháp quy n p” đ c s d ng đ gi i toán trong
ữ nh ng tr
ế ậ
ậ ể ệ ự ế ệ H th ng ví d ,bài t p trong sáng ki n kinh nghi m th hi n s k t ộ ổ ươ ng trình b c ph thông m t cách ứ ng ki n th c trong ch
ạ ả ớ
ọ ng pháp nghiên c u: ươ ố ng pháp th ng kê. ề ươ ng pháp nêu v n đ , ớ ủ ể ỉ ươ ườ ợ ng h p nào. ụ ệ ố ạ ượ ố ế n i các đ i l ấ ố th ng nh t. ừ ự ế ả T th c t ọ ừ ự ủ ế ệ ề ệ gi ng d y, v i kinh nghi m c a b n thân trong quá trình ớ ế đó ti n hành th c hi n đ tài sáng ki n cho năm 20162017 v i
ươ ươ
n
ộ ẳ ộ ấ ẳ ứ ể ạ ọ ể ứ ể ứ ứ Dùng qui n p toán h c đ ch ng minh m t bi u th c d ng U
ạ ứ ng pháp quy n p đ ch ng minh m t đ ng th c ạ đ ch ng minh m t b t đ ng th c ứ ng pháp quy n p ạ ộ ể nhiên
c c b n đ gi i m t bài toán s đ
1
ạ d y và h c, t ụ ể ư ộ C th nh sau: n i dung: ề : Dùng ph ấ V n đ 1 ề : Dùng ph ấ V n đ 2 ề ấ V n đ 3 : ộ ố ự ế chia h t cho m t s t ế Trong sáng ki n này, các b ụ ừ ọ ể ả ụ ơ ả ứ ộ ố ả ư đ a ra t ộ ướ các ví d minh h a, sau đó là ng d ng vào gi ẽ ượ c i m t s bài toán
ươ ọ ỏ ng trình sách giáo khoa và h c sinh gi i môn
trong các nâng cao trong ch toán.
ấ ặ M c dù r t tâm huy t v i Sáng ki n kinh nghi m “ Ph
ệ ạ ư
ạ ỏ ế ớ ờ ố ấ ữ ế ậ
ượ ự ể ạ ồ ươ ng pháp quy ế ọ ”, nh ng do th i gian và kh năng có h n nên bài vi t khó tránh ầ ế ủ c s góp ý ki n c a quí Th y, ượ c
ọ ậ ệ ở ế ạ ệ ệ ả ơ ế ả n p toán h c kh i nh ng thi u sót. T i r t mong nh n đ ệ ọ Cô, b n đ ng nghi p và các em h c sinh đ Sáng ki n kinh nghi m đ hoàn thi n h n và tr thành tài li u có ích trong gi ng d y và h c t p.
Ế
ế Ệ ệ Ộ ơ ở ậ ủ
ọ ượ
ả ể
c h c t ổ ắ II.N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M: 1. C s lý lu n c a sáng ki n kinh nghi m: Các bài toán liên quan đ n s t ọ ơ ở ượ ọ ướ ộ ố ấ
ỉ ti u h c ,trung h c c s đ ệ trên m t s d u hi u cho tr ọ h c sinh là các bài toán liên quan đ n s t ố ự s t
ứ ượ ử ụ
ế ki n th c đ
ụ ượ ổ ọ ừ ậ ố ự ế nhiên n, h c sinh đ b c ặ ự ơ ở ế ế i quy t trên các c s bi n đ i ho c d a c gi ắ ủ ỏ c .Không th a mãn cho nh ng th c m c c a ọ ớ ế ố ự nhiên có th t s là đúng v i m i ườ nhiên hay không ? hay ch đúng trong tr ế Các ki n th c đ ứ ượ c trình bày trong Sách giáo khoa Đ i s và Gi Các ví d đ
ự
ữ ậ ự ợ ữ ạ ng h p h u h n. ạ ộ ề ế c s d ng trong sáng ki n này đ u thu c ph m vi ạ ố ớ ả i tích l p 11. ấ ừ các bài toán l y t sách giáo khoa,sách bài ộ ố ề làm. ệ ộ ố ạ ứ ự ế
ươ Trong quá trình gi ng d y bài ụ “ Ph
ạ ấ ố ố ấ ố ộ ợ ừ c t ng h p t ệ ả ậ t p và m t s sách tham kh o hi n hành và m t s đ do tôi t ướ c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m: 2.Th c tr ng nghiên c u tr ạ ng III
“Dãy s ,C p s c ng và C p s nhân” ộ ố ả ấ ằ ữ ớ
ả ươ ớ i tích l p 11 ch ế ố ự ứ ế ố ứ ơ ả nhiên trong ch
ươ ố ớ ấ ầ ạ ọ ư ễ
ả ọ ơ ng trình sách giáo khoa trình bày cô đ ng và đ n gi n nh t đ ấ ể
ọ ng pháp quy n p toán h c” ộ .Tôi thu c Gi ậ nh n th y r ng: gi a ki n th c c b n sách giáo khoa l p 11 và m t s bài ả ng Đ o hàm,S ph c có kho ng toán liên quan đ n s t ậ cách r t g n gũi và không khó. Nh ng đ i v i h c sinh thì th t không d chút nào. Nguyên nhân là: +Ch ọ h c sinh d h c.
ậ ụ ệ ọ ỹ ươ ể ọ ờ
ứ ậ ụ ế ỏ ổ ợ +Th i gian h c và rèn luy n k năng v n d ng ít. +Trong khi đó các bài toán đòi h i ki n th c v n d ng t ng h p và liên
môn.
ư ạ ọ ư ng v chuyên đ Quy n p toán h c ch a có và ch a
ề ớ ề ọ ượ đ
ồ ưỡ +Các sách b i d ấ ế c quan tâm nên r t khó v i các em h c sinh . ự ề
ệ ố ệ ứ ế ằ i quy t khó khăn này.Tôi đã th c nghi m đ tài : “ ọ nh m h th ng các ki n th c liên quan t
ố ượ ớ ừ ợ ọ ậ ự ế ắ ngươ Ph ừ ễ ế d đ n ễ ế ể ng h c sinh đ các em d ti p phù h p v i t ng đ i t
ả ệ ể ả Đ gi ạ pháp quy n p toán h c” khó, s p x p tr t t thu . 3.Gi
ượ ạ
ư ộ ự ổ ứ ch c th c hi n ươ Ph
2
ươ ng pháp quy n p toán h c. ươ ố ấ ố ộ ọ ” đ ạ ng pháp quy n p toán h c. ấ ố ọ ” thu c Gi ậ ờ i pháp và t ề Đ tài “Ph ọ ọ h c sinh h c bài “ ng III “ 11,Ch Dãy s ,c p s c ng,c p s nhân” trong gi c đ a vào ngay khi ớ ả i tích l p bài t p, trong các
ọ ở ọ ươ ứ ạ ớ ố ch n và ti p t c h c các ch ng Đ o hàm l p 11,S ph c trong
ế ự t t ươ ti ch
ọ ọ ả ụ ể ế ụ . ng pháp gi
ả ế ề ứ i c th giúp h c sinh h ng thú, say mê h c và i quy t các v n đ phát sinh trong quá trình làm toán.
