SKKN: Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm

1.Tên sáng kiến:  Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm.<br /> 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 11, lớp 12 và giáo viên trung học phổ <br /> thông.<br /> 3.Thời gian áp dụng sáng kiến: <br />            Từ ngày 6 tháng 9 năm 2014 đến ngày 10 tháng 1 năm 2015<br /> 4.Tác giả:<br /> Họ và tên: Hoàng Hữu Đạt<br />       Năm sinh: 1980<br /> Nơi thường trú: Thôn Bình Thượng, xã Yên Thọ, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định.<br /> Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học<br /> Chức vụ công tác: Giáo viên<br /> Nơi làm việc: Trường THPT Mỹ Tho – Ý Yên – Nam Định.<br /> Điện thoại: 0989 118 585.<br /> 5. Đồng tác giả: không.<br /> 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: <br /> Tên đơn vị: Trường THPT Mỹ Tho.<br /> Địa chỉ: xã Yên Chính, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định.<br /> Điện thoại: 03503 825 642<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />                                                     Cấu trúc của sáng kiến<br />              Trang<br /> I.Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến ………………………………………………….4<br /> II.Mô tả giải pháp………………………………………………………………………...4<br />    1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến…………………………………………...4<br />    2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến………………………………………………....7<br />      2.1. Cơ sở lý thuyết…………………………………………………………………....7<br />      2.2.Các ví dụ minh họa…..............................................................................................8<br />         2.2.1.Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm.........................................8<br />            2.2.1.1.Phương trình được đưa về dạng  f ( x) = 0 ....................................................8<br />            2.2.1.2.Phương trình được đưa về dạng  f (u ) = f (v) ……………………………..15<br />            2.2.1.3.Một số dạng biến đổi đặc biệt: đưa phương trình về dạng đồng bậc <br /> ba…..22<br />         2.2.2.Giải hệ phương trình bằng phương pháp đạo hàm............................................31<br />   3. Thực nghiệm sư phạm .................................................................................................43<br />     3.1.Mục đích thực nghiệm ……………………………………………………...…......43<br />     3.2.Đối tượng địa bàn và cách thực hiện………………………………………..…......43<br />     3.3.Nội dung và thực nghiệm…………………………………………………...….......43<br />        3.3.1.Thực nghiệm trong nghiên cứu kiến thức mới………………………………....43<br />        3.3.2.Thực nghiệm trong củng cố hoàn thiện kiến thức ………………………...…...45<br />        3.3.3.Thực nghiệm trong  kiểm tra đánh giá ………………………………………...45<br />        3.3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm ………………………………………………....45<br /> III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại……………………………………………………......46<br />   1.Trước hết đối với việc dạy của giáo viên…………………………………………….. 46<br />   2. Đối với việc học của học sinh …………………………………………………..........46<br />     2.1.Về kiến thức ………………………………………………………………….........46<br />     2.2.Về tư tưởng tình cảm ………………………………………………………….…..47<br />     2.3.Về kỹ năng ………………………………………………………………………...47<br />   3. Kết luận…………………………………………………………………………….....48<br /> IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền ………………………………......48<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br />                                            BÁO CÁO SÁNG KIẾN<br /> I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến<br /> Chúng ta đã biết rằng: Dạy học Toán là dạy cho  người học  có năng lực trí tuệ. <br /> Năng lực này sẽ  giúp cho họ  học tập và tiếp thu các kiến thức về  tự  nhiên, xã hội, bồi <br /> dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng. Vì vậy dạy Toán không chỉ đơn thuần dạy cho  <br /> học sinh nắm được kiến thức, những định lí Toán học. Điều quan trọng là dạy cho học  <br /> sinh năng lực trí tuệ. Năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong học tập.<br /> Trong quá trình dạy học môn Toán  ở  bậc THPT các bài toán về  phương trình, hệ <br /> phương trình chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình cả ba khối lớp, với  <br /> nhiều phương pháp giải đa dạng như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp  <br /> đặt ẩn phụ…Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi  <br /> tỉnh cho các em học sinh tôi thấy việc giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ rất quan <br /> trọng đối với học sinh THPT vì việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh rèn luyện được  <br /> kỹ năng giải toán, tính cẩn thận, chính xác và làm cho học sinh nắm chắc môn toán hơn. <br /> Giải tốt phương trình vô tỉ học sinh được nâng cao tư  duy và vận dụng để  hiểu biết các <br /> nội dung khác trong chương trình toán THPT.