intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 19: Phương trình mũ - Logarit (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh trung bình mức 5-6 điểm)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST
Báo xấu
3
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo "Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 19: Phương trình mũ - Logarit". Tài liệu này được thiết kế dành cho học sinh có mức điểm từ 5-6, giúp các em hiểu rõ các phương trình mũ và logarit, các cách giải cơ bản và ứng dụng các phương pháp biến đổi để giải quyết các bài toán đơn giản đến trung bình. Qua đó, học sinh sẽ nắm vững lý thuyết, làm quen với các dạng bài tập, đồng thời cải thiện kỹ năng giải nhanh và chính xác. Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 19: Phương trình mũ - Logarit (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh trung bình mức 5-6 điểm)

  1. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 19 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Phương trình logarit Phương trình logarit + Nếu a  0, a  1: log a x  b  x  ab + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  g x + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a (mũ hóa) Dạng 1.1 Phương trình cơ bản Câu 1. (Mã 101 - 2021 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 3  5 x   2 là 8 9 A. x  . B. x  9 . C. x  . D. x  8 . 5 5 Câu 2. (Mã 104 - 2021 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 2  5 x   3 là: 8 9 A. x  . B. x  . C. x  8 . D. x  9 . 5 5 Câu 3. (Đề Minh Họa 2021) Nghiệm của phương trình log 2  3x   3 là: 8 1 A. x  3 . B. x  2 . C. x  . D. x  . 3 2 Câu 4. (Mã 102 - 2021 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 5  3x   2 là 32 25 A. x  25 . B. x  . C. x  32 . D. x  . 3 3 Câu 5. (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Nghiệm của phương trình log 3  2 x   2 là 9 A. x  . B. x  9 . C. x  4 . D. x  8 . 2 Câu 6. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log3  2x 1  2 là: 9 7 A. x  3 . B. x  5 . C. x  . D. x  . 2 2 Câu 7. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 3  x  1  2 là A. x  8 . B. x  9 . C. x  7 . D. x  10 . Câu 8. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 2  x  1  3 là A. x  10 . B. x  8 . C. x  9 . D. x  7 . Câu 9. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 2  x  2   3 là: A. x  6 . B. x  8 . C. x  11 . D. x  10 . Câu 10. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 3  x  2   2 là A. x  11 . B. x  10 . C. x  7 . D. 8 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 11. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình log 2  x  9   5 là A. x  41 . B. x  23 . C. x  1 . D. x  16 . Câu 12. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình log 2  x  6   5 là: A. x  4 . B. x  19 . C. x  38 . D. x  26 . Câu 13. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình log 2  x  7   5 là A. x  18 . B. x  25 . C. x  39 . D. x  3 . Câu 14. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình log 2 ( x  8)  5 bằng A. x  17 . B. x  24 . C. x  2 . D. x  40 . Câu 15. (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm của phương trình log 2  x 2  x  2   1 là : A. 0 B. 0;1 C. 1; 0 D. 1 Câu 16. (Đề Minh Họa 2017) Giải phương trình log 4 ( x  1)  3. A. x  65 B. x  80 C. x  82 D. x  63 Câu 17. (Mã 110 2017) Tìm nghiệm của phương trình log2 1 x  2 . A. x  5 . B. x  3 . C. x  4 . D. x  3 . Câu 18.  2 (Mã 102 2018) Tập nghiệm của phương trình log 2 x  1  3 là   A.  10; 10  B. 3;3 C. 3 D. 3 Câu 19. (Mã 104 2017) Tìm nghiệm của phương trình log 2  x  5   4 . A. x  11 B. x  13 C. x  21 D. x  3 Câu 20. (Mã 103 2018) Tập nghiệm của phương trình log 3 ( x 2  7)  2 là A. 4 B. 4 C. { 15; 15} D. {4;4} 1 Câu 21. (Mã 105 2017) Tìm nghiệm của phương trình log 25  x  1  . 2 23 A. x  6 B. x  4 C. x  D. x  6 2 Câu 22. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình log 3  3 x  2   3 có nghiệm là 25 29 11 A. x  . B. x  87 . C. x  . D. x  . 3 3 3 Câu 23.  (THPT Ba Đình 2019) Tập nghiệm của phương trình log3 x2  x  3  1 là  A. 1 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 0 . Câu 24.  (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm của phương trình log 3 x 2  x  3  1 là:  A. 1; 0 . B. 0;1 . C. 0 D. 1 . Câu 25. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình log 3 3 x  2  3 có nghiệm là: 25 29 11 A. x  B. 87 C. x  D. x  3 3 3 Câu 26.  (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tập nghiệm của phương trình log x 2  2 x  2  1 là  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 A.  . B. {  2;4} . C. {4} . D. {  2} . Câu 27. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho phương trình log 2 (2 x  1) 2  2 log 2 ( x  2). Số nghiệm thực của phương trình là: A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Câu 28. (Chuyên Sơn La 2019) Tập nghiệm của phương trình log3 x 2  2 x  1 là   A. 1; 3 . B. 1; 3 . C. 0 . D. 3 . Câu 29. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình log 2 x  m có nghiệm thực là A.  0;   . B.  ; 0  . C.  . D.  0;   Câu 30. (Chuyên Bắc Giang 2019) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log 1  x  5 x  7   0 bằng 2 2 A. 6 B. 5 C. 13 D. 7 Câu 31. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Tổng các nghiệm của phương trình log 4 x 2  log 2 3  1 là A. 6 B. 5 C. 4 D. 0 Câu 32. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi 2019) Tập nghiệm của phương trình log0,25 x 2  3x  1 là:   3  2 2 3  2 2    A. 4 . B. 1;  4 . C.  ; . D. 1; 4 .  2  2   Câu 33. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Nghiệm nhỏ nhất của phương trình log5 x 2  3x  5  1   là A.  3 . B. a . C. 3 . D. 0 . Câu 34. (Sở Hà Nội 2019) Số nghiệm dương của phương trình ln x 2  5  0 là A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. 1 . Câu 35. (Chuyên Hạ Long 2019) Số nghiệm của phương trình ( x  3) log2 (5  x 2 )  0 . A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 . Câu 36. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình  2x 2  5 x  2  log x  7 x  6   2  0 bằng   17 19 A. . B. 9 . C. 8 . D. . 2 2 Câu 37. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình log 2 x  m có nghiệm thực là A.  0;    . B.  0;    . C.  ;0  . D.  . Câu 38. (Đề minh họa 2022) Nghiệm của phương trình log 2  x  4   3 là: A. x  5 . B. x  4 . C. x  2 . D. x  12 . Câu 39. (Mã 103 - 2022) Nghiệm của phương trình log 1  2x 1  0 là 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 3 1 2 A. x  . B. x  1 . C. x  . D. x  . 4 2 3 Dạng 1.2 Biến đổi đưa về phương trình cơ bản Câu 1. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Hàm số y  loga x và y  logb x có đồ thị như hình bên. y y  log b x 3 y  log a x x O x1 x2 Đường thẳng y  3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ là x1; x2 . Biết rằng x1  2x2 . Giá trị a của bằng b 1 A. . B. 3 . C. 2 . D. 3 2 . 3 Câu 2. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2  x  1  log 2  x  1  3 . A. S  3  B. S   10; 10  C. S  3;3 D. S  4 Câu 3. (Mã 103 - 2019) Nghiệm của phương trình log 2  x  1  1  log 2  3 x  1 là A. x  1 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  3 . Câu 4. (Mã 105 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình log 3  2 x  1  log 3  x  1  1 . A. S  3 B. S  4 C. S  1 D. S  2 Câu 5. (Mã 101 - 2019) Nghiệm của phương trình log 3  x  1  1  log 3  4 x  1 A. x  4 . B. x  2 . C. x  3 . D. x  3 . Câu 6. (Mã 104 - 2019) Nghiệm của phương trình log3  2x  1  1  log3  x 1 là A. x  4 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  2 . Câu 7. (Mã 102 -2019) Nghiệm của phương trình log 2  x  1  1  log 2  x  1 là A. x  3 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  2 . Câu 8. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Số nghiệm của phương trình ln  x  1  ln  x  3  ln  x  7  là A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Câu 9. Tìm số nghiệm của phương trình log 2 x  log 2 ( x  1)  2 A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 10. (HSG Bắc Ninh 2019) Số nghiệm của phương trình log 3  6  x   log 3 9 x  5  0 . A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Câu 11. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Tìm tập nghiệm S của phương trình: log 3  2 x  1  log 3  x  1  1 . A. S  3 . B. S  1 . C. S  2 . D. S  4 . Câu 12. (Sở Bắc Giang 2019) Phương trình log 2 x  log 2  x  1  1 có tập nghiệm là A. S  1;3 . B. S  1;3 . C. S  2 . D. S  1 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 13. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tổng các nghiệm của phương trình log 2 ( x  1)  log 2 ( x  2)  log 5 125 là 3  33 3  33 A. . B. . C. 3. D. 33 . 2 2 Câu 14. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm của phương trình log 2 x  log 2 ( x  3)  2 là A. S  4 B. S  1, 4 C. S  1 D. S  4,5 Câu 15. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Số nghiệm của phương trình log 3 x  log 3  x  6   log 3 7 là A. 0 B. 2 C. 1 D. 3   Câu 16. (Chuyên Sơn La 2019) Cho x   0;  , biết rằng log 2  sin x   log 2  cos x   2 và  2 1 log 2  sin x  cos x    log 2 n  1 . Giá trị của n bằng 2 1 5 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Câu 17. (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2  x  1  log 1  x  1  1. 2 A. S  3  B. S  2  5; 2  5   3  13     C. S  2  5  D. S    2     Câu 18. (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Số nghiệm của phương trình log3  x 2  4 x   log 1  2 x  3  0 là 3 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1 . Câu 19. (Đề Tham 2018) Tổng Khảo giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 2 log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x  bằng 3 80 82 A. 0. B. . C. 9. D. . 9 9 Câu 20. (VTED 2019) Nghiệm của phương trình log 2 x  log 4 x  log 1 3 là 2 1 1 1 A. x  . 3 B. x  3 3 . C. x  . D. x  . 3 3 3 Câu 21. (THPT Lê Quý Dôn Dà Nẵng -2019) Gọi S là tập nghiệm của phương trình log 2  x  1  log 2  x 2  2   1 . Số phần tử của tập S là A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 22. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số nghiệm thục của phương trình 3 3log 3  x  1  log 1  x  5   3 là 3 A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Câu 23. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng các nghiệm của phương trình 2 log 3  x  2   log3  x  4   0 là S  a  b 2 (với a , b là các số nguyên). Giá trị của biểu thức Q  a.b bằng A. 0. B. 3. C. 9. D. 6. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Dạng 2. Phương trình mũ Phương pháp đưa về cùng cơ số. Phương trình mũ + Nếu a  0, a  1 thì a    a    f  x   g  x  f x g x f  x g  x a  1 + Nếu a chứa ẩn thì a a   a  1  f  x   g  x    0      f  x  g  x f  x g x f  x g x +a b  log a a  log a b  f  x   log a b.g  x  (logarit hóa). Dạng 2.1 Phương trình cơ bản Câu 1. (Đề Minh Họa 2021) Nghiệm của phương trình 52 x4  25 là A. x  3 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  1 . Câu 2. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình 3x1  27 là A. x  4 . B. x  3 . C. x  2 . D. x  1 . Câu 3. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình 3x1  9 là: A. x  2 . B. x  3 . C. x  2 . D. x  3 . Câu 4. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình 3x2  9 là A. x  3 . B. x  3 . C. x  4 . D. x  4 . Câu 5. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình 3x1  9 là A. x  1 . B. x  2 . C. x  2 . D. x  1 . Câu 6. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình 3x2  27 là A. x  2 . B. x  1 . C. x  2 . D. x  1 . 2 x 4 x Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình 2  2 là A. x  16 . B. x   16 . C. x  4 . D. x  4 . Câu 8. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình 22 x 3  2 x là A. x  8 . B. x  8 . C. x  3 . D. x  3 . Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình 2 2 x  2  2 x là A. x  2 . B. x  2 . C. x  4 . D. x  4 . 2 x1 Câu 10. (Mã 101 - 2019) Nghiệm của phương trình: 3  27 là A. x  1 . B. x  2 . C. x  4 . D. x  5 . Câu 11. (Mã 102 - 2019) Nghiệm của phương trình 32 x1  27 là A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 1. Câu 12. Tìm nghiệm của phương trình 3x1  27 A. x  10 B. x  9 C. x  3 D. x  4 Câu 13. (Mã 104 2018) Phương trình 52 x1  125 có nghiệm là 5 3 A. x  B. x  1 C. x  3 D. x  2 2 Câu 14. (Mã 101 2018) Phương trình 22 x1  32 có nghiệm là Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 5 3 A. x  3 B. x  C. x  2 D. x  2 2 Câu 15. (Mã 104 - 2019) Nghiệm của phương trình 22 x1  32 là 17 5 A. x  2 . B. x  . C. x  . D. x  3 . 2 2 Câu 16. (Mã 103 - 2019) Nghiệm của phương trình 22 x1  8 là 5 3 A. x  2 . B. x  . C. x  1 . D. x  . 2 2 Câu 17. (Mã 104 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 3x  m có nghiệm thực. A. m  1 B. m  0 C. m  0 D. m  0 2 2x x Câu 18. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập nghiệm S của phương trình 5  5.  1  1 A. S   B. S  0;  C. S  0;2 D. S  1;    2  2 Câu 19. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tập nghiệm S của phương trình 2 x1  8 . A. S  4 . B. S  1 . C. S  3 . D. S  2 . x2  4 x 6 Câu 20. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Phương trình   5  log2 128 có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 2 Câu 21. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm S của phương trình 3x 2 x  27 . A. S  1;3 . B. S  3;1 . C. S  3; 1 . D. S  1;3 . 2 Câu 22. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Số nghiệm thực phân biệt của phương trình e x  3 là: A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Câu 23. (Sở Ninh Bình 2019) Phương trình 5 x  2  1  0 có tập nghiệm là A. S  3 . B. S  2 . C. S  0 . D. S  2 . 2 Câu 24. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Họ nghiệm của phương trình 4cos x  1  0 là     A. k ; k   . B.   k ; k    . C. k 2 ; k  . D.   k ; k    . 2  3  Câu 25. (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho biết 9 x  122  0 , tính giá trị của biểu thức x 1 1 2 P  8.9  19 . 3 x 1 A. 31 . B. 23 . C. 22 . D. 15 . 2 Câu 26. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 22 x 5 x  4  4 5 5 A.  . B. 1 . C. 1. D. . 2 2 Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 32 x 1  2m 2  m  3  0 có nghiệm.  3 1   3 A. m   1;  . B. m   ;    . C. m   0;    . D. m   1;  .  2 2   2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG a 2  4 ab 2  1  3a 8 ab a Câu 28. Cho a, b là hai số thực khác 0, biết:    125    3 625  . Tỉ số b là: 8 1 4 4 A. B. C. D. 7 7 7 21 Câu 29. Tổng các nghiệm của phương trình 2 x 2 x1  8 bằng 2 A. 0 . B. 2 . C. 2 . D. 1 . 2 Câu 30. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Phương trình 22 x 5 x  4  4 có tổng tất cả các nghiệm bằng 5 5 A. 1. B. . C. 1 . D.  . 2 2 2 2x 5 x  4 Câu 31. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Phương trình 5  25 có tổng tất cả các nghiệm bằng 5 5 A. 1 B. C. 1 D.  2 2 2 Câu 32. (Sở Bắc Ninh 2019) Phương trình 7 2 x 5 x  4  49 có tổng tất cả các nghiệm bằng 5 5 A.  . B. 1. C. 1 . D. . 2 2 Câu 33. (Mã 101-2022) Nghiệm của phương trình 32 x 1  32 x là: 1 A. x  . B. x  0 . C. x  1 . D. x  1 . 3 2 Câu 34. (Mã 103 - 2022) Số nghiệm thực của phương trình 2x 1  4 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Dạng 2.2 Biến đổi đưa về phương trình cơ bản Câu 1. Tập nghiệm của phương trình: 4 x 1  4 x1  272 là A. 3; 2 . B. 2 . C. 3 . D. 3;5 . x2  2 2 x 3 1 Câu 2. (HKI-NK HCM-2019) Phương trình 27   có tập nghiệm là 3 A. 1; 7 . B. 1; 7 . C. 1; 7 . D. 1; 7 . Câu 3. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Phương trình 3x.2 x1  72 có nghiệm là 5 3 A. x  . B. x  2 . C. x  . D. x  3 . 