Sự tồn tại của phức đơn hình có các nhóm đồng điều đẳng cấu với các nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đã tìm được một số phức đơn hình sao cho các nhóm đồng điều của nó là các nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước. Hơn nữa, ở đây chúng tôi tính toán trực tiếp nhóm đồng điều 1-chiều của phức đơn hình này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự tồn tại của phức đơn hình có các nhóm đồng điều đẳng cấu với các nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC Nhận bài: 09 – 02 – 2017 Lương Quốc Tuyểna*, Lê Thị Thu Nguyệta Chấp nhận đăng: 28 – 06 – 2017 Tóm tắt: Trong Ví dụ 2.40 trong [1], với mỗi nhóm cyclic hữu hạn, người ta đã tìm được một CW http://jshe.ued.udn.vn/ phứcsao cho nhóm đồng điều p-chiều là đẳng cấu với nó (không gian Moore). Để tính toán các nhóm đồng điều của CW phức này, người ta đã sử dụng đồng điều của CW phức và bậc của một ánh xạ từ n mặt cầu S lên chính nó. Nhưng chúng ta không biết không gian Moore có là phức đơn hình hay không. Mục đích của chúng tôi là tìm một phức đơn hình sao cho các nhóm đồng điều của nólà các nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước, ở đây chúng tôi tính toán trực tiếp nhóm đồng điều 1-chiều của phức đơn hình này. Đầu tiên, với mỗi nhóm cyclic hữu hạn chúng tôi xây dựng một phức đơn hình và sử dụng phương pháp tương tự trong [2] (§78) để tính toán nhóm đồng điều 1-chiều của nó. Nhóm này đẳng cấu với nhóm cyclic hữu hạn cho trước. Sau đó, chúng tôi xây dựng phức đơn hình khác và tính toán nhóm đồng điều p-chiều của nó dựa vào dãy Mayer - Vietoris trong [3](§25). Từ khóa: CW phức; phức đơn hình; nhóm cyclic; nhóm đồng điều; không gian Moore. 1. Giới thiệu Giả sử {a0 , a1 ,..., an } là hệ độc lập Affine trong Ta biết rằng, mỗi nhóm cyclic hữu hạn, tồn tại một ¡ N . Khi đó, CW phức sao cho nhóm đồng điều p-chiều là đẳng cấu  n n  với nó (xem Ví dụ 2.40 trong[1]). Để tính toán các  =  x =  ti ai : t0 , t1 ,..., tn  0,  ti = 1  i =0 i =0  nhóm đồng điều của CW phức này, người ta đã sử dụng được gọi là một đơn hình n-chiều sinh bởi đồng điều của CW phức và bậc của một ánh xạ từ mặt n {a0 , a1 ,..., an }. cầu S lên chính nó. Nhưng chúng ta không biết không Giả sử K  ¡ N gian Moore có là phức đơn hình hay không. Mục đích . Khi đó, một phức đơn hình trong của chúng tôi là tìm một phức đơn hình sao cho nhóm K là họ gồm các đơn hình trong ¡ N thỏa mãn các điều đồng điều 2-chiều là một nhóm cyclic hữu hạn. Ở đây kiện sau: chúng tôi tính toán trực tiếp nhóm đồng điều 2-chiều (1) Nếu   K ,  p  , thì   K . của phức đơn hình này. (2) Nếu  ,   K , thì hoặc    =  hoặc    là một mặt chung của các đơn hình  ,  . 2. Cơ sở lí thuyết và phương pháp nghiên cứu Giả sử K là một phức đơn hình, Ap là tập tất cả 2.1. Cơ sở lí thuyết các p-đơn hình định hướng trên K . Khi đó, nếu Ap khác rỗng, thì mỗi p-xích trên K là một hàm từ tập Ap aTrường vào ¢ thỏa mãn các điều kiện sau: Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả (1) −c( ) = c( ) nếu  ,   Ap đối diện nhau. Lương Quốc Tuyển Email: lqtuyen@ued.udn.vn Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 2 (2017), 19-23 | 19
Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt (2) Tồn tại tập Ap là tập con hữu hạn của Ap sao cho: c( ) = 0 với mọi   Ap \ Ap . Kí hiệu C p ( K ) là tập tất cả các p-xích. Khi đó, C p ( K ) là nhóm Abel và được gọi là nhóm các p-xích. Hạt nhân của đồng cấu Hình 1.  p : C p ( K ) → C p −1 ( K ) Giả sử  là giá trị của c1 trên [u1 , u2 ]. Khi đó, được gọi là nhóm các p-chu trình và được kí hiệu là Z p ( K ), và ảnh của đồng cấu c2 = c1 +  2 ( [u1 , I1 , u2 ])  p +1 : C p +1 ( K ) → C p ( K ) là xích có giá trị 0 trên đơn hình định hướng [u1 , u2 ]. Hơn nữa, vì [o, u1 ] không xuất hiện trong biểu diễn của được gọi là nhóm các p-biên và được kí hiệu là B p ( K ).  2 ([u1 , I1 , u2 ]) và c1 đồng điều với c2 nên c2 cũng có 2.2. Phương pháp nghiên cứu giá trị 0 trên [o, u1 ]. Do đó, ta có thể đẩy Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong quá trình thực hiện bài báo; nghiên cứu một [o, u1 ], [u1 , u2 ] ra khỏi c. số tài liệu của những tác giả đi trước, bằng cách tương Bằng cách tương tự, ta sử dụng các đơnhình định tự hóa để đưa ra kết quả cho bài báo. hướng [I1 , u1 , p], [I1 , p, q], [I1 , q, u2 ], [q, a, u2 ], 3. Kết quả và đánh giá [u1 , a, p] lần lượt đẩy [I1 , u1 ], [I1 , p], [I1 , q], 3.1. Kết quả [u2 , q], [u1 , p] ra khỏi c. 3.1.1. Định lí. Với mỗi nhóm cyclic hữu hạn cho trước, Tiếp tục quá trình này cho các tam giác chứa các điểm tồn tại một phức đơn hình hữu hạnsao cho có nhóm I 2 , I3 , ..., I m ta suy ra c đồng điều với 1-xích d , mà có đồng điều 1-chiều đẳng cấu với nó. giá ở trên một phức con của M được biểu diễn ở Hình 2. Chứng minh. Đối với mỗi m  ¥ sao cho m  2, ta * gọi M là phức đơn hình được biểu diễn bởi đa giác m- cạnh (xem Hình 1). Đầu tiên ta quy các 1-chu trình về 1-chu trình đặc biệt theo cách như sau: Giả sử c là 1-xích cho trước,  là giá trị của c trên [o, u1 ]. Khi đó, bằng cách tính toán trực tiếp, ta suy ra rằng: c1 = c − ( [o, u1 , u2 ]) Hình 2. là xích có giá trị 0 trên đơn hình định hướng [o, u1 ]. Như Chú ý rằng phức con này không chứa các đơn hình vậy, bằng cách cải biên c bởi toán tử biên, ta có thể “đẩy [o, u1 ], [o, u2 ], ..., [o, um−1 ], nhưng nó chứa đơn hình [0, u1 ] ra khỏi nó” và c đồng điều với c1. Sau đó, [o, um ]. tương tự như vậy, ta “đẩy [u1 , u2 ] ra khỏi c1 ”. Bây giờ, nếu c là một chu trình, thì d cũng là một chu trình. Điều này suy ra rằng giá trị của d trên đơn 20
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 2 (2017), 19-23 hình [o, um ] phải bằng 0. (vì nếu ngược lại, 1d sẽ có Suy ra tồn tại 2-xích e =   i i của M sao cho giá trị khác không trên đỉnh o.)  2 e =  [a, p] +  [p, q] + [q, a]. Ta thấy rằng, các giá trị của d trên các đơn hình Bởi vì các giá trị của  2 e trên các 1-đơn hình mà [u2 , I1 ], [u3 , I 2 ], ..., [um , I m−1 ], [u1 , I m ] phải bằng 0 không nằm trên biên của đa giác m-cạnh đều bằng 0 nên (vì nếu ngược lại, 1d có một trong các đỉnh tacó  i =  j với mỗi i, j {1, 2,..., m}. Như vậy, I1 , I 2 , ..., I m có giá trị khác không).  2 e = 1m([a, p] + [p, q] + [q, a]). Ta cũng thấy rằng các giá trị của d trên các đơn hình [u1 , a], [u2 , a], ..., [um , a] phải bằng 0. (vì nếu Suy ra  = 1m. Điều này kéo theo  = 0 và  là một đơn cấu. ngược lại, 1d có một trong các đỉnh u1 , u2 ,..., um có giá trị khác không). Từ chứng minh trên ta suy ra rằng Do đó, với mỗi 1-chu trình của M là đồng điều với H1 ( M )  ¢ m . 