Tài liệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: Vo Anh Hoang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

247
lượt xem 79
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc PH¦¥NG PH¸P 1. Sö DôNG BÊT §¼NG THøC C¤SI I. C¸c quy t¾c cÇn chó ý khi sö dông bÊt ®¼ng thøc c«si - Quy t¾c song hµnh : hÇu hÕt c¸c B§T ®Òu cã tÝnh ®èi xøng do ®ã viÖc sö dông c¸c chøng minh mét c¸ch song hµnh, tuÇn tù sÏ gióp ta h×nh dung ra ®îc kÕt qu¶ nhanh chãng vµ ®Þnh híng c¸ch gi¶ nhanh h¬n. - Quy t¾c dÊu b»ng : dÊu b»ng “=” trong B§T lµ rÊt quan träng. Nã gióp ta kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña chøng minh. Nã ®Þnh h íng cho ta ph- ¬ng ph¸p gi¶i, dùa vµo ®iÓm r¬i cña B§T. - Quy t¾c vÒ tÝnh ®ång thêi cña dÊu b»ng : kh«ng chØ häc sinh mµ ngay c¶ mét sè gi¸o viªn khi míi nghiªn cøu vµ chøng minh B§T còng th ¬ng rÊt hay m¾c sai lÇm nµy. ¸p dông liªn tiÕp hoÆc song hµnh c¸c B§T nh ng kh«ng chó ý ®Õn ®iÓm r¬i cña dÊu b»ng. Mét nguyªn t¾c khi ¸p dông song hµnh c¸c B§T lµ ®iÓm r¬i ph¶i ®îc ®ång thêi x¶y ra, nghÜa lµ c¸c dÊu “=” ph¶i ®îc cïng ®îc tháa m·n víi cïng mét ®iÒu kiÖn cña biÕn. - Quy t¾c biªn: C¬ së cña quy t¾c biªn nµy lµ c¸c bµi to¸n quy ho¹ch tuyÕn tÝnh, c¸c bµi to¸n tèi u, c¸c bµi to¸n cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn rµng buéc, gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cña hµm nhiÒu biÕn trªn mét miÒn ®ãng. Ta biÕt r»ng c¸c gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt th êng x¶y ra ë c¸c vÞ trÝ biªn vµ c¸c ®Ønh n»m trªn biªn. - Quy t¾c ®èi xøng: c¸c B§T thêng cã tÝnh ®èi xøng vËy th× vai trß cña c¸c biÕn trong B§T lµ nh nhau do ®ã dÊu “=” thêng x¶y ra t¹i vÞ trÝ c¸c biÕn ®ã b»ng nhau. NÕu bµi to¸n cã g¾n hÖ ®iÒu kiÖn ®èi xøng th× ta cã thÓ chØ ra dÊu “=” x¶y ra khi c¸c biÕn b»ng nhau vµ mang mét gi¸ trÞ cô thÓ. ChiÒu cña B§T còng sÏ gióp ta ®Þnh h íng ®îc c¸ch chøng minh: ®¸nh gi¸ tõ TBC sang TBN vµ ngîc l¹i II. BÊt ®¼ng thøc C«si (CAUCHY) D¹ng tæng qu¸t (n sè): ∀x1, x2, x3 ……..xn kh«ng ©m ta cã: x1 + x2 + ......xn n ≥ x1 x2 ...........xn D¹ng 1: n x1 + x2 + ......xn ≥ n n x1 x2 ...........xn D¹ng 2:  x1 + x2 + ......xn  n ≥ x1 x2 ...........xn D¹ng 3:  ÷ n   2
DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi: x1 = x2 = ............ = xn HÖ qu¶ 1 n S Max ( P = x1x2 ............xn ) x1 + x2 + ........ + xn = S = const th×: = ÷ NÕu: n S khi x1 = x2 = ............ = xn = n HÖ qu¶ 2 NÕu: x1x2 .................xn = P = const th×: Min ( S = x1 + x2......... + x2 ) = n P n khi x1 = x2 = ............ = xn = n P III. D¹ng cô thÓ ( 2 sè, 3 sè ) n = 2: ∀ x, y # 0 khi ®ã: n = 3: ∀ x, y, z # 0 khi ®ã: x+ y x+ y+ z 3 ≥ xy ≥ xyz 2.1 2 3 x + y ≥ 2 xy x + y + z ≥ 3 3 xyz 2.2 2 3  x+ y  x+ y+ z ÷ ≥ xy ÷ ≥ xyz 2.3   2 3   2 3 ( x + y ) ≥ 4 xy ( x + y + z ) ≥ 27 xyz 2.4 11 4 111 9 +≥ ++≥ 2.5 x y x+ y x y z x+ y+z 1 4 1 4 ≥ ≥ 2.6 xy ( x + y ) 2 xyz ( x + y + z ) 3 B×nh luËn • §Ó häc sinh dÔ nhí, ta nãi: Trung b×nh céng (TBC) # Trung b×nh nh©n (TBN). • D¹ng 2 vµ d¹ng 3 khi ®Æt c¹nh nhau cã vÎ tÇm th êng nhng l¹i gióp ta nhËn d¹ng khi sö dông B§T C« Si: (3) ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC khi kh«ng cã c¶ c¨n thøc. 3