ớ ng trình l p 12 ươ Cùng ph ấ ổ ắ
ứ ố ụ ể ố ể ọ ộ ệ ữ ươ ị ế ơ c m i liên h gi a các đ n v ki n ng trình sách giáo
ớ ủ
ạ
ầ ậ ủ ầ ả
ệ ớ ch n v i các bài t p ụ ẫ ả ẫ ữ ộ ừ ậ ọ ọ i, ví d m u và h th ng bài t p, h c sinh nêu các l
ự ng pháp gi ượ ủ ệ ự ướ ng d n c a Th y giáo ổ ọ ổ Th c hi n trong ph m vi m t s bu i ch a bài t p c a các bu i h c ư m c đ v a ph i. Th y giáo đ a ra ờ ả i gi i có ộ ố ấ c c a bài toán. Sau đó cho h c sinh tìm tòi, phát hi n m t s v n
ọ ả m c đ đ n gi n.
ồ ưỡ ố ớ ữ ọ ng đ i v i nh ng h c
ơ
ự ướ ẫ ủ ầ
gi ượ Nhìn t ng th h c sinh n m đ ấ th c liên quan thành m t th th ng nh t và m c đích ch khoa rõ ràng,khoa h c.ọ ệ ậ ứ a. Hình th c luy n t p trên l p có s h ộ ố ự ậ ở ứ chính khoá ,t ệ ố ươ ph ể th có đ ả ở ứ ộ ơ ề i đ xung quanh bài gi ự ệ ổ ộ ố Th c hi n m t s bu i trong công tác b i d ơ ở ứ ộ ữ m c đ nh ng bài toán cao h n. ứ ứ ự nghiên c u các bài toán có s h ệ ng d n c a Th y giáo ọ ậ ự ứ
ụ ạ ủ ọ ủ ượ ư ả duy, tính sáng t o c a h c sinh ngày càng đ
ộ ệ ế sinh khá h n b.Hình th c t ọ ầ Hình th c này cũng c n th c hi n liên t c trong quá trình h c t p c a h c sinh, làm cho kh năng t c tăng lên. 4. N i dung sáng ki n kinh nghi m.
ƯƠ Ọ Ạ PH NG PHÁP QUY N P TOÁN H C
ế
ươ ứ ạ ứ ậ ụ Các ki n th c v n d ng. ệ ự ự ự ớ ớ Ph ng pháp quy n p th c s có hi u l c v i l p các bài toán ch ng minh
(cid:0) ề ụ ố ự ệ ộ ộ m t m nh đ ph thu c vào s t nhiên n N.
p(cid:0)
ươ Ph ng pháp gi ả i
ể ứ ọ n ệ ề ộ ớ ự ệ Đ ch ng minh m t m nh đ Q(n) đúng v i m i , ta th c hi n 2 b ướ c
p=
ứ ự theo th t :
= (cid:0) k
p
ể ệ ề B ớ n c 1ướ : Ki m tra m nh đ là đúng v i
n
ả ử ệ ớ n ả ằ ứ , ta ph i ch ng minh r ng B ướ : Gi c 2
ề ệ ớ m nh đ đúng v i ề s m nh đ đúng v i k= + . 1
Ọ Ụ CÁC VÍ D MINH H A
ấ ươ ể ứ ộ ẳ ạ V n đ 1 ề :: Dùng ph ứ . ng pháp qui n p đ ch ng minh m t đ ng th c
(cid:0) 2 ,ta có :
ọ ố ự nhiên n ớ ằ : v i m i s t
Ví d 1ụ : Ch ng minh r ng ứ an – bn = (a – b)(a n – 1 + a n – 2.b +… +a.b n 2 +b n– 1 )
Gi iả
ứ ứ ằ ươ ạ
3
ẳ Ta ch ng minh đ ng th c b ng ph ng pháp qui n p. Khi n=2 thì VT = a 2 – b 2 , VP = (a –b)(a+ b)= a2 – b2 .
ẳ ậ ớ ứ V y đ ng th c đúng v i n=2.
(cid:0) 2 ,
ả ử ẳ ứ ớ ọ Gi s đ ng th c đúng v i m i n = k
k – b k = (a – b )(a k1 + a k2.b + … + a.b k2 + b k1 )
ứ t c là :a
ớ ẳ ứ ứ ứ
ả ụ ậ ậ ạ t qui n p , ta có : thi
Ta ch ng minh đ ng th c cũng đúng v i n=k + 1 , t c là : a k+1 – b k+1 = (ab)(ak + a k1.b +…+ a.b k1 + bk) ế Th t v y : áp d ng gi a k+1 b k+1 = a k+1 – ak.b+ak.b – b k+1 = ak(ab) + b(akbk) = ak(ab) +b(ab)(a k1 + a k2.b + …+ a.b k2 + b k1 ) = (ab) [ak + b(a k1 +a k2 .b +…+a.b k2 +b k1) ] = (ab)(ak +a k1.b +…+a.b k1 +bk )
(cid:0) 2.
ọ ố ự ệ ề ậ ớ V y m nh đ đúng v i m i s t nhiên n
+
+
( n n
n
) 1
2
+
+
2 +
= 2
ẳ : ứ Ví d 2:ụ Ch ng minh r ng
(
n
n
2 1
2
2 3
+ + ...
) 1
(cid:0) 1,ta có:
) ( 1 2 6
- ọ ố ự M i s t nhiên n
ạ ố ả “Đ i s và Gi i tích 11 trang 83”
+
+
) ) ( ( 1 1 1 2 1
Gi iả
1
= nên m nh đ đúng v i n=1. ề
1= ;VP=
6
ệ ớ Khi n = 1 VT= 21
(cid:0) 1 , t c là : ứ
+
+
k k (
1)
+
+
= 2
ả ử ệ ề ớ Gi s m nh đ đúng v i n = k
(
2 1
2 2
2 3
+ + ...
k
) 2 + 1
k
k 1)(2 6
-
+
+
+
k
k
k
(
1)(
2)(
3)
2
+
+
2 =
(
+ k
2 1
2
2 3
+ + ...
) + - 1
) 1
( � k �
2 + � 1 �
2
ứ ứ ề ệ ả ớ Ta ph i ch ng minh m nh đ cũng đúng v i n = k +1 , t c là :
+22+32+…+(k1)2
+
6 +(k+1)2=
2
2
2
+
+
2 +
ậ v y : 1 k2 ậ Th t
(
(
k
k
+ k
2
2 3
+ + ...
) 1
) 1
� 2 1 �
+ � �
+
+
+
-
+
+
k
k
k
k
kk (
)1
(
1)(
3)
6
+
(
k
) 1
2)(1 6
2)(2 6
k 7 6
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
22 � k � �
� = � �
+ (k+1)2 = .
(cid:0) ọ ố ự ệ ề ậ ớ V y m nh đ đúng v i m i s t nhiên n 1.
u
u
,3
u 2
)1n (cid:0)
n
n
1
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ạ ủ ố ; ( ổ Ví d 3:ụ Tìm s h ng t ng quát c a Dãy s sau :
ả ả ầ “Gi ạ ố i toán Đ i s và Gi i tích 11Tr n Thành Minh”
0
u = =
3 3.2
Gi iả
1
4
Ta có :
=
u
= = 1 2.3 6 3.2
2
=
=
=
2.6 12 3.2
u= 12. u= 22.
2 u 3 .........................................
1
=
nu
-
1
=
3.2n
3.2n Ta s ch ng minh
nu
3
- ẽ ứ ằ ươ ạ ng pháp qui n p .
