SKKN: Khai thác các ứng dụng từ một bài Toán lớp 8

Chia sẻ: Ngô Thị Thu Thảo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

572
lượt xem 195
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải Toán là 1 nghệ thuật thực hành, vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải trải qua quá trình rèn luyện. Việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như khéo léo khai thác từ 1 bài tập sang 1 loạt bài tập tương tự.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Khai thác các ứng dụng từ một bài Toán lớp 8

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG TỪ MỘT BÀI TOÁN LỚP 8
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 PhÇn I: giíi thiÖu ®Ò tµi: A.Lý do chän ®Ò t i: “Gi¶i to¸n l mét nghÖ thuËt thùc h nh;gièng nh− b¬i léi,tr−ît tuyÕt,hay ch¬i ® n …”V× vËy ®Ó cã kü n¨ng gi¶i b i tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp .Tuy r»ng,kh«ng ph¶i l cø gi¶i b i tËp l cã kü n¨ng.ViÖc luyÖn tËp sÏ cã hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét b i tËp sang mét lo¹t b i tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông mét tÝnh chÊt n o ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh n o ®ã. Thùc tiÔn cho thÊy häc sinh th−êng häc to¸n kh«ng chó ý ®Õn ph−¬ng ph¸p gi¶i nªn khi gÆp nh÷ng b i to¸n cã sö dông ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù gÆp nhiÒu lóng tóng. VËy kh«ng ngo i t©m huyÕt víi c¸c em häc sinh,niÒm ®am mª d nh cho bé m«n to¸n häc v sù mong muèn n©ng cao chÊt l−îng –t«i ® tiÕn h nh häc tËp tÝch luü so¹n ra ®Ò t i n y”….” B.nhiÖm vô: +C¬ së lý luËn cña ®Ò t i: viÖc khai th¸c b i tËp to¸n cã ý nghÜa hay kh«ng? +VËn dông lý luËn v o thùc tiÔn: khai th¸c c¸c øng dông tõ mét b i to¸n líp 8 C.Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu: +ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn,lý thuyÕt +ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm +ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm s− ph¹m D.Giíi h¹n ®Ò t i v môc ®Ých nghiªn cøu: -Giíi h¹n ®Ò t i khai th¸c c¸c øng dông tõ mét b i to¸n líp 8:¸p dông ®Ó d¹y häc sinh líp 6,7,8 -Môc ®Ých ®Ò t i:Phôc vô cho c«ng t¸c båi d−ìng c¸c khèi 6,7,8 v l m t i liÖu tù häc cho c¸c em gióp c¸c em t×m cho m×nh ph−¬ng ph¸p häc tËp tÝch cùc. PhÇn 2: néi dung A.C¬ së lý luËn cña ®Ò t i: Gi¶i b i tËp to¸n l qu¸ tr×nh suy luËn,nh»m kh¸m ph¸ ra quan hÖ l«gic gi÷a c¸i ® cho (gi¶ thiÕt) víi c¸i ph¶i t×m (.kÕt luËn).Nh−ng c¸c quy t¾c suy luËn,còng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh ch−a ®−îc d¹y t−êng minh.Do ®ã,häc sinh th−êng gÆp nhiÒu khã kh¨n khi gi¶i b i tËp.Thùc tiÔn d¹y häc còng cho thÊy:HS kh¸ giái th−êng ®óc kÕt nh÷ng tri thøc,ph−¬ng ph¸p cÇn thiÕt cho m×nh b»ng con ®−êng kinh nghiÖm;cßnHS trung b×nh ,yÕu, kÐm gÆp nhiÒu lóng tóng.§Ó cã kÜ n¨ng gi¶i b i tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp.Tuy r»ng,kh«ng ph¶i cø gi¶i nhiÒu b i tËp l cã nhiÒu kÜ n¨ng.ViÖc luyªn tËp sÏ cã nhiÒu hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét b i tËp sang mét lo¹t b i tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 1
