Trường số phức

 
 
 
 
 
 
 
Bách khoa toàn th  m  Wikipediaư ở
Tr ng s  ph cườ ố ứ  là m  r ng c a ở ộ ủ tr ng s  th cườ ố ự  thành m t ộtr ng đóng đ i sườ ạ ố 
sao cho m i ọđa th c b c nứ ậ  có đúng n nghi mệ. Ph ng trình đ i sươ ạ ố đ n gi n nh tơ ả ấ  
không có nghi m trên tr ng s  th c là ph ng trình ệ ườ ố ự ươ x2+1 = 0 hay x2 = -1. Để 
ph ng trình này có nghi m, ph i công nh n s  t n t i c a m t "s " m i, ươ ệ ả ậ ự ồ ạ ủ ộ ố ớ s   oố ả  là 
s  có ốbình ph ngươ  b ng s  âm m t!ằ ố ộ
M c l cụ ụ
[nẩ]
•1     L ch sị ử   
•2     Đ nh nghĩaị   
•3     M t s  khái ni m quan tr ng trong tr ng s  ph cộ ố ệ ọ ườ ố ứ    
o3.1      D ng đ i s  c a s  ph cạ ạ ố ủ ố ứ   
o3.2      M t ph ng ph cặ ẳ ứ   
o3.3      S  th c và s  thu n  oố ự ố ầ ả   
o3.4      S  ph c liên h pố ứ ợ   
o3.5      Mođun và Argumen   
o3.6      D ng l ng giác c a s  ph cạ ượ ủ ố ứ    
3.6.1      Đ nh nghĩaị   
3.6.2      Phép toán trên các s  ph c vi t d i d ng l ngố ứ ế ướ ạ ượ    
giác
3.6.3      Ví dụ   
•4     M t s   ng d ngộ ố ứ ụ   
•5     Xem thêm   
•6     Liên k t ngoàiế   
[s aử] L ch sị ử
Nhà toán h c ọItalia R. Bombelli (1526-1573) đã đ a đ nh nghĩa đ u tiên v  s  ph c,ư ị ầ ề ố ứ  
lúc đó đ c g i là s  "không th  có" ho c "s   o" trong công trình ượ ọ ố ể ặ ố ả Đ i sạ ố 
(Bologne, 1572) công b  ít lâu tr c khi ông m t. Ông đã đ nh nghĩa các s  đó (số ướ ấ ị ố ố 
ph c) khi nghiên c u các ứ ứ ph ng trình b c baươ ậ  và đã đ a ra ưcăn b c haiậ c a ủ− 1.
Nhà toán h cọ Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác đ nh đ c d ng t ng quát "ị ượ ạ ổ a + 
bi" c a chúng, đ ng th i ch p nh n nguyên lý t n t i n nghi m c a m t ủ ồ ờ ấ ậ ồ ạ ệ ủ ộ ph ngươ  
trình b c nậ. Nhà toán h c ọTh y Sĩụ L. Euler (1707-1783) đã đ a ra ưký hi uệ "i" đ  chể ỉ 
căn b c hai c a ậ ủ − 1, năm 1801 Gauss đã dùng l i ký hi u nàyạ ệ
[s aử] Đ nh nghĩaị
Trong toán h c, tr ng s  ph c, ký hi u là ọ ườ ố ứ ệ . Có nhi u ph ng pháp xây d ngề ươ ự  
tr ng s  ph c m t cách ch t ch  b ng ườ ố ứ ộ ặ ẽ ằ ph ng pháp tiên đươ ề.
G i ọlà tr ng s  th c. Ký hi u ườ ố ự ệ là t p h p các c p (a,b) v i ậ ợ ặ ớ .
Trong  , đ nh nghĩa hai ịphép toán c ngộ và nhân nh  sau:ư

 
 
 
 
 
 