1
)1k (cid:0)
3.2k
ku
3.2k
ề ệ ớ Khi n = 1 ta có 1 - b ng ph u = . M nh đ đúng v i n=1 đúng . ( = ứ ả ử ệ ề ớ t c là : Gi s m nh đ đúng v i n = k,
ku + =
1
k
k
1
=
=
+ =
u
u 2.
3.2.2
3.2
k
k
1
1(cid:0)n
ứ ứ ệ ả ớ ề Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n = k+1 , t c là : - ậ ậ Th t v y :
ệ ề ậ ớ ọ ơ V y m nh đ đúng v i n = k+1 nên cũng đúng v i m i .
ươ ả ng pháp gi ạ i chung cho d ng toán tìm s ố
ố ồ ổ ướ ụ Chú ý : Sau ví d ba ta rút ra ph ộ ủ ạ h ng t ng quát c a m t Dãy s g m hai b c :
ầ ủ ố ạ B c 1ướ : Tìm vài s h ng đ u c a Dãy
1
ố ạ ứ ự ằ ạ ồ ổ B c 2ướ : D đoán s h ng t ng quát, r i ch ng minh b ng qui n p.
y
x
1
(cid:0) ủ ạ ố ấ Ví d 4:ụ Tính đ o hàm c p n c a hàm s sau : (cid:0)
ả ả ầ “Gi ạ ố i toán Đ i s và Gi i tích 11Tr n Thành Minh”
Gi iả
/
= -
= / /
= / / /
y
y
y
;
;
...
2
3
-
1 +
1.2 +
(
)
(
)
1.2.3 ) 4 +
(
x
x
x
1
1
1
n
Ta có :
(
(
)
n
=
y
n ! + n 1
) 1 +
(
)
x
1
)(ny
- ự D đoán :
ờ ằ ư Bây gi ta tìm
/
=
= -
y
2
1 +
) 1 1 1! ) + 1 1 +
(
(
)
x
x
1
1
k
- ạ b ng quy n p nh sau : ( ớ ệ ề ớ V i n=1 ta có M nh đ đúng v i n=1.
k
(
)1k (cid:0)
y
k k
! 1
1 x
1
k
k
+ 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử ệ ề ớ Gi s m nh đ đúng v i n=k ta có : (cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
(
(
(
)
x
k
k
) + 1
=
y
y
) k k 1 . !
( = - � �
� �
+ k +
) 1 +
) ( 1 (
) ( + 1 1 ( ) ) + k 1 2
(
( ) + k 1 ! ) ) ( + + k 1 1
x
x
1
1
( � � � �
� = � � �
n
- - ậ ậ Th t v y:
(
(
)
n
=
y
ﾥ hay
n ! + n 1
) 1 +
(
)
x
1
5
- ệ ề ậ ớ ọ n (cid:0) V y m nh đ đã cho đúng v i m i
ươ ả ể ạ ng pháp gi i chung cho d ng toán này có th phân làm hai b ướ c Chú ý : Ph
ư nh sau :
ấ ạ ấ ấ ạ ạ ộ ớ i c 1ướ B : Tính đ o hàm c p m t, đ o hàm c p hai, đ o hàm c p ba,…,cho t
ượ ạ ấ ự khi d đoán đ c đ o hàm c p n.
n
a
+
=
�
+ = z
z
2 cos
a 2 cos
ướ ứ ấ ạ ọ ạ Ch ng minh đ o hàm c p n đúng b ng ằ qui n p toán h c . B c 2:
1 z
1 n z
ế ố ứ ỏ . Ví d 5 :ụ CMR : N u s ph c z th a mãn :
(cid:0)
2
cos
VT
Gi iả
= + , VP= z
1 z
k
+
=
(
)1k (cid:0)
z
a k
2 cos
ớ ệ ề ớ V i n=1, . M nh đ đúng v i n=1.
1 k z
ả ử ệ ề ớ ứ Gi s m nh đ đúng v i n=k , t c là :
k
+ 1
+
=
+
a
(
z
k
2 cos
) 1
1 + k 1
z
ứ ứ ệ ả ớ ề Ta ph i ch ng minh m nh đ cũng đúng v i n=k+1, t c là:
k
k
k
+ 1
+
=
+
+
+ 1
z
z
1 k
1 + k 1
1
z
1 z
z
1 � � k z �
- - - ậ ậ Th t v y :
�� � � z z �� � � �� � � (cid:0) (cid:0) k
k
2
cos
cos
2.
2
cos
� � � (cid:0) (cid:0) .1
+
a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(
]
[
k
+ k
k
= . 4
cos(
a 1)
cos(
a 1)
2 cos
) 1
1 2
(cid:0) n
1(cid:0)
- - -
n
a
+
=
�
+ = z
z
2 cos
a 2 cos
1 z
1 n z
3
+ + ...
ệ ề ậ =2cos(k+1)(cid:0) ớ V y m nh đ đúng v i n = k +1, hay ta có
1 2 + 2 3 3
n n 3
3 = - 4
n + 2 n 4.3
ộ : . ọ Ví d 6:ụ CMR m i n thu c N* ta có
ạ ố ậ ả ” “Bài t p Đ i s và gi i tích 11 trang 86
=
VT
VP
;
Gi iả
1 3
3 5 = - 4 12
3
(
)1k (cid:0)
+ + ...
ớ ệ ề ớ V i n = 1 , ta có : . M nh đ đúng v i n=1.
2 1 + 2 3 3
k k 3
3 = - 4
k + 2 k 4.3
ả ử ệ ề ớ ứ Gi s m nh đ đúng v i n = k , t c là : . (*)
(
k
2(
+
+ + ...
) + 1 + 1
1 2 + 2 3 3
k 3
k k 3
3 = - 4
+ + k 1) 3 + k 1 4.3
6
ứ ứ ệ ả ớ ề Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n = k+1, t c là :
+ k 1 + 3k 1
(
k
2(
+
+ + ...
) + 1 + 1
1 2 + 2 3 3
k 3
k k 3
3 = - 4
+ + k 1) 3 + k 1 4.3
3
*
ậ ậ ế ủ ộ ượ ộ Th t v y : C ng vào hai v c a (*) m t l ng là : ẽ , ta s đ ượ c
+ + ...
ﾥ
n"
2 1 + 2 3 3
n n 3
3 = - 4
n + 2 n 4.3
+
+
=
2
2 ... 2
2 cos
(cid:0) ệ ề ậ ớ ta có , V y m nh đ đúng v i n = k+1,hay
+ 1
p 2n
ứ ằ . Ví d 7ụ :Ch ng minh r ng:
ạ ố ậ ả “Bài t p Đ i s và Gi i tích 11Trang 89”
p
=
C
2 cos
Gi i:ả
n
n
+ 1
2
p
=
2
G i ọ
4
p
=
C
2 cos
ề ệ ớ . M nh đ đã cho đúng v i n=1. Khi n=1. ta có VT= 2 ,VP= 2 cos
1(cid:0)
k
k
+ 1
2
p
=
C
2 cos
+
ả ử ệ ề ớ ứ Gi s m nh đ đúng v i n=k ,t c là
k
+ 1
k
2
2
ứ ứ ề ệ ả ớ Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n=k+1 t c là :
p
p
2
>
=
+
=
+
=
=
cos
0)
+
C
C
2
2 2 cos
4 cos
p 2 cos
+
+
ậ ậ ừ ả ế Th t v y t gi thi ạ t quy n p ta có :
2
k
k
+ 1
k
k
k
+ 1
2
2
p 2k
2
2
*
(Vì .