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 mét tÝnh chÊt n o ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh n o®ã. Quan s¸t ®Æc ®iÓm b i to¸n,kh¸i qu¸t ®Æc ®iÓm ®Ò môc l v« cïng quan träng,song quan träng h¬n l sù kh¸i qu¸t h−íng suy nghÜ v ph−¬ng ph¸p gi¶i.Sù thùc l khi gi¶i b i tËp th× kh«ng chØ l gi¶i mét vÊn ®Ò cô thÓ m l gi¶i ®Ò b i trong mét lo¹t vÊn ®Ò n o ®ã.Do ®ã h−íng suy nghÜ v ph−¬ng ph¸p gi¶i b i tËp còng nhÊt ®Þnh cã mét ý nghÜa chung n o ®ã.NÕu ta chó ý tõ ®ã m kh¸i qu¸t ®−îc h−íng suy nghÜ v c¸ch gi¶i cña vÊn ®Ò n o ®ã l g× th× ta sÏ cã thÓ dïng nã ®Ó chØ ®¹o gi¶i vÊn ®Ò cïng lo¹i v sÏ më réng ra.Nh to¸n häc §Òc¸c nãi rÊt ®óng r»ng: “Mçi vÊn ®Ò m t«i gi¶i quyÕt ®Òu sÏ trë th nh vÝ dô mÉu mùc dïng ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò kh¸c”.Do ®ã sau khi gi¶i mét b i to¸n nªn chó ý khai th¸c h−íng suy nghÜ v c¸ch gi¶i. B.VËn dông lý luËn v o thùc tiÔn: xÐt b i to¸n 28 trang 21 s¸ch b i tËp to¸n 8 –tËp 1: 1 1 1 a.Chøng minh: − = (1) x x + 1 x( x + 1) b.§è: §è em tÝnh nhÈm ®−îc tæng sau: 1 1 1 1 1 + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) 1 1 x +1− x 1 -H−íng dÉn:a.BiÕn ®æi vÕ tr¸i th nh vÕ ph¶i : − = = x x + 1 x( x + 1) x( x + 1) b.XÐt ®Æc ®iÓm ®¼ng thøc ë c©u a:VP cã mÉu l 1tÝch 2biÓu thøc c¸ch nhau 1;1 1 1 1 chÝnh l tö th× cã − = .T−¬ng tù víi ®Æc ®iÓm nh− VP ë c©u a;ta cã: x x + 1 x( x + 1) 1 1 1 1 1 1 + + + + + = x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − + = x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x -C¸ch ph¸t biÓu kh¸c cña b i to¸n: 1 a.ViÕt ph©n thøc th nh hiÖu cña hai ph©n thøc cã tö b ng 1 x( x + 1) b.VËn dông kÕt qu¶ c©u a,h y rót gän biÓu thøc sau: 1 1 1 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5 I.khai th¸c øng dông bµi 28 trong tÝnh to¸n;trong to¸n rót gän;to¸n chøng minh ®¼ng thøc: Tõ(1),nÕu thay x=1 th× ta cã c¸c b i to¸n sau: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 2
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 B i1:TÝnh: 1 1 1 1 1 1 a. + + + + + ..... + 2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6 99.100 H−íng dÉn: 1 1 1 1 1 1 + + + + + ..... + = 2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + − + − + − + ... + − = 1− = 2 2 3 3 4 4 5 99 100 100 100 1 1 1 1 + Tõ ®ã cã b i to¸n tæng qu¸t :b.TÝnh tæng + + + ...... + víi n ≥ 1 2 2 .3 3 .4 n(n + 1) 1 n H−íng dÉn:t−¬ng tù c©u a;ta cã kÕt qu¶ l :1- = n +1 n +1 *)NhËn xÐt ®Æc ®iÓm mÉu c¸c ph©n thøc ®Ó tõ ®ã ta cã c¸c d¹ng b i to¸n kh¸c:c¸c h¹ng tö trong tæng trªn ®Òu l nh÷ng ph©n thøc cã d¹ng:mÉu l mét tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ chÝnh b»ng tö.VËy mÉu l tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 2 hay 3 hay 4…th× gi¶i b i to¸n nh− thÕ n o?ch¼ng h¹n: B i2:TÝnh tæng: 1 1 1 1 1 1 1 1 a. + + + .... + b. + + + .... + víi n ≥ 0 1 .3 3 .5 5 .7 2005.2007 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) H−íng dÉn:a.ViÕt mçi h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu 2ph©n thøc: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − ); = ( − ); = ( − );...... = ( − ) .VËy 1 .3 2 1 3 3 .5 2 3 5 5 .7 