SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO HƯỚNG DẪN SINH VIÊN TỰ HỌC HỌC PHẦN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Chia sẻ: Hi1509 A2T | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

496
lượt xem 148
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo sách 'sử dụng phần mềm maple vào hướng dẫn sinh viên tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO HƯỚNG DẪN SINH VIÊN TỰ HỌC HỌC PHẦN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO HƯỚNG DẪN SINH VIÊN TỰ HỌC HỌC PHẦN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ USING MAPLE SOFTWARE GUIDING STUDENTS TO SELF- STUDYING DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS OF MULTI-VARIABLE FUNCTIONS Th.S NGUYỄN VĂN KIẾM Trường CĐSP Quảng Trị TÓM TẮT Trong dạy toán, việc sử dụng các phầm mền Mathematieca, Maple, Cabri Geometry, Geometer's Sketchpad,Mathcad...vào hỗ trợ tự học, tự nghiên cứu của sinh viên là vấn đề rất cần thiết. Từ đó, định hướng được cách dạy của người dạy cho người học và cách học của người học trên sự hỗ trợ của các phần mềm toán học. Trong bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập một vấn đề "Sử dụng phần mền Maple vào hướng dẫn sinh viên tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số". ABSTRACT In Mathematics teaching, the use of such softwares as Mathematieca, Cabri Geometry, Geometer’s Sketchpad, Mathcad ect, in assisting students’ self-study is of great essentiality. As a result, it can help to set up orientation for teachers’ teaching methods and students’ learning methods with the support of those mathematical softwares. This paper only deals with “the use of Maple software in guiding students to self- studying differential and integral calculus of multi-variable functions”. A. ĐẶT VẤN ĐỀ Chiến lược phát triển giáo dục Đại học - Cao đẳng từ năm 2005 đến 2015 là từng bước đổi mới nội dung, chương trình, giáo trình và phương pháp dạy học. Một trong những khâu then chốt của quá trình đổi mới phương pháp dạy học là rèn luyện kỷ năng tự học, tự thích ứng cho sinh viên. Trong dạy toán, việc sử dụng các phầm mềm Mathematica, Maple, Cabri Geometry, Geometer's Sketchpad, Mathcad... vào hỗ trợ tự học, tự nghiên cứu của sinh viên là vấn đề rất cần thiết. Từ đó, định hướng được cách dạy của người dạy cho người học và cách học của người học trên sự hỗ trợ của các phần mềm toán học. Trong bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập một vấn đề "Sử dụng phần mền Maple vào hướng dẫn sinh viên tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số". 41