2 2 x2  2 x 3 1 Câu 4. (Chuyên Bắc Giang 2019) Nghiệm của phương trình    5 x 1 là 5 A. x  1; x  2. B. x  1; x  2. C. x  1; x  2. D. Vô nghiệm. 2 x  2 x 3 1 Câu 5. Tập nghiệm của phương trình    7 x 1 là 7 A. 1 . B. 1; 2 . C. 1; 4 . D. 2 . 2 Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình 2 x 2 x  82 x bằng Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 A. 6 . B. 5 . C. 5 . D. 6 . x 2  2 x 3 x 1 1 Câu 7. (SGD Điện Biên - 2019) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 7   . Khi đó 7 x12  x2 bằng: 2 A. 17 . B. 1 . C. 5 . D. 3 . 2 x 1 Câu 8. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 53 x  2    bằng 5 A. 2 . B. 5 . C. 0 . D. 3 . 7 x 1 2 x 1 Câu 9. Nghiệm của phương trình 2 8 là A. x  2. B. x  3. C. x  2. D. x  1. x 1 5 x7 2 Câu 10. (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Giải phương trình  2,5    . 5 A. x  1 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  2 . 3 x 1 2 1 Câu 11. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình 3x 4   có hai nghiệm 9 x1 , x2 . Tính x1x2 . A.  6 . B.  5 . C. 6 . D. 2 . x2  2 x 2 x Câu 12. (Sở Quảng Nam - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình 2 8 bằng A. 5 . B.  5 . C. 6 . D.  6 . x 2 1 Câu 13. (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Tập nghiệm của phương trình 4 x  x    là 2  2  1  3 A. 0;  . B. 0;  . C. 0; 2 . D. 0;  .  3  2  2 2 x1 Câu 14. (THPT Hải An - Hải Phòng - 2018) Tìm nghiệm của phương trình 7  4 3    2 3 . 1 A. x  4 . B. x  1  log 7  4 3 2  3 . 3 25  15 3 C. x   . D. x  . 4 2 Câu 15. (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Tính tổng S  x1  x2 biết x1 , x2 là các giá trị thực thỏa mãn x 3 x 2  6 x 1 1 đẳng thức 2   . 4 A. S  5 . B. S  8 . C. S  4 . D. S  2 . Câu 16. (Chuyên Hùng Vương - Bình Dương - 2018) Tập nghiệm S của phương trình x 3 x1 4 7 16       0 là 7 4 49 1    1 1   1    A. S     B. S  2 C. S   ;   D. S    ;2  2     2 2       2      Câu 17. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Nội - 2018) Tích các nghiệm của phương trình x 1 x 1  52    52  x 1 là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG A. 2 . B. 4 . C. 4 . D. 2 . Câu 18. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Giải phương trình 42 x3  84 x . 6 2 4 A. x  . B. x  . C. x  2 . D. x  . 7 3 5 THẦY, CÔ GIÁO CẦN MUA FILE WORD THÌ LIÊN HỆ Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong SĐT: 0946.798.489 hoặc zalo 0946.798.489 Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 19 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng 1. Phương trình logarit Phương trình logarit + Nếu a  0, a  1: log a x  b  x  ab + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  g x + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a (mũ hóa) Dạng 1.1 Phương trình cơ bản Câu 1. (Mã 101 - 2021 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 3  5 x   2 là 8 9 A. x  . B. x  9 . C. x  . D. x  8 . 5 5 Lời giải Chọn C TXĐ: D   0;   . 9 Ta có: log 3  5 x   2  5 x  32  x  . 5 Câu 2. (Mã 104 - 2021 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 2  5 x   3 là: 8 9 A. x  . B. x  . C. x  8 . D. x  9 . 5 5 Lời giải Chọn A Điều kiện x  0 8 log 2  5 x   3  5x  23  5x  8  x  (nhận). 5 Câu 3. (Đề Minh Họa 2021) Nghiệm của phương trình log 2  3x   3 là: 8 1 A. x  3 . B. x  2 . C. x  . D. x  . 3 2 Lời giải Chọn C 8 Ta có log 2  3x   3  3x  8  x  . 3 Câu 4. (Mã 102 - 2021 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 5  3x   2 là 32 25 A. x  25 . B. x  . C. x  32 . D. x  . 3 3 Lời giải Chọn D Điều kiện: x  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 25 Với điều kiện phương trình đã cho tương đương 3 x  52  25  x  . 3 Câu 5. (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Nghiệm của phương trình log 3  2 x   2 là 9 A. x  . B. x  9 . C. x  4 . D. x  8 . 