<br /> Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình, hệ  phương trình trong các  <br /> đề thi ĐH đặc biệt là phương trình, hệ phương trình vô tỉ  lại sử dụng phương pháp hàm <br /> số  để  giải chỉ  có số  ít các em học sinh biết phương pháp này nhưng trình bày còn lúng  <br /> túng, chưa gọn gàng sáng sủa. Thậm chí còn một số học sinh không có hướng giải quyết.  <br /> Nguyên nhân do đâu ?<br /> Nguyên nhân chính là do phần phương trình vô tỉ được trình bày ở SGK đại số 10. <br /> Tuy nhiên đó là các bài toán khá đơn giản khá xa với đề thi THPT Quốc Gia. Phương trình  <br /> vô tỉ chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ. Trong <br /> chương trình SGK giải tích 12 học sinh biết sử dụng tính đơn điệu của hàm số để  khảo <br /> sát và vẽ  đồ  thị  hàm số. Lượng bài tập  ứng dụng tính đơn điệu của ahàm số  để  giải <br /> phương trình và hệ  phương trình vô tỉ  thì rất hạn chế  mà trong đề  thi THPT Quốc Gia  <br /> nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số. Do đó việc trang bị  cho học sinh phương <br /> pháp hàm số để  giải toán là rất cần thiết. Những bài toán sử  dụng phương pháp hàm số <br /> để giải thường có cách giải ngắn gọn hay và độc đáo.<br /> Để góp phần vào việc giải quyết các đề khó khăn trên, tôi mạnh dạn sưu tầm, tập  <br /> hợp, bổ xung và sắp xếp các bài toán dạng này theo cấu trúc rõ ràng và đa dạng viết thành  <br /> đề tài: “ Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm”. Hy vọng  <br /> <br /> <br /> 4<br /> rằng với đề  tài này sẽ  giúp học sinh nhận biết, xử  lý bài toán giải phương trình, hệ <br /> phương trình nhanh và thành thạo hơn.<br /> II.Mô tả giải pháp:<br />        1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến.Thực trạng của việc dạy học <br /> phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm trong trường <br /> THPT hiện nay.<br /> Toán học là một trong những môn học khoa học, cơ  bản mang tính trừu tượng,  <br /> nhưng ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, <br /> trong khoa học lý thuyết và trong khoa học ứng dụng. Toán học là môn khoa học giữ một  <br /> vai trò quan trọng trong suốt  bậc học THPT. Tuy nhiên nó là một môn học khó, khô khan <br /> và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình.  <br /> Chính vì vậy đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình nội  <br /> dung của SGK, nắm vững  các phương pháp dạy học là một việc không thể thiếu. Để từ <br /> đó tìm ra các biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức toán học <br /> cho học sinh, công việc đó cần phải làm thường xuyên trong quá trình giảng dạy.<br />  Chủ  đề  phương trình và hệ  phương trình được đề  cập trong SGK đại số  10 với <br /> số tiết là 14 tiết, với thời lượng đó học sinh nắm vững được các kiến thức cơ bản về căn  <br /> thức, phương trình, hệ  phương trình, các phép biến đổi đại số. Học sinh đã biết được  <br /> một số phương pháp giải phương trình, hệ  phương trình, biết vận dụng linh hoạt, sáng  <br /> tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. Trong SGK Giải tích lớp 12 có giới <br /> thiệu chủ  đề: Ứng dụng đạo hàm để  khảo sát sự  biến thiên và vẽ  đồ  thị  hàm số  với số <br /> tiết tương đối nhiều, học sinh nắm được khái niệm đồng biến nghịch biến của hàm số <br /> trên một khoảng từ đó học sinh có thể chỉ ra được các khoảng đồng biến và nghịch biến  <br /> của một hàm số nào đó.Học sinh biết khảo sát  sự  biến thiên và  vẽ được đồ  thị  hàm số <br /> dựa vào tính đồng biến nghịch biến của hàm số. Ngoài ứng dụng khảo sát sự  biến thiên  <br /> và vẽ  đồ  thị  hàm số, đạo hàm là công cụ  sắc bén để  giải quyết nhiều dạng toán khác <br /> nhau như  giải phương trình, hệ  phương trình, bất phương trình, hệ  bất phương trình, <br /> chứng minh bất đẳng thức...