B. NỘI DUNG 1. Maple là phần mềm do một nhóm các nhà khoa học của Canada thuộc trường đại học Waterloo xây dựng và cho ra đời vào năm 1980 với mục đích giải quyết mọi công việc liên quan đến tính toán. Từ đó, đã làm thay đổi hẵn cách học toán: Song song với cách giải "truyền thống", sinh viên được hướng dẫn giải bằng sự trợ giúp của Maple. Phương pháp này tạo ra cho sinh viên cách tiếp cận mới với toán học- sinh động, sáng tạo và rèn được khả năng tự học, tự kiểm tra, tự nghiên cứu. 2. Tự học, tự nghiên cứu là việc làm thường xuyên của sinh viên trong quá trình học tập và sau này lập nghiệp. Đặc biệt, đối với sinh viên ngành sư phạm toán việc sử dụng các phầm mền toán học vào tự học, tự nghiên cứu là cơ sở vững chắc cho việc ứng dụng tin học vào đổi mới phương pháp dạy học ở bậc phổ thông. Thực tế cho thấy những sinh viên nào biết ứng dụng các phần mền toán học vào hỗ trợ tự học, tự nghiên cứu thì rất thành công trong công tác giảng dạy sau này. 3.Sử dụng phần mền Maple vào hướng dẩn sinh viên tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. 3.1.Đồ thị của hàm hai biến: 3.1.1 Định nghĩa: Đồ thị của hàm số z = f( x , y ) xác định trên tập D ⊂ R2 là một tập hợp gồm các điểm trong không gian R3 xác định bởi toạ độ ( x , y , z) với ( x , y) ∈D. { } G = ( x, y, z ) ∈ R 3 / z = f ( x, y ),( x, y ) ∈ D 3.1.2 Vẽ đồ thị của hàm hai biến z = f( x , y ) khi x ∈[ a ; b ] , y ∈[ c ; d ] Cú pháp: [ > plot3d ( f(x,y) , x = a..b , y = c..d ); Minh hoạ 1.> #Ve do thi ham hai bien# > z:=sin(sqrt(2*x^2+y^2)); z := sin( 2 x 2 + y 2 ) > plot3d(z,x=-2..2,y=-2..2); 42
2 2 ( −x − y ) >f(x,y):=((2*x-y^2)*exp(-x^2-y^2)); f( x, y ) := ( 2 x − y 2 ) e >plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2); 3.2 Giới hạn của hàm hai biến số: 3.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f : D ⊂ R2 → R ( x , y ) a z = f(x , y) 2 và P0( x0 , y0) ∈R ( P0 là điểm tụ của tập D) L ∈R được gọi là giới hạn của hàm số f khi x → x0 , y → y0 và kí hiệu là: L = lim f ( x , y ) x → x0 y → y0 3.2.2 Tính giới hạn của hàm hai biến f(x,y) khi đồng thời x→ x0 và y → y0 . Cú pháp: [ > limit(f(x,y), {x=x0,y=y0 }); Minh hoạ 2. x2 y > f(x,y):=(x^2*y)/(x^4+y^2); f( x, y ) := x4 + y2 2 x2 y 2 > limit(f(x,y),{x=1,y=2}); lim 4 = 5 Vậy , x →1 x + y 2 5 y→ 2 Minh hoạ 3. Tính giới hạn của lim x + y và x+ y 2 2 lim 2 x→0 x +y x → +∞ x + y 2 y → +∞ y → +∞ x+y > g(x,y):=(x+y)/(x^2+y^2); g( x, y ) := x2 + y2 > limit(g(x,y),{x=0,y=infinity}); 0 x+ y =0 vậy , lim x→0 y → +∞ x2 + y2 43
Khi tính giới hạn lim x + y , máy cho kết quả sau: x → +∞ y → +∞ x2 + y2 >limit(g(x,y),{x=infinity,y=infinity}); x+y limit⎛ 2 ⎜ , { x = ∞, y = ∞ } ⎞ ⎟ ⎜ x + y2 ⎟ ⎝ ⎠ lim f ( x, y ) Điều này cho thấy Maple không tính được giới hạn dạng x → ∞ y → ∞ Tuy nhiên, ta tính được giới hạn trên như sau: Với x ≠0, y ≠0 , ta có: x+y x y x x 2 2 = 2 2 + 2 2 ≤ 2 2 + 2 2 x + y x + y x + y x + y x + y 1 1 ≤ + x y x+ y ≤ ⎛ 1 1 ⎞ x+ y =0 Suy ra: 0 ≤ lim 2 2 lim ⎜ + ⎟ = 0 . Vậy xlim 2 x → +∞ x +y x → +∞ x y ⎠ → +∞ x + y 2 y → +∞ y → +∞ ⎝ y → +∞ 3.2. 