2 5 7 2005.2007 2 2005 2007 1 1 1 1 + + + .... + = 1 .3 3 .5 5 .7 2005.2007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1003 ( − + − + − + .... + − ) = (1 − )= 2 1 3 3 5 5 7 2005 2007 2 2007 2007 b.Ph−¬ng ph¸p l m t−¬ng tù nh− c©u a. 1 1 1 1 XÐt h¹ng tö tæng qu¸t: = ( − ) nªn ta cã: (3n + 2)(3n + 5) 3 3n + 2 3n + 5 1 1 1 1 + + + .... + = 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n +1 ( − + − + − + ... + − )= ( − )= 3 2 5 5 8 8 11 3n + 2 3n + 5 3 2 3n + 5 3n + 5 +T−¬ng tù nh− vËy cã thÓ ®Ò xuÊt mét lo¹t b i to¸n cïng lo¹i v gi¶i quyÕt víi cïng ph−¬ng ph¸p. *)Chó ý ®Õn ®Æc ®iÓm tö v mÉu c¸c ph©n thøc ta cã b i to¸n tæng qu¸t h¬n:tö l mét sè(biÓu thøc) bÊt kú,mÉu l tÝch cña 2 sè(biÓu thøc) c¸ch ®Òu nhau th× gi¶i quyÕt b i to¸n nh− thÕ n o?ch¼ng h¹n: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 3
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 B i3:TÝnh tæng: 5 5 5 5 5 a. + + + + .... + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 n n n n b. + + + ...... víi a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =b a1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a k a k +1 H−íng dÉn:a.Ph−¬ng ph¸p l m:viÕt c¸c h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu(t−¬ng 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 tù b i 2) = ( − ); = ( − ); = ( − );....; = ( − ) do ®ã: 2 .4 2 2 4 4 .6 2 4 6 6 .8 2 6 8 98.100 2 98 100 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + .... + = ( − + − + − + .... + − )= 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 2 2 4 4 6 6 8 98 100 5 1 1 49 = ( − )= 2 2 100 20 b.Ph−¬ng ph¸p l m t−¬ng tù c©u a.§©y chÝnh l b i to¸n tæng qu¸t rót ra tõ c¸c b i to¸n trªn.VËy ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau: +Tr−êng hîp 1:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =n B i to¸n n y gi¶i ®−îc dÔ d ng theo c¸ch ph©n tÝch cña b i 1 v× khi ®ã: n 1 1 = − a 1a 2 a 1 a 2 ………………………. n 1 1 = − a k a k +1 a k a k +1 n n n n 1 1 Céng tõng vÕ ta cã: + + + ...... = − a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 a k a k +1 +Tr−êng hîp 2:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k = b ≠ n n n n n n b b b b Ta cã + + + ...... = ( + + + .... + ) a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 b a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 B i to¸n n y thùc chÊt ® ®−a vÒ d¹ng b i 2;b i3.Do ®ã ta cã kÕt qu¶ l n 1 1 ( − ) b a k a k +1 -NÕu mÉu l tÝch cña 3 sè tù nhiªn c¸ch ®Òu nhau th× sao?Tõ ®ã ta cã c¸c b i to¸n khã h¬n : 1 1 1 1 B i4:TÝnh tæng :A= + + + .... + víi n≥1 ,n ∈ N 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n − 1).n.(n + 1) 1 1 1 1 B= + + + .... + víi n ∈ N ; n ≥ 2 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p gi¶i t−¬ng tù nh− c¸c b i trªn:viÕt c¸c h¹ng tö d−íi d¹ng hiÖu. Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 4
