Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 25: Nguyên hàm (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh khá mức 7-8 điểm)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 25: Nguyên hàm (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh khá mức 7-8 điểm) tập trung vào các phương pháp tính nguyên hàm nâng cao, bao gồm nguyên hàm từng phần, nguyên hàm thay số và ứng dụng nguyên hàm trong bài toán thực tế. Hệ thống bài tập trắc nghiệm được thiết kế từ mức trung bình đến khá, giúp học sinh luyện tập và nâng cao kỹ năng giải bài toán nguyên hàm. Ngoài ra, chuyên đề còn cung cấp một số mẹo giải nhanh giúp tối ưu hóa thời gian làm bài. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 25" để học tập và cải thiện kỹ năng giải toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 25: Nguyên hàm (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh khá mức 7-8 điểm)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 25 NGUYÊN HÀM TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .  x n 1 1 (ax  b)n 1   x n dx  n 1 C.   (ax  b)n dx  a n 1 C. 1 1 1   x dx  ln x  C .   ax  b dx  a ln ax  b  C . 1 1 1 1 1  x 2 dx    C . x   (ax  b) 2 dx    a ax  b C.   sin x dx   cos x  C .  1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .  1  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C . 1 dx 1   sin 2 x dx   cot x  C .   2 sin (ax  b)   cot(ax  b)  C . a 1 dx 1   cos 2 x dx  tan x  C .   2  tan(ax  b )  C . cos (ax  b) a  e dx  e 1 x x  C. e ax b  dx  eax b  C . a ax 1 a x   a dx   a dx  x x   C.  C. ln a  ln a 1 ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa  khai triễn.  PP  Tích các hàm mũ  khai triển theo công thức mũ.  1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x  chuyển về lũy thừa.  1  Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   thỏa mãn 2 2 f  x  , f  0   1, f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng 2x 1 A. 2  ln15 B. 3  ln15 C. ln15 D. 4  ln15 1 Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   trên khoảng 1;   thỏa x 1 mãn F  e  1  4 Tìm F  x  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG A. 2ln  x  1  2 B. ln  x  1  3 C. 4ln  x  1 D. ln  x  1  3 1 Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   , x2 biết F 1  2. Giá trị của F  0  bằng A. 2  ln 2. B. ln 2. C. 2  ln  2  . D. ln  2  . Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm 1 f  x  ; biết F  0   2 . Tính F 1 . 2x 1 1 1 A. F 1  ln 3  2 . B. F 1  ln 3  2 . C. F 1  2ln 3  2 . D. F 1  ln 3  2 . 2 2 1 Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  trên  ;0 x thỏa mãn F  2  0 . Khẳng định nào sau đây đúng?  x  A. F  x   ln   x   ;0   2  B. F  x   ln x  C x   ;0  với C là một số thực bất kì. C. F  x   ln x  ln 2 x   ;0 . D. F  x   ln   x   C x   ;0  với C là một số thực bất kì. Câu 6. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f  x  xác định trên R \ 1 thỏa mãn 1 f  x  , f  0   2017 , f  2   2018 . Tính S  f  3   f  1 . x 1 A. S  ln 4035 . B. S  4 . C. S  ln 2 . D. S  1 . 3 Câu 7. (Mã 105 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F  0   . 2 Tìm F  x  . 1 5 A. F  x   e x  x 2  B. F  x   e x  x 2  2 2 3 1 C. F  x   e x  x 2  D. F  x   2 e x  x 2  2 2 Câu 8. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x và F  0   0 . Giá trị của F  ln 3 bằng A. 2. B. 6. C. 8. D. 4. 201 Câu 9. (Sở Bình Phước 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số e2x và F  0    Giá trị 2 1 F   là 2 1 1 1 e  200 A. B. 2e  100 C. e  50 D. e  100 2 2 2 Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và: f   x   2e2 x  1, x, f  0   2 . Hàm f  x  là Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 A. y  2e x  2 x . B. y  2e x  2 . C. y  e 2 x  x  2 . D. y  e 2 x  x  1 . Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x   2 x  e x . Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  thỏa mãn F  0   2019 . A. F  x   x 2  e x  2018 . B. F  x   x 2  e x  2018 . C. F  x   x 2  e x  2017 . D. F  x   e x  2019 . 1 Câu 12. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0   . Tính giá trị biểu ln 2 thức T  F  0   F 1  ...  F  2018   F  2019  . 2 2019  1 A. T  1009. . B. T  22019.2020 . ln 2 22019  1 22020  1 C. T  . D. T  . ln 2 ln 2   Câu 13. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 . 