Sự hội tụ của dãy lặp hai bước đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị

Chia sẻ: Nguathienthan6 Nguathienthan6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp hai bước mới cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị. Tiếp theo đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của dãy lặp này đến điểm bất động chung của hai ánh xạ Gkhông giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả chính trong nghiên cứu của Wattanawweekul (2018). Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để minh họa cho sự hội tụ của dãy được giới thiệu và cũng chứng tỏ rằng dãy lặp được giới thiệu hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh hơn những dãy lặp được nghiên cứu trong bài báo của Wattanaweekul trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự hội tụ của dãy lặp hai bước đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HAI BƯỚC ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HAI ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ Cao Phạm Cẩm Tú1 và Nguyễn Trung Hiếu2* 1 Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp 2 Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: ngtrunghieu@dthu.edu.vn Lịch sử bài báo Ngày nhận: 21/02/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 30/3/2020; Ngày duyệt đăng: 23/4/2020 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp hai bước mới cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị. Tiếp theo đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của dãy lặp này đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G- không giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả chính trong nghiên cứu của Wattanawweekul (2018). Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để minh họa cho sự hội tụ của dãy được giới thiệu và cũng chứng tỏ rằng dãy lặp được giới thiệu hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh hơn những dãy lặp được nghiên cứu trong bài báo của Wattanaweekul trên. Từ khóa: Ánh xạ G-không giãn tiệm cận, điểm bất động chung, không gian Banach với đồ thị. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CONVERGENCE OF A TWO-STEP ITERATION PROCESS TO COMMON FIXED POINTS OF TWO ASYMPTOTICALLY G-NONEXPANSIVE MAPPINGS IN BANACH SPACES WITH GRAPHS Cao Pham Cam Tu1, and Nguyen Trung Hieu2* 1 Student, Dong Thap University 2 Dong Thap University *Corresponding author: ngtrunghieu@dthu.edu.vn Article history Received: 21/02/2020; Received in revised form: 30/3/2020; Accepted: 23/4/2020 Abstract In this paper, we introduce a new two-step iteration scheme for two asymptotically G- nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs. We then prove some weak and strong convergence results to common fixed points of two asymptotically G- nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs. These results are the extension of some major results reported by Wattanawweekul (2018). In addition, we give an example to illustrate for the convergence of the introduced iteration process and show that the convergence of this process to common fixed points of two asymptotically G-nonexpansive mappings is faster than those presented by Wattanawweekul (2018). Keywords: Asymptotically G-nonexpansive mapping, common fixed point, Banach spaces with graph. 13