+
+
=
n N(cid:0)
*
2
2 ... 2
2 cos
ệ ề ậ ớ ọ V y m nh đ đã cho đúng v i m i .
+ 1
2 n N(cid:0) p 2n
=
+
)
y
b
( sin ax
Hay ta có
(
)
n
n
=
ủ ứ ạ ằ ấ là: ố Ví d 8ụ : Ch ng minh r ng đ o hàm c p n c a hàm s
y
a
+ + b
*Nn (cid:0)
p n 2
� sin ax � �
� , � �
(cid:0)
p
/
=
+
=
)
a
b
y
+ + b
( cos ax
Gi i:ả
2
� a sin ax � �
� � �
p
/ /
2
2
=
p
)
y
a
+ + b
a
+ + b
( sin ax
ớ V i n=1 ta có:
2
� cos ax � �
� = � �
(
)
n
n
=
+
=
)
y
b
y
a
+ + b
( sin ax
ớ V i n=2 ta có:
p n 2
� sin ax � �
� � �
p
/
=
+
=
)
a
b
y
+ + b
( cos ax
ự ủ ạ ấ ố D đoán đ o hàm c p n c a hàm s là
2
� a sin ax � �
� . M nh đ đúng v i n=1 � �
7
ớ ệ ề ớ V i n=1 ta có:
p
(
)
k
k
=
(
y
a
+ + b
)1k (cid:0)
k 2
� .sin ax � �
� � �
ả ế ệ ề ớ Gi thi t m nh đ đúng v i n=k ta có :
+
(
(
k
ả ứ ứ ệ ề ớ
k
) + 1
k
+ 1
=
y
a
b
2
� + +� .sin ax �
� � �
Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n=k+1 t c là: ) p 1
+
p
(
p
(
k
) 1
k
) + 1
k
k
+ 1
+ 1
=
y
y
+ + b
a
+ + b
a
/ ( ) = k � � � �
k 2
p k 2
2
� .sin ax � �
� .cos ax � �
� = � �
� k a � �
/ � � = � � � �
� + +� b .sin ax �
� � �
(
)
n
n
=
+
=
)
y
b
y
a
+ + b
( sin ax
ậ ậ Th t v y:
p n 2
� sin ax � �
� � �,
ủ ậ ạ ố ấ V y. Đ o hàm c p n c a hàm s là
(cid:0)
*Nn (cid:0) ậ
ề ị Bài t p đ ngh .
*Nn (cid:0)
+
( n n
)1
+ + + + =
(cid:0) , ta có : 1+3+5+…+(2n1) = n2 Bài 1: CMR :
n
1 2 3 ...
*Nn (cid:0)
2
(cid:0) , ta có : Bài 2 : CMR:
1
3
3
n
3 1
2
...
*Nn (cid:0)
2 nn 4
,...,
0>
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ,ta có : Bài 3 : CMR :
x n
x x , 2
+
(
(cid:0) 1, 1 ) =
x
...
log
log
log
x n
n
x x 1 2
x 2
x 1
a
a
a
a ọ ặ ố
ọ ệ ứ ,ta có h th c sau: Bài 4 : CMR : M i a >0, a
+ + ... log ﾥ , n (cid:0) 1, v i m i c p s (a,b),ta có công th c sau đây, g i là ể
ứ ớ ọ
n
=
+
+...+
+...+
b
b
1 n1 1 0 n (a+b) C a C a n n
2 n2 2 + b C a n
k nk k C a n
( n n
=
+
+
S
3 n
3 1
3 2
3 3
+ + ...
Bài 5: CMR: (cid:0) ứ Công th c khai tri n nh th c ị ứ Niut n.ơ
n
n n C b n ) 2 �+ 1 � 2 �
� = � �
Bài 6: CMR :
)1
n
321
...
nn ( 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) 1,ta có đăng th c :ứ
ọ ố ự ớ nhiên n Bài 7: CMR: V i m i s t
1
1
1
1...
2
n n
4 1
4 9
4 25
21 21
1 n
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ộ (cid:0) (cid:0) ọ Bài 8:CMR : M i n thu c N ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
=
=
+
=
)
(
)
=
y
y
x
y =
a
const
( ln 1
sin ax
y
x
sin
ủ ạ ấ ố Bài 9: Tính đ o hàm c p n c a các hàm s sau :
(
)
x
x
1 1
=
+
+ + ...
nS
a) b) c) d) -
1 1.2
1 2.3
1 + ( ) n n 1
8
ổ ố Bài 10: Tìm t ng s
=
= +
=
a u ,
a b u .
u
3,
= + 2
u .
n
n
+ 1
u b) 1
n
n
ố ạ ủ ổ ố Bài 11: Tìm s h ng t ng quát c a các Dãy s sau :
+ 1
1 2
a) 1 u
ấ ươ ể ứ V n đ 2 ề : Dùng ph ng pháp qui n p ộ ấ ẳ ạ đ ch ng minh m t b t đ ng
th c.ứ
n
+
+
ấ ẳ ứ ế ớ ọ Ch ng minh b t đ ng th c Becnuli(Bernoulli). N u h >0 , v i m i Ví d 1: ụ
)
h
nh
1
1
(cid:0) ạ ả ố ự s t nhiên n ứ (cid:0) 2 ta có: ( “Đ i sô và gi i tích 11
2000”
Gi iả
2 = 1+2h+h2 > 1+2h (vì h2 > 0).V y m nh đ đúng v i ớ
(
k (cid:0)
)2
ế ề ệ ậ N u n =2, ta có : (1+h)
k > 1+kh (2).
ả ử ệ ế ề ứ n=2. Gi s m nh đ đúng đ n n = k , t c là :( 1+h)
ứ ế ệ ề ả Ta ph i ch ng minh m nh đ cũng đúng đ n n =k+1.Hay (1+h)
k+1 > 1+ k+1 =(1+h)(1+h)k
(
2)
ậ ậ
(1+h)(1+kh) =1+h+kh+kh2
n
+
+
(k+1)h. Th t v y : (1+h) do(cid:0) = 1+h(1+k)+kh2 > 1+h(1+k).(vì kh2 >0)
)
n"
h
nh
2.
1
1
(cid:0) (cid:0) ệ ề ậ ớ V y m nh đ đúng v i n=k+1.hay ta có ( .
n
2
x
> + +
e
x
ọ ố ự ứ ế ằ ớ ề nhiên n ta đ u có : Ví d 2ụ :Ch ng minh r ng n u x >0 thì v i m i s t
1
+ + ...
x n
x 2!
!
ố ề ầ “Chuyên đ Hàm s Tr n
Ph ngươ ”
n
x
=
Gi iả
(
)
x
e
2 + + ...
f
n
x n
x 2!
!
� + + x 1 � �
(
" > x
� n N
� � � ) > x
0,
:
0
- Xét hàm s :ố
f
n
ả ứ Ta ph i ch ng minh : (2.1)
(
) = 0
0
n
x
=
)
n f , )
x
e
x
" ậ ậ
f
1
,
x
Th t v y , ta có : ( ( - + 1 Xét
(
)
(
)
=
- >
(
)
( " >
x
0
(cid:0)x
x
e
x
1 0,
) 0 ,
f
f>
f
1
1
1
(cid:0) (cid:0) ớ ọ Ta có tăng v i m i x >0
f 1 V y Công th c (2.1) đúng v i n=1.