2 A. F  x    cos x  sin x  3 B. F  x    cos x  sin x  1 C. F  x    cos x  sin x  1 D. F  x   cos x  sin x  3 Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f '  x   3  5 sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   3 x  5 cos x  15 B. f  x   3 x  5 cos x  2 C. f  x   3 x  5 cos x  5 D. f  x   3 x  5 cos x  2 Câu 15. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   2  5sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   2 x  5 cos x  3 . B. f  x   2 x  5 cos x  15 . C. f  x   2 x  5 cos x  5 . D. f  x   2 x  5cos x  10 . Câu 16. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm   2   f  x   cos3x và F    . Tính F   . 2 3 9   32   32   36   3 6 A. F    B. F    C. F    D. F    9 6 9 6 9 6 9 6 Câu 17. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số 1   f  x  2 . Biết F   k   k với mọi k  . Tính F  0   F    F     ...  F 10  . cos x 4  A. 55. B. 44. C. 45. D. 0. Câu 18. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2x , thỏa mãn 1 F  0  . Tính giá trị biểu thức T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2019  . ln 2 22020  1 22019  1 2 2019  1 A. T  . B. T  1009. . C. T  22019.2020 . D. T  . ln 2 2 ln 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG (Đề minh họa 2022) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm là f   x  12 x  2, x   và f 1  3 . 2 Câu 19. Biết F  x  là nguyên hàm của f  x thỏa mãn F 0  2 , khi đó F 1 bằng A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 7 .   Câu 20. (Sở Hà Tĩnh 2022) Cho F  x  là nguyên hàm của f  x   sin 2 x trên  thoả mãn F    0 . 4   Giá trị biểu thức S  F     2 F   bằng 2 3  3 3 1 3 3 3 A. S   . B. S   . C. S   . D. S   . 4 4 4 4 4 8 2 8 Câu 21. (Sở Nam Định 2022) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là f   x   8 x  sin x, x   và 3 f  0   3 . Biết F  x  là nguyên hàm của f  x  thỏa mãn F  0   2 , khi đó F 1 bằng 32 32 32 32 A.  cos1 . B.  cos1 . C.  sin1 . D.  sin1. 5 5 5 5 Câu 22. (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2022) Cho hàm số f ( x ) xác định trên  \ {2} thỏa mãn 1 f (2023) f ( x)  , f (1)  2021 , f (3)  2022 . Tính P  . x2 f (2019) A. P  ln 4042 . ln 2021 B. P  . ln 2022 2021 C. P  ln . 2022 2022  ln 2021 D. P  . 2021  ln 2021 Câu 23. (THPT Hoàng Hoa Thám - Quảng Ninh - 2022) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm 1 f  x   6 x, x  1;   và f  2   12 . Biết F  x  là nguyên hàm của f  x  thỏa F  2   6 , khi đó x 1 giá trị biểu thức P  F  5  4 F  3 bằng A. 25 . B. 10 . C. 20 . D. 24 .   4 Câu 24. (THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi - 2022) Cho hàm số f  x  có f     và 4 3 15 f '  x   16 cos 4 x.sin 2 x, x   . Biết F  x  là nguyên hàm của f  x  thỏa mãn F  0   . Tính F   . 26 64 15 31 A. . B. . C. . D. 0 . 27 26 18 1 Câu 25. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2023) Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   , thỏa mãn   2 2 f ' x  , f (0)  1 và f (1)  3 . Giá trị của biểu thức f (1)  f (4) bằng 2x 1 A. 5  ln 21 . B. 5  ln12 . C. 4  ln12 . D. 4  ln 21 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 26. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng- 2023) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là f '  x   sin x  x.cos x, x   . Biết F  x  là nguyên hàm của f  x  thỏa mãn F  0   F    1 , khi đó giá trị của F  2  bằng. A. 1  2 . B. 1  4 . C. 1  2 . D. 4 . f  x  \ 2;1 Câu 27. (SGD Hải Phòng - 2023) Cho hàm số xác định trên thỏa mãn x4 f  3   f  2   0 f 0  1 f  4   2 f  1  f  3 f  x  2 , và . Giá trị của biểu thức bằng x  x2 5 2 2 2 A. 3ln  2 . B. 3ln  2 . C. 2 ln  2 . D. 3ln  3 . 2 5 5 5 1 9 Câu 28. (SGD Hưng Yên 2023) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm là f  ( x )   2  2 và f (2)  . Biết x 2 F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) thoả mãn F (2)  4  ln 2 , khi đó F (1) bằng A. 3  ln 2 . B. 3  ln 2 . C. 1. D. 1. 1  Câu 29. (THPT- Việt Trì- Phú Thọ - 2023) Cho hàm số f  x  xác định trên  \   thỏa mãn 2 2 f x  và f  0  1, f 1  2 . Giá trị f  1  f  3 bằng 2x 1 A. 2  ln15 . B. ln15  1 . C. 3  ln15 . D. ln15. Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số “ Nếu  f  x  dx  F  x   C thì  f  u  x  .u '  x  dx  F u  x    C ”. Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f  x  dx , trong đó ta có thể phân tích f  x   g  u  x   u '  x  dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t  u  x   dt  u '  x  dx . Khi đó: I   g  t  dt  G  t   C  G  u  x    C Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t  u  x  1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp b   f (ax  b) n xdx  t  ax  b.   PP  n PP f ( x) f ( x)dx  t  n f ( x).  a b b 1   f (ln x) x dx  t  ln x.   f (e )e dx  t  e .  PP  x x PP x a a b b   f (sin x) cos xdx  t  sin x.  PP   f (cos x)sin xdx  t  cos x.  PP a a b b 1   f (tan x) dx  t  tan x.  PP   f (sin x  cos x).(sin x  cos x)dx  t  sin x  cos x. a cos 2 x a      f ( a 2  x 2 ) x 2 n dx  x  a sin t.  PP   f (   PP x 2  a 2 ) m x 2 n dx  x  a tan t.     ax  dx    a  x  dx  x  a cos 2t.  f  PP    t  ax  b  cx  d .     ( ax  b)(cx  d ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG   s1 s dx 1  R  ax  b ,., k ax  b  dx  t n  ax  b.    PP  x      ( a  bx n n ) a  bx nt 2. Đổi biến số với hàm ẩn  Nhận dạng tương đối: Đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x) hoặc đề cho f ( x), yêu cầu tính f ( x).  Phương pháp: Đặt t  ( x).  Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số, b b b mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là  f (u)du   f (t )dt     f ( x)dx   a a a Câu 30. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2x dx bằng 1 2x 1 e  x 2  C. A. 2e x  2 x 2  C. C. e2 x  2 x 2  C. B. D. e2 x  4 x 2  C. 2 2 Câu 31. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết F  x   e x  2 x2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2x dx bằng 1 2x 1 A. 2ex  4x2  C.e  4 x 2  C. C. e2x  8x2  C. B. D. e 2 x  2 x 2  C. 2 2 Câu 32. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F  x   e  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó x 2  f  2 x  dx bằng 1 2x 1 e  2 x2  C . A. B. e2 x  4 x2  C . C. 2ex  2 x2  C . D. e2 x  x 2  C . 2 2 x 2 Câu 33. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết F  x   e  2 x là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Khi đó  f  2 x  dx bằng 1 2x 1 2x A. e 2 x  8 x 2  C . B. 2e x  4 x 2  C . C. e  2 x2  C . D. e  4 x2  C . 2 2 2 Câu 34. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết  f  2 x  dx  sin x  ln x  C . Tìm nguyên hàm  f  x  dx ? x 2 2 A.  f  x  dx  sin 2  ln x  C . B.  f  x  dx  2sin 2 x  2ln x  C . x 2 C.  f  x  dx  2sin 2  2ln x  C . D.  f  x  dx  2sin x  2ln x  C . 2 2 Câu 35. Cho  f (4 x) dx  x  3x  c . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x2 2 A.  f ( x  2) dx  4  2x  C . B.  f ( x  2) dx  x  7x  C . x2 x2 C.  f ( x  2) dx   4x  C . D.  f ( x  2) dx   4x  C . 4 2 Câu 36. Cho  f  x  dx  4 x 3  2 x  C0 . Tính I   xf  x 2  dx . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 10 6 x x A. I  2 x 6  x 2  C .  C. B. I  10 6 C. I  4 x  2 x  C . D. I  12 x 2  2 . 6 2 3 Câu 37. (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2 .e x 1 . x 3 x3 1 x3 1 A.  f  x  dx  3 .e  C . B.  f  x  dx 3e C . x3 1 1 x3 1 C.  f  x  dx e  C . D.  f  x  dx  3 e C . 2 Câu 38. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f  x   sin 2 x.esin x là 2 2 2 sin 2 x 1 esin x 1 sin 2 x esin x1 A. sin x.e C. B. C. C. e C . D. C . sin 2 x  1 sin 2 x  1 1 Câu 39. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  3x 5 9 1 1 x4 1 1 x4 A.  f  x  dx    ln 4 C B.  f  x  dx    ln 4 C 3x 4 36 x  3 12x 4 36 x  3 1 1 x4 1 1 x4 C.  f  x  dx    ln 4 C D.  f  x  dx    ln 4 C 3x 4 36 x  3 12x 4 36 x  3 x3 Câu 40. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F  x  biết F  x    dx và x4  1 F 0  1 . 1 3   4 A. F  x   ln x4  1  1 . B. F  x   ln x  1  . 4   4 1 4 C. F  x   ln x  1  1. 4   D. F  x   4ln x 4  1  1.   2017 Câu 41. Biết  x  1 dx  1 .  x  1 b  C , x  1 với a , b   . Mệnh đề nào sau đây đúng?   x  12019  a  x 1  A. a  2b . B. b  2 a . C. a  2018b . D. b  2018a . Câu 42. (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Biết rằng F  x  là một nguyên hàm trên  của hàm số 2017 x f  x  2018 thỏa mãn F 1  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x  . x 2  1 1 1  22017 1  22017 1 A. m   . B. m  2018 . C. m  2018 . D. m  . 2 2 2 2 1 Câu 43. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x và F  0    ln 2e . Tập nghiệm S của e 1  phương trình F  x   ln e x  1  2 là:  A. S  3 B. S  2;3 C. S  2;3 D. S  3;3 2019 Câu 44. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x3 x 2  1   là 2021 2020 2021 2020  2  x2  1  . 1   x  1 x  1 x  1 2 2 A.   B.  . 2  2021 2020  2021 2020   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 2021 2020 2021 2020  2  x2  1   C . x  1 x  1 1   x  1 2 2 C.   C. D.   2021 2020 2  2021 2020    1  ln x Câu 45. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f  x   là: x.ln x 1  ln x 1  ln x A.  dx  ln ln x  C . B.  dx  ln x 2 .ln x  C . x.ln x x.ln x 1  ln x 1  ln x C.  dx  ln x  ln x  C . D.  dx  ln x.ln x  C . x.ln x x.ln x 3 Câu 46. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x 1 x3 1 x 3 1 A.  f  x  dx  e  C . B.  f  x  dx  3e C . 1 3 x 3 x3 1 C.  f  x  dx  e x 1  C . D.  f  x  dx  e C . 3 3 Câu 47. (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f  x   3 3 x  1 là  f  x  dx  3x  1  f  x  dx  3 3 A. 3x  1  C . B. 3x  1  C . 13 1  f  x  dx  3  f  x  dx  4  3x  1 3 C. 3x  1  C . D. 3x  1  C . Câu 48. Nguyên hàm của hàm số f  x   3x  2 là 2 1 A. (3x  2) 3 x  2  C B. (3x  2) 3 x  2  C 3 3 2 3 1 C. (3x  2) 3 x  2  C D. C 9 2 3x  2 Câu 49. (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2x  1 là 1 1 A.   2 x  1 2 x  1  C . 2x 1  C . B. 3 2 2 1 C.  2 x  1 2 x  1  C . D.  2 x  1 2 x  1  C . 3 3 ln 2 Câu 50. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  x   2 x . . Hàm số nào dưới đây không là x nguyên hàm của hàm số f  x  ? A. F  x   2 x  C B. F  x   2 2  x  1  C C. F  x   2 2  x 1  C D. F  x   2 x 1 C x3 Câu 51. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Khi tính nguyên hàm  dx , bằng cách đặt x 1 u  x  1 ta được nguyên hàm nào? A.  2  u 2  4  d u . B.  u 2  4 d u . C.  u 2  3 d u . D.  2u  u 2  4  d u . 1 Câu 52. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   . 2 2x 1 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 1 A.  f  x dx  2 2x 1  C . B.  f  x dx  2x 1  C . 1 C.  f  x dx  2 2x 1  C . D.  f  x dx   2 x  1 2x 1 C . Câu 53. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số f  x   ln x  x 2  1 là     A. F  x   x ln x  x 2  1  x 2  1  C .   B. F  x   x ln x  x 2  1  x 2  1  C . C. F  x   x ln  x  x2  1  C .  D. F  x   x 2 ln x  x 2  1  C .  3  20 x 2  30 x  7 Câu 54. (Chuyên Hạ Long - 2018) Biết rằng trên khoảng  ;    , hàm số f  x   có 2  2x  3  một nguyên hàm F  x   ax 2  bx  c  2 x  3 ( a, b, c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . sin x Câu 55. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  . 1  3cos x 1 A.  f ( x) dx  ln 1  3cos x  C . B.  f ( x) dx  ln 1  3cos x  C . 3 1 C.  f ( x) dx  3ln 1  3cos x  C . D.  f ( x) dx   ln 1  3cos x  C . 3 cos x Câu 56. (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f ( x) biết f ' ( x)  . (2  sin x)2 sin x 1 A. f ( x)  2 C . B. f ( x)  C. (2  sin x) (2  cos x) 1 sin x C. f ( x)   C . D. f ( x)  C. 2  sin x 2  sin x Câu 57. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số sin x   f ( x)  và F    2 .Tính F  0  . 1  3cos x 2 1 2 2 1 A. F (0)   ln 2  2 . B. F (0)   ln 2  2 . C. F (0)   ln 2  2 . D. F (0   ln 2  2 . 3 3 3 3 Câu 58. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết  f  x  dx  3x cos  2 x  5  C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.  f  3x  dx  3x cos  6 x  5  C B.  f  3x  dx  9 x cos  6 x  5  C C.  f  3 x  dx  9 x cos  2 x  5   C D.  f  3 x  dx  3 x cos  2 x  5   C Câu 59. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   tan 5 x . 1 14 A. x  tan 2 x  ln cosx  C .  f  x  dx  4 tan 2 1 1 B.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 1 1 C.  f  x  dx  tan 4 x  tan 2 x  ln cosx  C . 4 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 1 1 4 D. x  tan 2 x  ln cosx  C .  f  x  dx  4 tan 2 Câu 60. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số   f  x   sin 3 x.cos x và F  0    . Tính F   . 2       1   1 A. F     . B. F     . C. F       . D. F      . 2 2 2 4 2 4 1 1 Câu 61. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   thỏa mãn F    2 và F  e   ln 2. x ln x e 1 Giá trị của biểu thức F  2   F  e2  bằng e  A. 3ln 2  2 . B. ln 2  2 . C. ln 2  1. D. 2ln 2  1 . x Câu 62. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f ( x )  thỏa 8  x2 mãn F  2   0 . Khi đó phương trình F  x   x có nghiệm là: A. x  0 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  1  3 . 2x 1 Câu 63. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 . Biết F  3  6 , giá trị của F  8 là x 1 x 217 215 215 A. . B. 27 . C. . D. . 8 24 8 20 x 2  30 x  7 3  Câu 64. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   trên khoảng  ;   là 2x  3  2   A. 4 x 2  2 x  1  2x  3  C .  B. 4 x 2  2 x  1  2x  3 . C.  3x 2  2 x  1 2x  3 . D.  4 x 2  2 x  1 2x  3  C . sin x  cos x Câu 65. (Chuyên Hạ Long - 2023) Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f  x   2 .  sin x  cos x  4 1  2  sin x  cos x  1 2  sin x  cos x  A. ln    C. B.  ln    C. 4  2  sin x  cos x  4  2  sin x  cos x  1  2  sin x  cos x  1 sin x  cos x  2  C. ln    C. D. ln    C. 4  2  sin x  cos x  4  sin x  cos x  2  Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ 1. Công thức thường áp dụng 1 1 1 1 1   ax  b dx  a ln ax  b  C .   (ax  b) 2 dx    a ax  b C. a  ln a  ln b  ln(ab).  ln a  ln b  ln  b  ln a n  n ln a.  ln1  0. P(x ) 2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I   dx . Q(x ) PP  Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x )   Chia đa thức.  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 PP  Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x )  phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử dụng  phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01. PP  Nếu mẫu không phân tích được thành tích số  thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng  cách đặt X  a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2  a 2 . x2 Câu 66. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  trên khoảng x 1 1;   là A. x  3ln  x 1  C. B. x  3ln  x 1  C. 3 3 C. x  2  C. D. x  2  C.  x  1  x  1 3x  2 Câu 67. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 trên khoảng  x  2  2; là 2 2 A. 3ln  x  2   C B. 3ln  x  2   C x2 x2 4 4 C. 3ln  x  2   C D. 3ln  x  2   C . x2 x2 2x 1 Câu 68. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 trên  x  1 khoảng  1;    là 2 3 A. 2 ln  x  1  C. B. 2 ln  x  1  C. x 1 x 1 2 3 C. 2 ln  x  1  C. D. 2 ln  x  1  C. x 1 x 1 x3 Câu 69. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2 là x  3x  2 A. ln x  1  2 ln x  2  C . B. 2 ln x  1  ln x  2  C . C. 2 ln x  1  ln x  2  C . D.  ln x  1  2 ln x  2  C . Câu 70. (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số b  x  0  , biết rằng F  1  1, F 1  4, f 1  0 f  x   ax  x2 3 3 7 3 3 7 A. F  x   x 2   . B. F  x   x 2   . 2 4x 4 4 2x 4 3 3 7 3 3 1 C. F  x   x 2   . D. F  x   x 2   . 4 2x 4 2 2x 2 2 x  13 Câu 71. Cho biết  dx  a ln x  1  b ln x  2  C .  x  1 x  2  Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 . 1 Câu 72. Cho biết  3 dx  a ln  x  1 x  1  b ln x  C . Tính giá trị biểu thức: P  2a  b . x x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 1 A. 0. B. -1. C. . D. 1. 2 4 x  11 Câu 73. Cho biết  x2  5 x  6dx  a ln x  2  b ln x  3  C . Tính giá trị biểu thức: P  a 2  ab  b2 . A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. b 1 1 Câu 74. Cho hàm số f  x thỏa mãn f   x   ax 2  3 , f  1  3 , f 1  2 , f     . Khi đó 2a  b     x 2  12 bằng 3 3 A.  . B. 0 . C. 5 . D. . 2 2 3x  1 Câu 75. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)  trên khoảng (1; ) là ( x  1)2 1 2 A. 3ln( x  1)   c . B. 3ln( x  1)  c. x 1 x 1 2 1 C. 3ln( x  1)   c . D. 3ln( x  1)  c. x 1 x 1 2x 1 Câu 76. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 trên khoảng  2;    là  x  2 3 1 A. 2ln  x  2   C . B. 2 ln  x  2   C . x2 x2 1 3 C. 2ln  x  2   C . D. 2ln  x  2   C . x2 x2 Câu 77. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số 2x  1 1 f  x  4 3 2 trên khoảng  0;   thỏa mãn F 1  . Giá trị của biểu thức x  2x  x 2 S  F 1  F  2   F  3     F  2019  bằng 2019 2019.2021 1 2019 A. . B. . C. 2018 . D.  . 2020 2020 2020 2020  2 x  3 dx 1 Câu 78. Giả sử  x  x  1 x  2 x  3  1   g  x   C ( C là hằng số). Tính tổng các nghiệm của phương trình g  x   0 . A. 1 . B. 1 . C. 3 . D.  3 . 1 a Câu 79. (Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho I   3 dx  2  b ln x  2c ln 1  x 2  C . Khi   x 1 x 2 x   đó S  a  b  c bằng 1 3 7 . A. B. . C. . D. 2 . 4 4 4 Câu 80. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số f  x  xác định trên R \ 1;1 thỏa mãn 1 1  1  f ' x   2 . Biết f  3  f  3  4 và f    f    2 . Giá trị của biểu thức f  5  f  0   f  2  x 1 3  3 bằng 1 1 1 1 A. 5  ln 2 . B. 6  ln 2 . C. 5  ln 2 . D. 6  ln 2 . 