SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Phát hiện và biện pháp khắc phục sai
lầm trong khi giải toán
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 1
PHẦN I:MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng
mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội,
trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai
trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô
khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri
thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của
chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó
tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán
học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học
sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho
học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt
động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ
việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt
là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học
toán
Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc.
Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải
sai lầm. Nhà sư phạm toán nổi tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những
sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc
thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến
thức khá quan trọng. Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều
ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…
Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy
học sinh trong quá trình vận dụng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng
thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 2
đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ
phương trình…thường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản
chất của vấn đề.
Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có
hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải
quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic.
II. Mục đích của đề tài
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra
những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt. đặt biệt là tránh nhưng sai
sót và ngộ nhân khi giải các bài toán.
III. Phạm vi nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường
THCS Lý Tự Trọng. Cụ thể là các khối lớp 8, 9 và những học sinh tham gia đội
tuyển học sinh giỏi Toán của trường, của Huyện trong 8 năm qua.
IV. Cơ sở nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường Đại học
Quy Nhơn, Trường CĐSP Thừa Thiên Huế, các tài liệu về phương pháp giảng dạy,
các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo
của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở và cả trên mang Internet.
V. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận.
– Phương pháp khảo sát thực tiễn.
– Phương pháp phân tích.
– Phương pháp tổng hợp.
– Phương pháp khái quát hóa.
– Phương pháp quan sát.
– Phương pháp kiểm tra.
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 3
VI. Thời gian nghiên cứu
Đề tài được thực hiện từ ngày 10/6/2010 đến ngày 28/11/2010
VII. Giới hạn của đề tài
Đề tài được sử dụng trong việc dạy các tiết luyện tập, phụ đạo và bồi dưỡng đội
tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh trung bình, khá, giỏi bộ
môn Toán.
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VỀ CĂN THỨC
1. Muỗi nặng bằng voi!
Ví dụ 1: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi”
dưới đây:
Gọi khối lượng con muỗi là: m (kg) m > 0
Gọi khối lượng con voi là: v (kg) v > 0
c
Đặt
m v 2
2 c
v
m
(1)
2
c m v
(2)
Nhân 2 vế của (1) với (2) ta được:
m( c m )
2
2 v( c
2
v ) 2
2
v 2
2 vc 2
mc m 2
2
c
v
2
m
2 vc
c
2
c )
( v c
mc 2 ( m c ) m c
v
m v
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 4
Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Vậy sai lầm ở đâu? Phải chăng học sinh thường mắc phải trong suy luận:
2
2
B
A
B
A2 = B2 A = B Sửa lại cho đúng A
Đây là bài toán trong sách Để học tốt Toán 8 của GS Hoàng Chúng, giới thiệu cho
các em học sinh lớp 8 tham khảo, rút ra kinh nghiệm khi làm toán về hằng đẳng
thức.
Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán 9 trang 12) Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh
“Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.
Giả sử khối lượng con muỗi m(g) và khối lượng con voi V(g)
Ta có:
2
2
2
2
m
V
m
V 2
2
2
2
m
2
V
V
2
m V
m
m V 2
2
( m V )
( V
m )
2 ( m V )
2 (V m )
m V V m
m V
2 2 m V
Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối trong
A
hằng đẳng thức: A
thì có lúc nào đó con muỗi sẽ nặng bằng con voi.
2. Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn
bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.
Ví dụ 1: Có học sinh viết:
(
4
).(
25
)
100
4
.
25
(
4
).(
25
)
100
+Vì
10 và
10
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 5
(
4
).(
25
)
4
.
nên
25
(!)
147
147
49
7
49
7
+ Vì và nên (!)
147 3
147 3
147 3
3
3
2 2010
Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính
2011
+ Cách giải sai:
2 2010
2011
2010 2 2010 1
(
2010 2 2010 1
)
2
(
2010 1
(
2010 1
)
2010 1
!
)
Nguyên nhân:
- Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để A tồn
tại.