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 1. Giới thiệu được đặt ra là tiếp tục xây dựng những dãy Trong lí thuyết điểm bất động, vấn đề lặp mà hội tụ đến điểm bất động chung xây dựng dãy lặp và ứng dụng vào nghiên nhanh hơn dãy lặp (1.1). Do đó, trong bài cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn báo này, chúng tôi đề xuất một dãy lặp hai được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Bên bước mới cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cạnh đó, nhiều tác giả cũng quan tâm nghiên cận và chứng minh một số kết quả về hội tụ cứu mở rộng ánh xạ không giãn theo nhiều của dãy lặp được đề xuất đến điểm bất động hướng tiếp cận khác nhau. Năm 1972, chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận Goebel và Kirk (1972) đã giới thiệu một mở trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. rộng của ánh xạ không giãn và được gọi là Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái ánh xạ không giãn tiệm cận. Sau đó, lớp ánh niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong xạ không giãn tiệm cận được nhiều tác giả bài báo. quan tâm nghiên cứu theo hướng thiết lập Cho không gian Banach thực X và X là điều kiện tồn tại điểm bất động cũng như không gian liên hợp của X. Khi đó, dãy chứng minh sự hội tụ của những dãy lặp {un } X được gọi là hội tụ mạnh (hội tụ theo khác nhau đến điểm bất động. Ngoài ra, một số tác giả cũng sử dụng những kĩ thuật khác chuẩn) đến u X nếu lim || un u || 0. n nhau để mở rộng khái niệm ánh xạ không Dãy {un } X được gọi là hội tụ yếu đến giãn tiệm cận. Năm 2018, sử dụng ý tưởng được trình bày bởi Jachymski trong bài báo u X nếu lim || fun fu || 0 với mọi f X . n của Jachymski (2008) là kết hợp giữa lí thuyết điểm bất động và lí thuyết đồ thị, Cho là một tập con khác rỗng của Sangago và cs. (2018) đã giới thiệu lớp ánh không gian Banach thực X. Kí hiệu xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian G (V (G ), E(G)) là đồ thị định hướng với Banach với đồ thị, đồng thời một số tính chất V (G ) tập hợp các đỉnh của đồ thị G sao cho về điểm bất động và kết quả hội tụ cho lớp V (G ) trùng với , E (G ) tập hợp các cạnh của ánh xạ này cũng được thiết lập. Kể từ đó, đồ thị G mà (u, u) E(G) với u và G việc thiết lập sự hội tụ của những dãy lặp không có cạnh song song. khác nhau đến điểm bất động chung của Định nghĩa 1.1 (Suparatulatorn và cs., những ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong 2018, Định nghĩa 4). Cho G (V (G ), E(G )) không gian Banach với đồ thị được một số tác giả quan tâm. Năm 2018, sử dụng dãy lặp là đồ thị định hướng. Khi đó, G được gọi là Ishikawa, Wattanataweekul (2018) đã giới có tính bắc cầu nếu với u, v, w V (G ) sao cho thiệu dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ G- (u, v),(v, w) E(G ) thì (u, w) E(G ). không giãn tiệm cận như sau: Định nghĩa 1.2 (Sangago và cs., 2018, u1 và Định nghĩa 3.1). Cho X là không gian vn (1 )un g n un Banach thực và là tập khác rỗng của X, n n G (V (G ),E(G )) là đồ thị định hướng sao un 1 (1 n )vn n f n vn (1.1) cho V (G ) . Khi đó, ánh xạ f : với n , { n },{ n } [0,1], là tập lồi được gọi là G-không giãn tiệm cận nếu trong không gian Banach X và f , g : là (1) f bảo toàn cạnh của G, tức là với hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận, đồng thời một số kết quả hội tụ của dãy lặp (1.1) cũng (u, v) E(G ) ta có (fu, fv) E (G ). được thiết lập. Đến đây, một vấn đề tự nhiên 14