IV. C¸c kü thuËt sö dông 1. §¸nh gi¸ tõ trung b×nh céng sang trung b×nh nh©n §¸nh gi¸ tõ TBC sang TBN lµ ®¸nh gi¸ B§T theo chiÒu “ # ”. §¸nh gi¸ tõ tæng sang tÝch. Bµi 1. Chøng minh r»ng: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8a b c ∀a, b, c 2 2 2 2 2 2 222 Gi¶i Sai lÇm thêng gÆp Sö dông: ∀ x, y th× x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 # 0 ⇔ x2 + y2 # 2xy. Do ®ã: a 2 + b 2 ≥ 2ab 2 ⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8a b c ∀a, b, c (Sai) b + c ≥ 2bc 2 2 2 2 2 2 2 222 c 2 + a 2 ≥ 2ca  2 ≥ −2  VÝ dô: 3 ≥ −5 ⇒ 24 = 2.3.4 # (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 4 ≥ 3  Lêi gi¶i ®óng Sö dông B§T C« Si: x2 + y2 # 2 x 2 y 2 = 2|xy| ta cã: a 2 + b 2 ≥ 2 ab ≥ 0  ( )(b + c 2 ) ( c 2 + a 2 ) ≥ 8 | a 2b2c2 | = 8a 2b 2c 2 ∀a, b, c (§óng) 2 b + c ≥ 2 bc ≥ 0 ⇒ a + b 2 2 2 2 2 c + a ≥ 2 ca ≥ 0 2  B×nh luËn • ChØ nh©n c¸c vÕ cña B§T cïng chiÒu ( kÕt qu¶ ® îc B§T cïng chiÒu) khi vµ chØ khi c¸c vÕ cïng kh«ng ©m. • CÇn chó ý r»ng: x2 + y2 # 2 x 2 y 2 = 2|xy| v× x, y kh«ng biÕt ©m hay d - ¬ng. • Nãi chung ta Ýt gÆp bµi to¸n sö dông ngay B§T C« Si nh bµi to¸n nãi trªn mµ ph¶i qua mét vµ phÐp biÓn ®æi ®Õn t×nh huèng thÝch hîp råi míi sö dông B§T C« Si. • Trong bµi to¸n trªn dÊu “ # ” ⇒ ®¸nh gi¸ tõ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gîi ý ®Õn viÖc sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè, 3 cÆp sè. 4
( ) 8 a + b ≥ 64ab(a + b)2 ∀ a,b # 0 Bµi 2. Chøng minh r»ng: Gi¶i 24 4 ( ) ( ) 4 CôSi a + b =  a + b  = ( a + b ) + 2 ab  8 ≥ 2 2 ( a + b ) ab  = 24.22.ab. ( a + b ) = 2           = 64ab(a + b)2 Bµi 3. Chøng minh r»ng: (1 + a + b)(a + b + ab) # 9ab ∀ a, b # 0. Gi¶i Ta cã: (1 + a + b)(a + b + ab) # 33 1.a.b. 3.3 a.b.ab = 9ab B×nh luËn • 9 = 3.3 gîi ý sö dông C«si cho ba sè, 2 cÆp. Mçi biÕn a, b ® îc xuÊt hiÖn ba lÇn, vËy khi sö dông C« Si cho ba sè sÏ khö ® îc c¨n thøc cho c¸c biÕn ®ã. Bµi 4. Chøng minh r»ng: 3a3 + 7b3 # 9ab2 ∀ a, b # 0 Gi¶i Côsi Ta cã: 3a3 + 7b3 # 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 ≥ 2 33 33 a3b3 = 9ab B×nh luËn • 9ab2 = 9.a.b.b ⇒ gîi ý ®Õn viÖc t¸ch h¹ng tö 7b 3 thµnh hai h¹ng tö chøa b 3 ®Ó khi ¸p dông B§T C«si ta cã b2. Khi ®· cã ®Þnh híng nh trªn th× viÖc t¸ch c¸c hÖ sè kh«ng cã g× khã kh¨n. a, b, c, d > 0 1  CMR : abcd ≤ Bµi 5. Cho:  1 1 1 1 1 + a + 1 + b + 1 + c + 1 + d ≥ 3 81  Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt suy ra:  1 1 1 1 b c d Côsi bcd ≥ 1 - + 1 − + 1 − + + ≥ 33 = ÷ ÷ ÷ ( 1+ b ) ( 1+ c ) ( 1+ d ) 1+ a  1+ b   1+ c   1+ d  1+ b 1+ c 1+ d VËy: 5
1 bcd ≥3 3 ≥0  ( ) ( ) 1+ b ( 1+ c ) 1+ d 1 + a  1 cda 1 + b ≥ 3 3 1 + c 1 + d 1 + a ≥0 ( ) () () 1 abcd  ≥ 81 ⇒  ( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1+ c ) ( 1+ d ) ( 1 + a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) ( 1+ d ) 1 dca 1 + c ≥ 3 3 1 + d 1 + c 1 + a ≥0 ( ) ( )( )    1 ≥3 3 abc ≥0 ( ) ( 1+ a ) 1 + b ( 1+ c ) 1 + d  1 ⇒ abcd ≤ 81 Bµi to¸n tæng qu¸t 1  x1 , x2 , x3 ,............., xn > 0 1  CMR : x1 x2 x3...........xn ≤ Cho:  1 + 1 + 1 + ......... + 1 ≥ n − 1 n ( n − 1) 1 + x 1 + x 1 + x 1 + xn  1 2 3 B×nh luËn • §èi víi nh÷ng bµi to¸n cã ®iÒu kiÖn lµ c¸c biÓu thøc ®èi xøng cña biÒn th× viÖc biÕn ®æi ®iÒu kiÖn mang tÝnh ®èi xøng sÏ gióp ta xö lÝ c¸c bµi to¸n chøng minh B§T dÔ dµng h¬n a, b, c > 0 1   1  1   CMR :  −1÷ − 1÷ − 1÷≥ 8 (1) Bµi 6. Cho  a + b + c = 1 a   b  c   Gi¶i 1− a 1− b 1− c b + c c + a a + b Côsi ≥ 2 bc . 2 ca . 2 ab = 8 (®pcm) = VT (1) = . . . . a b c a b c a b c Bµi to¸n tæng qu¸t 2:  x1 , x2 , x3 ,..............., xn > 0  1  1  1 1   −1÷ ≥ ( n − 1) n −1÷ −1÷ −1÷........  CMR :  Cho:   ÷  ÷ ÷ ÷  x1 + x2 + x3 + ........ + xn = 1  x1  x2   x3  xn    3  ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) ≥ ( 1+ )  2 3  3÷ a + b + c  1÷  ÷   Bµi 7. CMR: 1 + ÷≥ abc ≥ 8 abc ∀a, b, c ≥ 0 3  3÷   Gi¶i 6
