intTypePromotion=1

Phương pháp chứng minh tiếp tuyến

Chia sẻ: Bùi Hòa Thu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

0
219
lượt xem
11
download

Phương pháp chứng minh tiếp tuyến

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán về "Phương pháp chứng minh tiếp tuyến" gồm các ví dụ và bài giải để bạn học tập và kiểm tra. Mời các bạn tham khảo tài liệu để có thêm nhiều kiến thức căn bản về Toán học.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp chứng minh tiếp tuyến

  1. Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN  I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 1.  Phương pháp 1:   Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) bằng bán kính R.   ( Phương pháp này thường được dung khi chưa biết giao điểm của (d) và (O) ) 2. Phương pháp 2:    Nếu biết đường thẳng (d) và (O) có một giao điểm A.  Ta chỉ cần chứng minh  minh  OA ⊥ d . 3. Phương pháp 3:  A M B C                                                            Nếu  MA2 = MB.MC → MA  là tiếp tuyến Hoặc :  Nếu  GócMAB = gócMCA → MA  là tiếp tuyến    4. Phương pháp 4:  Phương pháp trùng khít( Phản chứng)    Để chứng minh một đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) ta dựng đường thẳng  (d’) là tiếp tuyến của (O) sau đó chứng minh (d) và (d’) trùng nhau. Do đó (d) là  tiếp tuyến của (O).    II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. µ Bài toán 1  : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của  (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ  là đt AB). Trên  Ax lấy điểm C, trên By lấy  điểm D sao cho  ∠ COD = 900. Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O). 1
  2. Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh @Hướng dẩn giải Vẽ   OH ⊥ CD ( H CD ) . Ta chứng minh OH = RO  =  C H OB. Tia CO cắt tia đối của tia By tại E.  D Ta có:  ∆OAC = ∆OBF ( g .c.g ) � OC = OE O Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là trung  A B tuyến nên là tam giác cân. Khi đó DO cũng là đường  phân giác.  OH ⊥ DC , OB ⊥ DE � OH = OB . Ta có  OH ⊥ CD, OH = OB = RO   CD là tiếp xúc với (O) tại H. E µBài toán  2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính  BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng DE là tiếp   tuyến chung của (I) và (J).  @Hướng dẩn giải A Để   chứng   minh   DE   là   tiếp   tuyến   của  đường   tròn   tâm   I   đường   kính   BH   ta  E chứng minh  O         ID ⊥ DE  hay ∠ DOE = 90o  D Vì   D,   E   lần   lượt   thuộc   đường   tròn  đường   kính   BH   và   HC   nên   ta   có:.  B I H J C ∠BDH =∠CEH = 900   tứ giác ADHE là hình chữ nhật.  Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi  đó ta có OD = OH = OE = OA.  ∆ ODH cân tại O  ∠ODH = ∠OHD   Ta cũng có ∆ IDH cân tại I ⇔∠IDH = ∠IHO.   có: ∠IDO +∠OHD =∠IHD + ∠IHA = 900 ⇔∠IDO = 900 ⇔ ID    DE 2
  3. Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh Ta có  ID ⊥ DE , D ( I )    DE tiếp xúc với (I) tại D.  Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với (J) tại E.   µBài toán  3:  Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là   trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp  tam giác ADE. @Hướng dẩn giải Gọi O là trung điểm của AH.  AH Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có:  DO = = OA = OH 2 AH Tam giác AEH vuông tại E có EO là trung tuyến nên ta có:  EO = = OA = OH . 2   OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Tam giác OAD cân tại O) ⇒∠ODA = ∠OAD  (1) BC ∆ BDC vuông tại D có DI là trung tuyến ⇒  DI = 2 = IC , ⇒ tam giác ICD cân tại I,  ⇒          ∠ IDC = ∠DIC        (2)  H là giao điểm hai đường cao BD và CE A  ⇒ H là trực tâm của ∆ ABC,   ⇒ AH ⊥ BC  tại F.  Khi đó ∠ OAD ᄋ ᄋ + ICD = 90o  (2) D Từ (1) , (2) và (3) ta có  O E ∠ODA + ∠IDC = ∠OAD +∠ICD = 900 H Ta có  OD ⊥ DI , D ( O )  ⇒ ID tiếp xúc với  (O) tại D. Chứng minh   tương  tự   ta cũng  có IE tiếp   B xúc với (O) tại E.    (DPCM) F I C 3