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 (2) Tồn tại dãy { n }, n 1 với (3) {un (k ) } và {vn (k ) } là dãy con của {un } lim n 1 sao cho || f u n n f v || n || u v || sao cho {un (k ) } hội tụ yếu đến u, {vn (k ) } hội n với (u,v) E(G ) và n 1. tụ yếu đến v. Khi đó, u v. Định nghĩa 1.3 (Sangago và cs., 2018, Định nghĩa 1.3). Cho X là không gian định Định nghĩa 1.7 (Jachymski, 2018, Định chuẩn, là tập con khác rỗng của X, nghĩa 2.3). Cho ánh xạ f : X X. Khi đó, f G (V (G ), E (G )) là đồ thị định hướng sao được gọi là G-liên tục nếu {un } là dãy trong cho V (G ) . Khi đó, được gọi là có tính X sao cho un hội tụ mạnh đến u và chất G nếu với {un } là dãy trong sao cho (un , un 1 ) E (G ) thì fun fu. * (un , un 1 ) E (G ) với n và {un } hội tụ Mệnh đề 1.8 (Wattanataweekul, 2018, yếu đến u thì tồn tại dãy con {un (k ) } của Mệnh đề 3.2). Giả sử * {un } sao cho (un (k ), u) E (G ) với k . (1) X là không gian Banach với đồ thị định hướng G, có tính chất G. Định nghĩa 1.4 (Suparatulatorn và cs., 2018, Định nghĩa 6). Cho X là không gian (2) f : là ánh xạ G-không giãn Banach. Khi đó, X được gọi là thỏa mãn điều tiệm cận. kiện Opial nếu với {un } là dãy trong X và Khi đó, f là G-liên tục. {un } hội tụ yếu đến u thì Định nghĩa 1.9 (Dung và Hieu, 2020, lim sup || un u || lim sup|| un v || với Định nghĩa 3.1). Cho X là không gian vectơ n n v X,u v. và D là tập con khác rỗng của X X. Khi đó, D được gọi là lồi theo tọa độ nếu với Bổ đề 1.5 (Sangago và cs., 2018, Định (p, u),(p, v),(u, p),(v, p) D và t [0,1] ta có nghĩa 1.4). Cho X là không gian Banach, t(p, u) (1 t )(p, v) D và t(u, p) (1 t )(v, p) D. là tập con khác rỗng của X, có tính chất G, f : là ánh xạ G-không giãn tiệm Định nghĩa 1.10 (Shahzad và Al- cận với dãy hệ số { n } sao cho Dubiban, 2006, tr. 534). Cho ánh xạ f : . Khi đó, f được gọi là G-nửa ( 1) , {un } là dãy hội tụ mạnh đến n 1 n compact nếu với {un } là dãy trong với u , (un , un 1 ) E (G ) và (un , un 1 ) E (G ) và lim || fun un || 0 thì n lim || fun un || 0. Khi đó, fu u. tồn tại dãy con {un (k ) } của {un } sao cho n Bổ đề 1.6 (Suparatulatorn và cs., 2018, {un (k ) } hội tụ mạnh đến q khi k . Bổ đề 3). Giả sử Bổ đề 1.11 (Dung và Hieu, 2018, Bổ đề (1) X là không gian Banach thỏa mãn 2.4). Cho X là không gian Banach lồi đều và điều kiện Opial. r 0. Khi đó, tồn tại một hàm lồi, tăng ngặt (2) {un } là dãy trong X sao cho và liên tục :[0, ) [0, ) sao cho (0) 0 lim || un u || và lim || un v || tồn tại với và n n || tu (1 t )v ||2 t || u ||2 (1 t ) || v ||2 t(1 t) (|| u v ||) u, v X. với mọi t [0,1] và u, v Br {u X : || u || r }. 15
Chuyên san Khoa học Tự nhiên Bổ đề 1.12 (Wattanataweekul, 2018, Bổ (un , p),(vn , p),(p, un ),(p, v n ),(vn , un ),(un , un 1 ) E(G ) đề 2.11). Cho {an },{bn } và { n } là dãy số với n * . thực không âm thỏa mãn Chứng minh. Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh an 1 (1 n )an bn n 1 với n * n 1 (un , p) E (G ) với n . (2.2) và bn . Khi đó, lim an tồn tại. n 1 n Theo giả thiết, ta có (u1, p) E(G ). Suy ra 2. Kết quả chính (2.2) đúng với n 1. Trong mục này, ta luôn xét Giả sử (2.2) đúng với n k 1 , tức là G (V (G ), E(G )) là đồ thị định hướng, có (uk , p) E (G ). Ta cần chứng minh tính chất bắc cầu với V (G) , E(G ) là tập (uk 1, p) E (G ). lồi theo tọa độ và giả sử f , g : là hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận với hệ số tiệm Vì f , g bảo toàn cạnh nên f k , g k bảo toàn cận lần lượt là n , n