<br /> Tuy   nhiên  trong   các   đề   thi   THPT   Quốc   Gia   hiện   nay  câu  phương   trình   và   hệ <br /> phương trình là một câu tương đối khó đối với học sinh và chủ  yếu dùng phương pháp  <br /> hàm số để  giải.Thông thường bài tập trong SGK đưa ra đơn giản, lượng bài tập đưa ra  <br /> sau mỗi bài học cũng rất hạn chế chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương và  <br /> đặt  ẩn phụ…, còn lượng bài tập sử  dụng tính đơn điệu của hàm số  để  giải chưa có <br /> nhiều. SGK chỉ giới thiệu các bài tập này, do đó phương pháp sử dụng tính đơn điệu của <br /> hàm số để giải phương trình và hệ phương trình là không phổ biến và bắt buộc. Chính lẽ <br /> đó mà học sinh sử dụng phương pháp này một các máy móc hoặc chưa biết cách sử dụng.<br /> Ví dụ 1: Giải phương trình: 7 x + 7 + 7 x − 6 = 13  <br /> Đối với phương trình này học sinh sẽ giải theo cách bình phương hai vế hoặc đặt <br /> ẩn phụ sau đó bình phương hai vế hoặc nhân liên hợp đưa về hệ phương trình.Tuy nhiên  <br /> nếu sử dụng phương pháp đạo hàm ta thấy vế trái là một hàm đồng biến và x = 6 là một  <br /> nghiệm của phương trình thì lời giải của bài toán rất ngắn ngọn.<br /> Ví dụ 2: Giải phương trình:  x + 3 + 4 2 x − 1 = 4 − x 3  <br /> <br /> 5<br /> Đứng trước phương trình này học sinh lúng túng không biết dùng phương pháp nào để <br /> giải nhưng nếu tinh ý một chút thì chuyển  x3  sang bên vế trái, khi đó vế trái là một hàm <br /> đồng biến ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình. Do đó khi sử dụng phương pháp  <br /> đạo hàm thì bài toán này trở nên đơn giản.<br /> Ví dụ 3: Giải phương trình :   3 6 x + 5 = x3 − 5 x − 4   <br /> Nhận xét:  Có thể giải bài toán này theo hướng sau:<br />        3 6 x + 5 = x3 − 5 x − 5      � 3 6 x + 5 + 1 = x 3 − 5 x − 4  <br /> 6 ( x + 1)<br /> � = ( x + 1) ( x 2 − x − 4 )  <br /> ( 6 x + 5)<br /> 2<br /> 3<br /> − 6x + 5 + 1<br /> 3<br /> <br /> <br /> x = −1<br /> 6                       <br /> = x2 − x − 4 (*)<br /> ( 6 x + 5)<br /> 2<br /> 3<br /> − 6x + 5 + 1<br /> 3<br /> <br /> <br />     Vấn đề đặt ra là giải phương trình (*) sẽ rất phức tạp. Vì vậy ta sẽ giải phương trình  <br /> bằng phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.<br />    Ta có   :      3 6 x + 5 = x3 − 5 x − 5     � ( 6 x + 5 ) + 3 6 x + 5 = x 3 + x (*)<br />    Xét hàm số  f ( t ) = t 3 + t  trên  ﾡ .<br />    Ta có  f ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ﾡ . Suy ra  f ( t ) = t 3 + t  đồng biến trên  ﾡ .<br />    Do đó:   (*) � f ( 3<br /> )<br /> 6x + 5 = f ( x ) � 3 6x + 5 = x<br /> <br />                        � x3 − 6 x − 5 = 0         � ( x + 1) ( x 2 − x − 5 ) = 0<br /> <br /> x = −1<br /> 1 + 21<br />                        � x =<br /> 2<br /> 1 − 21<br /> x=<br /> 2<br /> 1 − 21 1 + 21<br /> Vậy phương trình có nghiệm là  x = −1; x = ;x = .<br /> 2 2<br /> * Qua các ví dụ  trên ta thấy nếu giải quyết bài toán bằng phương pháp dùng tính  <br /> đơn điệu của hàm số thì bài toán trở nên đơn giản và lời giải ngắn gọn hơn.<br />       Ví dụ 4:    Giải phương  trình :   3 x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)(1 + 1 + x + x 2 ) = 0  <br /> Giải: <br />  Cách 1: ( Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất)<br /> Viết lại phương trình dưới dạng  (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) 2 + 3 = ( −3 x ) (2 + ( −3 x) 2 + 3)<br /> 1<br /> Nếu phương trình có nghiệm  thì nghiệm thoả mãn :     3x(2x+1) 0, ∀t<br /> 2<br /> 2 ﾡ . <br /> t2 + 3<br /> Suy ra hàm số đồng biến trên  ﾡ .<br /> 1<br /> Do đó :     (1) � f ( 2 x + 1) = f ( −3 x ) � 2 x + 1 = −3x � x = − . <br /> 5<br /> 1<br /> Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là   x = − .<br /> 5<br /> * Từ hai cách trình bày của ví dụ 4, ta thấy trình bày theo cách 2 vẫn ngắn gọn hơn <br /> và độc đáo hơn.<br /> Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn  <br /> đề  cần thiết, giúp các em có kỹ  năng, kỹ  sảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp <br /> hàm số. Đồng thời chuẩn bị  cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả  cao <br /> trong kỳ thi THPT Quốc Gia.<br /> Đứng trước thực tế học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 cần nắm chắc các  <br /> kiến thức về đạo hàm biết vận dụng và tìm ra các phương pháp giải khi gặp các bài toán  <br /> giải phương trình, hệ phương trình. Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến này mục đích hỗ trợ <br /> cho các em học sinh có được hệ thống các bài tập giải phương trình và hệ  phương trình  <br /> bằng phương pháp đạo hàm, đồng thời giúp các đồng nghiệp có được nguồn tài liệu bồi  <br /> dưỡng học sinh thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi tỉnh.<br /> Trong phạm vi hạn hẹp của một sáng kiến tôi chỉ đưa ra phương trình, hệ phương  <br /> trình vô tỉ giải bằng phương pháp đạo hàm.