intTypePromotion=1

Tài liệu ôn thi đại học năm 2010 - 2011 môn toán

Chia sẻ: Đỗ Bình Dương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:71

0
272
lượt xem
148
download

Tài liệu ôn thi đại học năm 2010 - 2011 môn toán

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về ôn thi đại học năm 2010 - 2011 môn toán...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi đại học năm 2010 - 2011 môn toán

  1. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 Phần 1: HAM SỐ VÀ ĐỒ THỊ ̀ CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CUA HAM SỐ ̉ ̀ 1. Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm: Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) y’ ≥ 0 (y’ ≤ 0) ∀ x ∈ (a;b) ( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b)) 2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x): * PP1: B1: Tìm TXĐ B2: Tìm y ' và các điểm tới hạn x0 ( x0 ∈ TXĐ mà y ' ( x0 ) = 0 hoặc y ' ( x0 ) không XĐ) B3: Lập bảng biến thiên B4: Tìm cực trị nếu có Chú ý: Khi x vượt qua x0 mà y / đôi dâu từ (+) sang (-) thì tại x0 hs đạt giá trị cực đại ̉́ y đôi dâu từ (-) sang (+) thì tại x0 hs đạt giá trị cực tiểu / ̉́ y không đôi dâu thì tại x0 hs không đạt cực trị. / ̉ ́ * PP2: B1: Tìm TXĐ B2: Tìm y ' và các điểm tới hạn x0 ( x0 ∈ TXĐ mà y ' ( x0 ) = 0 hoặc y ' ( x0 ) không XĐ) B3: Tìm y”, y”( x0 ) và tìm cực trị nếu có Chú ý: Nếu y”( x0 ) < 0 thì tại x0 hs đạt giá trị cực đại Nếu y”( x0 ) > 0 thì tại x0 hs đạt giá trị cực tiểu Nếu y”( x0 ) = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị / 3. Ham số y = f(x) có n điểm cực trị y = 0 có n nghiệm phân biệt . ̀  f / ( x0 ) = 0  f / ( x0 ) = 0   4. f(x) đat cực đai tai x0 nêu  // ; f(x) đat cực tiêu tai x0 nêu ̣ ̣̣ ́ ̣ ̉ ̣ ́  //  f ( x0 ) < 0  f ( x0 ) > 0    f / ( x0 ) = 0  5. f(x) có đao ham và đat cực trị băng c tai x = x0 =>  ̣ ̀ ̣ ̀ ̣  f ( x0 ) = c  * BÀI TẬP: (1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của Hs sau: 16 3 x − x4 1/ y = x 4 + 8x 3 + 5 2/ y = 16x + 2x 2 - 3 3/ y = (1 − x 2 )3 4/ y = ( x + 1) (5 − x) 2 x +1 5/ y = (x + 2) 2 (x – 3) 3 6/ y = 2 x +8 x−2 x 4 + 48 7/ y = 8/ y = x + x +1 2 x 9/ y = 10/ y = x - 6. 3 x 2 x 2 .( x − 5) 3 11/ y = (7 − x). 3 x + 5 12/ y = x .( x − 3) x 2 − 2x − 3 13/ y = 14/ y = 25 − x 2 x 15/ y = 16/ y = x 2 − x − 20 x + 100 x x3 17/ y = 18/ y = 10 − x 2 x2 − 6 19/ y = cosx - sinx 20/ y = sin 2x (2) Chứng minh bất đẳng thức: 1
  2. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 π π x3 a/ tanx > x (0 x + (0 2x ( 0 < x < ) d/ 22sinx + 2t anx > 2 2 +1 (00 ) e/ 1 + x − < 1 + x < 1 + g/ a - < sina < a 2 8 2 6 (3) Cho hàm số: (m: tham số) y = x3 − mx 2 + m a/ Tùy theo m, hãy xét sự biến thiên của y. b/ Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2) (4) Tìm m để hàm số: x3 đồng biến trong khoảng (0; + ∞ ) − ( m + 2) x 2 + (2m + 7) x − 3m a/ y = 3 x3 x2 b/ y = − + (3m − 1) − (2m 2 − 2m) x + m đồng biến trong khoảng (0; 2) 3 2 (5) Tìm m để hàm số: (2m + 1) x − 2m − 2 nghịch biến trên từng KXĐ của nó a/ y = mx + m 2 − 1 x 2 − mx − 2 m 2 + 4 nghịch biến trong khoảng (0;2) b/ y = x+m x + (2m − 1) x + m 2 + 1 2 đồng biến trong khoảng (- ∞ ; -1) c/ y = x −1 (6) Tìm m để hs: x3 a/ y = − − (m 2 − m + 2) x 2 − (3m 2 + 1) x − m đạt cực trị tại x = -2 3 b/ y = (m 2 − 1) x 4 + 3mx 2 + m 2 − 8 có ba điểm cực trị 13 c/ y = x − mx + (m − m + 1) x + 1 2 2 đạt cực đại tại x = 1 3 x 2 + mx +1 đạt cực tiểu tại x = 2 d/ y = x+m 3 (7) Tìm a ; b để hs : y = x 4 + ax 2 + b có một cực trị bằng khi x = 1 2 1 (8) Cho hàm số y = x − mx − x + m + 1 (Cm ) . 3 2 3 a. CMR : với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị . b. Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất (9) Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 . Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác đều (10) Tìm m để hàm số y = x 4 + (m − 1) x 2 + 1 − m có một cực trị (11) Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m . Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn a) Lập thành một tam giác đều b) Lập thành một tam giác vuông c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4 x 2 + mx − 2 (12) Cho hàm số y = . Xác định m để mx − 1 2
  3. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có cực đại , cực tiểu với hoành độ thoả mãn x1 + x2 = 4x1x2 c) Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương x 2 + mx + 1 (13) Cho hàm số y = . Xác định m để x+m a. Hàm số có cực trị b. Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0;m) (m > 0) c. Hàm số có cực đại tại x = 2 − x 2 + mx − m 2 (14) Cho hàm số y = . Xác định m để x−m a. Hàm số có cực trị b. Với m vừa tìm được ở câu a) , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số x 2 − 2mx + 3m 2 (15) Cho hàm số y = . Xác định m để x − 2m Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của trục Ox x 2 + mx − m + 8 (16) Cho hàm số y = . Xác định m để x −1 Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng có phương trình 9x – 7y – 1 = 0. x 2 − (m + 1) x − m 2 + 4m − 2 (17) Cho hàm số y = . Xác định m để x −1 a. Hàm số có cực trị b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. 