sao cho cạnh. Kết hợp g k bảo toàn cạnh và Fix(f ) Fix(g ) với Fix(f ), Fix(g ) lần lượt (uk , p) E(G ), ta có (g k uk , p) E (G ). Ta lại có là tập điểm bất động của hai ánh xạ f , g. Đặt (vk , p) ((1 k )uk k g k uk , p) max { n , }. Giả sử ( 1) . Bằng (2.3) n n n (1 k )(uk , p) k (g k uk , p). n 1 việc mở rộng dãy lặp (1.2) trong nghiên cứu Do (uk , p),(g k uk , p) E(G ) và E (G ) lồi theo của Wattanataweekul (2018), chúng tôi giới thiệu dãy lặp {un } cho hai ánh xạ G-không tọa độ nên từ (2.3), ta có (vk , p) E(G ). Kết giãn tiệm cận trong không gian Banach với hợp f k , g k bảo toàn cạnh với (vk , p) E(G ), ta đồ thị như sau: được (f k vk , p),(g k vk , p) E(G). Ta cũng có u1 và với n *, (uk 1, p) ((1 k )g k vk k f k vk , p ) vn (1 )un n g un (2.4) n n (2.1) (1 k )(g k vk , p) k (f k vk , p). un 1 (1 n )g n vn n f n vn , Khi đó, từ (2.4), (g k vk , p),(f k vk , p) E(G ) và trong đó { n },{ n } [0,1]. Trước hết, E (G ) lồi theo tọa độ, ta có (uk 1, p) E (G ). chúng tôi chứng minh một số tính chất của dãy lặp (2.1). Do đó theo nguyên lý quy nạp, ta có * (un , p) E (G ) với n . Tiếp theo, vì g n Mệnh đề 2.1. Giả sử bảo toàn cạnh và (un , p) E (G ) nên (1) X là không gian định chuẩn. n (g un , p) E(G ). Ta có (2) là tập con lồi, khác rỗng trong X. (vn , p) ((1 n )un n g n un , p) (3) Với mỗi p Fix(f ) Fix(g), {un } là (2.5) (1 )(un , p) (g n un , p). dãy được xác định bởi (2.1) thỏa mãn n n (u1, p),(p, u1 ) E(G ). Kết hợp (2.5) với (un , p),(g nun , p) E(G ) và Khi đó, E (G ) lồi theo tọa độ, ta có (vn , p) E (G ) với * n . 16
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 Lập luận tương tự như trên, ta chứng Do g là G-không giãn tiệm cận nên từ (2.6) * minh được (p, un ),(p, vn ) E(G ) với n . ta có Vì (vn , p),(p, un ),(un , p),(p, un 1 ) E(G) và || vn p ||2 G có tính chất bắc cầu nên (1 n ) || un p ||2 2 n n || un p ||2 n (1 n ) (|| g nun un ||) * [1 ( 2 1)]|| un p || 2 (1 ) (|| g nun un ||). (2.7) (vn , un ),(un , un 1 ) E(G ) với n . n n n n Lập luận tương tự như trên, theo Bổ đề 1.11 Mệnh đề 2.2. Giả sử và f , g là ánh xạ G-không giãn tiệm cận, kết (1) X là không gian Banach lồi đều. hợp với (2.7) ta có (2) là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác || un p ||2 rỗng trong X. 1 (1 n ) || g n vn p ||2 n || f n vn p ||2 (3) Với mỗi p Fix(f ) Fix(g ), {un } là (1 ) (|| f n vn n g vn ||) n n dãy được xác định bởi (2.1) thỏa mãn 2 (1 n ) n || vn p ||2 n n 2 || vn p ||2 (u1, p),(p, u1 ) E(G ), n (1 n ) (|| f n vn n g v ||)n 0 lim inf n lim sup n 1 và 2 || vn p || 2 (1 ) (|| f nvn g nvn ||) n n n n n 0 lim inf n lim sup n 1. 2 n [1 n ( 2 n 1)] || un p ||2 2 n n (1 n ) (|| g nun un ||) n n (1 ) (|| f nvn g nvn ||) Khi đó, n n [1 ( 2 n 1)(1 2 n n )]|| un p ||2 2 n n (1 n ) (|| g nun un ||) (1) lim || un p || tồn tại. n n (1 n ) (|| f nvn g nvn ||) (2) lim || f nvn g nvn || lim || g nun un || lim || f nun un || 0. || un p ||2 ( n2 1)(1 2 n n ) || un p ||2 n (1 n ) (|| g nun un ||) n n n (3) lim || fun un || lim || gun un || 0. n (1 n ) (|| f nvn g nvn ||). (2.8) n n Chứng minh (1). Lấy p Fix(f ) Fix(g), Vì { n },{ n } và bị chặn nên tồn tại hằng theo Mệnh đề 2.1, ta có số M 0 sao cho (1 n2 n ) || un p ||2 M với (un , p),(vn , p),(vn , un ),(un , un 1 ) E(G ). n 1. Khi đó, từ (2.8), ta được || un p ||2 Vì là tập bị chặn nên tồn tại r 0 sao cho 1 || u || r với mọi u . Khi đó || un p ||2 M ( 2 n 1) n (1 n ) (|| g nun un ||) un , vn Br {u :|| u || r }. Do đó, theo n (1 n ) (|| f nvn g nvn ||). (2.9) Bổ đề 1.11, tồn tại hàm lồi, tăng ngặt, liên Từ (2.9), ta có tục :[0, ) [0, ) sao cho (0) 0 và || un 1 p ||2 || un p ||2 M( 2 n 1). 2 || vn p || n 2 Vì 0 2 n 1 2 n( n 1) với n 1 và || (1 n )un n g un p || 2 ( n 1) nên ( n 1) . Theo (1 n )|| un p ||2 n || g nun p ||2 n (1 n ) (|| g nun un ||). (2.6) n 1 n 1 Bổ đề 1.12, ta được lim || un p || tồn tại. n 17