 
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
thì  là m t ộtr ngườ  (xem c u trúc đ i sấ ạ ố).
Ta có th  l p m t ể ậ ộ đ n ánhơ t  t p s  th c ừ ậ ố ự vào  b ng cách cho m i s  th c a  ngằ ỗ ố ự ứ  
v i c p ớ ặ . Khi đó  ... Nhờ 
phép nhúng, ta đ ng nh tồ ấ  t p các s  th c ậ ố ự v i t p con các s  ph c d ng ớ ậ ố ứ ạ (a,0), khi 
đó t p các s  th c ậ ố ự là t p conậ c a t p các s  ph c ủ ậ ố ứ và  đ c xem là m t mượ ộ ở 
r ng c a ộ ủ . Kí hi u ệi là c p (0,1) ặ. Ta có i2 =(0,1) * (0,1) = ( − 1,0) = − 1.
S  ph c ố ứ i đ c g i là ượ ọ đ n v   oơ ị ả , t t c  các s  ph c d ng ấ ả ố ứ ạ a * i đ c g i là các sượ ọ ố 
o (thu n  o).ả ầ ả
[s aử] M t s  khái ni m quan tr ng trong tr ngộ ố ệ ọ ườ  
s  ph cố ứ
[s aử] D ng đ i s  c a s  ph cạ ạ ố ủ ố ứ
Trong tr ng s  ph cườ ố ứ , tính ch t c a đ n v   o ấ ủ ơ ị ả i đ c tr ng b i bi u th c ặ ư ở ể ứ i2=−1 . 
M i s  ph c ỗ ố ứ z đ u đ c bi u di n duy nh t d i d ng:ề ượ ể ễ ấ ướ ạ
z = a + b.i.
trong đó a, b là các s  th c. D ng bi u di n này đ c g i là d ng đ i s  c a số ự ạ ể ễ ượ ọ ạ ạ ố ủ ố 
ph c ứz.
V i cách bi u di n d i d ng đ i s , phép c ng và nhân các s  ph c đ c th cớ ể ễ ướ ạ ạ ố ộ ố ứ ượ ự  
hi n nh  phép c ng và nhân các ệ ư ộ nh  th c b c nh tị ứ ậ ấ  v i l u ý r ng ớ ư ằ i2 = –1. Nh  v y,ư ậ  
ta có:
(a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i
(a + b.i)(c + d.i) = (a.c - b.d) + (b.c + a.d).i
[s aử] M t ph ng ph cặ ẳ ứ

 
 
 
 
 
 
 
Trong h  to  đ  Đ  cácệ ạ ộ ề , có th  dùng tr c hoành ch  t a đ  ph n th c còn tr c tungể ụ ỉ ọ ộ ầ ự ụ  
cho t a đ  ph n  o đ  bi u di n m t s  th c ọ ộ ầ ả ể ể ễ ộ ố ự z = x + yi. Khi đó m t ph ng t a đặ ẳ ọ ộ 
đ c g i là ượ ọ m t ph ng ph cặ ẳ ứ .
[s aử] S  th c và s  thu n  oố ự ố ầ ả
Bài chi ti t: ếs  th cố ự
N u ếb=0, s  ph c có d ng ố ứ ạ z = a đ c g i là s  th c, n u ượ ọ ố ự ế a =0, s  ph c ố ứ b.i đ cượ  
g i là thu n  o.ọ ầ ả
[s aử] S  ph c liên h pố ứ ợ
Bài chi ti t: ếS  ph c liên h pố ứ ợ
Cho s  ph c d i d ng đ i s  ố ứ ướ ạ ạ ố , s  ph c ố ứ đ cượ  
g i là ọs  ph c liên h pố ứ ợ  c a z.ủ
•M t s  tính ch t c a s  ph c liên h p:ộ ố ấ ủ ố ứ ợ
1. là m t s  th c.ộ ố ự
2. =
3. =
•Phép chia    hai s  ph c d i d ng đ i s :ố ứ ướ ạ ạ ố
[s aử] Mođun và Argumen
Bài chi ti t: ếMođun và Argumen
•Cho  . Khi đó  . Căn b c hai c a ậ ủ
đ c g i là ượ ọ mođun c a z, ký hi u là ủ ệ | z | . Nh  v y ư ậ .
Xem thêm: giá tr  tuy t đ iị ệ ố
•Có th  bi u di n s  ph c ể ể ễ ố ứ z = a + b * i trên m t ph ng t a đ  b ng đi mặ ẳ ọ ộ ằ ể  
M(a,b), góc  gi a chi u d ng c a tr c Ox và vec t , ữ ề ươ ủ ụ ơ đ c g i làượ ọ  
argumen c a s  ph c ủ ố ứ z, ký hi u là ệarg(z).
•M t vài tính ch t c a môđun và argumenộ ấ ủ
arg(z1 * z2) = arg(z1) + arg(z2),