<br /> <br /> 2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:<br /> 2.1 Cơ sở lý thuyết:  Học sinh cần nắm một số vấn đề sau đây<br /> 7<br />  1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:<br />    + Hàm số  y = f ( x )  đồng biến trên khoảng K nếu với mọi  x1 , x2  thuộc K,<br />                                              x1 < x2 � f ( x1 ) < f ( x2 )  <br />      + Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi  x1 , x2 thuộc K,                        <br />                                             x1 < x2 � f ( x1 ) > f ( x2 )  <br />    2. Tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến:<br /> + Nếu  f ( x )  và  g ( x )  là hai hàm số cùng đồng biến ( hoặc cùng nghịch biến) trên D <br /> thì tổng  f ( x ) + g ( x )  cũng là hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên D. <br /> + Nếu   f ( x )   và   g ( x )   là hai hàm số  dương, cùng đồng biến ( hoặc cùng nghịch <br /> biến) trên D thì tích  f ( x ) .g ( x )  cũng là hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên D<br />    3. Công thức tính đạo hàm:<br />        + Công thức tính đạo hàm hàm số hợp:  ( uα ( x ) ) = α .uα −1 ( x ) .u ( x )     (*)<br />      ­ Công thức (*) chỉ đúng với  α  là hằng số.<br />   ­ Nếu  α  không nguyên thì công thức  (*) chỉ đúng khi  u ( x )  nhận giá trị dương.<br />       + Công thức tính đạo hàm của hàm số căn bậc n : Nếu  u ( x )  là hàm số có đạo hàm <br /> trên K và thỏa mãn điều kiện   u ( x ) > 0  với mọi  x  thuộc K khi n chẵn,  u ( x ) 0  với mọi <br /> u ( x)<br /> x  thuộc K khi n lẻ thì   ( n u ( x) ) =<br /> n n u n −1 ( x )<br />        <br /> <br /> 4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số dựa trên định lí sau:<br />     + Định lí: <br />              Cho hàm số y = f ( x )  có đạo hàm trên K ( Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa <br /> khoảng)<br />           a) Nếu  f ( x ) > 0  với mọi  x  thuộc K thì hàm số  f ( x )   đồng biến trên K.<br />           b) Nếu  f ( x ) < 0  với mọi  x  thuộc K thì hàm số  f ( x )   nghịch biến trên K.<br />           c) Nếu  f ( x ) = 0  với mọi  x   thuộc K thì hàm số  f ( x )   không đổi trên K.<br />    + Chú ý: Quy tắc trên để  xét tính đơn điệu của hàm số chỉ là điều kiện đủ  chứ  không  <br /> phải là điều kiện cần. <br /> 5.Các tính chất đơn điệu của hàm số:<br />      a) Nếu hàm số  y = f ( x )  đơn điệu trên K, thì phương trình  f ( x ) = c  ( với c là hằng số) <br /> nếu có nghiệm  x = x0   thì nghiệm đó là duy nhất.<br />      b) Nếu hàm số  y = f ( x )  đơn điệu trên K,  u ( x )  , v ( x )  là các hàm số nhận giá trị thuộc <br /> K thì  f ( u ( x ) ) = f ( v ( x ) ) � u ( x ) = v ( x )  .<br /> <br /> 2.2 Các ví dụ minh họa<br /> 2.2.1.Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm<br />       2.2.1.1. Phương trình đưa về dạng  f ( x ) = 0<br /> <br /> 8<br /> Phương pháp: <br /> Bước 1: Tìm ĐKXĐ : D của phương trình.<br /> Bước 2: Xét hàm  y = f ( x )  trên D. <br /> <br /> Bước 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f ( x ) .<br /> Bước 4: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận nghiệm.<br /> <br /> <br /> Ví dụ 1: Giải phương trình:  5 + 2 x − 3 − x = 2  <br /> Phân tích<br /> +Ví dụ trên là bài toán cơ bản có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương, đặt ẩn phụ, <br /> phương pháp nhân liên hợp. Tuy nhiên nếu dùng phương pháp đạo hàm thì lời giải ngắn  <br /> ngọn hơn rất nhiều.<br /> + Bài toán có chứa hai căn  5 + 2 x , 3 − x  nhưng  ( 5 + 2x − 3 − x ) =<br /> 1<br /> 5 + 2x<br /> +<br /> 1<br /> 2 3− x<br /> > 0.<br /> <br /> + Sử dụng máy tính ta được nghiệm  x = 2  .<br /> Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số. <br /> <br /> Lời giải tham khảo<br /> 5<br /> ĐK:  − x 3 <br /> 2<br /> �5 �<br /> Xét hàm số  f ( x ) = 5 + 2 x − 3 − x − 2   trên  �<br /> − ;3  <br /> �2 ��<br /> � � 5 1 1<br /> Với  x ��− ;3 �, ta có:  f ( x ) = + >0 <br /> 2 � � 5 + 2x 3− x<br /> �5 �<br /> Suy ra  f ( x )  là hàm số đồng biến trên  �− ;3 �, mà  f ( 2 ) = 0  <br /> �2 �<br /> Do đó  f ( x ) = 0  có nghiệm duy nhất  x = 2  <br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x = 2  <br /> <br /> Ví dụ 2: Giải phương trình:   x + 3 + 4 2 x − 1 = 4 − x 3  <br /> Phân tích:<br /> + Ta thấy trong phương trình trên có căn bậc hai và bậc bốn lại có biến x 3  ở  ngoài căn, <br /> nên việc đặt ẩn phụ tương đối phức tạp. Mà ta thấy chuyển x3   sang vế phải thì ta được <br /> một biểu thức có đạo hàm luôn dương.<br /> + Sử dụng máy tính ta được nghiệm:  x = 1  <br /> Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số.