5 23 a x + 2ax 2 − 9x + b (18) Tìm a; b để hs : y = có cực đại, cực tiểu là những số dương và 3 5 là điểm cực đại. x0= - 9 (m + 1) x 2 − 2mx - m3 + m2 + 2 với m ≠ -1 (19) Cho hàm số: y = f ( x) = x−m a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu. b/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0 ; 2). x+3 (20) Cho hàm số: y= x2 + 1 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số. b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m x 2 + 1 x+m (21) Cho hàm số: y= x2 + 1 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số. b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + m = m x 2 + 1 (22) Tìm a để hàm số: y = x 4 + 8ax 3 + 3(1 + 2a ) x 2 − 4 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại (23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = -2x + 2 + a x 2 − 4 x + 5 có cực đại (24) Cho hàm số: f(x) = x n + (c − x) n trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1 a/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số. 3
  4. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 a + b n an + bn với a, b∈ R thỏa a + b ≥ 0, n ∈ Z + . )≤ b/ Từ kết quả trên hãy chứng minh: ( 2 2 Xét xem đẳng thức khi nào xảy ra. (25) CMR pt: (n + 1) x n + 2 − 3(n + 2) x n+1 + a n+ 2 = 0 không có nghiệm khi n chẵn và a > 3. x n+2 x n+ 2 x2 + + +a =0 (26) Biện luận theo a số nghiệm của pt: 2n + 2 n + 2 2 x2 y2 xy (27) Chứng minh: 3( 2 + 2 ) − 8( + ) + 10 ≥ 32 với x.y < 0 y x yx x y z 33 (28) Cho x, y, z dương thỏa x 2 + y 2 + z 2 = 1 . C/m: +2 +2 ≥ y +z z +x x +y 2 2 2 2 2 CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THĂNG ĐI QUA HAI ĐIÊM CỰC TRỊ ̉ ̉ y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) ̀ ̣ * HAM BÂC BA: (C) y / = f / ( x) = 3ax 2 + 2bx + c . Để Hs có cực trị thì y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ( ∆ y ' > 0) Chia f(x) cho f/(x) ta được y = f ( x) = f / ( x ).q ( x) + α x + β  y1 = α x1 + β Gọi (x 1 ;y 1 ), (x 2 ;y 2 ) là hai điểm cực trị, ta có:   y2 = α x2 + β => Phương trinh đường thăng đi qua hai điêm cực tri: y = α x + β . ̀ ̉ ̉ ̣ ax 2 + bx + c y= (aa1 ≠ 0) * HAM HỮU TI: ̀ ̉ a1 x + b1 aa1 x 2 + 2ab1 x + bb1 − a1c Ta có: y = / ( a1 x + b1 ) 2 Hàm số có cực trị khi phương trình g(x) = aa1 x 2 + 2ab1 x + bb1 − a1c = 0 ∆ / > 0 b1 có hai nghiệm phân biệt khác x0 = −   g ( x0 ) ≠ 0 a1 2ax1 + b   y1 = a  1 Gọi (x 1 ;y 1 ), (x 2 ;y 2 ) là hai điểm cực trị, ta có:   y = 2ax2 + b 2 a1  2ax + b => Phương trinh đường thăng đi qua hai điêm cực tri: y = ̀ ̉ ̉ ̣ a1 * BÀI TẬP: (29) Tìm cực trị của Hs sau: x 2 + 2x+3 x3 − 2x 2 + x + 1 a/ y = b/ y = 3 x-1 (30) Cho hàm số : y = x3 − 3mx 2 + 9 x + 3m − 5 a/ Xác định m để đồ thị có 2 điểm cực trị. b/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị. x 2 + (m + 1) x − m + 1 (31) Cho hàm số : y = x−m a/ Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu. 4
  5. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 b/ Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu. c/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. − x2 + 3x + m (32) Cho hàm số : y = x−4 Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : ymax − ymin = 4 2 x 2 − 3x + m (33) Cho hàm số : y = x−m Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : ymax − ymin > 8 (34) Cho hàm số : y = x3 − 6 x 2 + 3(m + 2) x − m − 6 Xác định m để : a/ Hàm số có 2 cực trị. b/ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu c/ Phương trình x3 − 6 x 2 + 3(m + 2) x − m − 6 = 0 có ba nghiệm phân biệt. (35) Cho y = f(x) = ( x + a )3 + ( x + b)3 − x 3 a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu. b/ Chứng minh với mọi a, b phương trình: ( x + a )3 + ( x + b)3 − x3 = 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt. CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x) 1/ Phương pháp tìm tiệm cận: - Đứng: - Ngang: - Xiên: 2/ BÀI TẬP: (36) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: 2x 2 − 5x +1 a) y = d) y = 2x + x 2 + 1 x-2 3x 3 + 4 b) y = e) y = x2 + x + 1 ( x − 1).( x − 2) 2 x2 − 2 x + 2 3x +1 c) y = g) y = x2 + x +1 x -1 (37) Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: m 2 x 2 − 2mx − 3 x+2 a) y = 2 b) y = x − 4x + m x +1 (38) Tìm m để đồ thị hs: mx 2 − 2m(m − 1) x − 3m 2 + m − 2 có tiệm cận xiên đi qua điiểm A(-1; -3) b) y = x+2 x 2 + mx −1 có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng c) y = x -1 8 -3x 2 + mx + 4 có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 d) y = 4x + m (39) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số : 5
  6. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 2x 2 + 3x + 6 đến hai tiệm cận không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó. y= x+2 x2 − x +1 có đồ thị (C) (40) Cho hs : y = 1− x Tìm M ∈ (C) sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất ax 2 +bx + c (41) Tìm a, b, c để hs: y = có một cực trị bằng 1 khi x = 1 và t/c xiên vuông góc với x-2 1 đường thẳng y = (1- x) 2 CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x) B1: Tập xác định B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có) B3: Chiều biến thiên: (Tìm y’; nghiệm của y’; lập bảng biến thiên) B4: Điểm uốn (Tìm y’’ ; xét dấu y’’ ; suy ra khoảng lồi lõm và điểm uốn) B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị) CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho 2 