1-chu trình có giá trị ở trên biên của đa giác m-cạnh Cuối cùng, ta thấy rằng, giá của M là tập liên thông (xem Hình 1). °0 là nhóm tầm thường. nên nhóm đồng điều rút gọn H Bây giờ, giả sử rằng: 3.1.2. Định lí. Với mỗi số tự nhiên m  2, tồn tại một d =  [a, p] +  [p, q] +  [q, a] ( ,  ,   ¢ ). phức đơn hình hữu hạn mà có nhóm đồng điều 2-chiều Khi đó, đẳng cấu với ¢ m . d =  ( p − a) +  (q − p ) +  (a − q ) = ( −  ) p + (  −  )q + ( −  )a. Mặt khác, vì d là một chu trình nên  =  =. Do đó, d =  [a, p ] +  [p, q ] +  [q, a ]. Ta xác định một ánh xạ  : ¢ m → H1 ( M ) được cho bởi  ( ) =  [a, p] +  [p, q] +  [q, a] + B1 ( M ), và giả sử { i } là tập tất cả các 2-đơn hình định hướng của M (xem Hình 1). Khi đó,  2 ( i ) = m([a, p] + [p, q] + [q, a]). Hình 3. Hơn nữa, ánh xạ này được xác định đúng đắn và nó Chứng minh. Cho T là một phức đơn hình được là một đồng cấu. Từ các lập luận trên, ta suy ra rằng  biểu diễn bởi đa diện 2m-mặt sao cho mỗi phần tử của nó được biểu diễn ở Hình 3. là một toàn cấu từ ¢ m lên H1 ( M ). Tương tự Định lí 3.1.1, ta có thể tính trực tiếp Bây giờ, ta chứng minh rằng  là một đơn cấu. Thật H 2 (T )  ¢ m . Bây giờ, ta dùng dãy khớp Mayer- vậy, giả sử  ¢ m sao cho  ( ) = B1 ( M ). Khi đó, Vietoris để chứng minh điều này. Thật vậy, giả sử M là  [a, p] + [p, q] + [q, a]  B1 (M ). phức trong chứng minh của Định lí 3.1.1. Khi đó, M là phức con của phức đơn hình T gồm tất cả các đơn hình 21
Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Thu Nguyệt nằm trên mặt phẳng ou1u2 . Giả sử K1 , K 2 lần lượt là Bp ( K  L)  Z p ( K  L); các phức con của phức đơn hình T gồm tất cả các đơn Bp ( K )  Z p ( K ); Bp ( L)  Z p ( L) hình nằm phía trên và phía dưới mặt phẳng ou1u2 nên ta thu được tương ứng. Khi đó, ta có H p ( K  L) = H p ( K )  H p ( L). T = K1  K 2 , M = K1  K 2 . 3.1.5. Bổ đề. Cho K , L là hai phức đơn hình mà có Bởi vì K1 , K2 là các nón nên nhóm đồng điều rút giá giao nhau là một đỉnh v chung của mỗi phức đơn gọn của chúng đều tầm thường. Do đó, sử dụng dãy hình. Khi đó, với mỗi p  ¥ , ta có khớp Mayer-Vietoris ° p (M ) → H ° p (K )  H ° p (K ) → H ° p (T ) ° p ( K  L) = H ° p (K )  H ° p ( L). ... → H 1 2 H →H° p −1 ( M ) → H ° p −1 ( K )  H ° p −1 ( K ) °q ({v}) là nhóm tầm thường Chứng minh. Bởi vì H 1 2 ° p −1 (T ) → ... →H với mọi số nguyên q nên sử dụng dãy khớp Mayer- ta được Vietoris ° p (T )  H ° p −1 ( M ). ° p ({v}) → H ... → H ° p (K )  H° p (L) H →H° p ( K  L) → H ° p ({v}) → H ° p −1 ({v}) °2 (T )  H Như vậy, H 2 (T ) = H °1 (M)  ¢ . m ° p −1 ( K )  H →H ° p −1 (L) → H ° p −1 (K  L) → ... Chú ý rằng, ta cũng có ta thu được °1 (T )  H H1 (T ) = H °0 (M) = 0; ° p (K )  H H ° p ( L)  H ° p ( K  L). °0 (T ) = 0. H Ta biết rằng mỗi nhóm Abel hữu hạn sinh đẳng cấu Hoàn toàn tương tự như chứng minh Định lí 3.1.2, với tổng trực tiếp của các nhóm cyclic hữu hạn và nhóm bằng cách sử dụng tích treo và dãy khớp Mayer-Vietoris cyclic vô hạn, nhóm đồng điều p-chiều của một phức (xem§25 trang 142 trong [3]), ta thu được. đơn hình biên của đơn hình (p+1)-chiều đẳng cấu với 3.1.3. Định lí. Với mỗi số tự nhiên m  2 và với mỗi nhóm cyclic vô hạn. Do đó, nhờ Định lí 3.1.3, Bổ đề 3.1.5 ta thu được các định lí sau. p  1, tồn tại một phức đơn hình hữu hạn T sao cho 3.1.6. Định lí. Giả sử G là một nhóm Abel hữu hạn với mọi q  ¢ \ {0, p} ta có sinh và p ¥ mà p  1. Khi