“Ph ng pháp ti p c n và khai thác đnh lý côsin trong tam giác”ươ ế ậ ị
.
A. ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
I. Lý do ch n đ tài: ọ ề
V i xu th đi m i ph ng pháp giáo d c hi n nay c a b giáo d c, trong quá trìnhớ ế ổ ớ ươ ụ ệ ủ ộ ụ
d y h c đ thu đc hi u qu cao đòi h i ng i th y ph i nghiên c u tìm hi u k ạ ọ ể ượ ệ ả ỏ ườ ầ ả ứ ể ỹ
ch ng trình, đi t ng h c sinh; đa ra các ph ng pháp phù h p v i ki n th c, v i ươ ố ượ ọ ư ươ ợ ớ ế ứ ớ
các đi t ng h c sinh c n truy n th . Nh lu t giáo d c có vi t: ”Ph ng pháp GD ố ượ ọ ầ ề ụ ư ậ ụ ế ươ
ph thông c n phát huy tính tích c c, t gác , ch đng sáng t o c a h c sinh, phù h p ổ ầ ự ự ủ ộ ạ ủ ọ ợ
v i đc đi m c a t ng l p h c, môn h c, b i d ng ph ng pháp t h c, rèn ruy n kớ ặ ể ủ ừ ớ ọ ọ ồ ưỡ ươ ự ọ ệ ỹ
năng v n d ng ki n th c, tác đng đn tình c m, đem l i ni m vui, h ng thú h c t p ậ ụ ế ứ ộ ế ả ạ ề ứ ọ ậ
cho h c sinh”.ọ
Trong th i gian d y, tôi luôn nghiên c u tìm tòi các ph ng pháp m i phù h p v i ờ ạ ứ ươ ớ ợ ớ
t ng bài d y và các đi t ng h c sinh đ truy n th các ki n th c, đc bi t là trong ừ ạ ố ượ ọ ể ề ụ ế ứ ặ ệ
vi c d y h c các đnh lý. Đó là tôi luôn đa ra ki n th c m t cách t nhiên, b ng cách ệ ạ ọ ị ư ế ứ ộ ự ằ
d n d t t ng b c cho h c sinh t tìm l y; phân tích h ng d n các em th y ý nghĩa , ẫ ắ ừ ướ ọ ự ấ ướ ẫ ấ
ng d ng c a đnh lý; sau đó đa ra h th ng bài t p áp d ng t ng thích. V i ph ng ứ ụ ủ ị ư ệ ố ậ ụ ươ ớ ươ
pháp truy n th nh trên tôi th y r ng: Tr c h t ng i d y luôn luôn thoãi mái, nh ề ụ ư ấ ằ ướ ế ườ ạ ẹ
nhàng, say s a,ư
qua m i ti t d y th y đt đc t t m c đích c a mình; đi v i ỗ ế ạ ấ ạ ượ ố ụ ủ ố ớ h c sinh ti p thu ki n ọ ế ế
th c m t cách say mê, h ng thú; các ki n th c đc các em nh lâu và ứ ộ ứ ế ứ ượ ớ v n d ng t t ậ ụ ố
trong quá trình gi i và khai thác các bài t p. ả ậ
V i lý do trên tôi xin trình bày m t ví d đi n hình đ các đng nghi p tham kh o vàớ ộ ụ ể ể ồ ệ ả
góp ý:
Tên đ tài: ề
”PH NG PHÁP TI P C N VÀ KHAI THÁC ĐNH LÝ CÔSIN TRONG TAM GIÁC”ƯƠ Ế Ậ Ị
N i dung đ tài g m: ộ ề ồ
1. H ng d n h c sinh ti p c n đnh lý.ướ ẫ ọ ế ậ ị
2. Phân tích ý nghĩa, tác d ng c a đnh lý.ụ ủ ị
3. H th ng bài t p áp d ng .ệ ố ậ ụ
II. Đi t ng nghiên c uố ượ ứ
H c sinh l p 10 v i trình đ không quá y u.ọ ớ ớ ộ ế
III. Ph ng pháp nghiên c uươ ứ
Qua kinh nghi m gi ng d y th c ti n; Tìm hi u tài li u tham kh o, sách giáo khoa ệ ả ạ ự ễ ể ệ ả
l p 10; Tham kh o ý ki n c a đng nghi p.ớ ả ế ủ ồ ệ
IV. Th i gian nghiên c uờ ứ
Thí đi m trong su t năm h c 2009- 2010.ể ố ọ
B. N I DUNG Đ TÀIỘ Ề
1
“Ph ng pháp ti p c n và khai thác đnh lý côsin trong tam giác”ươ ế ậ ị
.