đường: (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x). Pt hoành độ giao điểm của hai đường là : f(x) = g(x) (*) Số nghiệm của Pt (*) là số giao điiểm của hai đường (C1) & (C2)  f ( x) = g ( x ) Điều kiện tiếp xúc: để (C1) tiếp xúc (C2), điều kiện là hệ Pt :  có nghiệm  f '( x) = g '( x) * BÀI TẬP: (42) Cho (C) : y = x 4 - 5x 2 + 4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x 2 + m . Tìm tọa độ các tiếp điểm (43) Cho (C) : y = x 4 - (m 2 + 10)x 2 + 9 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 0 b) CMR với m ≠ 0, đồ thị luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3 ; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3 ; 3) (44) Cho (C m ) : y = 2x 3 + 3(m – 3)x 2 + 11 – 3m 19 a) Tìm pt các đường thẳng qua A( ; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C 2 ) của hs 12 b) Tìm m để (C m ) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị M 1 ; M 2 và B(0 ; -1) thẳng hàng (45) Cho (C) : y = 2x 3 - x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x 1 ; x 2 ; x 3 . Tính tổng: x1 + x2 + x3 ? 2 2 2 2x +1 (46) Cho (C) : y = −x +1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một nhánh. 6
  7. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 x +1 (47) Cho hs : y = x -1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất −2 x + 1 (48) Cho (C) : y = x +1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 2 . Tìm tọa độ của A ; B 2x +1 (49) Cho (C) : y = x+2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 5 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ). Tìm hệ thức giữa x 1 ; x 2 độc lập với m x2 − 2x + 4 (50) Cho hàm số y = x−2 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. a) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. b) − x2 + x + m (51) Cho (C) : y = x+m a) Tìm m để tiệm cận xiên đi qua điểm M(2 ;0). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m tìm được. b) Tìm m để đường thẳng y = x – 1 luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ). Tìm hệ thức giữa y 1 ; y 2 không phụ thuộc vào m x2 + x − 2 (52) Cho (C) : y = x−2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Gọi A là điểm cực đại của (C). Tìm m để đường thẳng (d) : x + 2y – 2m = 0 cắt (C) tại hai điểm B ; C sao cho ∆ ABC vuông ở A. x2 − 2 x − 3 (53) Cho (C) : y = x−2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B sao cho đường thẳng AB cùng phương với y = - x ; đồng thời độ dài AB ngắn nhất 2 x2 − 2 x + 1 (54) Cho (C) : y = 2x −1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A ; B sao cho ∆ OAB có diện 10 tích bằng (đvdt) 9 7
  8. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x) 1. Điều kiện tiếp xúc : Cho hai hs : y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).  f ( x) = g ( x) (C) tiếp xúc với (C’)  có nghiệm x 0 (x 0 là hoành độ tiếp điểm)  f '( x) = g '( x) 2. Các dạng bài tập về Phương trình tiếp tuyến (pttt) : Dạng 1 : Viết pttt với (C) : y = f(x) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) PPG : - Tìm y’(x 0 ) => Pttt : y = y’(x 0 ).(x - x 0 ) + y 0 Dạng 2 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt đi qua điểm A( x A ; y A ) PPG : - Pttt có dạng : y = k.(x - x A ) + y A  f ( x) = k.(x - x A ) + y A - Áp dụng điều kiện tiếp xúc  để tìm k => Pttt  f '( x) = k Dạng 3 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt có hệ số góc bằng k PPG : - Pttt có dạng : y = k.x + b  f ( x) = k.x + b - Áp dụng điều kiện tiếp xúc  để tìm b => Pttt  f '( x) = k * BÀI TẬP : (55) a. Cho hàm số y = x − 3x + 2 (C ) 3 2 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với ∆ : 3x − 5 y − 4 = 0 b. Cho hàm số y = x + x − 2 (C ) 4 2 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với ∆ : 6 x + y − 1 = 0 1 1 c. Cho hàm số y = x 4 − x 2 , (C ) . Viết pttt kẻ từ gốc toạ độ đến đồ thị của hàm số 2 2 x+2 d. Cho hàm số y = , (C ) . Viết pttt đi qua điểm A(-6;5) với đồ thị của hàm số x−2 3( x + 1) (56) Cho hàm số y = , (C ) . x−2 a. Viết pttt đi qua điểm O(0 ; 0) với đồ thị của hàm số b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên x 2 + 3 x + 4m (57) a. Cho hàm số y = Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông x +1 góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất? x2 + 2x + 2 b. Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số y = sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc x +1 với tiệm cận xiên của (C). c. Cho hàm số y = x 3 − 3x, (C ) . Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó c1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) c2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) c3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) d. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1, (C ) . Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó d1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) d2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) d3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) d4. Kẻ được 4 tiếp tuyến với (C) 1 m2 1 (58) Cho hàm số y = x − x+ 3 (Cm ) 3 2 3 8