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 1 1 NhËn xÐt: = − Do ®ã ta cã: (n − 1)n(n + 1) (n − 1).n n.(n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A= ( − + − + ... + − )= ( − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1).n n.(n + 1) 2 2 n.(n + 1) 4 1 1 NhËn xÐt: = − Do ®ã ta cã: (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B= ( − + − + − + ... + − ) 4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 = ( − ) 4 3 (2n + 1)(2n + 3) 1 1 b −a *)NhËn xÐt: Tõ (1) ta cã ®¼ng thøc tæng qu¸t h¬n: − = víi a ≠ 0; b ≠ 0 th× a b a.b viÖc ¸p dông ng−îc c«ng thøc trªn trong thùc tÕ ®−îc sö dông rÊt nhiÒu. Ch¼ng h¹n víi b i to¸n sau: B i 5: Cho biÕt a,b,c l c¸c sè thùc kh¸c nhau.Chøng minh: b−c c−a a−b 2 2 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c − a H−íng dÉn:§èi víi ®Ò n y nÕu dïng c¸ch ho ®ång mÉu sè vÕ tr¸i ®Ó chøng minh th× qu¸ tr×nh tÝnh phøc t¹p.Cã c¸ch g× ng¾n gän kh«ng?Quan s¸t c¸c sè h¹ng ë vÕ tr¸i ta thÊy tö sè võa ®óng b»ng hiÖu cña 2 thõa sè ë mÉu sè: b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).§iÒu ®ã gîi cho ta nhí ®Õn dïng b−a 1 1 b−c 1 1 ng−îc c«ng thøc = − tøc = − . Do ®ã: a.b a b (a − b)(a − c) a − b a − c b−c c−a a−b 1 1 1 1 1 1 + + = − + − + − = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + + + + = + + (§PCM) a−b c−a b−c a−b c−a b−c a−b b−c c−a *)Chó ý ®Õn mÉu: nÕu ta thay x.(x+1)= x 2 + x ; (x+1)(x+2)= x 2 + 3x + 2 ;….ta sÏ cã c¸c b i to¸n luyÖn cho häc sinh kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc th nh nh©n tö: B i6:Rót gän c¸c biªñ thøc sau: 1 1 1 1 1 a. M= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 x + x x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 1 1 1 1 b. N= 2 + 2 + 2 + 2 x − 5x + 6 x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 H−íng dÉn:a.§Ó rót gän M cÇn ph©n tÝch c¸c mÉu th nh nh©n tö Ta cã: x 2 +x = x(x+1); x 2 + 3x + 2 = x 2 + x + 2x + 2 = (x+1)(x+2); x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x + 6 = (x+2)(x+3); x 2 + 7x + 12 = x 2 + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4); x 2 + 9x + 20 = x 2 + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do ®ã: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 5
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 1 M= + + + + (x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 1 1 5 = − = x x + 5 x(x + 5) b.T−¬ng tù ta cã: 1 1 1 1 N= + + + (x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4) (x − 4)(x − 5) (x − 5)(x − 6) 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − x −2 x −3 x −3 x −4 x −4 x −5 x −5 x −6 1 1 −4 = − = x − 2 x − 6 (x − 2)(x − 6) B i 7: Rót gän: a a a a 1 a.K= 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + x + a.x x + 3a.x + 2a x + 5.a.x + 6a x + 7.a.x + 12a x + 4a a a a a 1 b.H= 2 + 2 2 + 2 2 + .. + 2 2 + x + ax x + 3ax + 2a x + 5ax + 6a x + 19ax + 90a x + 10a H−íng dÉn: a a a a 1 a.K= + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 = x a a a a 1 b.H= + + + + - x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 a 1 + ... + + x + 5a (x + 9a)(x + 10a) x + 10a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H== − + − + − + − + - x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 1 1 1 + ... + − + x + 5a x + 9a x + 10a x + 10a 1 H= x 2x + 1 1 1 *)XÐt biÓu thøc sau: (x + 1)2 − x 2 = 2x + 1 nªn ta cã: 2 2 = 2 − x .(x + 1) x (x + 1) 2 Do ®ã ta cã b i to¸n sau: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 6