2 2 2 2 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 81. (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 2;1 thỏa 1 1 mãn f   x   , f  3  f  3  0 và f  0   . Giá trị của biểu thức f  4   f  1  f  4  bằng 2 x  x2 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2  . B. ln 80  1 . C. ln  ln 2  1. D. ln  1 . 3 3 3 5 3 5 Câu 82. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1 1 thỏa mãn f   x   , f  0   2017 ,, f  2   2018 . Tính S   f  3  2018  f  1  2017  . x 1 A. S  1 . B. S  1  ln 2 2 . C. S  2 ln 2 . D. S  ln 2 2 . 2 Câu 83. (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1;1 thỏa mãn f   x   2 , x 1  1 1 f  2   f  2   0 và f     f    2 . Tính f  3   f  0   f  4  được kết quả  2  2 6 6 4 4 A. ln  1 . B. ln  1 . C. ln  1 . D. ln  1 . 5 5 5 5 Câu 84. (Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho hàm số f ( x) xác định trên  \{1; 2} thỏa mãn 1 1 f ( x)  2 ; f (3)  f (3)  0 và f (0)  . Giá trị của biểu thức f (4)  f (1)  f (4) bằng x x2 3 1 1 A.  ln 2 . 3 3 B. 1  ln S 0 . 1 C.  ln 2 . 3 1 8 D. 1  ln . 3 5 Câu 85. (THPT Nguyễn Hiền - 2023) Cho hàm số f  x  xác định trên  \ 1 thỏa mãn 1 f  x  , f  0   2022, f  2   2023 . Tính S  f  3  f  1 . x 1 A. S  ln 4035 . B. S  ln 2 . C. S  4 . D. S  1 . x2  1 Câu 86. (Chuyên Hạ Long - 2023) Một nguyên hàm của hàm số f  x   có dạng x 4  2 x 3  10 x 2  2 x  1 a x 2  cx  1 a F  x  ln 2 , trong đó a, b, c, d là các số nguyên dương và phân số tối giản. Tính b x  dx  1 b a  b  c  d. A. 24. B. 21. C. 15. D. 13. Dạng 4. Nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên  a; b  và có đạo hàm liên tục trên  a; b  . Khi đó:  udv  uv   vdu  b Để tính tích phân I   f  x  dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a Bước 1: Chọn u, v sao cho f  x  dx  udv (chú ý: dv  v '  x  dx ). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Tính v   dv và du  u '.dx . Bước 2: Thay vào công thức   và tính  vdu . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  vdu dễ tính hơn  udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x  Dạng 1 : I   P  x    dx , trong đó P  x  là đa thức  cos x  sin x  Với dạng này, ta đặt u  P  x  , dv    dx .  cos x  Dạng 2 : I    x  eaxb dx u  P  x   Với dạng này, ta đặt  ax b , trong đó P  x  là đa thức dv  e dx  Dạng 3 : I   P  x  ln  mx  n  dx u  ln  mx  n   Với dạng này, ta đặt  . dv  P  x  dx  sin x  x Dạng 4 : I     e dx  cos x   sin x   sin x  u    u    Với dạng này, ta đặt  cos x  để tính  vdu ta đặt  cos x  .  x  x dv  e dx dv  e dx x Câu 87. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x 2 g  x    x  1 . f   x  là x2  2x  2 x2 x2  x  2 x2 A. C . B. C . C. C . D. C . 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x2  2 x Câu 88. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số x2  3 g  x    x  1 f   x  là x2  2 x  3 x3 2 x2  x  3 x 3 A. C . B. C . C. C . D. C . 2 x2  3 2 x2  3 x2  3 x2  3 x Câu 89. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x)  . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 x 1 g ( x )  ( x  1) f '( x ) x2  2x 1 x 1 2x2  x  1 x 1 A. C. B. C . C. C . D. C . 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x2  1 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 x Câu 90. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x   . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số x2  4 g  x    x  1 f   x  là x4 x4 x2  2x  4 2x2  x  4 A. C . B. C . C. C . D. C . 2 x2  4 x2  4 2 x2  4 x2  4 Câu 91. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e x , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f   x  e x là: A.  sin 2 x  cos 2 x  C . B. 2 sin 2 x  cos 2 x  C . C. 2 sin 2 x  cos 2 x  C . D. 2 sin 2 x  cos 2 x  C . Câu 92. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x 1  ln x  là: A. 2 x 2 ln x  3x 2 . B. 2 x2 ln x  x2 . C. 2 x2 ln x  3x 2  C . D. 2 x 2 ln x  x2  C . Câu 93. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   x sin x là A. F  x   x cos x  sin x  C . B. F  x   x cos x  sin x  C. C. F  x    x cos x  sin x  C. D. F  x    x cos x  sin x  C. Câu 94. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  x.e 2 x là : 1  1 1 2x A. F ( x)  e 2 x  x    C B. F ( x )  e  x  2  C 2  2 2  1 C. F ( x)  2e2 x  x  2  C D. F ( x)  2e 2 x  x    C  2 Câu 95. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 e x là A.  2 x  3 e x  C . B.  2 x  3 e x  C . C.  2 x  1 e x  C . D.  2 x  1 e x  C . Câu 96. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  xe2 x ? 1 2x  1 1 A. F ( x )  e  x    C. B. F ( x)  e 2 x  x  2   C. 2  2 2  1 C. F ( x)  2e 2 x  x  2   C. D. F ( x)  2e 2 x  x    C.  2 Câu 97. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  sin x  là x2 x2 A.  x sin x  cos x  C . B.  x cos x  sin x  C . 2 2 x2 x2 C.  x cos x  sin x  C . D.  x sin x  cos x  C . 2 2   Câu 98. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Giả sử F  x   ax 2  bx  c e x là một nguyên hàm của hàm 2 x số f  x   x e .Tính tích P  abc . A. 4 . B. 1 . C.  5 . D.  3 . x Câu 99. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x(1  e ) là A.  2 x  1 e x  x 2 . B.  2 x  1 e x  x 2 . C.  2 x  2  e x  x 2 . D.  2 x  2  e x  x 2 . Câu 100. Họ nguyên hàm của f  x   x ln x là kết quả nào sau đây? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 1 1 1 1 A. F  x   x 2 ln x  x 2  C . B. F  x   x 2 ln x  x 2  C . 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 C. F  x   x ln x  x  C . D. F  x   x ln x  x  C . 2 4 2 4 Câu 101. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x    3x 2  1 .ln x . x3 x3 A.  f  x  dx  x  x 2  1 ln x  C . B.  f  x  dx  x 3 ln x  C . 3 3 x3 x3 C.  f  x  dx  x  x 2  1 ln x    xC .  xC . D. f  x  dx  x3 ln x  3 3 x Câu 102. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   trên khoảng sin 2 x  0;   là A.  x cot x  ln  sinx   C . B. x cot x  ln sinx  C . C. x cot x  ln sinx  C . D.  x cot x  ln  sinx   C . Câu 103. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y  3x  x  cos x  là A. x3  3  x sin x  cos x   C B. x3  3  x sin x  cos x   C C. x3  3  x sin x  cos x   C D. x3  3  x sin x  cos x   C Câu 104. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 4  xe x là 1 5 1 A.x   x  1 e x  C . B. x5   x  1 e x  C . 5 5 1 C. x 5  xe x  C . D. 4 x 3   x  1 e x  C . 5 Câu 105. Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác định và có đạo hàm lần lượt là f  x  , g  x  trên  . Biết rằng 2 x3   F  x  .G  x   x 2 ln x 2  1 và F  x  .g  x   x2  1 . Họ nguyên hàm của f  x  .G  x  là    A. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C.    B. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C. C.  x 2  1 ln  x 2  1  x 2  C. D.  x 2  1 ln  x 2  1  x 2  C. Câu 106. (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? x x x x x2 x x A.  xe dx  e  xe  C . B.  xe dx  2 e e C . x x x x2 x x C.  xe dx  xe  e  C . 2 e C . D.  xe dx  Câu 107. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F  x  , G  x  xác đinh và có đạo hàm lần lượt là f  x  , 2 x3   g  x  trên  . Biết F  x  .G  x   x 2 ln x 2  1 và F  x  g  x   x2  1 . Tìm họ nguyên hàm của f  x  G  x  .     A. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C .     B. x 2  1 ln x 2  1  2 x 2  C . C.  x 2  1 ln  x 2  1  x 2 C . D.  x 2  1 ln  x 2  1  x 2 C . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 2 1 3 1 Câu 108. Cho biết F  x   x  2 x  là một nguyên hàm của f  x    x2  a  . Tìm nguyên hàm của 3 x x2 g  x   x cos ax . 1 1 A. x sin x  cos x  C B. x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 1 1 C. x sin x  cos C D. x sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 Câu 109. Họ nguyên hàm của hàm số y  2x 2  x  ln x  1 là x x2 x2  A. x 2  x  1 ln x  2   xC . B.  x 2  x  1 ln x   x  C . 2 2 x x2 C.  x  x  1 ln x   x  C . 2 D.  x  x  1 ln x   x  C . 2 2 2 1 f  x Câu 110. (Mã 104 2017) Cho F  x   2 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 2x x hàm số f   x  ln x .  ln x 1  ln x 1 A.  f   x  ln xdx      C x2 x2  B.  f   x  ln xdx  x 2  2 C 2x  ln x 1  ln x 1 C.  f   x  ln xdx      x2 2 x2 C  D.  f   x  ln xdx   C x2 x2 1 f  x Câu 111. (Mã 105 2017) Cho F  x    3 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của 3x x hàm số f   x  ln x ln x 1 ln x 1 A.  f   x  ln xdx  x 3  5 C 5x B.  f   x  ln xdx  3  5  C x 5x ln x 1 ln x 1 C.  f   x  ln xdx   3  3  C D.  f   x  ln xdx  3  3  C x 3x x 3x x Câu 112. (Mã 110 2017) Cho F  x    x 1 e là một nguyên hàm của hàm số f  x  e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f   x  e2x . 2x A.  f  x e dx   4  2 x  e x  C B.  f  x e 2x dx   x  2  e x  C 2 x x 2x C.  f   x e e C dx  D.  f   x  e 2 x dx   2  x  e x  C 2 Câu 113. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   xe x và f  0   2 .Tính f 1 . A. f 1  3 . B. f 1  e . C. f 1  5  e . D. f 1  8  2e . Câu 114. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e  x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là A.  x  2  e x  e x  C B.  x  2  e2 x  e x  C C.  x  1 e x  C D.  x  1 e x  C Câu 115. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x    x  1 e x , f  0   0 và x  f  x dx   ax  b  e  c với a, b, c là các hằng số. Khi đó: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG A. a  b  2. B. a  b  3. C. a  b  1. D. a  b  0. Câu 116. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   xe  x . Tính F  x  biết F  0   1 . A. F  x     x  1 e  x  2 . B. F  x    x  1 e  x  1 . C. F  x    x  1 e  x  2 . D. F  x     x  1 e  x  1 . Câu 117. (Sở Quảng Nam - 2018) Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab  . B. ab  . C. ab   . D. ab   . 8 4 8 4 ln  x  3 Câu 118. (Chuyên Đh Vinh - 2018) Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x   sao cho x2 F  2   F 1  0 . Giá trị của F  1  F  2  bằng 10 5 7 2 3 A. ln 2  ln 5 . B. 0 . C. ln 2 . D. ln 2  ln 5 . 3 6 3 3 6 Câu 119. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln  x  1 . Cho biết g  2   1 và g  3   a ln b trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T  3a 2  b 2 A. T  8 . B. T  17 . C. T  2 . D. T  13 . Câu 120. (Sở Quảng Nam - 2018) Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab  . B. ab  . C. ab   . D. ab   . 8 4 8 4   ax  bx  5  e x dx   3 x 2  8 x  13 e x  C , với a, b là các số 2 Câu 121. (Sở Hậu Giang 2022) Biết nguyên. Tìm S  a  b . A. S  1 . B. S  4 . C. S  5 . D. S  9 . THẦY, CÔ GIÁO CẦN MUA FILE WORD THÌ LIÊN HỆ Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong SĐT: 0946.798.489 hoặc zalo 0946.798.489 Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 25 NGUYÊN HÀM TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)   0dx  C .   k dx  kx  C .  x n 1 1 (ax  b)n 1   x n dx  n 1 C.   (ax  b)n dx  a n 1 C. 1 1 1   x dx  ln x  C .   ax  b dx  a ln ax  b  C . 1 1 1 1 1  x 2 dx    C . x   (ax  b) 2 dx    a ax  b C.   sin x dx   cos x  C .  1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .   cosx dx  sin x  C .  1  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C . 1 dx 1   sin 2 x dx   cot x  C .   2 sin (ax  b)   cot(ax  b)  C . a 1 dx 1   cos 2 x dx  tan x  C .   2  tan(ax  b )  C . cos (ax  b) a  e dx  e 1 x x  C. e ax b  dx  eax b  C . a ax 1 a x   a dx   a dx  x x   C.  C. ln a  ln a 1 ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm  a Một số nguyên tắc tính cơ bản PP  Tích của đa thức hoặc lũy thừa  khai triễn.  PP  Tích các hàm mũ  khai triển theo công thức mũ.  1 1 1 1  Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a. 2 2 2 2 PP  Chứa tích các căn thức của x  chuyển về lũy thừa.  1  Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   thỏa mãn 2 2 f  x  , f  0   1, f 1  2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3 bằng 2x 1 A. 2  ln15 B. 3  ln15 C. ln15 D. 4  ln15 Lời giải Chọn C 2  2 x  1 dx  ln 2 x  1  C  f  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 1 Với x  , f  0   1  C  1 nên f  1  1  ln 3 2 1 Với x  , f 1  2  C  2 nên f  3  2  ln 5 2 Nên f  1  f  3  3  ln15 1 Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   trên khoảng 1;  thỏa x 1 mãn F  e  1  4 Tìm F  x  . A. 2ln  x  1  2 B. ln  x  1  3 C. 4ln  x  1 D. ln  x  1  3 Lờigiải Chọn B 1 F  x =   dx  C  ln x  1  C x 1 F  e  1  4 . Ta có 1  C  4  C  3 1 Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   , x2 biết F 1  2. Giá trị của F  0  bằng A. 2  ln 2. B. ln 2. C. 2  ln  2  . D. ln  2  . Lờigiải Cách 1: 1 Ta có:  f  x dx   x  2dx  ln x  2  C , C   . Giả sử F  x   ln x  2  C0 là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F 1  2 . Do F 1  2  C0  2  F  x   ln x  2  2 .Vậy F  0   2  ln 2. Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm 1 f  x  ; biết F  0   2 . Tính F 1 . 2x 1 1 1 A. F 1  ln 3  2 . B. F 1  ln 3  2 . C. F 1  2ln 3  2 . D. F 1  ln 3  2 . 2 2 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có F x    2x  1dx  2 ln 2x  1  C 1 Do F 0  2  ln 2.0  1  C  2  C  2 2 1 1 Vậy F x   ln 2x  1  2  F 1  ln 3  2 . 2 2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/