  9. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2 b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. (59) Cho hs : y = 4x 3 − 3x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 3 b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại điểm A(- ; 1) và tìm giao 2 điểm B (khác A) của (d) và (C) 1 5 (60) Cho hàm số y = x − 3x + 4 2 2 2 c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs d) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x M = a . Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt (C) tại hai điểm khác M. (61) Cho hs : y = 2x 3 − 3x 2 − 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2 b) CMR qua điểm A(- ; -1) ta kẻ được ba tiếp tuyến với (C), trong đó có hai tiếp tuyến 27 vuông góc với nhau (62) Cho hs : y = x3 + 3x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với (C) ; trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (63) Cho hs : y = x3 − 3x 2 + 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 23 b) Lập Pttt với (C) đi qua điểm A( ; -2) 9 c) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (64) Cho hs : y = x 3 + 3x 2 + mx +1 có đồ thị là (C m ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0 b) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm A(0 ; 1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau (65) Cho hs : y = − x 3 + 3x 2 − 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm điểm M∈ (C) sao cho qua M ta kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với (C) x−2 (66) Cho hs : y = x +1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Viết Pttt ( ∆ ) với (C) tại điểm A(a ; y) với a ≠ -1 c) Tính khoảng cách từ M(-1 ; 1) tới ( ∆ ). Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất x+3 (67) Cho hs : y = x +1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tiếp tuyến tại điểm S∈ (C) cắt hai tiệm cận tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm của PQ 13 x − 3x + m và y = x 2 (68) Cho 2 hs : y = 3 a) Tìm m để đồ thị các hs trên tiếp xúc nhau 9
  10. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 b) Viết Pttt chung của hai đồ thị ứng với m tìm được. x 2 − 2mx + m (69) Cho hs : y = x+m a) CMR nếu đồ thị hs cắt Ox tại x = x 0 thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là : k = 2 x0 − 2m x0 + m b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 2 điểm và hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. CHỦ ĐỀ 7 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT : F(x,m) = 0 BẰNG ĐỒ THỊ * Chú ý : Số nghiệm của pt : f(x) = g(x) là số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) (70) Cho hs : y = x 3 − 2x 2 + x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm của Pt : x 3 − 2x 2 − m = 0 (71) Cho hs : y = - (x +1) 2 (x + 4) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt : (x +1) 2 (x + 4) = (m +1) 2 (m + 4) (72) Cho hs : y = (x +1) 2 (2 − x ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt : (x +1) 2 (2 − x) = (m +1) 2 (2 − m) CHỦ ĐỀ 8 : ĐỒ THỊ HAM SỐ CHỨA DÂU GIÁ TRỊ TUYÊT ĐÔI ̀ ́ ̣ ́ Từ đồ thị (C) của ham số y = f ( x) , suy ra: ̀ 1. Đồ thị hàm số (C1): y1 = f ( x ) . Ta có y1 = f ( x ) = f ( − x ) : đây là ham số chăn nên (C1) nhân truc tung lam truc đôi xứng. ̀ ̃ ̣ ̣ ̀ ̣ ́ Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) băng cach: ̀ ́ • Giữ nguyên phân đồ thị (C) năm bên phai truc Oy ̀ ̀ ̉ ̣ • Bỏ phân đồ thị (C) bên trai truc Oy và lây đôi xứng phân bên phai cua (C) qua truc Oy. ̀ ́ ̣ ́ ́ ̀ ̉̉ ̣ 2. Đồ thị hàm số (C1): y1 = f ( x)  y nêu f(x) ≥ 0 Ta co: y1 =  Vì y1 ≥ 0 nên (C1) ở phia trên cua truc Ox. ́ ́ ̉ ̣ -y nêu f(x) ≤ 0 Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) băng cach: ̀ ́ • Giữ nguyên phân đồ thị (C) ở phia trên truc Ox ̀ ́ ̣ • Bỏ phân đồ thị (C) năm phia dưới truc Ox và lây đôi xứng cua phân đồ thị nay qua truc Ox ̀ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̉ ̀ ̀ ̣ Đồ thị hàm số y1 = f ( x) 3. Nêu y1 ≥ 0 => y1 = f ( x ) : (C1 ) ≡ (C ) ở trên truc Ox. • ́ ̣ Nêu y1 ≤ 0 => y1 = − f ( x) : (C1 ) đôi xứng với (C) ở trên truc Ox qua Ox. • ́ ́ ̣ Đồ thị (C1) được suy ra từ (C) băng cach ̀ ́ • Giữ nguyên phân đồ thị cua (C) ở phia trên Ox ̀ ̉ ́ • Bỏ phân đồ thị ở dưới Ox và lây đôi xứng phân đồ thị cua (C) ở trên truc Ox qua truc Ox. ̀ ́ ́ ̀ ̉ ̣ ̣ P ( x) 4. Cho ham số y = ̀ có đồ thị (C) Q( x) 10
  11. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011  P ( x) nêu Q(x) > 0 P ( x)  Q( x)  a. Vẽ đồ thị (C1): y1 = = Q( x)  P(x) nêu Q ( x) < 0 -  Q(x)  Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) băng cach: ̀ ́ Q( x) > 0 giữ nguyên • Phân đồ thị (C) ở miên ̀ ̀ • Bỏ phân đồ thị (C) ở miên Q( x) < 0 và lây đôi xứng cua phân nay qua truc Ox. ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̀ ̀ ̣  P( x) nêu P(x) ≥ 0 P ( x)  Q( x)  b. Vẽ đồ thị (C1): y1 = = Q( x)  P(x) nêu P ( x ) ≤ 0 -  Q(x)  Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) băng cach: ̀ ́ P ( x ) ≥ 0 giữ nguyên • Phân đồ thị (C) ở miên ̀ ̀ • Bỏ phân đồ thị (C) ở miên P ( x ) ≤ 0 và lây đôi xứng cua phân nay qua truc Ox. ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̀ ̀ ̣ * BÀI TẬP: (73) Cho hs : y = x 3 - 3x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 3 b) Tìm m để Pt : x - 3x + 1 - 2m 2 + m = 0 có 6 nghiệm phân biệt (74) Cho hs : y = - x 4 + 2x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để Pt : 1 - 3m 3 + 2m 2 - (1 - x 2 ) 2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt (75) Cho hs : y = - x 4 − x 2 + 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để Pt : x + x − 2 + m + 3m = 0 có 4 nghiệm phân biệt 4 2 2 (76) Cho hs : y = x 3 - 3mx 2 + (m – 1)x + 2 a) Tìm m để hs có cực tiểu tại x = 2. khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm được b) Biện luận số nghiệm của Pt : (x 2 - 2x – 2). x − 1 = k theo tham số k. x −1 (77) Cho hs : y = 2x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm m để Pt : 2m 4x 2 + 4x+1 = x - 1 có đúng một nghiệm 3x + 1 (78) Cho hs : y = x-2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Tìm trên (C) hai điểm M ; N đối xứng nhau qua điểm A(-2 ; -1) 3 x +1 c) Từ (C) suy ra đồ thị hs y = x -2 − x2 + x + 2 (79) Cho hs : y = x+2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. C/m đồ thị có tâm đối xứng b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên x2 − x − 2 c) Từ (C) suy ra đồ thị hs y = − x+2 CHỦ ĐỀ 9: BIÊN LUÂN SỐ GIAO ĐIỂM CUA (C) VỚI TRUC HOANH ̣ ̣ ̉ ̣ ̀ 11
  12. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 y = f ( x, m) = ax 3 + bx 2 + cx + d I. Hàm số bậc ba: (C) 1. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  y / = 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2 ĐK  Giải hệ này tìm m. PP1:  f ( x1 ). f ( x2 ) < 0 PP2: - Đoán nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1) - Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ; ∆ > 0 trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa  Giải hệ này tìm m.  g ( x0 ) ≠ 0 2. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương  y / = 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2   f ( x1 ). f ( x2 ) < 0 PP1: ĐK ĐK  Giải hệ này tìm m. 0 < x1 < x2  a. y (0) < 0  Đoán nhận x 0 >0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 PP2: - (1) Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ; - ∆ > 0 P > 0  trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa:  Giải hệ này tìm m. S > 0  g ( x0 ) ≠ 0  3. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm  y / = 0 co 2 nghiêm x1 < x2   y .y < 0  max min  a. y (0) > 0 x < x < 0 1 2  y / = 0 co 2 nghiêm x1 < x2   y .y < 0 α  max min 4. (C) căt Ox tai 3 điêm có hoanh độ lớn hơn ́ ̣ ̉ ̀  a. y (α ) < 0 α < x < x  1 2  y / = 0 co 2 nghiêm x1 < x2   y .y < 0 α  max min * (C) căt Ox tai 3 điêm có hoanh độ nhỏ hơn ́ ̣ ̉ ̀  a. y (α ) > 0 x < x < α 1 2  y / = 0 co 2 nghiêm x1 < x2   ymax . ymin < 0 * (C) căt Ox tai 3 điêm, trong đó có hai điêm có hoanh độ âm  ́ ̣ ̉ ̉ ̀  a. y (0) < 0 x < 0 1  y / = 0 co 2 nghiêm x1 < x2   ymax . ymin < 0 * (C) căt Ox tai 3 điêm, trong đó hai điêm có hoanh độ dương  ́ ̣ ̉ ̉ ̀  a. y (0) > 0 x > 0 2 12
  13. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 5. Tìm m để (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt  y / = 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2  Giải hệ này tìm m. PP1: ĐK  f ( x1 ). f ( x2 ) = 0 Đoán nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 PP2: - (1) Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ; - ∆ = 0 ∆ > 0 hoac trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa  Giải hệ tìm   g ( x0 ) ≠ 0  g ( x0 ) = 0 m. 6. Tìm m để (C) cắt Ox tại 1 điểm  ∆ y' ≤ 0  ĐK   y / = 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2 Giải tìm m. PP1:    f ( x1 ). f ( x2 ) > 0 Đoán nhận x 0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 PP2: - (1) Chia f(x; m) cho (x - x 0 ) đưa (1) về dạng: (x - x 0 ).g(x) = 0 ; - ∆ = 0 trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa ∆ < 0 hoac  Giải hệ tìm m.  g ( x0 ) = 0 7. Tìm m để (C) có hai điêm cực trị M 1 ( x1; y1 ); M 2 ( x2 ; y2 ) năm khac phia đôi với đường ̉ ̀ ́ ́ ́  y = 0 c ó 2 nghiêm x1 ; x2 / thăng (D): Ax + By + C = 0  ̉ ( Ax1 + By1 + C )( Ax2 + By2 + C ) < 0 8. Tìm m để ham số đat cực trị tai x1 ; x2 thoa man hệ thức F ( x1 ; x2 ) = 0 (1) ̀ ̣ ̣ ̉ ̃ • Điêu kiên để ham số có cực đai, cực tiêu la: ̀ ̣ ̀ ̣ ̉̀ a ≠ 0  y / = 0 có hai nghiêm phân biêt x1 ; x2  ̣ ̣ => điêu kiên cua tham số m ̀ ̣ ̉ ∆ y/ > 0   b  x1 + x2 = − a   c • x1 và x2 thoa man hệ thức (1)  x1.x2 = ̉ ̃ a   F ( x1 ; x2 ) = 0   • Giai hệ suy ra m. So sanh điêu kiên nhân hay loai giá trị cua m ̉ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ymax ; ymin ta nên lam theo thứ tự sau: Chú y: Để tinh ́ ́ ̀ 1. Viêt phương trinh đường thăng đi qua hai điêm cực trị cua ham số y = α x + β ́ ̀ ̉ ̉ ̉ ̀ 2. Nêu x1 ; x2 đơn gian thì tinh thăng x1 ; x2 . Khi đó ymax . ymin = (α x1 + β )(α x2 + β ) ́ ̉ ́ ̉ Nêu x1 ; x2 phức tap thì sử dung đinh lí Viet ́ ̣ ̣ ̣ 3. ymax . ymin = (α x1 + β )(α x2 + β ) = α 2 P + αβ S + β 2 II. HAM SỐ TRUNG PHƯƠNG: y = ax + bx + c 4 2 ̀ ̀ x = 0 (1) y / = 4ax 3 + 2bx = 2 x(2ax 2 + b) . Cho y / = 0 2 x(2ax 2 + b) = 0   2ax + b = 0 2 (2) • Ham số có 3 cực trị (2) có hai nghiêm phân biêt khac 0 a.b < 0 ̀ ̣ ̣ ́ • Ham số có 1 cực trị (2) VN hoăc có 1 nghiêm băng 0 hoăc có môt nghiêm kep ̀ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ 13