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 B i8:Rót gän biÓu thøc sau: 3 5 2x + 1 A= 2 + 2 + ........ + (1.2) (2.3) [x(x + 1)]2 H−íng dÉn: 2x + 1 1 1 -NhËn xÐt: = − nªn ta cã: x .(x + 1)2 2 x 2 (x + 1) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 A= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 − 1 2 2 3 3 4 x (x + 1) 2 1 x(x + 2) =1- 2 = (x + 1) ( x + 1) 2 II.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc: B i9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1 : 1 1 1 1 1 1 a.A = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 4 6 8 (2n) 2 1 1 1 1 1 b.B = 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 3 5 7 (2 n + 1) 4 H−íng dÉn: 1 1 1 1 1 1 1 1 a.NhËn xÐt: 2 = . 2 < . m = − nªn ta cã: (2 n ) 4 n 4 ( n − 1).n (n − 1).n n − 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = ( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) nªn 2 4 6 8 (2n) 4 1 2 3 n 1 1 1 1 1 A< (1 + + + + ... + ) hay 4 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n 1 1 1 1 1 1 1 1 A< (1 + 1 − + − + − + ... + − ) hay 4 2 2 3 3 4 n −1 n 1 1 1 1 1 A< (1 + 1 − ) hay A < − hay A< (§PCM) 4 n 2 4n 2 b.NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 < 2 ⇔ 2 < ⇔ 2 < ( − ) (2n + 1) (2n + 1) − 1 (2n + 1) 2n.(2n + 2) (2n + 1) 2 2n 2n + 2 nªn ta cã: 1 1 1 1 B< + 2 2 + 2 + ... + hay 3 −1 5 −1 7 −1 (2n + 1)2 − 1 1 1 1 1 B< + + + ... + hay 4.2 4.6 6.8 2n(2n + 2) Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 7
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B< ( − + − + − + ... + − ) hay 2 2 4 4 6 6 8 2n 2n + 2 1 1 1 1 1 1 B< ( − )⇒B < − ⇒B< (§PCM) 2 2 2n + 2 4 4(n + 1) 4 B i10:Chøng minh víi n nguyªn,n>1 th×: 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 2 − 1 2 3 n n H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p l m tréi,t−¬ng tù nh− b i 9. 1 1 1 1 1 -NhËn xÐt: Víi k=2;3;4;…;n ta cã: 2 < hay 2 < − (2) k (k − 1).k k k −1 k LÇn l−ît cho k=2;3;4;…;n trong (2) råi céng l¹i vÕ theo vÕ ta ®−îc: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + − + − + ... + − hay 1 2 3 4 n 1 2 2 3 n −1 n 1 A
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 C< (§PCM) 3 B i13: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã: 1 1 1 1 1 D= 3 + 3 + 3 + ..... + 3 < 2 3 4 n 4 H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p l m tréi.VËy sö dông nh− thÕ n o?H y xem nhËn xÐt sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 3 < 3 hay 3 < hay 3 < ( − ) Do ®ã ta cã: k k −k k (k − 1)k(k + 1) k 2 (k − 1)k k(k + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D< 3 + 3 + .... + 3 hayD< ( − + − + ... + − ) 2 −2 3 −3 n −n 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1)n n.(n + 1) hay 1 1 1 1 D< ( − ) hay D < (§PCM) 2 2 n(n + 1) 4 B i14: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 3 ta cã: 1 1 1 1 1 E= 3 + 3 + 3 + .... + 3 < 3 4 5 n 12 1 1 1 1 1 1 1 1 H−íng dÉn:Ta cã: < 3 hay 3 < hay 3 < ( − ) n3 n − n n (n − 1)n(n + 1) n 2 (n − 1)n n(n + 1) Do ®ã : 1 1 1 1 1 1 1 E< ( − + − + ... + − ) hay 2 2.3 3.4 3.4 4.5 (n − 1)n n(n + 1) 1 1 1 E< ( − ) hay E < 1 (§PCM) 2 2.3 n(n + 1) 12 B i15:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã: 1 2 3 n −1 H= + + + ... +