Chuyên san Khoa học Tự nhiên (2). Từ (2.9), ta có Lập luận tương tự như chứng minh trên, từ m || un 1 p ||2 (2.13), ta được (|| g n un un ||) . Do 2 2 n n n n0 || un p || M( n 1) n (1 n ) (|| f vn g vn ||). Do đó đó lim (|| g nun un ||) 0. Sử dụng tính n chất của , ta được n (1 n ) (|| f n vn g n vn ||) || un p ||2 || un 1 p ||2 M( 2 n 1). (2.10) lim || g n un un || 0. (2.14) n Vì 0 lim inf n lim sup n 1, tồn tại số Tiếp theo, từ vn (1 n )un n g nun , ta có n n thực 0 và số nguyên n 0 sao cho || vn un || (1 ) 0 với n n0 . Từ (2.10) với || (1 n )un n g n un un || n n n = || g un un ||. (2.15) bất kì số tự nhiên m n0 , ta có n m Từ (2.14) và (2.15), ta được (|| f n vn g n vn ||) n n0 lim || vn un || 0. (2.16) n m n (1 n ) (|| f n vn g n vn ||) Theo Mệnh đề 2.1, ta có (vn , un ) E (G ). n n0 m m m Do đó || un p ||2 || un 1 p ||2 M ( 2 n 1) n n n0 n n0 n n0 || f un un || n m || f un f n vn || || f n vn g n vn || || un p ||2 || um 1 p ||2 M ( 2 n 1) 0 n n0 || g n vn g n un || || g n un un || n 2 m 2 2 n || vn un || || f vn g vn || || g nun n un || . || un p || M ( n 1). (2.11) 0 n n0 (2.17) Từ (2.12), (2.14) và (2.16), ta được Vì ( 2 1) nên từ (2.11) ta được n 1 n lim || f n un un || 0 . (2.18) n m (|| f n vn g n vn ||) . Suy ra (3). Vì (vn , un ) E(G ) nên n n0 m || un un || (|| f n vn g nvn ||) . 1 n n0 || (1 n )g n vn n f n vn un || || g nvn un || || f nvn g nvn || Do đó lim (|| f nvn g nvn ||) 0. Sử dụng n n tính chất của , ta được || g nvn g nun || || g nun un || n || f nvn g nvn || n || vn un || || g n un un || n n lim || f vn g vn || 0. (2.12) || f vn n n g vn || . n n (2.19) Tiếp theo, từ (2.9), ta có Kết hợp (2.19) với (2.12), (2.14) và (2.16), n (1 n ) (|| g n un un ||) ta được || un p ||2 || un 1 p ||2 M( 2 n 1). (2.13) lim || un un || 0. (2.20) n 1 18
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 Vì (un , un 1 ) E(G ) nên Định lí 2.3. Giả sử (1) X là không gian Banach lồi đều và || un f n un 1 || 1 thỏa mãn điều kiện Opial. || un un || || f n un f n un 1 || || f nun un || 1 n (2) là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác || un 1 un || n || un un 1 || || f un un || rỗng trong X và có tính chất G. (1 ) || un un || || f nun un || . (2.21) n 1 (3) {un } là dãy được xác định bởi (2.1) Kết hợp (2.21) với (2.18) và (2.20), ta được thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E(G ) với mỗi lim || un f nun || 0. p Fix (f ) Fix (g ), n 1 1 0 lim inf limsup 1 và Ta có n n n n || un fun || 0 lim inf n limsup n 1. 1 1 n n || un 1 f n 1un 1 || || fun 1 f n 1un 1 || Khi đó, {un } hội tụ yếu đến điểm bất n 1 n || un 1 f un 1 || 1 || un 1 f un 1 || . động chung của f và g. Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức Chứng minh. Vì X là không gian trên khi n , ta được lim || fun un || 0. Banach lồi đều nên X có tính chất phản xạ. n Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2, ta có Tương tự lim || un p || tồn tại. Vì vậy {un } bị chặn. n n || un 1 g un 1 || Do đó, tồn tại dãy con hội tụ yếu của {un }. n n n || un 1 un || || g un g un 1 || || g un un || Giả sử {un (k ) },{vn (k ) } là hai dãy con của {un } n || un 1 un || n || un un 1 || || g un un || lần lượt hội tụ yếu đến u, v. Theo Mệnh đề n (1 n ) || un 1 un || || g un un || . 2.2, ta có (2.22) lim || fun (k ) un (k ) || k Kết hợp (2.22) với (2.14) và (2.20), ta được lim || gun (k ) un (k ) || k lim || un 1 g n un 1 || 0. Ta có 0. (2.23) n || un gun || Vì (un , un 1 ) E(G ) và G có tính chất bắc 1 1 || un g n 1un || || gun g n 1un || cầu nên 1 1 1 1 || un g n 1un || || un g nun || . (un (k ), un (k 1) ) E (G ). (2.24) 1 1 1 1 1 Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức trên Từ (2.23) và (2.24), theo Bổ đề 1.5, ta được khi n , ta được lim || gun un || 0. fu gu u hay u Fix (f ) Fix (g ). Tương n tự như trên, ta chứng minh được Tiếp theo, chúng tôi thiết lập và chứng v Fix (f ) Fix (g ). Vì u, v Fix (f ) Fix (g ) minh kết quả về sự hội tụ yếu của dãy lặp nên lim || un u || và lim || un v || tồn tại. Theo (2.1) đến điểm bất động chung của hai ánh n n xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Bổ đề 1.6, ta được u v. Do đó {un } hội tụ Banach lồi đều với đồ thị. yếu đến điểm bất động chung của f và g. 19
Chuyên san Khoa học Tự nhiên Tiếp theo, chúng tôi thiết lập và chứng || q gq || minh kết quả về sự hội tụ mạnh của dãy lặp || q un (k ) || || un (k ) gun (k ) || || gun(k ) gq || . (2.1) đến điểm bất động chung của hai ánh Do đó lim || q fq || lim || q gq || 0. Suy xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian k k Banach lồi đều với đồ thị. ra fq gq q hay q Fix(f ) Fix(g). Theo Định lí 2.4. Giả sử Mệnh đề 2.2, ta có lim || un q || tồn tại nên n (1) X là không gian Banach lồi đều. {un } hội tụ mạnh đến q Fix(f ) Fix(g ). (2) là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác Cuối cùng, chúng tôi đưa ra ví dụ minh rỗng trong X, có tính chất G. họa cho sự hội tụ của dãy lặp (2.1) đến điểm (3) Một trong hai ánh xạ f , g là G-nửa bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận. Đồng thời, ví dụ này cũng chứng tỏ compact. rằng dãy lặp (2.1) hội tụ đến điểm bất động (4) {un } là dãy được xác định bởi (2.1) chung nhanh hơn dãy lặp trong bài báo của Wattanataweekul (2018). thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E(G ) với mỗi p Fix (f ) Fix (g ), Ví dụ 2.5. Cho X là không gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, 0 lim inf limsup 1 và n n n n [0, 2],G (V (G), E(G )) là đồ thị định 0 lim inf limsup 1. hướng với V (G ) và (x, y) E(G ) khi và n n n n chỉ khi 0, 75 x y 1, 70 hoặc x y . Khi đó, {un } hội tụ mạnh đến điểm bất Xét hai ánh xạ f , g xác định bởi động chung của f và g. 5 arcsin( x 1) 1 neá u x 3 Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.2, ta có fx 8 và lim || un fun || lim || un gun || 0. Hơn nữa, 0 neá u x 3, n n {un } là dãy trong và (un , un 1 ) E(G ). Kết x ln x neá u x 2 gx hợp với giả thiết một trong hai ánh xạ f , g là 2 neá u x 2. G-nửa compact, suy ra tồn tại dãy con {un (k ) } Với (x, y) E(G), ta có 0, 75 x, y 1, 70. Suy của {un } sao cho {un (k ) } hội tụ mạnh đến ra (fx, fy),(gx, gy) E(G). Suy ra f , g bảo q C . Do đó toàn cạnh. Hơn nữa, với (x, y) E(G ) và 1 1, 36 ta chứng minh được lim || un(k ) fun (k ) || lim || un (k ) gun (k ) || 0. n k k n || f x f ny || n || x y || và Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.8, ta được f và n n || g x g y || n || x y || . g là G-liên tục. Kết hợp với (2.24), ta được Do đó f , g là ánh xạ G-không giãn tiệm lim || fun (k ) fq || lim || gun (k ) gq || 0. k k cận. Ta có Fix(f ) Fix(g ) {1} . Chọn Ta có u1 1, 4 ta có (p, u1 ),(u1, p) E(G ) với || q fq || n 1 || q un (k ) || || un (k ) fun (k ) || || fun (k ) fq ||, p Fix (f ) Fix (g ). Chọn n , 5n 3 20