3 ( ) + ( 1+ c)  3 a + b + c   ( 1+ a) + 1+ b  ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) Côsi ÷ = ÷ Ta cã: 1 + ≥ (1)  3÷ 3 ÷     Ta cã: ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) = 1 + ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) + abc      ( )( ) 3 Côsi ≥ 1 + 33 a 2b2c 2 + 33 abc + abc = 1 + 3 abc (2) ( ) 3 3 Côsi   Ta cã: 1 + abc ≥ 3 3  2 1. abc ÷ = 8 abc (3)   DÊu “ = ” (1) x¶y ra ⇔ 1+a = 1+b = 1+c ⇔ a = b = c DÊu “ = ” (2) x¶y ra ⇔ ab = bc = ca vµ a = b = c ⇔ a = b= c DÊu “ = ” (3) x¶y ra ⇔ 3 abc =1 ⇔ abc = 1 Bµi to¸n tæng qu¸t 3 Cho x1, x2, x3,……., xn # 0. CMR: n     x1 + x2 + .... + xn  1 2 n 3÷ ) (  ÷ ≥ ( 1+ x1 ) ( 1+ x2 ) ...... ( 1+ xn ) ≥ 1+ n x1x2 .....xn ÷  ÷ ÷  ÷ ÷     1+ ≥ 2n x1x2......xn n  ÷   B×nh luËn • Bµi to¸n tæng qu¸t trªn thêng ®îc sö dông cho 3 sè, ¸p dông cho c¸c bµi to¸n vÒ B§T lîng gi¸c trong tam gi¸c sau nµy. • Trong c¸c bµi to¸n cã ®iÒu kiÖn rµng buéc viÖc xö lÝ c¸c ®iÒu kiÖn mang t×nh ®ång bé vµ ®èi xøng lµ rÊt quan träng, gióp ta ®Þnh h íng ®- îc híng chøng minh B§T ®óng hay sai. Trong viÖc ®¸nh gi¸ tõ TBC sang TBN cã mét kü thuËt nhá hay ® îc sö dông. §ã lµ kÜ thuËt t¸ch nghÞch ®¶o. 2. Kü thuËt t¸ch nghÞch ®¶o ab + ≥ 2 ∀a.b > 0 Bµi 1. CMR: ba Gi¶i ab ab Côsi + ≥2 =2 Ta cã: ba ba 7
a2 + 2 ≥2 ∀a ∈ R Bµi 2. CMR: a2 +1 Gi¶i a 2 + 2 = ( a + 1) +1 = a 2 +1 + 1 2 1 =2 Côsi ≥ 2 a2 +1 Ta cã: a 2 +1 a 2 +1 a2 +1 a 2 +1 1 DÊu “ = ” x¶y ra ⇔ a + 1 = 2 ⇔ a2 +1 = 1 ⇔ a = 0 2 a +1 1 Bµi 3. CMR: a + b a − b ≥ 3 ∀a > b > 0 () Gi¶i Ta cã nhËn xÐt: b + a – b = a kh«ng phô thuéc vµo biÕn b ®o ®ã h¹ng tö ®Çu a sÏ ®îc ph©n tÝch nh sau: 1 1 1 = b + ( a − b) + ≥ 3 3 b.( a − b ) . Côsi a+ = 3 ∀a > b > 0 b ( a − b) b ( a − b) b ( a − b) 1 DÊu “ = ” x¶y ra ⇔ b = ( a − b ) = b a − b ⇔ a = 2 vµ b = 1. () 4 a+ ≥3 ∀ a >b>0 Bµi 4. CMR: (1) ( a − b ) ( b +1) 2 Gi¶i V× h¹ng tö ®Çu chØ cã a cÇn ph¶i thªm bít ®Ó t¸ch thµnh c¸c h¹ng tö sau khi sö dông B§T sÏ rót gän cho c¸c thõa sè d íi mÉu. Tuy nhiªn biÓu thøc díi mÉu cã d¹ng ( a − b ) ( b + 1) (thõa sè thø nhÊt lµ mét ®a thøc bËc nhÊt b, 2 thõa sè 2 lµ mét thøc bËc hai cña b) do ®ã ta ph¶i ph©n tÝch vÒ thµnh tÝch cña c¸c ®a thøc bËc nhÊt ®èi víi b, khi ®ã ta cã thÓ t¸ch h¹ng tö a thµnh tæng c¸c h¹ng tö lµ c¸c thõa sè cña mÉu. VËy ta cã: ( a − b ) ( b + 1) = (a - b)( b + 1)( b + 1) ⇒ ta ph©n tÝch a theo 2 c¸ch 2 sau: b +1 + b +1 ( ) 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoÆc a +1 = a − b + 2 2 Tõ ®ã ta cã (1) t¬ng ®¬ng : 8