  14. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 a = 0 & b ≠ 0   a ≠ 0 & ab ≥ 0 ax 2 + bx + c y= III. HAM SỐ HỮU TỈ ̀ b/ x + c/ y / = 0 g ( x) = ab / x 2 + 2ac / x + bc / − cb / (b / x + c / ≠ 0)  ab / ≠ 0  1. Ham số có cực đai và cực tiêu y = 0 có 2 nghiêm phân biêt  / ̀ ̣ ̉ ̣ ̣ ∆ g > 0  y / = 0 vô nghiêm hoăc có nghiêm kep 2. Ham số không có cực trị ̀ ̣ ̣ ̣ ́  ab / ≠ 0 ab / ≠ 0   3. Đ.thị có 2 cực trị năm cung phia với Ox ∆ g > 0 ∆ g > 0 ̀ ̀ ́    ymax . ymin > 0  y = 0 co 2 nghiêm phân biêt  ab / ≠ 0  ab / ≠ 0  4. Đ.thị có 2 cực trị năm 2 phia với Ox ∆ g > 0  ̀ ́  y = 0 vô nghiêm  ymax . ymin < 0  * BÀI TẬP: m −1 3 (80) a. Tìm m để hs : y = x + mx 2 + (3m – 2)x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 3 b. Tìm m để pt : x 3 + 3x 2 - 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt (81) a. Tìm m để hs : y = x 3 - 3x 2 - 9x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó b. Tìm a, b để pt : x 3 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó (82) a. Giả sử pt : x 3 - x 2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. CMR : a 2 + 3b > 0 d. Tìm a để pt : x 3 - x 2 + 18ax – 2a = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt b. Tìm a để pt : x 3 - 3x 2 + a = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 1 c. Cho HS: y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 e. Cho HS: y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1)x – m 2 + 1 (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm (83) Cho HS: y = x 3 - mx 2 + (2m + 1)x – (m + 2) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A(1 ; 0) ; B ; C thỏa : 2 2  OA   OA  19 ÷ + ÷=   OB   OC  48 13 2 (84) Cho HS: y = x - mx 2 - x + m + (C m ) 3 3 Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1 ; x 2 ; x 3 thỏa : x12 + x2 + x3 > 15 2 2 (85) Cho HS: y = 2x 3 - 3(m + 2)x 2 + 6(m + 1)x – 3m + 6 (C m ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = - 1 14
  15. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 b) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (86) Cho hs : y = (x + a) 3 + (x + b) 3 - x 3 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi a = 1 , b = 2 b) Tìm điều kiện đối với a, b để hs (1) có cực đại cực tiểu c) CMR ∀ a, b phương trình (x + a) 3 + (x + b) 3 - x 3 = 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt (87) Cho hs : y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 3(m – 1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0 b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó (88) Cho hs : y = - x 4 + 2(m + 1)x 2 - 2m – 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0 b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH 1. Các công thức : * Khoảng cách giữa hai điểm A(x 1 ; y 1 ) ; B(x 2 ; y 2 ) là : AB = (x 2 - x1 ) 2 + (y 2 - y1 ) 2 Nếu AB // Ox thì AB = x2 − x1 - Nếu AB // Ox thì AB = y2 − y1 - Ax 0 + By0 + C * Khoảng cách từ M( x 0 ; y0 ) tới đường thẳng ( ∆ ): Ax + By + C = 0 là: d = A2 + B 2 2. BÀI TẬP: 2x +1 (89) Cho hs : y = x+1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Tìm điểm M∈ (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận bé nhất x +1 (90) Cho hs : y = x-1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) CMR đường thẳng 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị tại hai điểm A, B trên 2 nhánh của (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất x −1 (91) Cho hs : y = x+1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Tìm điểm M∈ (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất x2 − 3 (92) Cho hs : y = x-2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Tìm điểm M∈ (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất x2 − x − 2 (93) Cho hs : y = x+2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. 15
  16. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 b) Tìm điểm M∈ (C) và cách đều hai trục tọa độ 2x +1 (94) Cho hs : y = x-1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. x b) Tìm điểm M∈ (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ( ∆ ): y = 1 - đạt giá trị 3 bé nhất. Trong trường hợp này, c/m ( ∆ ) song song với tiếp tuyến của (C) tại M. (95) Cho hs : y = x 3 + 3x 2 - 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của (C). Tìm m để tổng k/c từ A và B đến đường thẳng ( ∆ ): 3mx + 3y + 2m + 2 = 0 đạt GTLN, NN. CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ 1. Kiến thức liên quan : - Tập D được gọi là đối xứng nếu x∈ D thì –x∈ D - Hàm số y = f(x) được gọi là hs chẵn nếu thỏa 2 ĐK : 1. Tập xác định D đối xứng 2. f(–x) = f(x) - Hàm số y = f(x) được gọi là hs lẻ nếu thỏa 2 ĐK : 1. Tập xác định D đối xứng 2. f(–x) = – f(x) - Đồ thị hs chẵn nhận Oy làm trục đối xứng ; Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng 2. BÀI TẬP: (96) Xác định tính chẵn, lẻ của hs : 2011 1+ x  a/ y = (x – 1) + (x + 1) b/ y = log  c/ y = sinx + cosx 2010 2010 ÷  1− x  (97) CM đồ thị hs : b a/ y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có trục đối xứng là đường thẳng x = - 2a a+b có trục đối xứng là đường thẳng x = b/ y = (x – a) 2010 + (x – b) 2010 2 a+b có trục đối xứng là đường thẳng x = c/ y = (x – a) 2010 + (x – b) 2010 2 a+b có tâm đối xứng là I( d/ y = (x – a) 2011 + (x – b) 2011 ; 0) 2 e/ y = x 4 - 4x 3 - 2x 2 + 12x - 1 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Tìm giao của đồ thị với trục hoành có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 g/ y = x 4 - 4x 3 + 8x + 3 Tìm giao của đồ thị với trục hoành 16