9
ứ ậ ớ
x
ả ử ấ ẳ ứ ớ Gi s b t đ ng th c đúng v i n=k.
(
" > x
) = x
e
x
0,
...
0
f
k
2 x + + 2!
k x > k !
� + + 1 � �
� � �
+
k
k
1
- Ta có: (2.2)
(
" > x
0,
) = x
x e
x
...
0
f
+
1
k
(
2 x + + 2!
x + k
!
� + + 1 � � �
� x > � ) �+ k 1 ! �
- ả ứ Ta ph i ch ng minh :
k
k
(
,
=
1 +
(
)
x
x e
f
+
1
k
k (
x 2 + + ... 2!
k x . k
!
k
� + 1 � � �
) + � x 1 � ) �+ 1 ! �
- - ậ ậ Th t v y ta có :
k
k
,
x
=
(
)
(
)
x
e
x
f
f
k
k
+ 1
x k
!
� = � �
>
>
(
)
(
� + + + x 1 ... � � )
x k (
1 + 1 )
�
�
x
f
f
x
f
x
0
k
k
k
+ 1
+ 1
- - -
(
(
tăng v iớ
" > (cid:0) x
f
f
0
0 ) = 0
0
k
k
+ 1
+ 1
Theo (2.2) có ) > x
ọ ố ự ấ ẳ ứ ậ ớ ớ V y b t đ ng th c đúng v i n=k+1 nên cũng đúng v i m i s t nhiên n .
ệ ề ả ố ọ ị
ọ ớ Ví d 3:ụ Cho hàm s f xác đ nh v i m i x và tho mãn đi u ki n : ớ f(x+y) (cid:0) f(x).f(y) v i m i x,y (3)
ố ồ ề ứ » «Chuyên đ Hàm s H ng Đ c
)
( f x
n 2 � �� � x f � �� � n 2 � �� �
(cid:0) ọ ố ự ớ ọ ố ự CMR : V i m i s th c x và m i s t nhiên n ta có
(3)
x 2
Gi iả
2
Trong BĐT f(x+y) (cid:0) f(x).f(y) thay x và y b ng ằ , ta đ c:ượ
f
f
f
xf
f
.
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
n
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
xf
f
x n 2
(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ậ ấ ẳ V y b t đ ng th c ớ đúng v i n=1
)
)1k (cid:0)
( f x
k 2 � �� � x f � �� � k 2 � �� �
) + 1
(cid:0) ả ử ấ ẳ ớ Gi ứ s b t đ ng th c đúng v i n =k , . Ta có :
)
( f x
( k 2 �� � x � � � + k 12 � � �
� f � �
(cid:0) ấ ẳ ứ ứ ớ ứ Ta ch ng minh b t đ ng th c đúng v i n = k+1, t c là :
10
ậ ậ Th t v y ta có:
f
x +
x + k
x k
x + k
k
1
1
1
1
2
� � � 2
� � � x + =� f � � � + k � � � 2
2
2
2 � � � f � � � � � � � �
k 2 � � � x � � � k � � � �
2 � � � � � � �
� � � f � � � � � � 2 �
� � � f � � � � � �
k 2 � � � � �
+
k
1
(cid:0)
2
� � � 2
2 � � � � x f � � � � k � � � � � �
� f � � �
k 2 � � x � �+ k 1 � � �
(cid:0)
k
1
2
xf
f
x k 12
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ấ ắ ầ Do tính ch t b c c u ta có đ c :
ọ ố ự ấ ẳ ứ ớ ớ B t đ ng th c đúng v i n = k+1 nên cũng đúng v i m i s t nhiên n.
*Nn (cid:0)
a n
n
a sin
(cid:0) (cid:0) ,ta có : sin . Ví d 4:ụ
ả ả ầ “Gi ạ ố i toán Đ i s và Gi i tích 11Tr n Thành Minh”
=
=
VT
a sin1.
a 1. sin
Gi iả
ớ ệ ớ V i n =1 , ề nên m nh đ đúng v i n=1.
VP= (
a k
k
a sin
)1k (cid:0)
+
+
(cid:0) ả ử ệ ề ớ Gi s m nh đ đúng v i n = k ,ta có : sin .
(
k
k
sin(
a 1)
) a 1 sin
(cid:0) ứ ứ ề ệ ả ớ Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n = k+1,t c là: .
=
+
a
a
a
+
+
a
+
a
+
+
a
ậ v y, ta có :
(
a k
k
a k
k
k
k
k
k
sin
a cos
a cos
sin
sin
. cos
a cos
a . sin
a sin
a sin
sin
sin
) 1 . sin
sin
) 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ Th t (
*Nn (cid:0)
a n
n
a sin
+
1
(cid:0) (cid:0) ệ ề ậ ớ V y m nh đ đúng v i n = k+1 , nên .
=
u = n
u
2,
n
+ 1
2
(cid:0) ứ ằ ố ả là dãy s gi m và ,ta có : sin )1n" ( ố 1 u Ví d 5ụ : Ch ng minh r ng Dãy s
ị ặ b ch n.
ả ả ầ “Gi ạ ố i toán Đ i s và Gi i tích 11Tr n Thành Minh”
Gi iả
Gi
i: ả ể ứ ứ ả ố ố ằ Đ ch ng minh dãy s đã cho là dãy s là gi m . Ta ch ng minh b ng
" (cid:0)
(
)*
+ <
u
u
n N
,
n
n
1
+
1
u 1
=
=
=
u
< = 2
ươ ứ ạ ả ph ng pháp qui n p.Ta ph i ch ng minh : .
2
u 1
2
+ 2 1 2
3 2
(
+ <
u
u
)1k (cid:0)
ệ ề ớ Khi n = 1 thì .M nh đ đúng v i n=1.
k
1k
+
u
+< u
ả ử ệ ề ớ ứ Gi s m nh đ đúng v i n = k , , t c là : .
k
k
2
1
do
(
5.1)
+
+
u
u
1
1
k
k
=
=
+
u
u
<
ứ ề ả ớ ệ Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n=k+1:
k
k
2
+ 1
+ 1 2
2
11
ậ ậ Th t v y :
ệ ề ậ ớ ớ ộ ọ V y m nh đ đã cho đúng v i n = k+1 nên cũng đúng v i m i n thu c N
* . ạ ng pháp qui n p đ
>
ươ ị ặ ứ ướ i. Ta dùng ph ể
n N
u
1,
n
2 1
" (cid:0) Ch ng minh Dãy đó cho là b ch n d ( ứ ch ng minh :
ề ệ Khi n=1 ,
)* u = > nên m nh đ đúng v i n=1. 1
(
u
> . 1
k
ớ )1k (cid:0) ả ử ệ ề Gi s m nh đ đúng v i n = k , nghĩa là
ứ ả Ta ph i ch ng minh : ớ ku + > 1 1
u
1
k
u
1
k
1
2
11 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ặ ướ ở ậ ố Th t v y ậ ậ : . V y dãy s đã cho b ch n d i b i 1.