I. H ng d n h c sinh ti p c nướ ẫ ọ ế ậ đnh lý côsin trong tam giác.ị
Ta đã bi t tam giác hoàn toàn xác đnh khi bi t: 3 c nh, ho c hai c nh và m t góc ế ị ế ạ ặ ạ ộ
xen gi a, ho c bi t m t c nh và hai góc kữ ặ ế ộ ạ ; có nghĩa là khi bi t các y u t góc c nh ề ế ế ố ạ
nh trên thì các góc c nh còn l i s xác đnh nh th nào? Rõ ràng các góc c nh còn l i ư ạ ạ ẽ ị ư ế ạ ạ
và các góc c nh đã bi t s có m t m i liên h ! Các m i liên h đó ng i ta g i là các ạ ế ẽ ộ ố ệ ố ệ ườ ọ
h th c l ng giác trong tam giác. M t trong các h th c đó là Đnh lý côsin trong tam ệ ứ ượ ộ ệ ứ ị
giác.
Trong m t ph ng cho tam giác ABC . ặ ẳ
Kí hi u : AB= c,ệ AC= b, BC= a;
ﾷ
ﾷ
ﾷ
; ;BAC A ABC B ACB C= = =
.
( Kí hi u dung cho c bài vi t)ệ ả ế
+ N u tam giác ABC vuông t i A, Tìm m i liên h gi a các c nh?ế ạ ố ệ ữ ạ
2 2 2 2 2 2
AB AC BC c +b a
+ = =�
(Đnh lý Pitago)ị
Bi n đi v bi u th c véc t ?: ế ổ ề ể ứ ơ
2 2
2
AB AC BC
+ =
uuuur
uuur uuur
.
Yêu c u ch ng minh bi u th c ầ ứ ể ứ
2 2 2 2 2 2
AB AC BC c +b a
+ = =�
theo véc t .ơ
( )
2
2 2 2 2 2
2 .BC AC AB AB AC AB AC AB AC
= − = + − = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( V ì
.AB AC
uuur uuur
=0)
+ N u tam giác ABC không vuông t i A n a thì liên h gi a các c nh góc nh th nào?ế ạ ữ ệ ữ ạ ư ế
( )
2
2
2 2 2 2 2
2 . 2 . . osBC BC AC AB AB AC AB AC AB AC AB AC C A= = − = + − = + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a2 = b2 + c2 – 2.bc.cosA
T ng t tìm: bươ ự 2, c2
V y ta có đnh lý sau đây g i là đnh lý côsin trong tam giác:ậ ị ọ ị
V i m i tam giác ABC luôn có :ớ ọ
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 – 2bc.cosC
II. Phân tích ý nghĩa, tác d ng c a đnh lý.ụ ủ ị
1. Tr c ti p đnh lý cho ta th y xác đnh đc c nh tam giác khi bi t hai c nh khác và ự ế ị ấ ị ượ ạ ế ạ
góc xen gi a.ữ
2. H qu :ệ ả
.
2 2 2
os 2
a c b
C B
ac
+ −
=
.
2 2 2
os 2
a b c
C C
ab
+ −
=
Cho ta tìm đc các góc c a tam giác khi bi t các c nh.ượ ủ ế ạ
3. Cho phép ta xét đc các góc tam giác nh n, tù hay vuông thông qua các y u t c nh ượ ọ ế ố ạ
c a tam giác.ủ
2
“Ph ng pháp ti p c n và khai thác đnh lý côsin trong tam giác”ươ ế ậ ị
.
C th : A nh n ụ ể ọ
2 2 2
b c a+ >
A tù
2 2 2
b c a+ <
A vuông
2 2 2
b c a+ =
T đây đa đn cách nh n d ng tam giác ABC thông qua y u t c nh c a nó.ừ ư ế ậ ạ ế ố ạ ủ
Tam giác ABC có 3 góc nh n ọ
2 2 2
2 2 2
2 2 2
b c a
c a b
a b c
+ >
+ >
+ >
.
Tam giác ABC có 1 góc tù
2 2 2
2 2 2
2 2 2
b c a
c a b
a b c
+ <
+ <
+ <
.
Tam giác ABC có 1 góc vuông
2 2 2
2 2 2
2 2 2
b c a
c a b
a b c
+ =
+ =
+ =
.
4. Vi t công th c v d ng: ế ứ ề ạ
2 2 2
2 .cota b c bcSinA A
= + −
2 2 2
4 .cot
ABC
a b c S A
= + −�
V
2 2 2
t4
b c a
Co A
S
+ −
=
T ng t : ươ ự
2 2 2
t4
a c b
Co B
S
+ −
=
;
2 2 2
t4
a b c
Co C
S
+ −
=
Đây là đnh lý “côsin suy r ng trong tam giác ” nó cho ta m i liên h v h th c l ng ị ộ ố ệ ề ệ ứ ượ
giác góc c a tam giác v i 3 c nh cùng di n tích c a nó. L p các bài toán áp d ng nó kháủ ớ ạ ệ ủ ớ ụ
r ng.ộ
5. Ngoài ra s d ng đnh lý, h qu k t h p các ki n th c khác gi i quy t các bài toán ử ụ ị ệ ả ế ợ ế ứ ả ế
v h th c l ng trong tam giác, nh n d ng tam giác…ề ệ ứ ượ ậ ạ
T các ý nghĩa, tác d ng c a đnh lý ta có th đ xu t các bài toán liên quan t ng ừ ụ ủ ị ể ề ấ ươ
thích nh sau:ư
III. Bài t p áp d ng.ậ ụ
Bài 1.