b +1 b +1 4 4 = ( a − b) + VT + 1 = a + 1 + + + 2 ( a − b ) ( b + 1) ( b + 1) ( a − b ) ( b +1) 2 2 b +1 b +1 4 ≥ 4.4 ( a − b ) . Côsi = 4 ⇒ §PCM . . 2 ( a − b ) ( b + 1) ( b + 1) 2  1 a ≥ 2a + 1 3 ∀ 2 ≥3 Bµi 5. CMR :  4b(a − b)  a >1 b  Gi¶i NhËn xÐt: Díi mÉu sè b(a-b) ta nhËn thÊy b + ( a – b ) = a. ChuyÓn ®æi tÊt c¶ biÓu thøc sang biÕn a lµ 1 ®iÒu mong muèn v× viÖc sö lÝ víi 1 biÕn sÏ ®¬n gi¶n h¬n. BiÕn tÝch thµnh tæng th× ®©y lµ mét mÆt m¹nh cña B§T C«si. Do ®ã: ( a − b )  = 4. a b+ 2 Ta cã ®¸nh gi¸ vÒ mÉu sè nh sau: 4.b ( a − b ) ≤ 4. ÷ = a2  ÷ 2 4  ÷   2a 3 + 1 Côsi 2a3 +1 a3 + a3 +1 1 Côsi 3 1 ≥ =a+a+ ≥ 3 a.a. = 3 = VËy: 4b(a − b) a a a a 2 2 b = a − b a = 1   1⇔ DÊu “ = ” x¶y ra ⇔   1 a= 2 b = 2  a   B×nh luËn • Trong viÖc xö lÝ mÉu sè ta ®· sö dông 1 kü thuËt ®ã lµ ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC nh»m lµm triÖt tiªu biÕn b. • §èi víi ph©n thøc th× viÖc ®¸nh gi¸ mÉu sè, hoÆc tö sè tõ TBN sang TBC hay ngîc l¹i ph¶i phô thuéc vµo dÊu cña B§T. Bµi 6. Bµi to¸n tæng qu¸t 1 Cho: x1 > x2 > x3 > ............., xn > 0 và 1 ≤ k ∈ Z . CMR: ( n −1) k + 2 1 ≥ a1 + an ( a1 − a2 ) ( a2 − a3 ) ...............( an−1 − an ) k k k  n −1÷k + 2    n −1 k   k  ÷   Gi¶i 9
1 an + ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + ..... + ( an−1 − an ) + an ( a1 − a2 ) ( a2 − a3 ) ......( an−1 − an ) VT = k k k ( a1 − a2 ) + .. + ( a1 − a2 ) + .. + ( an−1 − an ) + ... + ( an−1 − an ) + 1 =a + ( a2 − a3 ) ..( an−1 − an ) an ( a1 − a2 ) 1 4k4 44 2 4 4 4 43 k 1 4 k 4 44 2 4 4 4 k 4 k k k n 4 43 k k ( a1 − a2 ) ( a1 − a2 ) ( an−1 − an ) ( an−1 − an ) 1 ≥ ( n − 1) k + 2 . n−1 k + 2 a . .. .. ..     ( a2 − a3 ) ..( an−1 − an )  ÷ 1 4 k 4 2 4 4 k 4 an ( a1 − a2 )  ÷ k k k 1 4k44 2 4 4 4 k3 n   44 43 k k ( n −1) k + 2 =  n −1÷k + 2    n −1÷k     k   Tãm l¹i: Trong kü thuËt t¸ch nghÞch ®¶o kü thuËt cÇn t¸ch phÇn nguyªn theo mÉu sè ®Ó khi chuyÓn sang TBN th× c¸c phÇn chøa biÕn sè bÞ triÖt tiªu chØ cßn l¹i h»ng sè. Tuy nhiªn trong kü thuËt t¸ch nghÞch ®¶o ®èi víi bµi to¸n cã ®iÒu kiÖn rµng buéc cña Èn th× viÖc t¸ch nghÞch ®¶o häc sinh th êng bÞ m¾c sai lÇm. Mét kü thuËt thêng ®îc sö dông trong kü thuËt t¸ch nghÞch ®¶o, ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC lµ kü thuËt chän ®iÓm r¬i. 3. Kü thuËt chän ®iÓm r¬i Trong kü thuËt chän ®iÓm r¬i, viÖc sö dông dÊu “ = ” trong B§T C«si vµ c¸c quy t¾c vÒ tÝnh ®ång thêi cña dÊu “ = ”, quy t¾c biªn vµ quy t¾c ®èi xøng sÏ ®îc sö dông ®Ó t×m ®iÓm r¬i cña biÕn. 1 Bµi 1. Cho a # 2 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña S = a + a Gi¶i 1 1 Sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh: S = a + # 2 a =2 a a 1 DÊu “ = ” x¶y ra ⇔ a = ⇔ a = 1 ⇒ v« lÝ v× gi¶ thiÕt lµ a # 2. a C¸ch lµm ®óng 1 Ta chän ®iÓm r¬i: ta ph¶i t¸ch h¹ng tö a hoÆc h¹ng tö ®Ó sao cho khi ¸p a dông B§T C«si dÊu “ = ” x¶y ra khi a = 2. Cã c¸c h×nh thøc t¸ch sau: 10
 1 1  Ch¼ng h¹n ta chän s¬ ®å ®iÓm r¬i (1):  a; ÷ (1)  α a  (s¬ ®å ®iÓm r¬i (2), (3), (4) häc sinh tù lµm)  1  α a; ÷ (2) 1 2 a  1   a=  a, a ÷ ⇒  α α 21 =  1   ⇒ ⇒ α = 4.   a; (3) α2 1 = 1 ÷  α a  a 2    a; α  (4)  a ÷   a 1 3a a 1 3a 3.2 5 VËy ta cã: S = + + ≥2 DÊu “ = ” x¶y ra ⇔ a = 2. + ≥ 1+ =. 4a4 4a 4 42 B×nh luËn • Ta sö dông ®iÒu kiÖn dÊu “ = ” vµ ®iÓm r¬i lµ a = 2 dùa trªn quy t¨c biªn ®Ó t×m ra α = 4. • ë ®©y ta thÊy tÝnh ®ång thêi cña dÊu “ = ” trong viÖc ¸p dông B§T C«si a1 3a , vµ cho 2 sè ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi a = 2, tøc lµ chóng cã cïng 4a 4 ®iÓm r¬i lµ a = 2. 1 Bµi 2. Cho a # 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: S = a + a2 Gi¶i a 2 = α α 21 = S¬ ®å chän ®iÓm r¬i: a = 2 ⇒  ⇒ α 4 ⇒ α = 8. 1 =1  a2 4  Sai lÇm thêng gÆp 1  a 1  7a a 1 7a 2 7a 2 7.2 2 7 9 = + = ⇒ MinS = 9 S = a+ ≥2 . 2 + = +≥ + =  + 2 ÷+ a 8 a  8 8a 8 8a 8 8.2 8 4 4 4 2 4 Nguyªn nh©n sai lÇm 9 MÆc dï chän ®iÓm r¬i a = 2 vµ MinS = lµ ®¸p sè ®óng nhng c¸ch gi¶i trªn 4 2 2 2 ≥ = lµ ®· m¾c sai lÇm trong viÖc ®¸nh gi¸ mÉu sè: NÕu a # 2 th× 8.2 4 8a ®¸nh gi¸ sai. 11