3. Tính giới hạn lặp: lim lim f ( x , y ) ; lim lim f ( x , y ) x → x0 y → y 0 y → y 0 x → x0 Cú pháp: [ >limit(limit(f(x,y),x=x0 ),y= y0); Hoặc: [ >limit(limit(f(x,y),y=y0 ),x= x0); x − y + x2 + y2 Minh hoạ 4: Cho hàm số f(x,y) = , x+ y tính lim lim f ( x , y ) ; lim lim f ( x , y ) x→ 0 y → 0 y → 0 x→ 0 x − y + x2 + y2 > f(x,y):=(x-y+x^2+y^2)/(x+y); f( x, y ) := x+y > limit(limit(f(x,y),x=0),y=0); -1 > limit(limit(f(x,y),y=0),x=0); 1 Ta thấy hai giới hạn trên không bằng nhau nên không tồn tại giới hạn x − y + x 2 + y 2 ,trong trường hợp này máy trả lời “undefined”(không xác định) lim x→0 x+ y y→0 44
> limit(f(x,y),{x=0,y=0}); undefined 2 2 x y Minh hoạ 5: Cho hàm số f(x,y) = , Chứng minh rằng 2 x y + ( x − y)2 2 lim lim f ( x , y ) = lim lim f ( x , y ) = 0 và lim f ( x , y ) không tồn tại x→ 0 y → 0 y → 0 x→ 0 x→0 y→0 Ta đi tính hai giới hạn lặp trên: x2 y2 > f(x,y):=(x^2*y^2)/(x^2*y^2+(x-y)^2); f( x, y ) := x 2 y2 + ( x − y )2 > limit(limit(f(x,y),x=0),y=0); 0 > limit(limit(f(x,y),y=0),x=0); 0 Khi tính giới hạn lim f ( x , y ) thì máy cho thông tin sau: x→0 y→0 ⎛ x2 y2 ⎞ > limit(f(x,y),{x=0,y=0}); limit⎜ 2 2 ⎟ ⎜ x y + ( x − y ) 2 , { x = 0, y = 0 } ⎟ ⎝ ⎠ Máy không trả lời được. Trong trường hợp này, ta phải dùng phương pháp truyền thống để giải bài toán như sau: ⎛1 1⎞ * Lấy dãy ( xn , yn ) = ⎜ , ⎟ → (0,0) khi n → +∞ ⎝n n⎠ 1 1 và f (xn , yn ) = / = 1 → 1 khi n → +∞ n4 n4 ⎛1 1⎞ (' ' ) • Lấy dãy xn , yn = ⎜ , − ⎟ → (0,0) khi n → +∞ ⎝n n⎠ ' ' 1 ⎛ 1 4⎞ 1 và f ( xn , yn ) = 4 / ⎜ 4 + 2 ⎟ = 2 → 0 khi n → +∞ n ⎝n n ⎠ n +4 Vậy , không tồn tại giới hạn lim f ( x , y ) . x→0 y→0 3.3. Đạo hàm riêng của hàm hai biến số: 3.3.1. Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D và điểm M0( x0 , y0 ) ∈D ⊂ R2. • Nếu hàm số z = f(x,y0) có đạo hàm tại x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng ∂ của hàm số z = f(x,y) tại điểm ( x0 , y0 ) và kí hiệu: f x' ( x0 , y0 ) hoặc ( x0 , y0 ) ∂x • Nếu hàm số z = f(x0 ,y) có đạo hàm tại y0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng ∂ của hàm số z = f(x,y) tại điểm ( x0 , y0 ) và kí hiệu: f y' ( x0 , y0 ) hoặc ( x0 , y0 ) ∂y 45
• Tương tự , chúng ta cũng định nghĩa cho các đạo hàm riêng cấp 2, cấp 3,... cho hàm số z = f(x,y) tại điểm ( x , y ) ∈D là : ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ( x, y ) = ⎜ ⎟ ( x, y ) ; ( x , y ) = ⎜ ⎟ ( x, y ) ∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y 2 ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ( x, y ) = ⎜ ⎟ ( x, y ) ; ( x, y ) = ⎜ ⎟ ( x, y ) ∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠ • Khi hàm số z = f(x,y) ) xác định trên tập mở D ⊂ R2 và có các đạo hàm riêng " " " " cấp f xy , f yx hai liên tục tại điểm M0( x0 , y0 ) thì f xy ( x0 , y0 ) = f yx ( x0 , y0 ) 3.3.2. Tính đạo hàm riêng của hàm hai biến số: Cú pháp:[ > diff ( f(x,y),x); [ >diff ( f(x,y),x$2); [ >diff ( f(x,y),x,y); Hoặc [ > diff ( f(x,y),y); [ >diff ( f(x,y),y$2); [ >diff ( f(x,y),y,x); ∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f Minh hoạ 6: Cho hàm số f ( x, y ) = x y , tính , , , , ∂x ∂y ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y xy y > f(x,y):=x^y; f( x, y ) := x y > diff(f(x,y),x); x y 2 x y ln( x ) x y xy y > diff(f(x,y),y); > diff(f(x,y),x$2); − 2 x2 x y 2 x ln( x ) y x y y > diff(f(x,y),y$2); x ln( x ) > diff(f(x,y),x,y); + x x x y ln( x ) y x y > diff(f(x,y),y,x); + x x Để tính giá trị của các đạo hàm riêng tại điểm M ( x0 , y0 ), ta dùng lệnh [ > subs(x = x0 , y = y0 , % ); Rút gọn biểu thức [ >simplify(%); Bây giờ tính các đạo hàm riêng ở trên tại điểm M ( e , 1) xy y (y − 1) > diff(f(x,y),x); > simplify(%); x y x > subs(x=e,y=1,%); 1 > diff(f(x,y),y); x y ln( x ) xy y2 xy y > subs(x=e,y=1,%); e ln( e ) > diff(f(x,y),x$2); − 2 x2 x (y − 2) 2 (y − 2) > simplify(%); x y −x y > subs(x=e,y=1,%); 0 y 2 > diff(h(x,y),y$2); x ln( x ) > subs(x=e,y=1,%); e ln( e ) 2 x y ln( x ) y x y (y − 1) >diff(f(x,y),x,y); + x ( y ln( x ) + 1 ) x x > simplify(%); > subs(x=e,y=1,%); ln( e ) + 1 46
4.1Tính tích phân bội trên một hình hộp: Trên Maple người ta chỉ xây dựng thuật toán tính trực tiếp các tích phân bội 2 và bội 3. Khi tính tích phân bội có số chiều lớn hơn ta có thể hạ thấp số chiều nhờ các công thức tích phân bội thông qua tích phân lặp. Để tính tích phân bội trên hộp, ta sử dụng gói công cụ student và gọi nó ra bằng lệnh: > with(student); [ D, Diff , Doubleint , Int, Limit , Lineint , Product , Sum, Tripleint , changevar , completesquare , distance , equate , integrand , intercept , intparts , leftbox , leftsum , makeproc , middlebox , middlesum , midpoint , powsubs, rightbox , rightsum , showtangent , simpson, slope , summand, trapezoid ] 4.1.1.Tính tích phân bội 2: ∫∫ f ( x, y)dxdy với D = { ( x , y) / a ≤ x ≤ b , c ≤ x ≤ d } D Cú pháp: [ > Doubleint( f (x,y) , x =a .. b , y = c.. d); Đây là lệnh "trơ", nên nó không cho ta kết quả tính toán mà cho ta công thức biểu d b diễn : ⌠ ⌠ f( x , y ) d x dy ⎮⎮ ⌡⌡ c a Muốn biết giá trị của biểu thức trên ta sử dụng lệnh : [ > value(%); Nếu giá trị này không biểu được các kí hiệu toán học đã biết thì ta xem giá trị xấp xỉ ( dưới dạng thập phân ) của nó bằng lệnh: [ > evalf (%); Minh hoạ 6: Tính các tích phân sau 3 ∫∫ (4- x 2 a) I = - y 2 )dxdy với D = { ( x , y) / 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ } D 2 > Doubleint((4-x^2-y^2),x=0..1,y=0..3/2); 3/2 1 ⌠ ⌠ 4 − x 2 − y 2 d x dy ⎮ ⎮ ⌡ ⌡ 0 0 35 > value(%); 8 1 1 ⌠⌠ sin( x + y ) b) J = ⎮ ⎮ cos( x ) + sin( y ) + 2 dx dy ⎮⎮ ⎮⎮ ⎮⎮ ⌡⌡ 0 0 > Doubleint(sin(x+y)/(cos(x)+sin(y)+2),x=0..1,y=0..1); > 47