<br /> Lời giải tham khảo<br /> 1<br /> ĐK:  x  <br /> 2<br /> <br /> 9<br /> Viết lại  phương trình đã cho thành:  x3 + x + 3 + 4 2 x − 1 − 4 = 0  <br /> �1 �<br /> Xét hàm số  f ( x ) = x 3 + x + 3 + 4 2 x − 1 − 4  trên <br /> ;+  <br /> �2 �<br /> 1 1<br /> Với  x > , ta có   f ( x ) = 3x + 2 x + 3 + 4<br /> 1 2<br /> > 0 <br /> 2 ( 2 x − 1)<br /> 3<br /> 2<br /> �1 �<br /> Suy ra  f ( x )  là hàm số đồng biến trên  � ; + �, mà  f ( 1) = 1 + 4 + 4 1 − 4 = 0<br /> � 2 �<br /> Do đó  f ( x ) = 0  có nghiệm duy nhất  x = 1  <br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x = 1  <br /> <br /> Ví dụ 3: Giải phương trình :  3 x + 3x + 1 = 4 − 2 x − 1  <br /> Phân tích<br /> + Trong phương trình có chứa ba căn thức:   3 x , 3 x + 1, 2 x − 1   . Nếu dùng các phương <br /> pháp: đăt ẩn phụ hoặc biến đổi tương đương thì tương đối phức tạp thậm trí bế  tắc. Ta <br /> có thể dùng phương pháp nhân liên hợp, nhưng bài toán biến đổi tương đối phức tạp . <br /> + Ta thấy nếu ta chuyển  2 x − 1  sang vế phải của phương trình ta thấy : <br /> <br />                    ( 3<br /> x + 3x + 1 + 2 x − 1 = ) 3<br /> 1<br /> 3<br /> x2<br /> +<br /> 2 3x + 1<br /> 3<br /> +<br /> 1<br /> 2x −1<br /> > 0   <br /> <br /> + Sử dụng máy tính ta được  x = 1  là nghiệm.<br /> Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số tương đối ngắn gọn.<br /> Lời giải tham khảo<br /> 1<br /> ĐK:  x  <br /> 2<br /> Viết lại phương trình đã cho thành :  3 x + 3x + 1 + 2 x − 1 − 4 = 0  <br /> 1<br /> � �<br /> Xét hàm số  f ( x ) = 3 x + 3x + 1 + 2 x − 1 − 4   trên  ;+  <br /> 2<br /> � �<br /> 1 1 3 1<br /> Với  x >  , ta có:  f ( x) = + + > 0 <br /> 2 3 3 x2 2 3x + 1 2x − 1<br /> �1 �<br /> Suy ra  f ( x )  là hàm số đồng biến trên  � ; + � ,mà  f ( 1) = 3 1 + 4 + 1 − 4 = 0<br /> � 2 �<br /> Do đó  f ( x ) = 0  có nghiệm duy nhất  x = 1  <br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x = 1  <br /> <br /> Ví dụ 4: Giải phương trình:  2 x3 + 3 x 2 + 6 x + 16 = 2 3 + 4 − x  <br /> Phân tích<br /> + Ta thấy  2 x3 + 3 x 2 + 6 x + 16  tương đối công kềnh nên bài toán giải quyết bằng phương <br /> pháp nâng lũy thừa hay phương pháp đặt ẩn phụ là tương đối phức tạp. <br /> Nhưng ta thấy:  ( 2 x3 + 3 x 2 + 6 x + 12 ) = 6 ( x 2 + x + 1) > 0  .<br /> <br /> 10<br /> Do đó ta chuyển  4 − x  sang vế trái thì vế trái là biểu thức có đạo hàm luôn dương<br /> + Sử dụng máy tính ta được  x = 1  là nghiệm.<br /> Nên bài toán này giải quyết được bằng phương pháp hàm số.<br /> Lời giải tham khảo<br /> 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 0 ( x + 2 ) ( 2 x2 − x + 8) 0<br /> Điều kiện xác định:       � �� � −2 �x �4  <br /> 4− x 0 4−x 0<br /> <br /> Phương trình đã cho tương đương:  2 x3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x − 2 3 = 0  <br /> Xét hàm số  f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x − 2 3   trên  [ −2; 4]  <br /> 3 ( x 2 + x + 1) 1<br /> Với  x �( −2; 4 ) , ta có  f ( x ) = >0   +<br /> 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 2 4 − x<br /> Suy ra  f ( x )  là hàm số đồng biến trên khoảng  ( −2;4 ) , mà  f ( 1) = 0  <br /> Do đó phương trình  f ( x ) = 0  có nghiệm duy nhất  x = 1  <br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x = 1 .<br /> <br /> 5<br /> Ví dụ 5: Giải phương trình:  3 3 − 2 x + − 2 x3 = 6  <br /> 4<br /> <br /> 2x − 1<br /> Phân tích<br />  + Quan sát qua ta thấy vế  trái của phương trình là biểu thức công kềnh và khó nhìn ra  <br /> dấu của đạo hàm.  Nhưng ta thấy:<br /> −2<br />                          ( 4<br /> 3 − 2x ) = < 0 <br /> 4 4 ( 3 − 2x)<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> � 1 � − 2x −1 −1( )<br />                        � �= = < 0  . <br /> (<br /> ( 2 x − 1) 2 x − 1 )<br /> 2<br /> � 2x − 1 � 2x − 1<br />     Do đó vế trái của phương trình là biểu thức có đạo hàm luôn âm.<br /> + Sử dụng máy tính ta được  x = 1  là nghiệm của phương trình.<br /> Nên bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số.