§Ó thùc hiÖn lêi gi¶i ®óng ta cÇn ph¶i kÕt hîp víi kü thuËt t¸ch nghÞch ®¶o, ph¶i biÕn ®æi S sao cho sau khi sö dông B§T C«si sÏ khö hÕt biÕn sè a ë mÉu sè. 1  a a 1  6a Côsi 3 a a 1 6a 3 6a 3 6.2 9 Lêi gi¶i ®óng: S = a + ≥ 3 . . 2+ = + ≥ + = = ++ + a2  8 8 a2 ÷ 8 88a 8 4 8 4 8 4   9 Víi a = 2 th× Min S = 4 a, b, c > 0 111  S = a +b+c+ + + Bµi 3. Cho  3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña a + b + c ≤ abc 2  Gi¶i Sai lÇm thêng gÆp 111 111 S = a + b + c + + + ≥ 6 6 a.b.c. . . = 6 ⇒ Min S = 6 abc abc Nguyªn nh©n sai lÇm : 1 = 1 = 1 =1 ⇒ a +b + c = 3 > 3 Min S = 6 ⇔ a = b = c = tr¸i víi gi¶i thiÕt. abc 2 Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i Do S lµ mät biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n MinS ®¹t t¹i ®iÓm r¬i a =b=c= 1 2 1  a = b = c = 12 1 2  ⇒ α =4 S¬ ®å ®iÓm r¬i: a = b = c = ⇒= ⇒ 2α 2 1 = 1 = 1 =2 α a α b α c α  HoÆc ta cã s¬ ®å ®iªm r¬i sau α  α a = α b = α c = 2 α =2 ⇒ α =4 1 2 a =b=c= 1  ⇒ α =4 ⇒= ⇒ ⇒ 1 1 1 2α 2 2  = = =2 a b c  VËy ta cã c¸ch gi¶i theo s¬ ®å 2 nh sau: 1 1 1 111  S =  4a + 4b + 4c + + + ÷− 3 ( a + b + c ) ≥ 6 6 4a.4b.4c. . . − 3 ( a + b + c ) a b c abc  12
1 3 15 15 ≥ 12 − 3. = . Víi a = b = c = th× MinS = 2 22 2 a, b, c > 0  1 1 1 S = a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 Bµi 4. Cho  3 . T×m GTNN cña a + b + c ≤ b c a 2 2  Gi¶i Sai lÇm thêng gÆp: S ≥ 33 a 2 + 12 . b2 + 12 . c2 + 12 = 36  a 2 + 12 ÷.  b2 + 12 ÷.  c 2 + 12 ÷     b c a b c a         ≥ 36  2 a2 . 12 ÷.  2 b2 . 12 ÷. 2 c 2 . 12 ÷ = 36 8 = 3 2 ⇒ MinS = 3 2 .  b ÷ c ÷ a÷     Nguyªn nh©n sai lÇm 1 = 1 = 1 =1 ⇒ a +b + c = 3 > 3 MinS = 3 2 ⇔ a = b = c = tr¸i víi gi¶ thiÕt. abc 2 Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n MinS ®¹t t¹i a =b=c= 1 2 1 2 a = b = c = 2 2 14 4  ⇒ α = 16 = ⇒  4α  1 = 1 = 1 =4 α a 2 α b 2 α c 2 α  Lêi gi¶i 1 1 1 1 1 1 S = a2 + + b2 + + c2 + + ..... + + ..... + + ..... + 164 44 2 4 164 2 1b 4b 164 4 2 4 4 4 2 1c 4 163 c 164 44 2 4 164 2 1a 4a 2 2 2 3 3 16 16 16 1 1 1 1 1 1 + 1717 b2 . 2 ..... 2 + 1717 c 2 . ≥ 1717 a 2 . ..... ..... 1644 2 4 43 1b 16b 1644 2 4 4 1c 16c 1644 2 4 432 1a 16a 2 2 2 3 16 16 16   a2 b2 c2 a b c = 1717 + 1717 16 32 + 1717 16 32 = 17  17 8 16 + 17 8 16 + 17 8 16 ÷  16 b ÷ 16 b 16 c 16 a 16 c 16 a 16 32   13
 a 17 b 17 c  a 3 17 ≥ 17 3 3 17  = 3. 17 17 8 5 5 5 = . . 16 b 16 c 16 a  16 a b c 2.17 2a 2b2c 5 8 16 8 16 8 16 ( )    3 17 3 17 ≥ ≥ 1 DÊu “ = ” x¶y ra khi a = b = c = 2. ⇒ Min S = 15  2a + 2b + 2c  2 2.17  ÷ 3   3 17 2 B×nh luËn • ViÖc chän ®iÓm r¬i cho bµi to¸n trªn ®· gi¶i quyÕt mét c¸ch ®óng ®¾n vÒmÆt to¸n häc nhng c¸ch lµm trªn t¬ng ®èi cång kÒnh. NÕu chóng ta ¸p dông viÖc chän ®iÓm r¬i cho B§T Bunhiac«pski th× bµi to¸n sÏ nhanh gän h¬n ®Ñp h¬n. • Trong bµi to¸n trªn chóng ta ®· dïng mét kü thuËt ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC, chiÒu cña dÊu cña B§T kh«ng chØ phô thuéc vµo chiÒu ®¸nh gi¸ mµ nã cßn phô thuéc vµo biÓu thøc ®¸nh gi¸ n»m ë mÉu sè hay ë tö sè Bµi 5. Cho a, b, c, d > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: b+c +d c + d +a a +b+d a +b+c a b c d S= + + + + + + + b+c +d c +d +a a +b+d a +b+c a b c d Gi¶i Sai lÇm 1 thêng gÆp  b+c+d b+c+d a a + ≥2 =2 .  