- Học sinh chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
Biện pháp khắc phục:
- Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một biểu
.a b
ab
; thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để có:
a b
a b
.
2
3. Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
2
a
a 5
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = ( Với a < 0 )
2
+ Cách giải sai:
2
a
a 5
a
a 5
2
a
a 5
a 3
A = ( với a < 0 ) (!) = 2
2
+ Cách giải đúng là:
2
a
a 5
a
a 5
a 2
a 5
7
a
A = ( với a < 0 ) = 2
4(1
)x - 6 = 0
2
Ví dụ 2: Tìm x, biết :
2(1 - x) = 6
4(1
2 (1
x )
6
2
)x - 6 = 0
2
1- x = 3 x = - 2.
+ Cách giải sai :
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 6
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
4(1
2 (1
x )
6
1 x = 3.
2
)x - 6 = 0
2
+ Cách giải đúng:
Ta phải đi giải hai phương trình sau :
1) 1- x = 3 x = -2
2) 1- x = -3 x = 4.
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4.
+ Nguyên nhân:
Học sinh chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà học sinh chỉ hiểu
a
a<0 thì a
+ Biện pháp khắc phục:
a
a
, neáu
0
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
a
a
a
, neáu
0
2A
A
+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:
4. Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức:
Ví dụ: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
29
x
12
Tìm x, biết:
+ Cách giải sai:
29
x
12
29
x
12
2
2
9
x
x (3 )
3
x
Vì nên ta có: 3x = 12 x = 4.
2
2
x
12
+ Cách giải đúng:
9
x
x (3 )
3
x
Vì nên ta có: 3
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 7
3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4
2
Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
(4
17)
Rút gọn biểu thức:
2
+ Cách giải sai:
(4
17 )
4
17
4
17
2
Học sinh A:
(4
17 )
4
17
Học sinh B:
2
(4
17)
4
17
17 4
+ Cách giải đúng:
2A
A
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức , giá
trị tuyệt đối của một số âm.
Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một học sinh phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào
cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:
2
2
2
2
2
2
Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b .
a
2
ab b
b
2
ab a
a b
b a
2
2
Ta có : (1) hay
a b
b a
Do đó: a b b a
Lấy căn bậc hai hai vế ta được:
a
b 2
a b
Từ đó : 2
Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau.
b a
Học sinh này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1)
chứ không thể có a - b = b- a.
2A
A
phải được kết quả: a b
+ Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức , giá
trị tuyệt đối của một số âm.
Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
16 x
16
9 x
9
4 x
4
1x
B = - + + với x -1
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 8
+ Cách giải sai :
1x
1x
1x
1x
1x
B = 4 -3 + 2 +
1x
1x
1x
( x
2)1
B = 4
16 = | x+ 1|
16 = 4 )2 hay 16 = 4 = 42 = (
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
2) 16 = -(x+1) x = - 17.
+ Cách giải đúng:
1x
1x
1x
1x
1x
B = 4 -3 + 2 + (x -1)
1x
1x
B = 4
16 = x + 1. Suy ra x = 15.
16 = 4 4 = (do x -1)
+ Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x =-
17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng. Đâu là
nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà
không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức trong căn
luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
+ Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học
2A = | A|, có nghĩa là :
2A = A nếu A 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2A = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 9
5. Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn.
Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27
3 ( x
2 y )
0
, y
0
, x
y.
Rút gọn:
với x
2
2
2
2
x
y
Một học sinh A làm như sau:
2
3 ( x
2 y )
2
2
2
6
y
x
2
y
x
. 3 2 2 ( x
( x 2
2 y ) 2 2 y )
6 ( x 2 y ) ( x
2 y )
( x
2 y )
Một học sinh B làm như sau:
3
. x
y
3 ( x
2 y )
.
2
2
2
( x
2 y )( x
y )
6
y
x
2
y
x
2
0
, y
0
, x
y
(vì x
)
Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng?
Dễ thấy em học sinh A làm sai!