ố ơ ứ ệ ặ ạ ặ ị ự Chú ý : Khi g p d ng toán ch ng minh Dãy s đ n đi u và b ch n ta th c
ư ệ hi n nh sau :
ướ ươ ể ứ ạ ố ơ : Dùng ph ệ ng pháp qui n p đ ch ng minh dãy s là đ n đi u B c 1
ướ ự ườ ặ ở ợ ị ố : D đoán s M trong tr ố ng h p dãy b ch n trên b i M và S m B c 2
ườ ố ị ặ ợ ướ ở ươ trong tr ng h p dãy s b ch n d i b i m .Sau đó dùng ph ng pháp qui
ặ ị ặ ướ ở ể ứ ị ặ ở ở ạ n p đ ch ng minh dãy b ch n b i trên b i M ho c b ch n d i b i m trong
n
ườ tr ợ ng h p ng ượ ạ c l i .
n
nNn
1
,
,
2
1 n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ . Ví d 6ụ : Ch ng minh r ng : (cid:0) (cid:0)
3
Gi iả
1
3
1 3
64 27
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ứ ở ệ ớ ề .M nh đ đúng v i Khi n =3 b t đ ng th c đã cho tr thành (cid:0) (cid:0)
k
n=3.
(
k (cid:0)
)3
k
1
(cid:0) 1 k
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử ệ ề ớ Gi s m nh đ đúng v i n =k ta có (cid:0) (cid:0)
1
k
1
1
n
(cid:0) k
1(cid:0)
k
1
k
+ 1
+
+
+
+
<
<
+
k
= + k
. 1
. 1
1
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ề ớ ứ ệ Ta ch ng minh m nh đ đúng v i , t c là : (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 +
1 +
1 +
k
k
k
1 k
1 k
1
1
1
� 1 � �
k � � = 1 � � � �
k � � . 1 � � � �
1 � � � � � � � + � � � � � � � k � � � � � � �
Th t v y ậ ậ :
n
ệ ề ậ ớ ớ ọ n. V y m nh đ đúng v i n= k+1 nên nó cũng đúng v i m i
n
nNn
1
,
,
2
1 n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Hay (cid:0) (cid:0)
12
ố ươ ứ ằ ng. Ch ng minh r ng : Ví d 7ụ : Cho x1,x2,…,xn là các s d
x
x
x
x
3
n
x 1
2
n
...
,2
4
x
x
x
x
x
1 x
x
n x
n
n
n
n
2
3
x 1
4
2
2
1
x 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ố ồ ề « Chuyên đ Hàm s H ng Đ c ứ »
Gi iả
ấ ẳ ứ ạ ớ V i n = 4 , b t đ ng th c có d ng :
x
x
x
3
x 1
2
4
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x 1 x
x 3 x
x x
2
4
3
x 1
4
2
x 1
3
2
4
x 2 x 1
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ề mênh đ đúng v i (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(
k (cid:0)
)4
n=4
ả ử ấ ẳ ớ Gi ứ s b t đ ng th c đúng v i n = k .
+
+
+ + ...
2.
x 1 +
x 1 +
x k +
x k + x
x k
1 x k
x k
k
x 2
x 3
x 1
x 1
2
1
- (cid:0) ứ T c là : - -
ấ ẳ ứ ứ ớ Ta ch ng minh b t đ ng th c đúng v i n = k+1.
ẳ ữ ả Do vai trò bình đ ng gi các x ổ i ( i = 1,2,…,k+1), nên không gi m tính t ng
k+1 = min{ x1,x2,…,xn } , t c là :
>
ủ ể ả ử ứ quát c a bài toán ta có th gi s x
0,
,
+
+
+
x k
x k
x k
x k
1
1
1
x 1
(cid:0) (cid:0) Do ậ v y ta có :
x
x
x
x
x
k
k
2
x 1
2
...
...
k
1
s
x
x
x
x
1 x
x
x
x
k x
x 1 x
k
k
k
k
k
k
2
1
3
x 1
1
1
2
3
x 1
1
x 1
x 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
x
k
k
x 1
;
;
0
x
x
x
k x
1 x
x 1 x
k
k
k
k
k
k
2
1
1
1
x 1
1
x 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . Do: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
n
n (cid:0)
1
4
x x kS + > . 2 ứ
ừ T đó suy ra
k= + nên cũng đúng v i m i ọ
ấ ẳ ậ ớ ớ V y b t đ ng th c đúng v i
1
1
1n"
n 2...5.3.1 n 2.6.4.2
k
2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ , ta có . Ví d 8 ụ : Ch ng minh r ng : (cid:0)
ả ả ầ “Gi ạ ố i toán Đ i s và Gi i tích 11Tr n Thành Minh”
1
Gi iả
1 (cid:0) 2
3
ở ệ ề ớ Khi n = 1 , thì (1) tr thành : .M nh đ đúng v i n=1.
2...5.3.1
1
1
(
)1k (cid:0)
n
k 2...6.4.2
k
2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử ệ ề ớ Gi s m nh đ đúng v i n = k ,nghĩa là : . (cid:0)
ứ ứ ệ ề ả ớ Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n = k+1, t c là :
k
k
2...5.3.1
1
1
k
21 k
22....6.4.2
2
k
2
3
13
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
k
2
1
k 2 k 2
1 2
k
2
3
01 (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ậ ậ Th t v y: (b t đ ng th c ứ luôn đúng vì sau khi bình ph ngươ (cid:0) (cid:0)
ế ể ế ồ ươ hai v ,quy đ ng,chuy n v ta thu đ ấ ẳ ượ b t đ ng th c ứ t c ng đ ươ : ng
ệ ề .m nh đ đúng .
k
k
2...5.3.1
2
1
2
1
1
.
21 k
k
k 22...6.4.2
2
k
k
k
2
2
3
1
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ề ớ Ta có: m nh đ đúng v i n=k+1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
1
1n"
n 2...5.3.1 n 2.6.4.2
k
2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V yậ : , (cid:0)
p
a<
<
>
0
a n
n
tan
a tan
ề ậ ị Bài t p đ ngh .
(
) 1n
4
+
+
a
1
1
+
<
ứ ằ Bài 1.Cho Ch ng minh r ng : -
a
a
a
+ + ...
4 2
n
+ > 1
+
ứ ớ ằ Bài 2.Ch ng minh r ng : v i a >0 thì
(
(
)
n
n
) n 1 ,
3
n
(cid:0) ứ ằ Bài 3.Ch ng minh r ng :
+
n
1
+
+
+
ọ ố ự ứ ằ ớ nhiên n ta có : Bài 4.Ch ng minh r ng v i m i s t
a
n
n
)1
2
+ 3 ....
n
+
+
(cid:0)
b
n
)1
+ + ...
2
1
1 n
1 3
1 2
1
(cid:0) -
1
...
2
1 3
n(cid:0) 2
1 2
2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) (cid:0)
n
n
1
22
32
2
2
2 2121
21
...
21
2.
1 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ứ ứ (cid:0) Bài 5.Ch ng minh b t đ ng th c
ọ ố ứ ươ ng n , ta có : ớ Bài 6.Ch ng minh v i m i s nguyên d
2
1
n
2
<
<
(
)
a
)
....
b
n
( n ) 2 ! 2
) !
n
1 3 5 . 2 4 6
n 2
1 n
2
+ 1
<
-
+ + ...