b + c + d b+c+d a a  c+d +a c+d +a b b + ≥2 =2  . c + d + a c+d +a b b ⇒ S#2+2+2+2=8  a +b+d a +b+d c c  a + b + d + ≥2 =2 . a +b+d c c  a +b+c a +b+c  d d + ≥2 =2 .  a + b + c a+b+c d d Sai lÇm 2 thêng gÆp Sö dông B§T C«si cho 8 sè: b+c +d c +d +a a +b+d a +b+c a b c d S ≥ 88 =8 . . . . . . . b+c+d c+d + a a +b+d a +b+c a b c d Nguyªn nh©n sai lÇm 14
a = b + c + d  b = c + d + a Min S = 8 ⇔  ⇒ a + b + c + d = 3(a + b + c + d) ⇒ 1 = 3 ⇒ V« lý. c = d + a + b d = a + b + c  Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i §Ó t×m Min S ta cÇn chó ý S l¸ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c, d do ®ã Min S nÕu cã thêng ®¹t t¹i “®iÓm r¬i tù do” lµ : a = b = c = d > 0.(nãi lµ ®iÓm r¬i tù do v× a, b, c, d kh«ng mang mét gi¸ trÞ cô thÓ). VËy ta cho tr íc a = b = c 4 40 Min S = + 12 = . Tõ ®ã suy ra c¸c ®¸nh gi¸ cña c¸c B§T bé = d dù ®o¸n 3 3 phËn ph¶i cã ®iÒu kiÖn dÊu b»ng x¶y ra lµ tËp con cña ®iÒu kiÖn dù ®o¸n: a = b = c = d > 0. Ta cã s¬ ®å ®iÓm r¬i: Cho a = b = c = d > 0 ta cã: a b c d 1  b + c + d = c + d + a = a + b + d = a + b + c = 3 13  ⇒ α=9 = ⇒  3α b + c + d = c + d + a = a + b + d = a + b + c = 3 α  a b c d  C¸ch 1: Sö dông B§T C«si ta cã: b+c+d  8 b+c+d a  ∑ ÷+ ∑ 9 . 9a S= + ≥ a ,b,c,d  b + c + d 9a  a,b,c ,d b+c + d c + d +a a +b+d a +b+c a b c d ≥ 88 . . . . . . . b+c +d c +d +a a +b+d a +b+c 9a 9b 9c 9d 8b c d c d a a b d a b c  +  + + + + + + + + + + + ÷# 9a a a b b b c c c d d d  b c d c d a a b d a b c  8 8 88 40 ≥ + .12.12  . . . . . . . . . . . ÷ = + .12 = 39 a a a b b b c c c d d d  3 9 3 Víi a = b = c = d > 0 th× Min S = 40/3. 4. Kü thuËt ®¸nh gi¸ tõ trung b×nh nh©n (TBN) sang trung b×nh céng (TBC) NÕu nh ®¸nh gi¸ tõ TBC sang TBN lµ ®¸nh gi¸ víi dÊu “ # ”, ®¸nh gi¸ tõ tæng sang tÝch, hiÓu n«m na lµ thay dÊu “ + ” b»ng dÊu “ . ” th× ng îc l¹i ®¸nh gi¸ tõ TBN sang trung b×nh céng lµ thay dÊu “ . ” b»ng dÊu “ + ”. Vµ còng cÇn ph¶i 15
chó ý lµm sao khi biÕn tÝch thµnh tæng, th× tæng còng ph¶i triÖt tiªu hÕt biÕn, chØ cßn l¹i h»ng sè. ( a + c) ( b + d ) ab + cd ≤ ∀a, b, c, d > 0 (1) Bµi 1. CMR Gi¶i ab cd + ≤ 1 Theo B§T C«si ta cã: (1) ⇔ ( a + c) ( b + d ) ( a + c) ( b + d ) b  1 a+c b+d  1 1 a b  1 c = ( 1 + 1) = 1 (®pcm) VT ≤  + ÷+  + = + 2 a+c b+c 2 a+c b+d ÷ 2 a+c b+c ÷ 2    B×nh luËn • NÕu gi÷ nguyªn vÕ tr¸i th× khi biÕn tÝch thµnh tæng ta kh«ng thÓ triÖt tiªu Èn sè ⇒ ta cã phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng (1) sau ®ã biÕn tÝch thµnh tæng ta sÏ ®îc c¸c ph©n thøc cã cïng mÉu sè. • DÊu “ # ” gîi ý cho ta nÕu sö dông B§T C«si th× ta ph¶i ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC a > c > 0  Bµi 2. CMR c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab ∀  (1) b > c > 0  Gi¶i c ( b − c) c ( a − c) + ≤1 Ta cã (1) t¬ng ®¬ng víi : ab ab Theo B§T C«si ta cã: c ( b − c) 1  c ( a − c)  1  c ( b − c)  1  a b  c ( a − c) ÷+  + + ≤+ ÷= + = 1 (®pcm) b ÷ 2a b÷ 2b a ÷ 2a ab ab       Bµi 3. CMR 1 + 3 abc ≤ 3 ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ∀a, b, c ≥ 0 (1) Gi¶i Ta cã biÕn ®æi sau, (1) t¬ng ®¬ng: 1.1.1 abc 1.1.1 + 3 abc ≤ 3 ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ⇔3 +3 ≤1 3 ( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1+ c ) ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) Theo B§T C«si ta cã: 16