<br /> Lời giải tham khảo<br /> 1 3<br /> Điều kiện  < x  <br /> 2 2<br /> 5<br /> Phương trình đã cho tương đương với :   3 4 3 − 2 x + − 2 x3 − 6 = 0  <br /> 2x −1<br /> 5 �1 3 �<br /> Xét hàm số  f ( x ) = 3 4 3 − 2 x + − 2 x3 − 6  ,  x ;   <br /> 2x −1 �2 2 �<br /> −6 5<br /> Với  x � ; � ta có:  f ( x ) = 4<br /> �1 3 � − − 6x2 < 0<br /> ( 3 − 2 x ) ( 2 x − 1) 2 x − 1<br /> 3<br /> �2 2 �<br /> <br /> <br /> <br /> 11<br />  �1 3 �<br /> Suy ra  f ( x )  là hàm số nghịch biến trên  � ; �, mà  f ( 1) = 0<br /> 2 2<br /> � �<br /> Do đó  f ( x ) = 0  có nghiệm duy nhất  x = 1<br /> Vậy  phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x = 1  <br /> <br /> 5<br /> Ví dụ 6:Giải phương trình:   3x − 8 − x + 1 =  <br /> 2 x − 11<br /> Phân tích<br /> <br /> + Ta thấy  ( 3x − 8 − x + 1 = ) 3<br /> 2 3x − 8<br /> −<br /> 1<br /> 2 x +1<br />  chưa xác định được dấu của biểu thức <br /> trên. Nhưng nếu ta quy đồng và nhân liên hợp ta được: <br /> 3 x + 1 − 3x − 8<br /> ( 3x − 8 − x + 1 = ) 3<br /> 2 3x − 8<br /> −<br /> 2 x +1<br /> 1<br /> =<br /> 2 3x − 8 x + 1<br /> 6 x + 17 8<br />                             = 2 3 x − 8 x + 1 3 3 x − 8 + x + 1 > 0, ∀x > 3<br /> ( )<br /> 5<br /> Do đó ta chuyển   sang vế trái của phương trình thì ta được một biểu thức ở vế trái <br /> 2 x − 11<br /> có đạo hàm dương.<br /> �8 11 �� 11 �<br /> + Lưu ý: Tập xác định của phương trình có hai khoảng là  � ; �, � ; + � nên ta phải xét <br /> �3 2 ��2 �<br /> trên từng khoảng một.<br /> + Sử dụng máy tính ta tìm được hai nghiệm   x = 3; x = 8<br /> Do đó bài toán giải quyết được bằng phương pháp hàm số.<br /> Lời giải tham khảo<br /> 8<br /> x<br /> 3<br /> Điều kiện:   <br /> 11<br /> x<br /> 2<br /> 5<br /> Phương trình đã cho tương đương với:  3x − 8 − x + 1 − =0<br /> 2 x − 11<br /> 5 �8 11 � � 11 �<br /> Xét hàm số :  f ( x ) = 3 x − 8 − x + 1 − ,   x � ; ��� ; +��<br /> 2 x − 11 �3 2 � �2 �<br /> �8 11 � � 11 �<br /> Với x �� ; ��� ; +��  ta có :<br /> �3 2 � �2 �<br /> 3 1 10 3 x + 1 − 3x − 8 10<br />   f ( x) = − + 2  = +<br /> 2 3x − 8 2 x + 1 ( 2 x − 11) 2 3 x − 8 x + 1 ( 2 x − 11)<br /> 2<br /> <br /> <br /> 6 x + 17 10<br />             = 2 3 x − 8 x + 1 3 3 x + 8 + x + 1 + 2 x − 11 2 > 0  <br /> ( ( ) )<br /> <br /> 12<br />  �8 11 � �11 �<br /> Suy ra hàm số   f ( x )   đồng biến trên mỗi khoảng   � ; �  và   � ; + �  , nên trên mỗi <br /> �3 2 � �2 �<br /> khoảng phương trình  f ( x ) = 0  có tối đa một nghiệm. <br /> <br /> Mà  f ( 3) = 0; f ( 8 ) = 0  , do đó  f ( x ) = 0  có hai nghiệm  x = 3; x = 8  <br /> Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  x = 3; x = 8<br /> <br /> Ví dụ 7: Giải phương trình:  ( 4 x − 1) ( )<br /> x + 3 + 3 3x + 5 = 4 x + 8  <br /> Phân tích<br /> + Nếu ta tính đạo hàm luôn thì vế trái rất cồng kềnh. Do đó ta chia cả hai vế của phương <br /> 4x + 8<br /> trình cho  ( 4 x − 1)  ta được phương trình:  x + 3 + 3 3 x + 3 − =0 <br /> 4x − 1<br /> + Ta thấy :<br />                        ( )<br /> x+3 =<br /> 2 x+3<br /> 1<br /> >0<br /> <br /> <br /> (<br />                        3 x + 3 = 3<br /> 3<br /> ) 1<br /> >0<br /> 3 ( 3 x + 3)<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 4x + 8 � −36 �4 x + 8 � 36<br />                        �<br /> � �= � −� �= >0<br /> �4 x − 1 � ( 4 x − 1) �4 x − 1 � ( 4 x − 1)<br /> Do đó vế trái là biểu thức có đạo hàm mang dấu dương<br /> + Sử dụng máy tính ta được nghiệm:  x = −2; x = 1<br /> Nên bài toán gải quyết được bằng cách hàm số.<br /> Lời giải tham khảo:<br /> Điều kiện:  x −3  .<br /> 1<br /> Ta thấy  x =  không là nghiệm của phương trình.<br /> 4<br /> 1 4x + 8<br /> Với  x  phương trình tương đương với:  x + 3 + 3 3 x + 5 − =0 <br /> 4 4x −1<br /> 4x + 8 � 1 � �1 �<br /> Xét hàm số  f ( x ) = x + 3 + 3 3x + 5 − ,   x � −3; ��� ; +�� <br /> 4x − 1 � 4 � �4 �<br /> 1 1 36<br /> Với  x ��−3; ��� ; +��, ta có:  f ( x ) = 2 x + 3 + 3<br /> � 1 � �1 � + > 0 <br /> ( )<br /> 2<br /> 3 ( 3x + 5) 4 x − 1<br /> 2<br /> � 4 �� 4 �<br /> � 1� �1 �<br /> Suy ra hàm số  f ( x )  đồng biến trên mỗi khoảng  �−3; � và  � ; + �, nên trên mỗi khoảng <br /> 4 4 � � � �<br /> phương trình  f ( x ) = 0  có tối đa một nghiệm.<br /> Mà  f ( −2 ) = f ( 1) = 0  <br /> Do đó phương trình  f ( x ) = 0  có hai nghiệm  x = −2; x = 1  <br /> Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  x = −2; x = 1<br /> <br /> <br /> 13<br /> Ví dụ 8: Giải phương trình:  x + 5 + 5 − x = x 2 − 6  <br /> Phân tích<br /> + Phương trình viết lại thành:  x 2 − x + 5 − 5 − x + 6 = 0  <br /> 1 1<br /> + Lấy đạo hàm vế trái ta được:  2 x − +    (*)<br /> 2 x+5 2 5− x<br />       Ta thấy  x = 0  là một nghiệm của biểu thức (*), do đó ta quy đồng và nhân liên hợp <br /> 1 1<br /> biểu thức  −  ta được: <br /> 2 5− x 2 x+5<br /> � �<br /> 1 1 � 1 �<br />                           2 x − + = x 2+<br /> 2 x+5 2 5− x �<br /> �<br /> 25 − x 2<br /> 5+ x + 5− x � (<br /> � )<br /> 1 1<br /> + Ta thấy:   2 x − + = 0  có nghiệm duy nhất  x = 0 . Do đó ta đi xét dấu của <br /> 2 x+5 2 5− x<br /> biểu thức đạo hàm trên từng khoảng  ( −5;0 ) , ( 0;5 )  <br /> Lời giải tham khảo<br /> Điều kiện:  −5 x 5  <br /> Phương trình đã cho tương đương với:  x 2 − x + 5 − 5 − x + 6 = 0<br /> Xét hàm số  f ( x ) = x 2 − x + 5 − 5 − x + 6, x �[ −5;5]  <br /> 1 1 5+ x − 5− x<br /> Với  x �( −5;5 ) , ta có:  f ( x ) = 2x − + = + 2x  <br /> 2 x+5 2 5− x 2 25 − x 2<br /> � �<br /> x 1<br />       = + 2x = x � + 2 � <br /> 25 − x 2 ( 5+ x + 5− x ) � 25 − x 2<br /> � ( 5− x + 5+ x �<br /> �)<br /> f ( x) = 0 � x = 0<br /> Ta thấy  f ( x ) > 0  khi  x ( 0;5 )  ;  f ( x ) < 0  khi  x �( −5;0 )  <br /> Suy ra hàm số  f ( x )  đồng biến trên khoảng  ( 0;5 )  , nghịch biến trên khoảng  ( −5;0 ) . Nên <br /> trên mỗi khoảng phương trình  f ( x ) = 0  có tối đa một nghiệm.<br /> Mà  f ( −4 ) = f ( 4 ) = 0  , do đó  f ( x ) = 0  có hai nghiệm  x = −4  và  x = 4<br /> Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  x = −4  và  x = 4 .<br /> <br /> Ví dụ 9: Giải phương trình:  3 10 − 3 x + 3 10 + 3x + 10 = x 4 + 3 x 2  <br /> Phân tích<br /> + Phương trình đã cho viết thành:  x 4 + 3x 2 − 3 10 − 3 x − 3 10 + 3 x − 10 = 0<br /> 9 9<br /> + Lấy đạo hàm vế trái ta được:  4 x + 6 x + −<br /> 3<br />   (*). <br /> 2 10 − 3 x 2 10 + 3 x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 14<br />    Ta thấy  x = 0  là một nghiệm của biểu thức (*), do đó quy đồng và nhân liên hợp của <br /> 9 9 9 9<br /> biểu thức   −  ta được:  4 x + 6 x +<br /> 3<br /> −<br /> 2 10 − 3 x 2 10 + 3 x 2 10 − 3 x 2 10 + 3 x<br /> � �<br /> � 27 �<br /> = x 4x + 6 +<br /> 2<br /> <br /> �<br /> � (<br /> ( 10 + 3x ) ( 10 − 3x ) 10 + 3x + 10 − 3x � � )<br /> 9 9<br /> Suy ra  4 x + 6 x + − = 0  có nghiệm duy nhất  x = 0  .<br /> 3<br /> <br /> 2 10 − 3 x 2 10 + 3 x<br /> 9 9<br />  Do đó ta đi xét dấu của  4 x + 6 x + −<br /> 3<br />  trên từng khoảng <br /> 2 10 − 3 x 2 10 + 3 x<br /> � 10 �� 10 �<br /> �− ;0 � ,� 0; �  <br /> � 3 �� 3 �<br /> Lời giải tham khảo<br /> 10 10<br /> Điều kiện :  − x  <br /> 3 3<br /> Phương trình đã cho tương đương với:  x 4 + 3x 2 − 3 10 − 3 x − 3 10 + 3 x − 10 = 0<br /> � 10 10 �<br /> Với  x ��− ; � ta có:<br /> � 3 3�<br /> <br /> <br />          f ( x ) = 4 x + 6 x +<br /> 3 9<br /> −<br /> 9<br />      = 4 x3 + 6 x +<br /> 9 ( 10 + 3 x − 10 − 3 x )<br /> 2 10 − 3x 2 10 + 3 x 2 ( 10 − 3 x ) ( 10 + 3 x )<br /> � �<br /> 27<br />       �<br /> = x 4 x2 + 6 + �<br /> �<br /> � ( 10 + 3x ) ( 10 − 3 x ) ( 10 + 3 x + 10 − 3 x �<br /> � )<br /> f ( x) = 0 � x = 0  <br /> � 10 � � 10 �<br /> Ta thấy:  f ( x ) > 0 khi x ��0; �<br /> ; f ( x ) < 0 khi x ��− ;0 � <br /> � 3� � 3 �<br /> � 10 � � 10 �<br /> Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  �0; �, nghịch biến trên khoảng  �− ;0 � <br /> � 3� � 3 �<br /> Nên  trên mỗi khoảng phương trình  f ( x ) = 0  có tối đa một nghiệm.<br /> <br /> Mà  f ( −2 ) = f ( 2 ) = 0 . Do đó  f ( x ) = 0   có hai nghiệm  x = 2  và  x = −2<br /> Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  x = 2  và  x = −2  <br /> Bài tập tự luyện:  Giải các phương trình sau:<br /> <br /> 1)   x + 3 x − 1 + x + 2 = 5                       x2 − 2 1 + x2<br /> 7)   8 − x 2 + = 5 −        <br /> 2)   3 6 x + 15 + 4 3 x − 5 = 20 − 2 x 3               2x2 x<br /> 3)   4 x + 4 + 3 8 x + 3 = 34 − 6 x − x 2          1 1<br /> 8)  x + = 2+     <br /> 4+ 5− x 3 + 7x + 2<br /> 15<br /> 4)  5 x + 1 + 4 x − 3 = 11 − 2 3 3 x − 1           9)  3x + 1 + x + 7 x + 2 = 4            <br /> 5)  4 x3 + 13 x 2 + 19 x + 48 = 21 + 23 − 2 x   10)  5 x3 − 1 + 3 2 x − 1 + x3 = 4           <br /> 6)  5 4 7 − 3 x +<br /> 6<br /> 5x −1<br /> + 25 = 4 x 3              ( )<br /> 11)  3x − 2 − x + 3 ( 2 x − 7 ) = 5    <br /> <br />  2.2.1.2.Phương trình đưa được về dạng : f(u)=f(v).<br />     Phương pháp:<br />           Bước 1: Tìm ĐKXĐ<br />           Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng:  f ( u ) = f ( v )  ( với  u , v  là các hàm số theo <br /> x  )<br />           Bước 3: Xét hàm số  f ( t ) , chứng minh  f ( t )  là hàm số đơn điệu. <br />           Bước 4: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận nghiệm.<br />    ** Trong phương pháp trên thì bước 2 là quan trọng nhất.<br /> <br /> <br /> Ví dụ 1: Giải phương trình:  5 2 x + 1 − 5 5 x − 2 = 5 x − 2 − 2 x + 1  <br /> Phân tích<br /> + Ta thấy trong phương trình có hai biểu thức dưới dấu căn là:  ( 2 x + 1) , ( 5 x − 2 ) . Do đó <br /> nếu ta đặt  u = 2 x + 1, v = 5 x − 2  thì phương trình trở thành:  u + 5 u = v + 5 v  <br /> + Xét hàm số đặc trưng:  f ( t ) = t + 5 t , t 0  <br /> Lời giải tham khảo<br /> 2<br /> Điều kiện xác định:  x  <br /> 5<br /> 2<br /> Ta thấy  x =  không là nghiệm của phương trình.