  17. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 x −1 (98) Cho hs : y = x+1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) CMR đường thẳng (d): y = x + 2 là trục đối xứng của (C) x2 (99) Cho hs : y = x-1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x - 1 x2 − 2 x + 2 (100) Cho các đường : (C) : y = ; (D1) : y = x + 3 ; (D2) : y = - x + m. x −1 Tìm m để (D2) cắt (C) tại hai điểm A ; B đối xứng nhau qua (D1) MộT Số BAI TẬP TRONG CAC ĐỀ THI ĐH : ̀ ́ mx 2 + (3m 2 − 2) x − 2 Câu 1 : (A08) Cho ham số y = ̀ (1), với m là tham số thực. x + 3m a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 1 ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Tim cac giá trị cua tham số m để goc giữa hai đường tiêm cân cua đồ thị ham số (1) tao với ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ̣́ ̀ 0 nhau môt goc băng 45 .  ∆1 : ax + by + c = 0 2 HD: b. Tim hai đường tiêm cân:  ̀ ̣ ̣ => cos(∆1 ; ∆ 2 ) = ∆ 2 : a x + b y + c = 0 / / / 2 Câu 2: (B08) Cho ham số y = 4 x − 6 x 2 + 1 (2) 3 ̀ a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Viêt phương trinh tiêp tuyên cua đồ thị ham số (2), biêt tiêp tuyên đó đi qua điêm M(-1;-9) ́ ̀ ́ ́ ̉ ̀ ́́ ́ ̉ y = x 3 − 3 x 2 + 4 (3) Câu 3: (D08) Cho ham số ̀ a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (3) ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Chứng minh răng moi đường thăng đi qua điêm I(1;2) với hệ số goc (k > -3) đêu căt đồ thị ̀ ̣ ̉ ̉ ́ ̀ ́ (C) tai ba điêm phân biêt I, A, B đông thời I là trung điêm cua đoan thăng AB. ̣ ̉ ̣ ̀ ̉ ̉ ̣ ̉ HD: b) Goi d là đường thăng đi qua I và có hệ số goc k ̣ ̉ ́ Lâp phương trinh hoanh độ giao điêm cua d với (C) ̣ ̀ ̀ ̉ ̉ Điêu kiên để phương trinh hoanh độ giao điêm có ba nghiêm thoa điêu kiên xA + xB = 2 xI ̀ ̣ ̀ ̀ ̉ ̣ ̉ ̀ ̣ x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m Câu 4: (A07) Cho ham số y = ̀ (1), với m là tham số thực. x+2 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = - 1 ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Tim tham số m để ham số (1) có cực đai và cực tiêu, đông thời hai điêm cực trị cua đồ thị ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ̉ ̉ cung với goc toa độ O tao thanh môt tam giac vuông tairO.r ̀ ̣́ ̣ ̀ ̣ ́ ̣ uuu uuu HD:b) – Tim hai điêm cực trị A; B ; - Giai phương trinh OA.OB = 0 => m là giá trị cân tim. ̀ ̉ ̉ ̀ ̀̀ Câu 5: (B07) Cho ham số y = − x + 3x + 3(m − 1) x − 3m − 1 (1), m là tham sô. 3 2 2 2 ̀ ́ a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 1. ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Tim tham số m để ham số (1) có cực đai, cực tiêu và cac điêm cực trị cua đồ thị ham số (1) ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ̀ ̣́ ̣ cach đêu gôc toa đô. HD: b) Tim hai điêm cực trị A; B. Giai phương trinh OA = OB => m là giá trị cân tim. ̀ ̉ ̉ ̀ ̀̀ 2x Câu 6: (D07) Cho ham số y = ̀ (1) x +1 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) ̉ ́ ́ ̉ ̀ 17
  18. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 b. Tim toa độ điêm M thuôc (C), biêt tiêp tuyên cua (C) tai M căt hai truc toa độ Ox, Oy tai A, ̀ ̣ ̉ ̣ ́́ ́ ̉ ̣ ́ ̣̣ ̣ 1 B và tam giac OAB có diên tich băng ́ ̣́ ̀ 4 1 1 HD: Goi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) => toa độ điêm A, B => AO.OB = => điêm M ̣ ̣ ̉ ̉ 2 4 Câu 7: (A06) a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 ̉ ́ ́ ̉ ̀ 3 a. Tim tham số m để phương trinh sau có 6 nghiêm phân biêt 2 x − 9 x + 12 x = m 2 ̀ ̀ ̣ ̣ 3 HD: Vẽ đồ thị cua hs y = 2 x − 9 x 2 + 12 x , biên luân số giao điêm cua (C) với đường thăng y = m ̉ ̣ ̣ ̉ ̉ ̉ x2 + x + 1 Câu 8: (B06) Cho ham số y = ̀ (1) x+2 b. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) ̉ ́ ́ ̉ ̀ b) Viêt pt tiêp tuyên cua đồ thị (1), biêt tiêp tuyên đó vuông goc với tiêm cân xiên cua đồ thi ́ ́ ́ ̉ ́́ ́ ́ ̣ ̣ ̉ Câu 9: (D06) Cho ham số y = x − 3x + 2 3 ̀ a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị (C) cua ham số (1) ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Goi d là đường thăng đi qua điêm M(3;20) và có hệ số goc là m. Tim m để đường thăng d ̣ ̉ ̉ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̉ ̣ căt (C) tai ba điêm phân biêt. 1 Câu 10: (A05) Cho ham số y = mx + (1), m là tham số ̀ x 1 c. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = ̉ ́ ́ ̉ ̀ 4 b) Tim m để ham số (1) có cực trị và khoang cach từ điêm cực tiêu cua (Cm) đên tiêm cân ̀ ̀ ̉ ́ ̉ ̉ ̉ ́ ̣ ̣ 1 ̉ ̀ xiên cua (Cm) băng 2 2 HD:b) – Tim điêm cực tiêu ; - Tim tiêm cân xiên cua (Cm) => d ( M , d ) = ̀ ̉ ̉ ̀ ̣ ̣ ̉ 2 x 2 + (m + 1) x + m + 1 Câu 11: (B05) Cho ham số y = ̀ (1) x +1 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 1 ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Chứng minh răng với moi m đồ thị (Cm) luôn luôn có điêm cực đai, điêm cực tiêu và khoang ̀ ̣ ̉ ̣ ̉ ̉ ̉ cach hai điêm đó băng 20 ́ ̉ ̀ 1 m2 1 Câu 12D05) Cho ham số y = x − x + , (1) 3 ̀ 3 2 3 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 2 ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Goi M là điêm thuôc (Cm) có hoanh độ băng – 1. Tim m để tiêp tuyên cua (Cm) tai điêm M ̣ ̉ ̣ ̀ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̣ ̉ song song với đường thăng 5x – y = 0. ̉ − x 2 + 3x − 3 Câu 13: (A04) Cho ham số y = ̀ (1) 2( x − 1) a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Tim tham số m để đường thăng y = m căt đồ thị ham số (1) tai 2 điêm A, B sao cho AB = 1 ̀ ̉ ́ ̀ ̣ ̉ 1 Câu 14: (B04) Cho ham số y = x 3 − 2 x 2 + 3x(1) ̀ 3 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Viêt phương trinh tiêp tuyên ∆ cua (C) tai điêm uôn và chứng minh răng ∆ là tiêp tuyên ́ ̀ ́ ́ ̉ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ́ cua (C) có hệ số goc nhỏ nhât. ̉ ́ ́ HD:b) – Tim tiêp tuyên ∆ ̀ ́ ́ - Goi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) , chưng minh f ( x0 ) ≥ hsg ∆ / ̣ ́ 18