c  1  a + 1 b + 1 c + 1 1 1  1 a 1 1 1 b VT ≤  + +  + 3 1 + a + 1 + b + 1 + c  = 3 1 + a + 1 + b + 1 + c  = 3 .3 = 1 3 1 + a 1 + b 1 + c      DÊu “ = ” x¶y ra ⇔ a = b = c > 0. Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t 1 ( ) CMR: n a1a2 .......an + n b1b2 .......bn ≤ n ( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) ........ ( an + bn ) ∀ ai , bi > 0 i = 1, n Bµi 4. Chøng minh r»ng: 16ab(a − b)2 ≤ (a + b)4 ∀a, b > 0 Gi¶i 2 2  4ab + (a − b) 2   (a + b)2  16ab(a − b) = 4.(4ab)(a − b) ≤ 4  = 4  = ( a + b) 2 2 4 Ta cã:  2 2     a, b, c > 0 8  Chøng minh r»ng abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≤ Bµi 5. Cho  a + b + c = 1 729  Gi¶i S¬ ®å ®iÓm r¬i Ta nhËn thÊy biÓu thøc cã tÝnh ®èi xøng do ®ã dÊu “ = ” cña B§T sÏ x¶y ra 1 khi a = b = c = . Nhng thùc tÕ ta chØ cÇn quan t©m lµ sau khi sö dông B§T 3 C«si ta cÇn suy ra ®îc ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu “ = ” lµ: a = b = c. Do ®ã ta cã lêi gi¶i sau: ( )( ) 3  a + b + b + c + ( c + a )   1  3  2 3 3 Côsi  a + b + c   = ÷  ÷ = 8 abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≤   3 3   3  3  729     Trong kü thuËt ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC ta thÊy th êng nh©n thªm c¸c h»ng sè ®Ó sao cho sau biÕn tÝch thµnh tæng c¸c tæng ®ã triÖt tiªu c¸c biÕn. §Æc biÖt lµ ®èi víi nh÷ng bµi to¸n cã thªm ®iÒu kiÖn rµng buéc cña Èn sè th× viÖc nh©n thªm h»ng sè c¸c em häc sinh dÔ m¾c sai lÇm. Sau ®©y ta l¹i nghiªn cøu thªm 2 ph¬ng ph¸p n÷a ®ã lµ ph¬ng ph¸p nh©n thªm h»ng sè, vµ chän ®iÓm r¬i trong viÖc ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC. Do ®· tr×nh bµy ph ¬ng ph¸p ®iÓm r¬i ë trªn nªn trong môc nµy ta tr×nh bµy gép c¶ 2 phÇn . 5. Kü thuËt nh©n thªm h»ng sè trong ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC 17
Bµi 1. Chøng minh r»ng: a ( b −1) + b ( a − 1) ≤ ab ∀a, b ≥ 1 Gi¶i Bµi nµy chóng ta hoµn toµn cã thÓ chia c¶ 2 vÕ cho ab sau ®ã ¸p dông ph - ¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC nh phÇn tríc ®· tr×nh bµy, tuy nhiªn ë ®©y ta ¸p dông mét ph¬ng ph¸p míi: ph¬ng ph¸p nh©n thªm h»ng sè ( b −1) + 1 = ab  Côsi ( b −1) = a ( b −1) .1 ≤ a a 2  2  Ta cã : ( a −1) + 1 ( a −1) = b ( a −1) .1 ≤ b. 2 = ab Côsi  b 2  ab ab a ( b −1) + b ( a −1) ≤ + = ab ⇒ 22 b − 1 = 1 b = 2   ⇒ DÊu “ = ” x¶y ra ⇔   a − 1 = 1 a = 2   B×nh luËn • Ta thÊy viÖc nh©n thªm h»ng sè 1 vµo biÓu thøc kh«ng hoµn toµn tù nhiªn, t¹i sao l¹i nh©n thªm 1 mµ kh«ng ph¶i lµ 2. Thùc chÊt cña vÊn ®Ò lµ chóng ta ®· chän ®iÓm r¬i cña B§T theo quy t¾c biªn lµ a = b = 1/2. NÕu kh«ng nhËn thøc ®îc râ vÊn ®Ò trªn häc sinh sÏ m¾c sai lÇm nh trong VD sau. a, b, c > 0  T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: S = a + b + b + c + c + a Bµi 2. Cho  a + b + c = 1  Gi¶i Sai lÇm thêng gÆp ( a + b) +1  Côsi ( a + b ) .1  a +b = ≤ 2  ( b + c ) +1  2( a + b + c) + 3 5  Côsi ( b + c ) .1  b+c = ≤ ⇒ a+b + b+c + c+a ≤ = 2 2 2  ( c + a ) +1  Côsi ( c + a ) .1  c+a = ≤ 2   Nguyªn nh©n sai lÇm DÊu “ = ” x¶y ra ⇔ a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2 tr¸i víi gi¶ thiÕt. 18
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i Do vai trß cña a, b, c trong c¸c biÓu thøc lµ nh nhau do ®ã ®iÓm r¬i cña B§T 1 2 sÏ lµ a = b = c = 6 . ⇒a + b = b + c = c + a = ⇒ tõ ®ã ta dù ®o¸n Max S = 3 3 2 h»ng sè cÇn nh©n thªm lµ . VËy lêi gi¶i ®óng lµ: 3 ( a + b) + 2   3 2 3 Côsi . ( a + b) . 3  a+b = ≤ . 2 3 2 2   ( b + c) + 2  3 2 3  Côsi . ( b + c) . 3  b+c = ≤ . 2 3 2 2   ( c + a) + 2  3 2 3 Côsi 3 . ( c + a) .  c+a = ≤ . 2 3 2 2    2 2 ( a + b + c ) + 3. ⇒ a+b + b+c + c+a ≤ 3 . 3 = 3 .2 = 6 2 2 2 Bµi to¸n trªn nÕu cho ®Çu bµi theo yªu cÇu sau th× häc sinh sÏ cã ®Þnh h íng a, b, c > 0  Chøng minh r»ng: S = a + b + b + c + c + a ≤ 6 . Tuy tèt h¬n: Cho  a + b + c = 1  nhiªn nÕu n¾m ®îc kü thuËt ®iÓm r¬i th× viÖc viÕt ®Çu bµi theo h íng nµo còng cã thÓ gi¶i quyÕt ®îc. 0 ≤ x ≤ 3  Bµi 3. Cho  T×m Max A = (3 – x )(12 – 3y)(2x + 3y) 0 ≤ y ≤ 4  Gi¶i 3 Côsi  ( 6 − 2x ) + ( 12 − 3 y ) + ( 2x+3y )  1 A = ( 6 − 2 x ) ( 12 − 3 y ) ( 2 x + 3 y ) ≤   = 36 6 3     x = 0  DÊu “ = ” x¶y ra ⇔ 6 -2x = 12 - 3y = 2x + 3y = 6 ⇔  y = 2   B×nh luËn • ViÖc chän ®iÓm r¬i trong bµi to¸n nµy ®èi víi häc sinh th êng bÞ lóng tóng. Tuy nhiªn c¾n cø vµo yªu cÇu khi ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC cÇn 19
ph¶i triÖt tiªu hÕt biÕn cho nªn c¨n cø vµo c¸c hÖ sè cña tÝch ta nh©n thªm 2 vµo thõa sè thø nhÊt lµ mét ®iÒu hîp lý. ( x + y) 3 Bµi 4. Cho x, y > 0. T×m Min f(x, y) = xy 2 Gi¶i 3 3 1  4x+2y+2y  1 4  1 4 Ta cã: xy = ( 4x ) ( 2 y ) ( 2 y ) ≤  3  3 ( x + y )  = 27 ( x + y ) ÷= 2 16 16  3 16    ( x + y) ( x + y) = 4 3 3 4 ⇒ Min f( x, y ) = ≥ ⇒ f(x,y) = 4 2 ( x + y ) 27 27 xy 3 27 DÊu “ = ” x¶y ra ⇔ 4x = 2y = 2y ⇔ y = 2x > 0. §ã lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = 2x víi x d¬ng. Thùc ra viÖc ®Ó hÖ sè nh trªn cã thÓ tïy ý ®îc miÔn lµ sao cho khi sau khi ¸p dông B§T C«si ta biÕn tÝch thµnh tæng cña x + y. ( Cã thÓ nh©n thªm hÖ sè nh sau: 2x.y.y). B×nh luËn • Trong bµi to¸n trªn yªu cÇu lµ t×m Min nªn ta cã thÓ sö dông kü thuËt ®¸nh gi¸ tõ TBN sang TBC cho phÇn ë díi mÊu sè v× ®¸nh gi¸ tõ TNB sang TBC lµ ®¸nh gi¸ víi dÊu “ # ” nªn nghÞch ®¶o cña nã sÏ lµ “ # ”. • Ta còng cã thÓ ®¸nh gi¸ tö sè tõ TBC sang TBN ®Ó cã chiÒu “ # ” Bµi to¸n tæng qu¸t 1 ( x + x + x ........... + xn ) 1+ 2+3+...+ n Cho x , x , x ...........x > 0. Tìm Min f = 1 2 32 3 x1.x2 .x3 ...........xn n 123 4 2 n < 1+ (1) ∀n ∈ N (n ≥ 1) n Bµi 5. Chøng minh r»ng: n Gi¶i Víi n = 1, 2 ta nhËn thÊy (1) ®óng. Víi n # 3 ta cã: 20
n + n + 1 + 1....... + 1 2 n + ( n − 2) n + 2 n 14 244 4 3 2 n = n n n .1.1......1 ≤ = 1+ = < n−2 n 14 2 4 3 n n n n n−2 Bµi to¸n tæng qu¸t 2 m n  1   1 Chøng minh r»ng: 1 + ÷ < 1 + ÷ ∀ m < n∈ N m  n  (1) Gi¶i m  1 1 Ta biÕn ®æi (1) vÒ bÊt ®¼ng thøc t¬ng ®¬ng sau: n 1 + ÷ < 1 + m n  m  1  1 1  1 n 1 + ÷ = n 1 + ÷. 1 + ÷....... 1 + ÷. 1.1.........1 m 1 4 n2m4 3 Ta cã:  m   4 m 4 4 4 2 4 4 4 4 43 m 1 4  − m m 6 4 4 4 4 44 7 4 4 4 4 4 4 8 n−m 1  6 4 47 4 48  1  1   1 1 + m ÷+ 1 + m ÷....... + 1 + m ÷+ 1 + 1 + ......... + 1 m 1 + m ÷+ n − m 1 Côsi      =  < = 1+ n n n B×nh luËn • CÇn ph¶i b×nh luËn vÒ dÊu “ = ”: trong bµi to¸n trªn ta coi 1/m = a thÕ th× khi ®ã dÊu b»ng trong B§T C«si x¶y ra khi vµ chØ khi 1+ a = 1 ⇔ a = 0. Nhng thùc tÕ th× ®iÒu trªn t ¬ng ®¬ng víi m tiÕn tíi +#, khi m lµ h÷u h¹n th× dÊu “