45 3 18
72
Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )
Rút gọn biểu thức sau: 20
20
45 3 18
72
4.5
9.5 3 2.9
36.2
2 5 3 5 9 2 6 2
5 15 2 14 7
+Cách giải sai:
20
45 3 18
72
4.5
9.5 3 2.9
36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 15 2
5
+ Cách giải đúng là:
+ Nguyên nhân:
z
A y B m
( A,B Q+ ; x,y,z,m R )
x A y B z A m x
Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi:
- Biện pháp khắc phục:
Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học sinh
khắc sâu và tránh những sai sót.
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 10
Ví dụ 3: Bài tập
A
23
x
5
x
4
x
0x )
2
Rút gọn: ( với
A
23
x
5
x
4
x
3
x
5
x
2
x
4
x
2
+Cách giải sai :
+ Cách giải đúng là :
0x . Ta có:
A
23
x
5
x
4
x
2
3
x
5
x
2
x
3
x
5
x
2
x
6
x
Với
Ví dụ 4: Bài 3b ( SBT toán 9 – trang 27 )
M
2
x
48
x
3 x
Rút gọn biểu thức:
2
M
2
x
48
x
2
4
3
x
3 x
3 x x
2
3
x
4
3
x
6
3 (!)
x
+Cách giải sai :
+ Cách giải đúng:
M
2
x
48
x
3 x
2
x
. Điều kiện để M xác định là: x < 0.
M
2
x
2
3
x
4
3
x
2
3
x
16. 3
3 x
Khi đó:
2y
xy
Ví dụ 5: Giải tập sau:
M
y
x y
Rút gọn biểu thức:
2
2
y
x
y
y
xy
xy
y
M
y
x y
y
x y
x y
y
.
y
x
y
1
1 (!)
x y
y
x y
x y
+ Cách giải sai:
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 11
+ Cách giải đúng :
xy ;
0
y . Ta xét hai trường hợp:
0
Đk để M xác định:
0x ; y < 0 .
2
2
y
xy
y
xy
M
2
y
x y
x y
y
1
1 2
x y
x y
x y
*
x ; y>0.
0
2
x
y
y
y
xy
M
y
x y
x y
y
.
y
y
x
1
1
x y
x y
x y
y
*
M 1
M
1 2
x ; y<0 thì
0
x ; y>0 thì
0
x y
2A B
A B
Vậy: nếu và nếu
0B , điều
+ Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc với
kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định
nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.
+ Biện pháp khắc phục: Khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm vững:
2A B
A B
0B
2 A B
' vo i
A
0;
B
0
A B
+ với
2 A B
' vo i
A
0;
B
0
+
0A
+ A tồn tại khi
a
x
a , 0
2
x
a
a
0
2
x
+
0A , B > 0 thì
A B
A B
+ Nếu
6. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương học
sinh thường mắc phải một số sai lầm:
Ví dụ 1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 )
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 12
Tính 1, 44.1, 21 1, 44.0, 4
1, 44.1, 21 1, 44.0, 4
1, 44.1, 21
1, 44.0, 4
1, 2.1,1 1, 2.0, 2 1, 32 0, 24 1, 08 (!)
+ Cách giải sai:
1,44.1, 21 1, 44.0, 4
1, 44 1,21 0, 4
1, 44.0,81 1, 2.0,9 1, 08
+ Cách giải đúng:
Ví dụ 2: Giải các bài tập sau:
6 2 5 1 6
Tính: a. 81.256 ; b.
9. 16
3. 4 12
+ Cách giải sai:
25
5
a. 81.256 (!)
(!)
625 16
5 2
4
2
b.
81. 256
9.16 144
+ Cách giải đúng:
a. 81.256
625 16
25 4
625 16
b.
Vi dụ 3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu
+ Cách giải sai :
15 2 3
5 2 3
3
3. 5 2 2
2
5 1
a.
2
5 1
5 1 2
2 5 1
2
5 1 5 1
2
2
5 1
b.