đó, tồn tại một phức đơn * °0 (T ) = 0, H (T ) = 0. H p (T )  ¢ m , H q hình hữu hạn K sao chovới mọi q  ¢ \ {p}, ta có 3.1.4. Bổ đề. Giả sử K , L là hai phức đơn hình sao cho ° p ( K )  G, H °q ( K ) = 0. H giá của chúng rời nhau. Khi đó, với mỗi p  ¥ , ta có 3.1.7. Định lí. Cho G1 , G2 , ..., Gn là một dãy các nhóm H p ( K  L) = H p ( K )  H p ( L). Abel hữu hạn sinh sao cho tồn tại p0  0 thỏa mãn Chứng minh. Bởi vì G p = 0 với mọi p  p0 . C p ( K  L) = C p ( K )  C p ( L) Khi đó, tồn tại một phức đơn hình hữu hạn K sao nên ta có ° p ( K )  G với mọi p ¥ * . cho H Z p ( K  L) = Z p ( K )  Z p ( L), p Sử dụng Định lí 3.1.3 và Bổ đề 3.1.5 ta thu được B p ( K  L) = B p ( K )  B p ( L). kết quả chính như sau. Hơn nữa, vì 22
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 2 (2017), 19-23 3.1.8. Định lí. Cho G0 , G1 , G2 , ... là một dãy gồm lí 3.1.6 và Định lí 3.1.7. Các kết quả này tương tự như kết quả liên quan đến CW phức trong các tài liệu được các nhóm Abel hữu hạn sinh sao cho G0 tự do và tồn đưa ra trước đây. tại p0  0 thỏa mãn 4. Kết luận G p = 0 với mọi p  p0 . Trong bài báo này, chúng tôi đã tìm được một số Khi đó, tồn tại một phức đơn hình hữu hạn L sao phức đơn hình sao cho các nhóm đồng điều của nó là ° p ( L)  G với mọi p  ¥ . các nhóm Abel hữu hạn sinh cho trước. Hơn nữa, ở đây cho H p chúng tôi tính toán trực tiếp nhóm đồng điều 1-chiều Chứng minh. Giả sử K là một phức đơn hình thỏa của phức đơn hình này. mãn các điều kiện của Định lí 3.1.7 và r là số phần tử Tài liệu tham khảo có trong một cơ sở của G0 . Ta bổ sung r − 1 đỉnh phân [1] Allen Hatcher (2009), Algebraic Topology, biệt vào K sao cho các đỉnh này không thuộc vào giá Cambridge. của K . Khi đó, ta thu được phức đơn hình L cần tìm. [2] James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, Inc. [3] James R. Munkres (1984), Elements of Algebraic 3.2. Đánh giá Topology, The Ben jamin/ Cummings Publishing Các nhà toán học trên thế giới vẫn chưa chứng Company, Inc. minh được rằng mỗi CW phức là một phức đơn hình. Do vậy, trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới: Định lí 3.1.1, Định lí 3.1.2, Định lí 3.1.3, Định EXISTENCE OF SIMPLICIAL COMPLEXS CONTAINING HOMOLOGY GROUPS ISOMORPHIC TO GIVEN FINITELY GENERATED ABELIAN GROUPS Abstract: In Example 2.40 in [1], for each finite cyclic group, a CW Complex has been found with its p-th homologygroup isomorphic to itself (Moore Spaces). To calculate the homology groups of this CW complex, usage has been made of the homology of CW Complexes and the degree of a mapping from the sphere S n into itself. But it is not known whether Moore spaces are Simplicial Complexes or not. Our aim is to find a Simplicial Complex whose homology groups are isomorphic to finitely generated abelian groups, where we are to directly compute the 1st homology group of this Simplicial Complex. First, for each finite cyclic group, we construct a Simplicial Complex and use the similar method in [2] (§78) to compute its 1st homology group. This group is isomorphic to the given finite cyclic group. Later, we construct the other Simplicial Complex and compute its p-th homology group based on Mayer - Vietoris sequences in [3] (§25). Key words: CW complex; simplicial complex; cyclic group; homologygroup; Moore space. 23