2 Lời giải Chọn A 9 log3  2 x   2  2 x  9  x  . 2 Câu 6. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log3  2 x 1  2 là: 9 7 A. x  3 . B. x  5 . C. x  . D. x  . 2 2 Lời giải Chọn B 1 Điều kiện: 2 x  1  0  x  2  1  1 x  x  Ta có log3  2 x  1  2   2  2  x  5. 2 x  1  32 x  5   Vậy phương trình có nghiệm x  5 . Câu 7. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 3  x  1  2 là A. x  8 . B. x  9 . C. x  7 . D. x  10 . Lời giải Chọn D. TXĐ: D  1;   log3  x  1  2  x  1  32  x  10 Câu 8. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 2  x  1  3 là A. x  10 . B. x  8 . C. x  9 . D. x  7 . Lời giải Chọn C x 1  0 x  1 Ta có log 2  x  1  3   3   x9. x 1  2 x  9 Câu 9. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 2  x  2   3 là: A. x  6 . B. x  8 . C. x  11 . D. x  10 . Lời giải Chọn D Điều kiện: x  2  0  x  2 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 log 2  x  2   3  x  2  8  x  10 (thỏa). Vậy phương trình có nghiệm x  10 . Câu 10. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm của phương trình log 3  x  2   2 là A. x  11 . B. x  10 . C. x  7 . D. 8 . Lời giải Chọn A Điều kiện: x  2 Phương trình tương đương với x  2  32  x  11 Câu 11. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình log 2  x  9   5 là A. x  41 . B. x  23 . C. x  1 . D. x  16 . Lời giải Chọn B ĐK: x  9 Ta có: log 2  x  9   5  x  9  25  x  23 . Câu 12. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình log 2  x  6   5 là: A. x  4 . B. x  19 . C. x  38 . D. x  26 . Lời giải Chọn D Điều kiện x  6  0  x  6 Ta có: log 2  x  6   5  log 2  x  6   log 2 25   x  6   32  x  32  6  x  26 TM  Vậy nghiệm của phương trình: x  26 Câu 13. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình log 2  x  7   5 là A. x  18 . B. x  25 . C. x  39 . D. x  3 . Lời giải Chọn B log 2  x  7   5  x  7  25  x  25 . Câu 14. (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm của phương trình log 2 ( x  8)  5 bằng A. x  17 . B. x  24 . C. x  2 . D. x  40 . Lời giải Chọn B Ta có log 2 ( x  8)  5  x  8  25  x  24 . Câu 15. (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm của phương trình log 2  x 2  x  2   1 là : A. 0 B. 0;1 C. 1; 0 D. 1 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG x  0   log 2 x 2  x  2  1  x 2  x  2  2   x  1 Câu 16. (Đề Minh Họa 2017) Giải phương trình log 4 ( x  1)  3. A. x  65 B. x  80 C. x  82 D. x  63 Lời giải Chọn A ĐK:  x  1  0  x  1 Phương trình log 4  x  1  3  x  1  43  x  65 . Câu 17. (Mã 110 2017) Tìm nghiệm của phương trình log2 1  x   2 . A. x  5 . B. x  3 . C. x  4 . D. x  3 . Lời giải Chọn B Ta có log2 1  x  2  1  x  4  x  3 . Câu 18.  (Mã 102 2018) Tập nghiệm của phương trình log 2 x 2  1  3 là   A.  10; 10  B. 3;3 C. 3 D. 3 Lời giải Chọn B log 2  x 2  1  3  x2  1  8  x2  9  x  3 . Câu 19. (Mã 104 2017) Tìm nghiệm của phương trình log 2  x  5   4 . A. x  11 B. x  13 C. x  21 D. x  3 Lời giải Chọn C ĐK: x  5  0  x  5 Khi đó log 2  x  5   4  x  5  16  x  21 . Câu 20. (Mã 103 2018) Tập nghiệm của phương trình log 3 ( x 2  7)  2 là A. 4 B. 4 C. { 15; 15} D. {4;4} Lời giải Chọn D x  4 log 3 ( x 2  7)  2  x 2  7  9    x  4 1 Câu 21. (Mã 105 2017) Tìm nghiệm của phương trình log 25  x  1  . 2 23 A. x  6 B. x  4 C. x  D. x  6 2 Lời giải Chọn B Điều kiện: x  1 1 Xét phương trình log 25  x  1   log 5  x  1  1  x  1  5  x  4 . 2 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 22. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình log 3  3 x  2   3 có nghiệm là 25 29 11 A. x  . B. x  87 . C. x  . D. x  . 3 3 3 Lời giải Chọn C 29 Ta có: log3  3x  2   3  3x  2  33  3x  29  x  . 3 29 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  . 3 Câu 23.  (THPT Ba Đình 2019) Tập nghiệm của phương trình log3 x 2  x  3  1 là  A. 1 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 0 . Lời giải ĐKXĐ: x  x  3  0  x   2 x  0 Ta có: log3  x 2  x  3  1  x 2  x  3  3    x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S  0;1 . Câu 24.  (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm của phương trình log3 x 2  x  3  1 là:  A. 1; 0 . B. 0;1 . C. 0 D. 1 . Lời giải x  0 log3  x 2  x  3  1  x 2  x  3  3  x 2  x  0    x  1 Câu 25. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình log 3 3 x  2  3 có nghiệm là: 25 29 11 A. x  B. 87 C. x  D. x  3 3 3 Lời giải 2 Điều kiện: x  . 3 29 Phương trình tương đương 3x 2  33  x  (nhận). 3  29    Vậy S    . 3     Câu 26. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tập nghiệm của phương trình log x 2  2 x  2  1 là   A.  . B. {  2;4} . C. {4} . D. {  2} . Lời giải  x  2   Ta có log x 2  2 x  2  1  x 2  2 x  2  10  x 2  2 x  8  0   x  4 Câu 27. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho phương trình log 2 (2 x  1) 2  2 log 2 ( x  2). Số nghiệm thực của phương trình là: A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Điều kiện: x  2. Phương trình đã cho tương đương với: 2log2 (2 x 1)  2log 2 ( x  2)  2 x  1  x  2  x  1 Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 28. (Chuyên Sơn La 2019) Tập nghiệm của phương trình log3 x 2  2 x  1 là   A. 1; 3 . B. 1;3 . C. 0 . D. 3 . Lời giải x  1 Phương trình log3  x 2  2 x   1  x 2  2 x  31  x 2  2 x  3  0   .  x  3 Tập nghiệm của phương trình là 1; 3 . Câu 29. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình log 2 x  m có nghiệm thực là A.  0;   . B.  ; 0  . C.  . D.  0;   Lời giải Tập giá trị của hàm số y  log 2 x là  nên để phương trình có nghiệm thực thì m   Câu 30. (Chuyên Bắc Giang 2019) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log 1  x  5 x  7   0 bằng 2 2 A. 6 B. 5 C. 13 D. 7 Lời giải Chọn C log 1  x 2  5 x  7   0  x 2  5 x  7  1  x 2  5 x  6  0  x1  2  x2  3  x12  x2  13 2 2 Câu 31. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Tổng các nghiệm của phương trình log 4 x 2  log 2 3  1 là A. 6 B. 5 C. 4 D. 0 Lời giải 1 Điều kiện x  0 . Có log 4 x 2  log 2 3  1  log 2 x 2  1  log 2 3  log 2 x 2  2.log 2 6  x 2  62 2 Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng 0 Câu 32. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi 2019) Tập nghiệm của phương trình log0,25 x 2  3x  1 là:   3  2 2 3  2 2    A. 4 . B. 1;  4 . C.  ; . D. 1; 4 .  2  2   Lời giải  x  0 2  x  0   x  3x  0    x  3 Ta có: log 0,25  x  3 x   1   2 2   x  3   x  4  n  1  x  3 x   0, 25    2  x  3x  4  0   x  1  n   Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1; 4 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 33. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Nghiệm nhỏ nhất của phương trình log5 x 2  3x  5  1   là A.  3 . B. a . C. 3 . D. 0 . Lời giải x  3 log5  x 2  3 x  5   1  x 2  3 x  5  5  x 2  3 x  0   . Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương x  0   trình log5 x 2  3x  5  1 là 0. Câu 34. (Sở Hà Nội 2019) Số nghiệm dương của phương trình ln x 2  5  0 là A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. 1 . Lời giải x  6  2 x  5  1 x 6. 2 2 Có ln x  5  0  x  5  1   2  x  2  x  5  1   x  2  Vậy phương trình có 2 nghiệm dương là x  6 , x  2 . Câu 35. (Chuyên Hạ Long 2019) Số nghiệm của phương trình ( x  3) log2 (5  x 2 )  0 . A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 . Lời giải Điều kiện: 5  x 2  0   5  x  5 .  x30  x  3  x  3 Phương trình ( x  3) log 2 (5  x 2 )  0   2  2  .  log 2 (5  x )  0  5  x  1  x  2 Đối chiếu điều kiện ta có x  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Câu 36. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình  2x 2  5 x  2  log x  7 x  6   2  0 bằng   17 19 A. . B. 9 . C. 8 . D. . 2 2 Lời giải 0  x  1  6 Điều kiện  6   x  1* . x  7  7 2 x2  5x  2  0 Phương trình  2 x  5 x  2  log x  7 x  6   2  0   2   . log x  7 x  6   2  0  x  2 + Phương trình 2 x 2  5 x  2  0   . Kết hợp với điều kiện  *  x  2 . x  1  2 x  1 + Phương trình log x  7 x  6   2  0  7 x  6  x 2  x 2  7 x  6  0   . Kết hợp với x  6 điều kiện  *  x  6 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  2; x  6 suy ra tổng các nghiệm bằng 8 . Câu 37. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình log 2 x  m có nghiệm thực là A.  0;   . B.  0;   . C.  ;0  . D.  . Lời giải Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x  0 . Dễ thấy m   thì đường thẳng y  m luôn cắt đồ thị hàm số y  log2 x tại đúng một điểm. Vậy tập hợp các số thực m để phương trình log 2 x  m có nghiệm thực là m   . Câu 38. (Đề minh họa 2022) Nghiệm của phương trình log 2  x  4   3 là: A. x  5 . B. x  4 . C. x  2 . D. x  12 . Lời giải Chọn B log 2  x  4   3  x  4  23  x  4 . Câu 39. (Mã 103 - 2022) Nghiệm của phương trình log 1  2x 1  0 là 2 3 1 2 A. x  . B. x  1 . C. x  . D. x  . 4 2 3 Lời giải Chọn B log 1  2 x  1  0  2 x  1  1  x  1 . 2 Vậy nghiệm của phương trình là x  1 . Dạng 1.2 Biến đổi đưa về phương trình cơ bản Câu 1. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Hàm số y  loga x và y  logb x có đồ thị như hình bên. y y  log b x 3 y  log a x x O x1 x2 Đường thẳng y  3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ là x1; x2 . Biết rằng x1  2 x2 . Giá trị a của bằng b Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 1 3 A. . B. 3. C. 2 . D. 2. 3 Lời giải Chọn D Xét phương trình hoành độ giao điểm log a x  3  x1  a3 , và logb x  3  x2  b3 . 3 a a Ta có x1  2 x2  a 3  2b3     2   3 2 . b b Câu 2. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2  x  1  log 2  x  1  3 . A. S  3  B. S   10; 10  C. S  3;3 D. S  4 Lời giải Chọn A   Điều kiện x  1 . Phương trình đã cho trở thành log 2 x 2  1  3  x2  1  8  x  3 Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là x  3  S  3 Câu 3. (Mã 103 - 2019) Nghiệm của phương trình log 2  x  1  1  log 2  3 x  1 là A. x  1 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  3 . Lời giải Chọn D 1 Điều kiện phương trình: x  . 3 log 2  x  1  1  log 2  3x  1  log 2  x  1 .2  log 2  3x  1  2  x  1  3x  1  x  3 .   Ta có x  3 ( Thỏa mãn điều kiện phương trình) Vậy nghiệm phương trình là x  3 . Câu 4. (Mã 105 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình log 3  2 x  1  log 3  x  1  1 . A. S  3 B. S  4 C. S  1 D. S  2 Lời giải Chọn B  1 2 x  1  0 x  ĐK:   2  x  1. x  1  0 x  1  2x  1 2x  1 Ta có log 3  2 x  1  log 3  x  1  1  log 3 1  3  x  4 (thỏa) x 1 x 1 Câu 5. (Mã 101 - 2019) Nghiệm của phương trình log 3  x  1  1  log 3  4 x  1 A. x  4 . B. x  2 . C. x  3 . D. x   3 . Lời giải Chọn B 1 Điều kiện: x   . Ta có: 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG log 3  x  1  1  log 3  4 x  1  1  1 x  x   4  4  x  2. 3  x  1  4 x  1  x  2   Vậy: Nghiệm của phương trình là x  2. Câu 6. (Mã 104 - 2019) Nghiệm của phương trình log3  2x  1  1  log3  x 1 là A. x  4 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  2 . Lời giải Chọn A 2 x  1  0 Điều kiện:   x 1.  x 1  0 Ta có: log3  2x  1  1  log3  x 1  log 3  2 x  1  log 3 3   x  1     2 x  1  3x  3  x  4 (nhận). Câu 7. (Mã 102 -2019) Nghiệm của phương trình log 2  x  1  1  log 2  x  1 là A. x  3 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  2 . Lời giải Chọn A  x  1 Điều kiện:   x  1. x  1 Phương trình đã cho tương đương với log 2  x  1  1  log 2  x  1 .  log 2  x  1  log 2 2.  x  1  x  1  2 x  2  x  3 (Thỏa mãn). Câu 8. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Số nghiệm của phương trình ln  x  1  ln  x  3  ln  x  7  là A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A Điều kiện: x  1 PT  ln  x  1 x  3   ln  x  7      x  1 x  3  x  7  x 2  3x  4  0  x  1 (n)   x  4 () Câu 9. Tìm số nghiệm của phương trình log 2 x  log 2 ( x  1)  2 A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn B Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0