5 1
5 1 3
2 5 1
5 1 5 1 5 1
hoặc
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 13
2
2
5 1
2
25 1
5 1 12
2 5 1
5
5 1 5 1 5 1
2
5 1 1
2
2
5 1
hoặc
2
5 1
1
2 5 1
5 1
5 1 5 1
2
2
5 1
hoặc
5 1
5 1 2
2 5 1
5 1 5 1 5 1
hoặc
5 7 2.7 3
5 7 17
5 2 7 3
5 7 2 7. 7 3
c.
5
5
5
7 3
5
7 3
4
4
5 2 7 3
hoặc
2. 7 9
2
7 3
7 3 7 3 .
2
7 3
1 3
2
a
3
a
2
2
2
d.
2 a 2
a 9
a
2
a
3
2
a
a
3
2
a
2 3
a 3 2
a 2
hoặc
15 2 3 3
5 2 3
3
5 2 2
2
2
5 1
a. - Cách giải đúng: 3.
5 1
5 1 2
2 5 1
5 1 5 1 5 1
c .
2
5 2 7 3
2 3
5 2 7 3 2 7
5 2 7 3 2 7 3 . 2 7 3
5 2 7 3
28 9
a
a
2
3
2
a
a
3
2
.
d
2
a
2
a
3
2
a
3
2
a
2 3
10 7 15 19 2 3 2
2
2
a
a
3
2
a
4
a
a 4
a
6
9
a 4
9
b.
a và 0
9 a ) 4
(với
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 14
- Nguyên nhân:
A
B
+ Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng
tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A B ” tương tự như
0A và
0B ) để tính .
A B .
A B .
( với
+ Học sinh hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một
thương.
+ Học sinh mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức
và tính chất cơ bản của phân thức.
+ Học sinh chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế
2
2 A B
A B A B
nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức:
- Biện pháp khắc phục:
+ Giáo viên cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một
A B
A
B
A B .
A B .
tích , khai phương một thương và lưu ý học sinh không được ngộ nhận sử dụng
0A và
0B ) .
tương tự như ( với
+ Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn
như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
+ Cần khắc sâu các công thức:
A B B
A B
C
2
A B
, với B > 0
0A và
2
A B
B
C
C A B A B C A
A
B 0,
0
, với
và A B
A B
A
B
, với
0a khi giải các bài toán
7. Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số
về căn bậc ba :
Ví dụ 1: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)
x
x
1 1
Giải phương trình: 3 (2)
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 15
3
3
x
1 1
1
x
x
x
1
1
x
3
2
x
2
x
0
x
x
1
x
1 0
1
x
1
1
loai
)
x
2
0
0( 1
1
x x x
2
1 x x x x
+ Cách gải sai:
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1; x2=2. (!)
3
3
3
x
1 1
1
1
x
x
x
x
1
1
3
2
x
0
x
x
2
x
0
x
2
0
x
1
1
x x
1
1
x
0x hoặc x = 1 hoặc x = 2.
0;
x
1;
2
+ Cách giải đúng:
x 3
2
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: 1 x
- Nguyên nhân:
a 0
a
x
2
a
a
+ Học sinh quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số
2
0x x
+ HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a.
- Biện pháp khắc phục:
Khi giảng phần này giáo viên cần cho học sinh nắm định căn bậc ba của một số
0a ; căn bậc hai số
a, đồng thời lưu ý học sinh hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số
0a và căn bậc ba của một số a.
học của một số
8. Sai lầm trong kĩ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số
hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 1 : Tìm x, biết :
2).17
x
4(3
)17
(4- .
- Cách giải sai :
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 16
2).17
x
4(3
)17
3 2
(4- 2x < 3 ( chia cả hai vế cho 4- 17 ) x < .
- Cách giải đúng : Vì 4 = 16 < 17 nên 4 - 17 < 0, do đó ta có:
2).17
x
4(3
)17
3 2
(4- . 2x > 3 x >
- Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học
sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến
dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một
số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai.