  4. Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh µBài toán 4:  (Ta chứng minh bài  1 với phương pháp này.) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By   cùng nửa mặt phẳng bờ  là đt AB). Trên Ax lấy  điểm C, trên By lấy điểm D sao cho   ∠  COD =  900. Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường  C tròn (O). D H D' @Hướng dẩn giải Từ   C   vẽ   tiếp   tuyến   CD’   của   đường   tròn   (O)   (D’  A O B thuộc By) tiếp xúc với (O) tại tiếp điểm H. Ta có OC là phân giác của góc AOH (t/c hai tiếp tuyến   cắt nhau) Và OD’ là phân giác của góc BOH.  Mà hai góc AOH và BOH là hai góc kề bù nên ∠ OCD’ = 900.    ta có ∠ COD’ = ∠COD= 900.   mà D, D’ đều thuộc By nên suy ra  D D .  Vì CD’ là tiếp tuyến của (O)    CD cũng là tiếp tuyến của (O) . µBài toán 5:  Cho tam giác ABC. Tia Ax khác phía với AC đối với đường thẳng AB  thỏa ∠xAB = ∠ACB. Chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC.  @ Hướng dẩn giải    A Vẽ  tia tiếp tuyến Ay của đường tròn ngoại   tiếp tam giác ABC (Ay cùng phía với Ax đối  x với đường thẳng AB) O y Khi đó ta có  ∠yAB =  ∠ACB    (góc giữa tia  B C tiếp   tuyến   và   dây   cùng   bằng   góc   nội   tiếp   chắn cung đó) Mà ∠xAB = ∠ACB ⇔∠xAB =∠yAB  4
  5. Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh   Ax, Ay cùng phía đối với đường thẳng AB nên   Ax Ay . Mà Ay là tiếp tuyến của  (ABC)  Ax cũng là tiếp tuyến của (ABC). II.­ NHẬN XÉT:  1.   Phương pháp 1, 2 là tương đối quen thuộc và hầu hết các bài toán chứng minh   tiếp tuyến đều dùng hai phương pháp này vì nó được suy ra trực tiếp từ  định   nghĩa tiếp tuyến. Tuy nhiên hạn chế  của hai phương pháp này là ta  phải biết   được tâm cũng như bán kính của đường tròn.  2.   Phương pháp 4 là một phương pháp khá hay và hiệu quả, giúp ta giải được bài   toán nhanh chóng và gọn nhẹ. Tuy nhiên không nhiều học sinh có thể  vận dụng   thành thạo để chứng minh các bài toán. 3.   Bài  5 cho ta ý tưởng chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn  ngoại tiếp một tam giác hoặc tiếp xúc với đường tròn mà tâm hoặc bán kính của  nó xác định một cách khó khăn. Hạn chế của phương pháp này chính là khi chúng  ta dựng tiếp tuyến, phải dựng thật hợp lí để chúng ta có thể chứng minh sự trùng  khít dễ dàng hơn. 4.   Tóm lại không có phương pháp nào là hoàn hảo và áp dụng dễ  dàng cho mọi bài   toán, chúng ta cần phải vận dụng linh hoạt 4 phương pháp trên trong việc chứng  minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. III.­ BÀI TẬP RÈN LUYỆN µBài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O)  (Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao  1 cho  AC .BD = AB 2 . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).  4 1 HD:  AC .BD = AB 2  → AC.BD = AO.BO → tam giác đồng dạng → đpcm 4 µBài 2:  Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là  trung điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C. Đường tròn đường  kính MB cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI. HD: Dùng tứ giác nội tiếp… 5
  6. Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh µBài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C thuộc nửa đường tròn. Vẽ  CH ⊥ AB ( H AB ) . M là trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại P. Chứng  minh PC là tiếp tuyến của đường tròn (O). HD: Dùng góc so le trong và góc trong cùng phía của hình thang µBài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm trên đoạn OB. Đường  thẳng qua M vuông góc AB tại M cắt (O) tại C và D. AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q.  AB cắt PQ tại I. Chứng IC và ID là tiếp tuyến của (O). HD: Tứ giác nội tiếp và tính đối xứng của đường tròn. µBài 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB và  AC lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh NM tiếp xúc với  (O). HD: Chứng minh: d = R A I N M E F K O B C                                          CM: Kẻ OI vuông góc với MN ­ Lấy FK = EM ­ CM: Tam giác OEM = tam giác OFK ­ CM: Tam giác OMN = tam giác OKN ­ Suy ra OI = FO = R µBài 6:  Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB 
  7. Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh S P A H D B C T O HD:                                       ­ Chứng minh tam giác SAP cân ­ AP = 1/2SH, DP = 1/2SH ­ Từ đó c/m được PD là tt theo nhiều cách. µ Bài 7:   Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt BC tại D và  cắt (O) tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. µBài 8: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến  AB, AC đến (O) (B, C là hai tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. AD cắt (O)  tại E. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.  µBài 9: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C  là các tiếp điểm) sao cho OA =  R 2 . Trên các cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm E  và F sao cho AE + EF + FA = 2R. Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O; R). HD : Tương tự bài 6. 7
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2