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 n 4 3 1,1940112 1,0077474 n . Khi đó, dãy lặp {un } được xác 10n 7 4 1,130939 1,0003408 định bởi (2.1) có dạng dưới đây hội tụ đến điểm bất động chung p 1. 5 1,0886472 1,0000094 6 1,0601816 1,0000002 u1 1, 4 và 7 1,0409866 1, 9n 3 n 4 n … … … vn un g un 10n 7 10n 7 (2.25) 46 1, 1, 4n 2 n n 1 n un 1 g vn f vn . 5n 3 5n 3 Tuy nhiên, với x 3, y 1 và u 2, v 1, ta tính được | fx fy | 1 |x y |, | gu gv | 1 |u v |. Do đó, f , g không là ánh xạ không giãn tiệm cận. Vì vậy, những kết quả về sự hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn tiệm cận sẽ không áp dụng cho hai ánh Hình 1. Dáng điệu hội tụ của dãy lặp (2.25) và xạ này. Hơn nữa, với cách chọn hai ánh xạ (2.26) đến 1 với n=50 f , g như trên thì dãy lặp {x n } được giới thiệu Lời cảm ơn: Bài báo này được hỗ trợ trong nghiên cứu của Wattanataweekul bởi Trường Đại học Đồng Tháp với Đề tài (2018) có dạng dưới đây cũng hội tụ đến nghiên cứu khoa học của sinh viên mã số điểm bất động chung p 1. SPD2019.02.15./. x1 1, 4 và Tài liệu tham khảo 9n 3 n 4 n N. V. Dung and N. T. Hieu (2020), yn x g xn “Convergence of a new three-step 10n 7 n 10n 7 (2.26) 4n 2 n 1 n iteration process to common fixed points xn y f yn . 1 5n 3 n 5n 3 of three G-nonexpansive mappings in Banach spaces with directed graphs”, Tuy nhiên, sự hội tụ của dãy lặp (2.25) Rev. R. Acad. Cienc. Exacts Fis. Nat. Ser. đến điểm bất động chung p 1 nhanh hơn sự A Math. RACSAM, 114: 140, pp. 1-24. hội tụ của dãy lặp (2.26) và được minh họa N. V. Dung and N. T. Hieu (2019), “A new bởi bảng số liệu và hình ảnh minh họa dáng hybrid projection algorithm for điệu sau. equilibrium problems and Bảng 1. Số liệu hội tụ của dãy lặp (2.25) và (2.26) asymptotically quasi -nonexpansive n x n (dãy 2.26) un (dãy 2.25) mappings in Banach spaces”, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A 1 1,4 1,4 Math. RACSAM, (3), pp. 2017-2035. 2 1,2887079 1,1097846 K. Goebel and W. A. Kirk (1972), “A fixed point theorem for asymptotically 21
Chuyên san Khoa học Tự nhiên nonexpansive mappings”, Proc. Amer. nonexpansive mappings in Banach Math. Soc., (1), pp. 171-174. spaces”, Georgian Math. J., (3), pp. J. Jachymski (2008), “The contraction 529-537. principle for mappings on a metric space R. Suparatulatorn, W. Cholamjiak, S. Suantai with a graph”, Proc. Amer. Math. Soc., (2018), “A modified S-iteration process (4), pp. 1359-1373. for G-nonexpansive mappings in Banach M. G. Sangago, T. W. Hunde and H. Z. spaces with graphs”, Numer Algor, (2), Hailu (2018), “Demiclodeness and fixed pp. 479-490. points of G-asymptotically M. Wattanataweekul (2018), “Approximating nonexpansive mapping in Banach spaces common fixed points for two G- with graph”, Fixed Point Theory, (3), asymptotically nonexpansive mappings pp. 313-340. with directed graphs”, Thai J. Math., (3), N. Shahzad and R. Al-Dubiban (2006), pp. 817-830. “Approximating common fixed points of 22