2
x
3
- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
x
3
2
(
x
)(3
x
)3
x
3
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức :
x
3
x
3
- Cách giải sai : = = x - 3 .
- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần
2
(
x
)(3
x
)3
x
3
phải có x + 3 0 hay x - 3 . Khi đó ta có
x
3
x
3
2
x
3
= = x - 3 (với x - 3 ).
x
3
- Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức sẽ
không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc
giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao
có thể có kết quả được.
II/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
2011
) x
2010
Ví dụ 1: Giải PT: ( x
0 (*)
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 17
+ Lơì giải sai:
x
2 0 1 1
x
2 0 1 0
0
Ta có :
x
2 0 1 1
0
x
2 0 1 1
x
2 0 1 1
x
2 0 1 0
0
x
2 0 1 0
x
2 0 1 0
0
+ Nhận xét : Rõ ràng x = -2011 không phải là nghiệm của phương trình
+ Lời giải đúng:
Điều kiện: x
2010
x
2011
0
x
2011
x
2010
0
x
2010
0 (Vì: x + 2011 > 0)
Do đó:
2010
x
0
x
2010
Vậy: x = 2010 là nghiệm của phương trình (*).
Ví dụ 2:
1
5
x
1
3
x
Giải pt: x
2 (1)
+ Lời giải sai:
1
5
x
1
3
x
(1) x
2
2
(Bình phương hai vế )
x
1
5
x
1
3
x
2
2 15
x
13
x
2
(4)
2
2
7
x
2 15
x
x
2
2
2
(5)
4
14
x
49
x
x
13
x
2
13 4 15
2
11
x
24
x
4
0
11
x
2
x
2
0
2 0
x
x 2 0
11 x
2 11 2
x
+ Phân tích sai lầm: Không chú ý đến điều kiện căn thức có nghĩa
x 1 xác định khi x 1 .Do đó x
Không phải là nghiệm
2 11
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 18
Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương
2 7
x
0
Mà (4)
2
2 7
2 x )
4 15 (
x
13
x
2
)
(
Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với
2 7
x
x
0
phương trình (4) với điều kiện: . Do đó x = 2 cũng không phải là
2 7
nghiệm của (1).
+ Cách giải đúng:
Cách 1: Giải xong thử lại
1
x
Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định . Do đó khi giải xong kết luận phương
2 7
trình vô nghiệm.
Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình vô
nghiệm.
4
x
Ví du 3: Giải phương trình: x
2
+ Lời giải sai:
2
x
2
4
x
x
4
x
4
x
4
x( x
3
)
0 x 0 3 x
Nhận xét: Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của phương trình.
+ Cách giải đúng:
2
x
x
x
2 0
x
x
4
2
x
0
0
2
3
0
x
4
x
4
x
4
2 x x
3
x x
0
Ghi nhớ :
A B
2
B A B
1
Ví dụ 4:Giải phương trình:
5 2 x 2 x
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 19
+ Lời giải sai:
Điều kiện: x > 2
1
7
x
2
2
1
5
x
x
(loại)
5 2 x 2 x
5 2 x 2 x
Vậy phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ : Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi: A 0; B < 0
Nên mất một nghiệm x= -7
+ Lời giải đúng:
Điều kiện: x > 2 hoặc x -2,5
1
1
(với x > 2 hoặc x -2,5)
5 2 x 2 x
5 2 x 2 x
x
x
x
2
2
5
7 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = -7
Ví dụ 5:
3
3
3
2
x
1
4
x
1
6
x
Giải phương trình:
1 (1)
+ Lời giải sai:
3
3
3
2
x
1
4
x
1
6
x
1
3
3
3
x
2 3
6
2
x
x
1
2
x
1
4
x
1
6
x
1
1 4
3
1
2
x
x
x
2
x
x
1
1
1
3
2
48
x
1 4 1 4 28
x
1 6 1 6 x 0
3
2
12
x
7
x
0
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 20
x 0 hoặc x
7 12
Nhận xét: Dễ thấy ngay là x = 0 không phải là nghiệm của (1)
Ghi nhớ: Phép biến đổi thứ 2 từ trên xuống là phép biến đổi hệ quả (suy ra) nên tập
nghiệm cuối của phương trình bao giờ cũng nhiều nghiệm hơn ban đầu…..