Cho tam giác ABC thõa mãn: b = 5; c= 7; cosA= 3/5.
Tính c nh a, và Côsin c a các góc còn l i.ạ ủ ạ
Bài 2.
Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= 6. Tìm côsin góc có s đo l n nh t.ố ớ ấ
Bài 3.
3
“Ph ng pháp ti p c n và khai thác đnh lý côsin trong tam giác”ươ ế ậ ị
.
Cho tam giác ABC thõa mãn: a3= b3+ c3.
a) Ch ng minh r ng ABC là tam giác nh n.ứ ằ ọ
b) T ng quát: Cho tam giác ABC thõa mãn: aổn= bn+ cn (n>2, n
N) CMR tam giác
ABC có 3 góc nh n.ọ
Bài 4.
Nh n d ng tam giác ABC bi t các c nh a, b, c thõa mãn: aậ ạ ế ạ 2, b2, c2 là đ dài 3 c nh c aộ ạ ủ
m t tam giác khác. ộ
Bài 5.
Gi s : ả ử
2
2
1
2 1
1
a x x
b x
c x
= + +
= +
= −
(v i m i x >1). CMR a, b, c là 3 c nh c a m t tam giác.Tìm góc ớ ọ ạ ủ ộ
A.
Bài 6.
a) Tam giác ABC tù, nh n hay vuông n u có : sinọ ế 2A+ sin2 B= sin2C .
b) Cho tam giác ABC, A và B là hai góc nh n thõa mãn đi u ki n: ọ ề ệ
Sin2A+ Sin2B =
2010
SinC
.
CMR tam giác ABC không tù.
( Tam giác ABC vuông? Cm k t h p công th c l ng giác.)ế ợ ứ ượ
Bài 7.
Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta có: ứ ằ ớ ọ
a) a = c. cosB+ b.cosC.
b) bc. cosA+ ab.cosC + ac.cosB =
2 2 2
2
abc+ +
.
c) 2abc.(CosA+ cosB)= (a +b) (c+ b- a) (c+ a- b).
Bài 8.
G i R là bán kính đng tròn ngo i ti p tam giác ABC. ọ ườ ạ ế
CMR:
( )
2 2 2
R a b c
CotA CotB CotC
abc
+ +
+ + =
Bài 9.
Cho tam giác ABC, M là trung đi m c a BC. ể ủ
4
“Ph ng pháp ti p c n và khai thác đnh lý côsin trong tam giác”ươ ế ậ ị
.
CMR:
ﾷ
2.CotC CotB Cot BMA− =
Bài 10.
Cho tam giác ABC, M là đi m n m trong tam giác sao cho: ể ằ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
MAB MBC MCA
α
= = =
.
CMR: CotA+ CotB+ CotC= Cot
α
.
Bài 11.
Cho tam giác ABC, G là tr ng tâm tam giác, ký hi u: ọ ệ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
, , .GAB GBC GCA
α β γ
= = =
CMR:
( )
3 .Cot Cot Cot CotA CotB CotC
α β γ
+ + = + +
Bài 12.
Nh n d ng tam giác ABC bi t: ậ ạ ế
3 3 3
2
b c a
a
b c a
+ −
=+ −
.
Bài 13.
Nh n d ng tam giác ABC bi t: ậ ạ ế
3 3 3
2
1
os .cos 4
b c a
a
b c a
C A C
+ −
=
+ −
=
.
Bài 14.
CMR:
2 2 2 2 2 2
a ab b b bc c a ac c− + + − + + +
v i m i a, b, c >0.ớ ọ
Gi i bài t p áp d ngả ậ ụ
Bài 1.
Ta có:
2 2 2
2 .cosa b c bc A= + −
= 25+ 49- 2.5.7.
3
5
= 32
32 4 2a= =�
.
2 2 2
32 49 25 2
os 2 2
56 2
a c b
C B
ac
+ − + −
= = =
.
2 2 2
32 25 49 2
os 2 10
40 2
a b c
C C
ab
+ − + −
= = =
Bài 2.
Ta có: Góc s đo l n nh t là góc C; ố ớ ấ
2 2 2
9 16 36 11
os 2 24 24
a b c
C C
ab
+ − + − −
= = =
.
Bài 3.
a) Ta có: a3= b3+ c3 nên a là c nh l n nh t ạ ớ ấ
A là góc l n nh t. L i có: ớ ấ ạ
5