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 1 5 11 n + n −1 K= + + + ….+
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 III.khai th¸c c¸c øng dông b i 28 trong gi¶i ph−¬ng tr×nh,bÊt ph−¬ng tr×nh: B i19:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1 1 a.( + + ..... + ).x = + + ... + . 1.101 2.102 10.110 11 2.12 100.110 1 1 1 1 148 98 b.( + + + ... + ).(x − 2) + x = x− 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 1 1 1 1 2007 c. + + + ... + = 3 6 10 x(x + 1) 2009 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H−íng dÉn:a.XÐt + + ... + = (1 − + − + ... + − ) 1.101 2.102 10.110 100 101 2 102 10 110 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + + ... + ) − ( + + ... + ) 100 2 3 10 100 101 102 110 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 XÐt + + ... + = ( − + − + ... + − ) 11 2.12 100.110 10 1 11 2 12 100 110 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + + ... + − − − ... − − ... − ) 10 2 3 100 11 12 100 110 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ... + − − − ... − ) Do ®ã ta cã: 10 2 10 101 102 110 1 1 x= : = 10 10 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b.XÐt + + + ... + = (1 − + − + − + ... + − ) 1 .3 3 .5 5 .7 97.99 2 3 3 5 5 7 97 99 1 1 49 = (1 − ) = Khi ®ã ta cã: 2 99 99 49 148 98 ( x − 2) + x = x− hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay 99 99 99 49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x∈ R 1 1 1 1 2007 c. + + + ... + = hay 3 6 10 x( x + 1) 2009 2 2 2 2 2 2007 + + + ... + = 2.3 3.4 4.5 x(x + 1) 2009 1 1 1 1 1 1 1 1 2007 ⇔ 2( − + − + − + ... + − )= 2 3 3 4 4 5 x x + 1 2009 1 1 2007 2 2007 2 2 ⇔ 2( − )= ⇔ 1- = ⇔ = ⇔ x=2008(tho¶ m n 2 x + 1 2009 x + 1 2009 x + 1 2009 x≠ o; x ≠ −1 ) Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 11
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 B i21:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1 9 a.( + + + .... + )( x − 1) + x = x − 1 .2 2 .3 3 .4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 b.( + + + .... + )x = ( + + + ... + ) 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1 1 1 9 H−íng dÉn:a. ( + + + .... + )( x − 1) + x = x − 1 .2 2 .3 3 .4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ⇔ ( 1 − + − + − + ... + − ) (x-1)+ x = x − 2 2 3 3 4 9 10 10 10 9 1 9 ⇔ ( x − 1) + x = x − ⇔ 0x=0 ⇔ x ∈ R 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 b. .( + + + .... + )x = ( + + + ... + ) 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 − + − + − + ... + − ) x = ( − + − + ... + − ) 50 51 2 52 3 53 10 60 10 1 11 2 12 50 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + + ... + − − − ... − ) x = (1 + + ... + − − − ... − ) 50 2 3 10 51 52 60 10 2 50 11 12 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + ... + − − − ... − ) x = (1 + + ... + − − − ... − ) 50 2 10 51 52 60 10 2 10 51 52 60 1 1 ⇔ x= : =5 10 50 B i22:Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1 