1 1 ⌠⌠ sin( x + y ) ⎮⎮ ⎮⎮ d x dy ⎮ ⎮ cos( x ) + sin( y ) + 2 ⎮⎮ ⌡⌡ 0 0 > evalf(%); 0.2345690622 4.1.2Tích phân bội ba: Cú pháp: [ > Tripleint(f(x,y,z),x =a..b,y=c..d,z=p..q); q d b Minh hoạ 7: Tính các tích phân bội ba sau : ⌠ ⌠ ⌠ f( x, y, z ) dx dy dz ⎮⎮⎮ ⌡⌡⌡ p c a a) I = ∫∫∫ xysinyzdxdydz , trong đó B là hình hộp chử nhật giới hạn bởi các B π π mặt phẳng x = π , y = , z = và các mặt phẳng toạ độ. 2 3 > Tripleint(x*y*sin(y*z),x=0..pi,y=0..pi/2,z=0..pi/3); π π 3 2 π ⌠ ⌠ ⌠ x y sin( y z ) dx dy dz ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ ⌡ ⌡ 0 0 0 2 3 3 ⎛π ⎞ π > value(%); − π sin⎜ ⎟ + ⎜ 6 ⎟ 4 2 ⎝ ⎠ 1 1 1 ⌠ ⌠ ⌠ sin( x y + y z + z x ) dx dy dz ⎮⎮⎮ b) J = ⌡ ⌡ ⌡ 0 0 0 > Tripleint(sin(x*y+y*z+z*x),x=0..1,y=0..1,z=0..1); 1 1 1 ⌠ ⌠ ⌠ sin( x y + y z + z x ) dx dy dz ⎮⎮⎮ ⌡⌡⌡ 0 0 0 > evalf(%); 0.5821196251 4.1.3.Tích phân lặp: * Tích phân lặp 2 của hàm hai biến f ( x , y) khi x ∈[ a , b ] và y thay đổi từ y1(x) đến y2(x). Cú pháp: [ > int(int(f(x,y), y=y[1](x)..y[2](x)), x=a..b); * Tích phân lặp 3 của hàm ba biến f ( x , y , z) khi x ∈[ a , b ] và y thay đổi từ y1(x) đến y2(x) và z thay đổi từ z1(x ,y) đến z2 (x , y). Cú pháp: [ >int( int(int(f(x,y,z), z=z[1](x,y)..z[2](x,y)), y=y[1](x)..y[2](x)),x =a..b); 48
Minh hoạ 8: Tính các tích phân bội hai sau xdxdy a) I = ∫∫ 2 1+x + y 2 , D = { ( x , y ) / 0 ≤ x ≤ 2 , y2 ≤ 2x } D y2 Ta có: D = { ( x , y ) / ≤x≤2,-2≤y≤2} 2 2 5 int(int(x/sqrt(1+x^2+y^2),x=(y^2/2)..2),y=-2..2); − + ln( 5 ) 3 2 1 b) J = ∫∫ ydxdy , D = { ( x , y ) / 0 ≤ x ≤ 2 , 0≤ y ≤ sin 3 x + cos3 x } D > int(int(y,y=0..1/((sin(x))^3+(cos(x))^3)),x=0..2); 2 ⌠ ⎮1 1 ⎮ dx ⎮2 ⎮ ( sin( x ) 3 + cos( x ) 3 ) 2 ⎮ ⌡0 > evalf(%); 1.417868442 Minh hoạ 9: Tính các tích phân bội ba sau I = ∫∫∫ dxdydz , trong đó B là một vật thể giới hạn bởi các mặt: B z = x + y2 , z = 2 ( x2 + y2 ) , y = x , y2 = x. 2 > int(int(int(1,z=x^2+y^2..2(x^2+y^2)),y=x..sqrt(x)),x=0..1); 26 105 C. KẾT LUẬN Maple là một phần mền tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học. Do đó, ứng dụng Maple vào tự học , tự nghiên cứu có thể kiểm tra được kiến thức toán học của mình và tạo ra những tư duy mới về toán học .Ngoài ra, phần mền Maple hổ trợ chúng ta biên soạn những bài giảng theo giáo trình điện tử một cách sinh động góp phần vào đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Minh Hoàng: Maple và các bài toán ứng dụng. NXB khoa học và kỹ thuật. [2] Đinh Thế Lục - Phạm Huy Điển- Tạ Duy Phượng: Giải tích các hàm nhiều biến. NXB Đại học Quốc Gia Hà nội [3] Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm: Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số. 49