<br /> 5<br /> 2 u = 2x + 1<br /> Với  x > , đặt   ,   (u > 0, v > 0)  <br /> 5 v = 5x − 2<br /> Phương trình trở thành:  5 u + u = 5 v + v       (1)<br /> Xét hàm số  f ( t ) = 5 t + t  (  t > 0  )<br /> 1 1<br /> Ta có:    f ( t ) = + > 0, t > 0      f ( t )  là hàm số đồng biến trên khoảng  ( 0; + ) <br /> 5 5 t4 2 t<br /> Theo (1) ta có :  f ( u ) = f ( v ) � u = v<br /> Với  u = v  ta được:  5 x − 2 = 2 x + 1   � x = 1 (thỏa mãn điều kiện)<br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm  x = 1  <br /> <br /> Ví dụ 2: Giải phương trình:  2 x + 2 x + 2 = x + 3 + 2 + x + 3  <br /> Phân tích<br /> + Cộng cả hai vế  của phương trình với 2 thì phương trình tương đương với: <br /> <br /> 16<br />                      ( 2 x + 2 ) + 2 x + 2 = ( )<br /> x+3+2 + 2+ x+3  <br /> + Đặt  u = 2 x + 2, v = 2 + x + 3  , phương trình trở thành:  u + u = v + v  <br /> + Xét hàm số :  f ( t ) = t + t  <br /> Lời giải tham khảo:<br /> Điều kiện xác định:  x −1  <br /> <br /> Phương trình đã cho tương đương với:  ( 2 x + 2 ) + 2 x + 2 = 2 + x + 3 + 2 + x + 3  ( )<br /> Ta thấy  x = −1  không là nghiệm của phương trình.   <br /> u = 2x + 2<br /> Với  x > −1 , đặt  , u, v > 0  <br /> v = 2+ x+3<br /> Phương trình trở thành:  u + u = v + v    (1)<br /> 1<br /> Xét hàm số  f ( t ) = t + t , t > 0   � f ( t ) = 1 + > 0 ,  ∀t > 0<br /> 2 t<br />   f ( t )  là hàm số đồng biến trên  ( 0; + ) <br /> Theo (1) ta có  f ( u ) = f ( v ) � u = v<br /> x 0<br /> Với  u = v  ta được :  2 x + 2 = 2 + x + 3   � 2 x = x + 3   <br /> 4x − x − 3 = 0<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x 0<br /> 3<br />                             x = −       � x = 1   ( thỏa mãn điều kiên xác định)<br /> 4<br /> x =1<br /> <br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x = 1  <br /> <br /> <br />  Ví dụ 3: Giải phương trình:  x 2 + 2 x + 3 + 4 x 2 + 2 x = 4 x + 6 + 4 4 x + 3  <br /> Phân tích<br /> + Ta thấy :  x + 2 x + 3 = ( x + 2 x ) + 3; 4 x + 6 = ( 4 x + 3) + 3   nên nếu đặt:  u = x 2 + 2 x; v = 4 x + 3  <br /> 2 2<br /> <br /> <br />  thì phương trình trở thành:  u + 3 + 4 u = v + 3 + 4 v  <br /> + Xét hàm số  f ( t ) = t + 3 + 4 t  <br /> Lời giải tham khảo<br /> Điều kiện xác định:  x 0  <br /> Ta thấy  x = 0  không là nghiệm của phương trình.<br /> u = x2 + 2x<br /> Với  x > 0 , đặt  , (u > 0, v > 0)  <br /> v = 4x + 3<br /> Phương trình trở thành:  u + 3 + u = v + 3 + v     (1)<br /> Xét hàm số  f ( t ) = t + 3 + t      với   t 0  <br /> 17<br />  1 1<br /> Với  t > 0  ta có :  f ( t ) = + > 0  f ( t )  là hàm số đồng biến trên  ( 0; + ) <br /> 2 t +3 2 t<br /> Theo (1) ta có:  f ( u ) = f ( v ) � u = v<br /> x = −1<br /> Với  u = v  ta được  x 2 + 2 x = 4 x + 3    <br /> x=3<br /> Kết hợp với điều kiện ta được:  x = 3  <br /> <br /> <br /> Ví dụ 4: Giải phương trình:  x 2 − 2 x + 7 + x + 3 = 2 1 + 8 x + 1 + 1 + 8 x  <br /> Phân tích<br /> + Ta thấy vế trái của phương trình có chứa  x + 3  và x2 nên ta nghĩ đến việc biến đổi vế <br /> trái của phương trình làm xuất hiện  ( x + 3)  . Do đó vế phải của phương trình cũng có thể <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> ( )<br /> 2<br /> xuất hiện  1 + 1 + 8x .<br /> <br /> ( )<br /> 2<br /> + Phương trình được viết thành:  ( x + 3) + x + 3 = 1 + 1 + 8 x<br /> 2<br /> + 1 + 1 + 8x<br /> + Xét hàm số :  f ( t ) = t + t , t > 0  <br /> 4<br /> <br /> <br /> Lời giải tham khảo<br /> 1<br /> Điều kiện xác định:  x −  <br /> 8<br /> <br /> ( )<br /> 2<br /> Phương trình đã cho tương đương với:  ( x + 3) + x + 3 = 1 + 1 + 8 x<br /> 2<br /> + 1 + 1 + 8x<br /> <br /> 1<br />  Ta thấy  x = −  không là nghiệm của phương trình.<br /> 8<br /> <br /> 1 u = x+3<br /> Với  x > , đặt   (  u > 0; v > 0  )<br /> 8 v = 1 + 1 + 8x<br /> <br /> Phương trình trở thành:  u 4 + u = v 4 + v     (1)<br /> Xét hàm số  f ( t ) = t + t ,   t > 0  <br /> 4<br /> <br /> <br /> Ta có  f ( t ) = 4t + 1 > 0, ∀ t > 0   f ( t )  là hàm số đồng biến trên  ( 0; + ) <br /> 3<br /> <br /> <br /> Theo (1) ta có :    f ( u ) = f ( v ) � u = v  <br /> Với  u = v  ta được :  x + 3 = 1 + 1 + 8 x    � 1 + 8 x = x + 2  <br /> x −2 x −2 x =1<br />                                        (thỏa mãn điều kiện)<br /> 1 + 8x = ( x + 2)<br /> 2<br /> x − 4x + 3 = 0<br /> 2<br /> x=3<br /> Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:  x = 1; x = 3  <br /> <br /> <br /> ( )<br /> Ví dụ 5: Giải phương trình:  3 x 2 + 9 x + 3 + ( 4 x + 2 ) 1