  19. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 Câu 15: (D04) Cho ham số y = x 3 − 3mx 2 + 9 x + 1(1) ̀ a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 2 ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Tim m để điêm uôn cua đồ thị ham số (1) thuôc đường thăng y = x + 1 ̀ ̉ ́ ̉ ̀ ̣ ̉ mx 2 + x + m Câu 16A03) Cho ham số y = ̀ (1) x −1 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = -1 ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Tim m để đồ thị ham số (1) căt truc hoanh tai hai điêm phân biêt và hai điêm đó có hoanh độ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ ̣ ̉ ̀ dương. Câu 17B03) Cho ham số y = x − 3x + m(1) 3 2 ̀ a. Tim m để đồ thị ham số (1) có hai điêm phân biêt đôi xứng nhau qua gôc toa độ O ̀ ̀ ̉ ̣ ́ ̣́ b. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 2 ̉ ́ ́ ̉ ̀ HD: a) Goi A(x;y) => B(-x; -y) .Vì A,B thuôc (C) suy ra hệ pt => m ̣ ̣ x2 − 2x + 4 Câu 18: (D03) Cho ham số y = ̀ (1) x−2 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Tim m để đường thăng dm: y = mx + 2 − 2m căt đồ thị ham số (1) tai hai điêm phân biêt. ̀ ̉ ́ ̀ ̣ ̉ ̣ 2x2 − 4x − 3 Câu 19: (DBA03) Cho ham số y = ̀ (1) 2x − 2 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) ̉ ́ ́ ̉ ̀ 2 x 2 − 4 x − 3 + 2m x − 1 = 0 có hai nghiêm phân biêt. b. Tim m để phương trinh ̀ ̀ ̣ ̣ x 2 + (2m + 1) x + m 2 + m + 4 Câu 20: (DBA03) Cho ham số y = ̀ 2( x + m) a. Tim m để ham số có cực trị và tinh khoang cach giữa hai điêm cực trị cua đồ thị ham số ̀ ̀ ́ ̉ ́ ̉ ̉ ̀ b. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số khi m = 0. ̉ ́ ́ ̉ ̀ 2x −1 Câu 21(DBB03) Cho ham số y = ̀ (1) x −1 b. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) ̉ ́ ́ ̉ ̀ c. Goi I là giao điêm hai đường tiêm cân cua (C). Tim điêm M thuôc (C) sao cho tiêp tuyên cua ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̀ ̉ ̣ ́ ́ ̉ (C) tai M vuông goc với đường thăng IM. ̣ ́ ̉ x 2 + 5x + m2 + 6 Câu 22: (DBD03) cho ham số y = ̀ (1) x+3 a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 1 ̉ ́ ́ ̉ ̀ (1; +∞) b. Tim m để ham số đông biên khoang ̀ ̀ ̀ ́ ̉ HDb): ĐK y ≥ 0 ∀x ≥ 1 ; Đs: min g ( x) ≥ m , ∀x ≥ 1 m ≤ 16 2 2 / x ≥1 Câu 23: (DBA04) Cho ham số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1(1) ̀ d. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 1 ̉ ́ ́ ̉ ̀ e. Tim uuuđể r ̀ thị cua ham số (1) có 3 điêm cực trị là 3 đinh cua tam giac vuông cân. ̀ mr uuu ̉ ̀ ̉ ̉ ̉ ́ đô HDb) ĐK: OA.OB = 0 x 2 + 2mx + 1 − 3m 2 Câu 24: (DBA05) Cho ham số y = ̀ (1) có (Cm) x−m a. Khao sat sự biên thiên và vẽ đồ thị cua ham số (1) khi m = 1 ̉ ́ ́ ̉ ̀ b. Tim m để ham số (1) có hai điêm cực trị năm về hai phia truc tung. ̀ ̀ ̉ ̀ ́ ̣ HDb) ĐK: y = 0 có hai nghiêm phân biêt thoa: x1 < 0 < x2 P < 0 / ̣ ̣ ̉ 19
  20. ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Nguyễn Hùng Cương Tai liêu ôn thi Đai hoc năm hoc 2010 – 2011 Phần 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HS I. PP sử dụng Đạo hàm: 1/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x) liên tục trên [a;b]: - Tìm y’ và các nghiệm x i ∈ [a;b] của pt y’ = 0 - Tính f(a) ; f(b) ; f(x i ), từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) trên [a;b] 2/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x): - Tìm TXĐ - Tìm y’ và các nghiệm x i ∈ [a;b] của pt y’ = 0 - Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) * BÀI TẬP : (1). Tìm GTLN; GTNN của hs : x +1 189.a/ y = x + x +1 2 .b/ y = (1 + 2x 2 )(1 − x 2 ) .c/ y = x + 12 − 3x 2 5.d/ y = x 4 + (1 – x) 4 e/ y = 4 1 − x + 4 1 + x 2π g/ y = cos3x + 2cos2x + 3cosx – 2 trên [0 ; ] 3 3π h/ y = sin2x + 2sinx trên [0 ; ] 2 1 1 7i/ y = 1 + cosx + cos2x + cos3x 2 3 k/ y = (1 - cosx)(2 - cosx)(3 - cosx)(4 - cosx) l/ y = cosx – sinx – sin2x +1 x HD : Đặt t = tan m/ y = (1 + cosx).sinx 2 π n/ y = 2sin2x + 3(sinx + cosx) – 3 trên [0 ; ] 2 π o/ y = s inx + cosx trên [0 ; ] 2 p/ y = 3cos2x +6 s inx 2cos 2 x + cosx + 1 1 535.q/ y = 187.r/ y = cos x + cosx + 2 2 cosx + 1 s inx +1 1 1 + 188.s/ y = 191.t/ y = sin x + s inx +1 2 2 + s inx 2 − cosx (2) Cho 2 số thực x, y ≠ 0. Tìm GTNN của biểu thức :  x y x2 y2 xy HD: đặt t = + (t ≤ -2 v t ≥ 2) rồi tìm minA(t) 58a/ A = 2 + 2 − 3  + ÷ yx y x  y x x4 y4  x2 y2  x y xy + (t ≤ -2 v t ≥ 2) rồi tìm minA(t) + −  + ÷+ + HD: đặt t = 59b/ B = y4 x4  y2 x2  y x yx 63(3) Cho 2 số thực a, b không âm thỏa: a + b = 1. Tìm GTLN, NN của biểu thức : a b + C= HD: thay b = 1 – a, tìm maxC(a); minC(a) 1+ b 1+ a 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản