zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Phương pháp chứng minh tiếp tuyến

Chia sẻ: Bùi Hòa Thu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Báo xấu

307
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán về "Phương pháp chứng minh tiếp tuyến" gồm các ví dụ và bài giải để bạn học tập và kiểm tra. Mời các bạn tham khảo tài liệu để có thêm nhiều kiến thức căn bản về Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp chứng minh tiếp tuyến

Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp 1: Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) bằng bán kính R. ( Phương pháp này thường được dung khi chưa biết giao điểm của (d) và (O) ) 2. Phương pháp 2: Nếu biết đường thẳng (d) và (O) có một giao điểm A.  Ta chỉ cần chứng minh minh OA ⊥ d . 3. Phương pháp 3: A M B C Nếu MA2 = MB.MC → MA là tiếp tuyến Hoặc : Nếu GócMAB = gócMCA → MA là tiếp tuyến 4. Phương pháp 4: Phương pháp trùng khít( Phản chứng) Để chứng minh một đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) ta dựng đường thẳng (d’) là tiếp tuyến của (O) sau đó chứng minh (d) và (d’) trùng nhau. Do đó (d) là tiếp tuyến của (O). II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. µ Bài toán 1 : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đt AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho ∠ COD = 900. Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O). 1
Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh @Hướng dẩn giải Vẽ OH ⊥ CD ( H CD ) . Ta chứng minh OH = RO = C H OB. Tia CO cắt tia đối của tia By tại E. D Ta có: ∆OAC = ∆OBF ( g .c.g ) � OC = OE O Tam giác DEC có DO vừa là đường cao vừa là trung A B tuyến nên là tam giác cân. Khi đó DO cũng là đường phân giác. OH ⊥ DC , OB ⊥ DE � OH = OB . Ta có OH ⊥ CD, OH = OB = RO  CD là tiếp xúc với (O) tại H. E µBài toán 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của (I) và (J). @Hướng dẩn giải A Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta E chứng minh O ID ⊥ DE hay ∠ DOE = 90o D Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có:. B I H J C ∠BDH =∠CEH = 900  tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA.  ∆ ODH cân tại O ∠ODH = ∠OHD Ta cũng có ∆ IDH cân tại I ⇔∠IDH = ∠IHO.  có: ∠IDO +∠OHD =∠IHD + ∠IHA = 900 ⇔∠IDO = 900 ⇔ ID DE 2
Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh Ta có ID ⊥ DE , D ( I )  DE tiếp xúc với (I) tại D. Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với (J) tại E. µBài toán 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. @Hướng dẩn giải Gọi O là trung điểm của AH. AH Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có: DO = = OA = OH 2 AH Tam giác AEH vuông tại E có EO là trung tuyến nên ta có: EO = = OA = OH . 2 OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Tam giác OAD cân tại O) ⇒∠ODA = ∠OAD (1) BC ∆ BDC vuông tại D có DI là trung tuyến ⇒ DI = 2 = IC , ⇒ tam giác ICD cân tại I, ⇒ ∠ IDC = ∠DIC (2) H là giao điểm hai đường cao BD và CE A ⇒ H là trực tâm của ∆ ABC, ⇒ AH ⊥ BC tại F. Khi đó ∠ OAD ﾷﾷ + ICD = 90o (2) D Từ (1) , (2) và (3) ta có O E ∠ODA + ∠IDC = ∠OAD +∠ICD = 900 H Ta có OD ⊥ DI , D ( O ) ⇒ ID tiếp xúc với (O) tại D. Chứng minh tương tự ta cũng có IE tiếp B xúc với (O) tại E. (DPCM) F I C 3
Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh µBài toán 4: (Ta chứng minh bài 1 với phương pháp này.) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đt AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho ∠ COD = 900. Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường C tròn (O). D H D' @Hướng dẩn giải Từ C vẽ tiếp tuyến CD’ của đường tròn (O) (D’ A O B thuộc By) tiếp xúc với (O) tại tiếp điểm H. Ta có OC là phân giác của góc AOH (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Và OD’ là phân giác của góc BOH. Mà hai góc AOH và BOH là hai góc kề bù nên ∠ OCD’ = 900.  ta có ∠ COD’ = ∠COD= 900. mà D, D’ đều thuộc By nên suy ra D D . Vì CD’ là tiếp tuyến của (O)  CD cũng là tiếp tuyến của (O) . µBài toán 5: Cho tam giác ABC. Tia Ax khác phía với AC đối với đường thẳng AB thỏa ∠xAB = ∠ACB. Chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. @ Hướng dẩn giải A Vẽ tia tiếp tuyến Ay của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Ay cùng phía với Ax đối x với đường thẳng AB) O y Khi đó ta có ∠yAB = ∠ACB (góc giữa tia B C tiếp tuyến và dây cùng bằng góc nội tiếp chắn cung đó) Mà ∠xAB = ∠ACB ⇔∠xAB =∠yAB 4
Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh  Ax, Ay cùng phía đối với đường thẳng AB nên  Ax Ay . Mà Ay là tiếp tuyến của (ABC)  Ax cũng là tiếp tuyến của (ABC). II. NHẬN XÉT: 1. Phương pháp 1, 2 là tương đối quen thuộc và hầu hết các bài toán chứng minh tiếp tuyến đều dùng hai phương pháp này vì nó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa tiếp tuyến. Tuy nhiên hạn chế của hai phương pháp này là ta phải biết được tâm cũng như bán kính của đường tròn. 2. Phương pháp 4 là một phương pháp khá hay và hiệu quả, giúp ta giải được bài toán nhanh chóng và gọn nhẹ. Tuy nhiên không nhiều học sinh có thể vận dụng thành thạo để chứng minh các bài toán. 3. Bài 5 cho ta ý tưởng chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp một tam giác hoặc tiếp xúc với đường tròn mà tâm hoặc bán kính của nó xác định một cách khó khăn. Hạn chế của phương pháp này chính là khi chúng ta dựng tiếp tuyến, phải dựng thật hợp lí để chúng ta có thể chứng minh sự trùng khít dễ dàng hơn. 4. Tóm lại không có phương pháp nào là hoàn hảo và áp dụng dễ dàng cho mọi bài toán, chúng ta cần phải vận dụng linh hoạt 4 phương pháp trên trong việc chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN µBài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao 1 cho AC .BD = AB 2 . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4 1 HD: AC .BD = AB 2 → AC.BD = AO.BO → tam giác đồng dạng → đpcm 4 µBài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là trung điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C. Đường tròn đường kính MB cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI. HD: Dùng tứ giác nội tiếp… 5
Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh µBài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C thuộc nửa đường tròn. Vẽ CH ⊥ AB ( H AB ) . M là trung điểm CH, BM cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại P. Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn (O). HD: Dùng góc so le trong và góc trong cùng phía của hình thang µBài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm trên đoạn OB. Đường thẳng qua M vuông góc AB tại M cắt (O) tại C và D. AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q. AB cắt PQ tại I. Chứng IC và ID là tiếp tuyến của (O). HD: Tứ giác nội tiếp và tính đối xứng của đường tròn. µBài 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh NM tiếp xúc với (O). HD: Chứng minh: d = R A I N M E F K O B C CM: Kẻ OI vuông góc với MN Lấy FK = EM CM: Tam giác OEM = tam giác OFK CM: Tam giác OMN = tam giác OKN Suy ra OI = FO = R µBài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB
Phan Đình Ánh – Lộc Hà – Hà Tĩnh S P A H D B C T O HD: Chứng minh tam giác SAP cân AP = 1/2SH, DP = 1/2SH Từ đó c/m được PD là tt theo nhiều cách. µ Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. µBài 8: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là hai tiếp điểm). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. AD cắt (O) tại E. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE. µBài 9: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là các tiếp điểm) sao cho OA = R 2 . Trên các cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm E và F sao cho AE + EF + FA = 2R. Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O; R). HD : Tương tự bài 6. 7

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.