Do đó khi giải phương trình bằng biến đổi hệ quả bao giờ cũng phải thử lại
Còn bài này chỉ sai có mỗi một cái dấu ở dòng thứ 2 phải là mới đúng!
III/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
2
16
x
60
x
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x
6 .
+Lời giải sai: Bình phương hai vế :
2
2
60
x
12
x
36
16 x x 4 24 x
x
6
+ Phân tích sai lầm: Sai lầm ở hai chỗ:
- Chưa đặt điều kiện để căn thức có nghĩa.
- Chưa đặt điều kiện để x 6
0 trước khi bình phương hai vế.
2
6 0
0 (1 )
x x
6
1 6 x
0 ( 2 )
0
x – 6 x – 10
+ Lời giải đúng: Bổ sung thêm hai điều kiện:
6 10
x x
Điều kiện (1) cho
x 6.
Điều kiện (2) cho
Kết hợp các điều kiện:
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 21
x x
6 1 0
x
1 0
6 6
x x
Nghiệm của bất phương trình đã cho: x 10 .
1
A
x
2x 1
Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức có nghĩa:
2 x
1
0 (1 )
x
2 x
1 ( 2 )
x
+ Lời giải sai: Điều kiện của x:
1 2
x
1
2
2
2
x
2 x
1
x
2 x-1> 0
Giải (1) ta được:
x
1
2
x
1
2
Giải (2) ta được:
x
1 2
1
2
Kết luận:
+ Phân tích sai lầm: Sai lầm khi giải bất phương trình (2): Khi bình phương
hai vế của (2) chưa đặt điều kiện x > 0.
+ Lời giải đúng:
2 x
1
0 (1 )
x
2 x
1 ( 2 )
x
Điều kiện của x:
1 2
Giải (1) ta được:
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 22
0
0
x
(2)
1
2
2
x
2x 1
1
x
2
x x
x
1
2
Giải (2):
2
2
x
3 3
x
Vậy biểu thức A có nghĩa khi:
2 x
3
Ví dụ 3 : Tìm x sao cho:
2
2
2
2
x
3
3
x
x
3
x
3 (1 )
2
2
x
3
(
x
3 )
0
2
2
x
3 (1
x
3 )
0 ( 2 )
2
(1
x
3 )
0 ( 3 )
2
3
1 ( 4 )
x 2
x
3
1 ( 5 )
2
x
4 ( 6 )
x
2 ( 7 )
+ Lời giải sai: Điều kiện:
2
x
3 0
(2)
+ Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi (2) tương đương với (3).
2x
3 )
2
x
3
0
1
Đúng ra phải là: , (Vì:
x
3
2
x
3
x
3
+ Lời giải đúng:
x
3
2
2
2
x
3
3
2 x
x
3
x
3
2
2
x
3
(
x
3 )
0
2
2
x
3 (1
x
3 )
0
Điều kiện:
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 23
2
x
3 0
2x – 3 0
2
(1
x
3) 0
x
3
2
x
3
1
3
x 2
x
3
1
3
x 2
x
4
3
3
2
x x
x x 2 x 2
3;
x
2;
x
(Vì: )
2.
Vậy: x
Ghi chú: Hãy chú ý đến dấu “=” khi giải bất phương trình.
IV/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ
Ví dụ 1: Cho A = x2 - 3x +5. Tìm Min A với x 2?
2
x
; x R.
+ Lời giải sai: A
3 2
11 4
11 4
Vậy Min A =
11 4
+ Nguyên nhân sai: hiểu chưa đúng khái niệm.