1 1 a. 2 + 2 = x + 4x + 3 x + 8x + 15 6 1 2 3 −6 b. 2 + 2 + 2 = x − 5x + 6 x − 8x + 15 x − 13x + 40 5 1 1 1 c. 2 + 2 = x + 9x + 20 x + 13x + 42 18 1 1 1 1 1 d. 2 + 2 + 2 + .... + 2 = x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 15x + 56 14 H−íng dÉn: a.NhËn xÐt: x 2 +4x+3=(x+1)(x+3) x 2 +8x+15=(x+3)(x+5) §KX§:x ≠ −1;x ≠ −3;x ≠ −5 1 1 1 PT ® cho ®−îc viÕt: + = (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) 6 1 1 1 1 1 1 ⇔ ( − + − )= 2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6 Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 12
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 ⇔ ( − )= 2 x +1 x + 5 6 ⇒ 3(x + 5 − x − 1) = (x + 1)(x + 5) 2 2 ⇔ (x + 3) = 4 ⇔ x+3=4 hoÆc x+3=-4 ⇔ x=1 hoÆc x=-7 (tho¶ m n §KX§) *)C¸c c©u b;c;d ph−¬ng ph¸p l m ho n to n t−¬ng tù c©u a. B i 23:Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1 1 1 ( + + ... + )x < + + + ... + 1.51 2.52 10.60 11 2.12 3.13 50.60 H−íng dÉn:C¸ch l m t−¬ng tù b i 21b);chØ cã chó ý dÊu bÊt ®¼ng thøc thay cho dÊu ®¼ng thøc v ta cã gi¸ trÞ biÓu thøc sau lu«n d−¬ng : 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + − − − ... − nªn ta cã kÕt qu¶ l x < 5 2 3 10 51 52 60 PhÇn 3:kÕt luËn: Ph−¬ng ph¸p gi¶i b i tËp cã hÖ thèng l mét yÕu tè c¬ b¶n gióp häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc,gi¶i quyÕt linh ho¹t c¸c b i tËp to¸n v ®¹t kÕt qu¶ cao trong häc tËp m«n to¸n.§iÒu quan träng nhÊt cÇn ®Ò cËp b i to¸n theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau,nghiªn cøu kü ,kh¶o s¸t kü tõng chi tiÕt v kÕt hîp c¸c chi tiÕt cña b i to¸n theo nhiÒu c¸ch ®Ó më réng cho c¸c b i to¸n kh¸c.§ång thêi qua ®ã cã thÓ khai th¸c c¸c øng dông cña mét b i to¸n c¬ b¶n v o gi¶i quyÕt c¸c b i to¸n cïng lo¹i. Hi väng r»ng víi mét sè vÝ dô t«i ®−a ra trong ®Ò t i n y gióp c¸c em häc sinh sÏ biÕt c¸ch l m chñ ®−îc kiÕn thøc cña m×nh,thªm yªu mÕn m«n to¸n,tù tin trong qu¸ tr×nh häc tËp v nghiªn cøu sau n y. §©y míi chØ l kinh nghiÖm cña b¶n th©n t«i nªn ch¾c ch¾n cßn nhiÒu khiÕm khuyÕt,hi väng ®−îc c¸c b¹n ®ång nghiÖp quan t©m v gãp ý ®Ó ®Ò t i ®−îc ho n chØnh h¬n. *)Sau ®©y l mét sè b i tËp ®Ò nghÞ: B i 1:TÝnh c¸c tæng sau: 1 1 1 1 a. + + + ... + 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) 1 1 1 b. + + ... + 4.5 5.6 (n + 3)(n + 4) 7 7 7 1 c. + + ... + + 1.8 8.15 (7n − 6)(7n + 1) 7n + 1 Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 13
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 d. + + + ... + 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) B i 2:Rót gän c¸c biÓu thøc sau: 2 2 2 2 a. + + + (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) x + 4 1 1 1 1 1 + + + ... + + A 1.(2n − 1) 3.(2n − 3) 5(2n − 5) (2n − 3).3 (2n − 1).1 b. = B 1 1 1 1 + + + ... + 3 5 2n − 1 B i 3:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 149 99 a.( + + ... + )(2x − ) + x = .x − 1.2 2.3 99.100 2 50 200 1 1 1 1 b. 2 + 2 + 2 = x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 6 B i 4:Chøng minh r»ng víi n l sè nguyªn d−¬ng bÊt kú th×: 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + .... + 2