.
n N
2 1 + 2 3 3
n n 3
3 4
" (cid:0) ứ ằ ta có Bài 7.Ch ng minh r ng :
u
u
u ,2
2
n
n
1
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ ở ị ố nu xác đ nh b i : , Bài 8.Ch ng minh r ng dãy s
*Nn (cid:0)
n
1
3(cid:0)
n
n
(cid:0) n 1
n
(cid:0) ị ặ là tăng và b ch n trên . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ứ ằ .Ch ng minh r ng: Bài 9.V i n
2
3
1 n
14
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ố ự ứ nhiên n khác 0 ta luôn có : Bài 10.Ch ng minh m i s t (cid:0) (cid:0)
n
n
ố ự ứ ằ ọ ớ ơ ớ nhiên n l n h n 5 ta có : Bài 11.Ch ng minh r ng v i m i s t
n !
n 2
n 3
(
*
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
,
n N(cid:0)
) n 2 ! ) ( n !
n 4 + n 1
(cid:0) ứ ằ .Ch ng minh r ng: Bài 12.V i ớ
,...,
...
.1
na
n
aa . 2 1
a a , 1 2
(cid:0) ố ươ ng ỏ a th a mãn Bài 13.Cho n s d
a
a
n
...
(*)
n
a 1
2
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ ấ Ch ng minh r ng : ả . D u ‘’=’’x y ra khi nào ?
(
n
n
)1 cos
p cos
1
p +
n
> n
1
p
<
+
a
<
(
n
) 1
0
- ọ ố ự ứ nhiên n >1, ta có : Bài 14. Ch ng minh m i s t
2
n
a
ố ự . Bài 15. Cho n là s t
(
) <
n
1 cos
+ a n 1 cos
a tan
a .tan
- nhiên và ) ( ứ ằ Ch ng minh r ng:
>
>� n N n ,
1.
+ + ...
1 +
1 +
n
2
1
1 n 2
13 14
" ứ ằ Ch ng minh r ng: Bài 16.
ọ ể ứ ộ ể ạ ấ
n ứ ạ ề : Dùng qui n p toán h c đ ch ng minh m t bi u th c d ng
V n đ 3
*
3
2
ộ ố ự ế Un chia h t cho m t s t nhiên .
aNn
n
n
,
n 3
5
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng ế chia h t cho 3. Ví d 1: ụ
Gi iả
(cid:0)a
13
2 1.3
1
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ V i n = 1 ta có : đúng .
k
3 2 k
k 35
ak
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử ệ ề ớ ứ Gi s m nh đ đúng v i n = k , , t c là :
391.5 (cid:0)1(cid:0)k ề
3
2
ứ ả ớ Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n = k+1, nghĩa là :
k
k
k
1
3
1
5
ak
1
3
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ (cid:0) 31
k
k
k
k 3
k 3
k 31
6
53
5
ak
1
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ Th t ậ v y :
k
39
k ﾥ
ﾥﾥ
2 5 ﾥ ﾥﾥ
k 3 ﾥ
k 3 ﾥ 3
2 k 9 ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
*Nn (cid:0)
n
ậ ệ ề ớ ọ ớ .
n
n
nn
1
...2
2
2(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V y m nh đ đúng v i n = k+1, nên cũng đúng v i m i (cid:0) n ứ ằ Ví d 2:ụ Ch ng minh r ng
, ta có : an = (cid:0) iả Gi
222212
k
(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
k (cid:0)
k
k
k
k
1
...2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) đúng )2 ả ử ề ứ Khi n = 2 , ta có : a2 = (cid:0) ớ ệ Gi s m nh đ đúng v i n =k , , t c là : a
k
k
k
k
k
1211
...21
11
k = (cid:0) ề ả Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n = k+1, nghĩa là : ak+1 = (cid:0)
15
ứ ệ ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
k
k
k
k
k
k
k
kk
k
k
k
2
...3
2
2
...3
1
(cid:0)2
+
k
1
=
+
+
+
+
(
(
k
k
k
k
2
) ( 1
) 3 ...
) 1 2
+ + � k .2. � 1 4 2 4 3 2
k
(cid:0) n
2(cid:0)
) ) ( ( � k k � 1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3 2 ề
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
n
3
*
=
ệ ớ ậ ệ ớ V y m nh đ đúng v i n = k+1 ,nên m nh đ đúng v i .
ﾥ
n
n
3 3
26
na
- - " ề (cid:0) 27 676, ằ . ứ Ví d 3: ụ Ch ng minh r ng :
31.3
3
1.26
676
676
1 =
k
3
3
27 1(cid:0)k
k
3
26
27
676
k =
Gi iả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ệ ề V i n = 1 , ta có :a nên m nh đ đúng. (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử ệ ề ớ ứ Gi s m nh đ đúng v i n = k , t c là : a .
k
3
31
k
3
.26
1
27
676
k+1=
k
(3
3)1
k
3
(26
)1
27
676 ﾥ
676 ﾥ ﾥ
3.27 ﾥ
27 ﾥ
k+1 =
k ﾥ ﾥ 676
do
k 3 3 26 ﾥ ﾥﾥ 676 (
k ﾥﾥ )1.3
.1(cid:0)n
ứ ệ ề ả ớ Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng v i n = k+1, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ t c là : a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ ậ Th t v y :a
n
n
n
2
1
2
1
(cid:0)
n
5:1
1 2.
n 1 2.3
38
ệ ề ệ ề ậ ớ ớ ọ V y m nh đ đúng v i n = k+1 , nên m nh đ đúng v i m i . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng: . ụ Ví d 4:
11.2
11
11.2
5
2.
11 2.3
2.94.5
38
38
Gi iả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ệ V i n = 1 , ta có : ớ ề nên m nh đ đúng v i
k
k
k
2
1
2
1
(cid:0)
5
1 2.
k 1 2.3
38
n=1. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử ệ ề ớ ứ Gi s m nh đ đúng v i n = k, t c là : .
(cid:0)1(cid:0)k ề Ta ph i ch ng minh m nh đ
+ -
+ + k
k
+ - k
1 1
2
2 1
1 1
2
2 1
+
+ + k 3
.2
38
.2 5 ậ ậ Th t v y :
k
+ + 1 1
+ -
+
+
ứ ệ ả ứ ớ đúng v i n = k+1,t c là
k
+ + k
+ - k
k
k
k
k
k
k
2
2 1
1 1
2
2 1
2
1
1
2
1
1
2
1
+
=
+
=
+
.2
5
3
.2
+ 1 .2.2
50.5
+ 1 .2
k 12.3 .2
- - -
k
+ k
k
k
2
1
2
1
1
2
1
=
+
+ k 1 3.3 .4.2 )
25.5 ( 50 5
1 .2
+ k 1 3 .2
+ k 38.3 .2
- - - - ế Chia h t cho 38.
*Nn (cid:0)
4
3
2
(cid:0) ệ ề ậ ớ ớ V y m nh đ đúng v i n = k+1 , nên cũng đúng v i .
(cid:0) n
1(cid:0)
n
n
n 3
14
n 21
10
24
(cid:0) (cid:0) (cid:0) , ta có : . ằ : ứ Ví d 5: ụ Ch ng minh r ng
Gi iả
3
14
21
10
240
4
3
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ V i n = 1 ta có : , nên (5) đúng .
1(cid:0)k
k
k
k 3
14
k 21
10
24
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử ệ ề ớ Gi s m nh đ đúng v i n = k, , nghĩa là : .