+ Lời giải đúng:
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 24
2
Ta có: A
x
3 2
11 4
A
3
Với x 2 thì x
3 2
1 2
1 4
11 4
Vậy Min A= 3 khi x = 2
A
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của với x, y, z > 0
x y
y z
z x
+ Lời giải sai: Giả sử x y z > 0.
Ta suy ra: x - z > 0 y(x - z) z(x - z)
xy - yz + z2 xz
1 (1)
Chia hai vế cho xz:
y z
y x
z x
2 (2)
Mặt khác, ta có
x y
y x
3
Cộng (1) và (2):
x y
y z
z x
Min A = 3 x = y =z.
y
z
thì biểu thức A
+ Phân tích sai lầm: Khi hoán vị vòng quanh x
,
trở thành tức là biểu thức không đổi. Điều đó cho phép ta giả sử x là số
y z
z x
x y
lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nhưng không cho phép giả sử x y z. Thật vậy sau khi
chọn x là số lớn nhất (x y, x z) thì vai trò của y và z không bình đẳng: giữ nguyên
,
x, thay y bởi z, thay z bởi y ta được: không bằng biểu thức A.
x z
z y
y x
+ Cách giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x, y, z:
A
33 .
.
.
3
x y
y z
z x
x y z y z x
,
Do đó Min A = 3 khi và chỉ khi tức là x = y = z.
x y
y z
z x
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 25
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A
2
x
6
2019
1 x
+ Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu
nhỏ nhất.
Ta có: x2 - 6x + 2019 = (x - 3)2 + 2010 2010, x R .
Min(x2 - 6x + 2019) = 2010 x = 3.
x
3 .
Vậy Max A =
1 2010
+ Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định “A
có tử không đổi nên có giá trị không lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận
xét tử và mẫu là các số dương.
Ta đưa ra một ví dụ: Xét biểu thức B . Với lập luận “Phân thức B có tử
1 2 2010
x
không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng -2010 khi
x
0
x = 0, ta sẽ đi đến: max B = . Điều này không đúng: không
1 2010
1 2010
phải là giá trị lớn nhất của B, Chẳng hạn với x = 200 thì
B
1 7990
1 2010
1 2
100
2010
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: đã máy móc áp
dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử và
mẫu là số nguyên.
+ Lời giả đúng:
Ta có: x2 - 6x + 2019 = (x - 3)2 + 2010 2010, x R . Suy ra:
A
, x R
0
.
2
x
6
2019
1 x
Do đó: A lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất x2 - 6x + 2019 nhỏ nhất.
1 A
Mà: Min(x2 - 6x + 2019) = 2010 x = 3.
Vậy Max A =
x
3 .
1 2010
Ví dụ 4: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18).
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 26
x
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x
+ Cách giải sai:
2
2
Ở bài này học sinh thường không tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng tìm
x
x
x
1 2
1 4
A x
x
x
1 4
1 4
21 2
giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào mà biến đổi
min
A
x
0
x
1 4
1 4
1 2
min
A
x
1 4
1 4
Vậy
x xác định khi
A x
x
0 min
A
x 0
0
0x . Do đó:
+ Cách giải đúng:
+ Nguyên nhân: Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú
ý điều kiện để A tồn tại.
2
2
y
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M x
1 2 y
1 2 x
trong đó x, y là các số dương thay đổi, thỏa mãn x + y = 1.
+ Lời giải sai:
Ta có :
2
2
x
0
x
2
.
1 y
1 2 y
x y
2
2
y
0
y
2
.
1 x
1 2 x
y x
Mặt khác, vì x > 0 ; y > 0 nên suy ra :
2
2
x
y
2 .
2 . .
4
1 2 x
x y
y x
1 2 y
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4, khi xy = 1.
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 27
+ Phân tích sai lầm: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 4, đạt được khi x.y
= 1. Khi đó kết hợp với điều kiện x + y = 1 của đề bài, ta có hệ :
1
x x.y
y 1
Dễ dàng nhận thấy hệ vô nghiệm, tức là M không thể bằng 4. Do đó lời giải trên
là sai.
+ Lời giải đúng:
2
2
2
2
2
1
1
2 x y
1
2
2
M x
y
.
xy
2
2
1 2 y
1 2 x
2 x y y
2 x y x
xy
1 xy
Mặt khác ta có:
15
xy
xy
(1)
1 xy
1 16 xy
16
xy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
xy
2
. xy .
(2)
1 16 xy
1 16 xy
1 2
x
y
xy
nên xy , suy ra:
4 (3)
1 xy
1 4
1 2
2
Từ (1), (2) và (3) ta có:
2
2
xy
.
4
1 xx
1 2
15 16
17 4
1 xx
17 4
289 16
M xy
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi và chỉ khi:
289 16
y
x
y
(thỏa mãn x
y 1 )
xy
1 2
1 16 xy
x
Ghi chú:
- Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong các ví dụ trên chính là các bạn đã quên
không xác định các giá trị tương ứng của các biến để bất đẳng thức trở thành
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 28
đẳng thức. Đặc biệt, trong trường hợp giá trị của biến tồn tại thì chúng có thỏa
mãn các điều kiện cho trước hay không.
PHẦN III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
- Sau khi trực tiếp áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi nhận định rằng: Đề tài áp
dụng đã có hiệu quả nhất định vì nó gần gũi và phù hợp với đối tượng học sinh trung
bình, khá, giỏi.
- Dạy trong các tiết bài tập.
- Dạy vào tiết tự chọn.
- Bồi dưỡng học sinh giỏi.
PHẦN IV: KẾT QUẢ
Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở các học sinh giỏi toán của
trường trong nhiều năm qua tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh
hay mắc phải những chỗ sai và tìm cách khắc phục như thế nào. Kết quả 90% học sinh
có thể định hướng và vận dụng giải các bài toán thành thạo một cách có hiệu quả.
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong
khi giải bài toán về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất
phương trình vô tỉ thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi
lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và
môn Toán nói chung được nâng lên.
PHẦN V: KẾT LUẬN
Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy được những sai lầm thường gặp
trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra được cho bản thân cách dạy, cách
học như thế nào cho hiệu quả nhất.
Phần kiến thức về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, giải phương trình vô tỉ và bất
phương trình vô tỉ các phép biến đổi rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể
nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều.
Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt thì cần phải nắm vững
những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy
đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy
khó học phần kiến thức này.
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 29
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán thì
mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố
kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán”
tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát
nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với
khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của
học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng giải quyết cũng như biện pháp khắc
phục các sai lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương
pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận
của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách
dễ hiểu. Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em
có thể thực hành kỹ năng của mình.
Do thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi, nên
khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Đặc biệt gặp sai lầm khi giải toán là điều khó
tránh khỏi. Tìm ra sai lầm và sửa chữa sai lầm cũng không dễ chút nào. Nhưng nếu các
bạn có ý thức khi giải toán thì chắc chắn các bạn sẽ thành công !
Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này
qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp
chỉ bảo, giúp đỡ và bổ sung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được
tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !
Pơng Drang, ngày28 tháng 11 năm 2010.
Người viết
Võ Kim Oánh
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trong bài viết tôi có sử dụng một số tài liệu
1/ Sách giáo khoa đại số 6, 7, 8, 9 Nhà xuất bản giáo dục.
2/ Để học tốt toán 8 GS Hoàng Chúng. 3/
Tuyển tập đề thi từ 1990-2005 TS: Trần Phương.
4/ Một số vấn đề phát triển đại số 9 Vũ Hữu Bình.
5/ Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số Nguyễn Đức Tấn.
6/ 500 Bất đẳng thức GS: Phan Huy Khải.
7/ Tạp chí Toán học tuôir trẻ.
8/ Tạp chí Toán học tuổi thơ.
9/ Diễn đàn Toán học.