4
3
2
ứ ệ ả ề Ta ph i ch ng minh m nh đ đúng vói n = k+1 , nghĩa là:
k
k
k
k
3
1
14
1
21
1
10
(cid:0) 24 1
16
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4
3
2
3
2
4
2
ậ ậ Th t v y :
k
k
k
k
k
k
k
k
3
14
1
21
1
10
1
4
6
3
4
1
k 3
k 3
1
1 2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
k
k
k
k
21
2
1
10
1
kk .12 ﾥﾥ ﾥ
14 (cid:0) 24 k 1 ﾥﾥ ﾥ
k 3 ﾥ
1 ﾥ 24
4 k 14 ﾥﾥﾥﾥ ﾥ do (24
k 2 k 21 10_ ﾥ ﾥﾥﾥﾥ )1.5
4
3
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) n
1(cid:0)
n
n
n 3
14
n 21
10
24
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ề ậ ớ ớ V y m nh đ đúng v i n = k+1 , nên v i .
n
ề ậ ị Bài t p đ ngh .
Nn
n
16:*
15
(cid:0) 1
225
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 1: CMR
,
n 13
1 6
= � n N u n
+
+
n
2
2
1 +
" - Bài 2: CMR
� n N
,12
n 11
133
n
2
2
Nn
n
3.4:
32
36
64
3 (cid:0)
" Bài 3: CMR (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 4: CMR
:
2
+
+
(cid:0) (cid:0) ế chia h t cho 3
(
)
n
n
n
n N
n
1.3.5... 2
n ( ) 2 ... 2
nNn ) ( 1
) 1 ,
- (cid:0) ế chia h t cho .
ệ ệ
ớ
ổ ồ ưỡ ọ ừ ng thì t ớ ế
3
3
+
ả
S
n
= + 3 1
+ + ...
3 3
2
ủ ổ ứ ể ị
+
+
+
+
+
+
) 1
( n n
( n n
n
( n n
n
)1
) ( 1 2
) 1
) ( 1 2
) ( n 1 3
) 1
D .
C
A .
B .
.
2
6
24
2 � � �
Bài 5: CMR Bài 6: CMR ( ả ủ ế 5.Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m: ế ộ ố ộ ố ế ạ cho ti n t trên l p và m t s bu i b i d Sau khi tôi d y m t s ti ả ạ ứ ủ ế ể hành ki m tra kh năng ti p thu ki n th c c a h c sinh trên các l p tôi d y ượ ế thì thu đ c k t qu sau: ể Bài ki m tra: (15 phút) Câu 1: Bi u th c nào sau đây cho ta giá tr đúng c a t ng: .
( +� n n � 2 � ổ ủ c a t ng
n
( + 2
) 1
ị - ứ n ể + = - + - + 1 2 3 4 .... 2
=
+
S
+ + ...
Câu 2:Bi u th c nào sau đây cho ta giá tr S .A 1 B. 0 C.n D. n+1
1 1.2
1 1 + 2.3 3.4
) 1
ọ ố ớ ươ ổ ng n,T ng Câu 3:V i m i s nguyên d
n n
1
1 ( + n n + 1 + . 2
A.
n n + D. 1n
23
1 1n + B. ọ ố ớ
2 nS =
- ng n,T ng
ọ ố ự ấ ẳ ứ ớ ỏ nhiên n th a mãn
n
n
n
+
n< 2
n< B. 2
thì:
1
n> 2 ươ ng n thì:
n n + C. ổ ươ Câu 4: V i m i s nguyên d A. 6 B. 3 C. 12 D. 8 Câu 5: B t đ ng th c nào sau đây đúng? V i m i s t 3n (cid:0) n< + D. 2 A. 2n ớ Câu 6: B t đ ng th c nào sau đây đúng? V i m i s nguyên d >
+
+
+
>
+
n
n
2
1
+ + ...
+ + ...
1
3
C. 2
1 n
1 ọ ố 1 3
1 2
1 2
17
B. A. ứ 1 n ấ ẳ 1 3
+
+
+
<
+
>
n
1
+ + ...
2
1
+ + ...
4 5
1 n
1 n
1 2
1 2
1 3
1 3 ứ
n
n
n
n
+
n> 3
5
C. D.
3
=
+
+
n
23 n
n 5
3
ớ ọ ố + B. 3 n> 4 1 ọ ố ớ ổ ng n + C. 3 2 ng n. T ng ấ ẳ n> 3 = nS
+ chia h t cho:
nS
n
n
2
ọ ố ế ớ ổ ng n. T ng
2 3
7
4
nS =
2
2.3.7
32 .3 B.
22.3 .7 D.
- - ọ ố ớ ế chia h t cho: ng n. T ng
ượ
(cid:0) 1.B t đ ng th c nào sau đây là đúng? ươ Câu 7: V i m i s nguyên d + D. 3 n> A. 3 2 4 + 3 11 ế ươ Câu 8: V i m i s nguyên d chia h t cho: n n A. 6 B. 4 C. 9 D. 12 ươ Câu 9: V i m i s nguyên d A. 3 B. 4 C. 5 D. 7. ổ ươ Câu 10. V i m i s nguyên d 22 .3.7 C. A. ả ế K t qu thu đ
c:
ạ ầ ố ọ
L pớ 11A 11B 11C 11D Năm h cọ 20162017 20162017 20162017 20162017 S h c sinh đ t yêu c u 21/31 (67,7 %) 23/32 (71,9%) 25/30 (83,3%) 25/29 (88,2%)
ầ Ấ ữ ệ ố
ể ự ụ ề
ươ ả ậ ứ ọ ” trong quá trình gi
ế ộ ủ t ,không sao chép n i dung c a
ườ
i khác. Ậ
Ủ
Ệ
NG
ƯỞ Thanh hóa, Ngày 02 tháng 5 năm 2017
ế ề ườ t đ tài i vi
Ị Ề Ế C. KI N NGH , Đ XU T ườ ụ ơ ng h n n a h th ng ví d và bài t p trên sách giáo khoa, tài C n tăng c ậ ể ọ ả ệ nghiên c u và v n d ng Đ tài: li u tham kh o đ h c sinh có th t ạ “Ph i toán. ng pháp quy n p toán h c. ủ Tôi xin cam đoan đây là SKKN c a mình vi ng XÁC NH N C A HI U TR Ng Lê Nguyên Th chạ
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O
ầ ả ả i tích và Đ i s 11Tr n Thành Minh i toán Gi
ố ố ề ề ồ ầ ng.
i tích 112007
18
i tích 122007 ả 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ạ ố Gi ứ Chuyên đ Hàm s H ng Đ c ươ Chuyên đ Hàm s Tr n Ph ả ạ ố i tích 112007 Đ i s và Gi ậ ả ạ ố Bài t p Đ i s và Gi ả ậ Bài t p Gi ạ ố Đ i s và Gi i tích 112000
Ữ Ế Ệ ƯỢ Ế NH NG SÁNG KI N KINH NGHI M ĐÃ Đ Ạ Ấ C X P LO I C P
NGÀNH
Tên đ tàiề Năm h cọ tt
ứ ệ ẳ ỹ X pế lo iạ C 20132014
ạ ứ 1 Rèn luy n k năng ch ng minh đ ng th c trong Đ i ố ổ ợ s t h p
19
ế ố ả ố Các y u t tam giác trong kh o sát hàm s B 20142015 2
