zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 30: Phương trình mặt phẳng (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh giỏi mức 9-10 điểm)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:181

Báo xấu

5
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 30: Phương trình mặt phẳng (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh giỏi mức 9-10 điểm) tập trung vào các bài toán phương trình mặt phẳng mức độ nâng cao, bao gồm xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, và ứng dụng trong bài toán cực trị hình học. Học sinh sẽ được tiếp cận hệ thống bài tập trắc nghiệm khó và các chiến lược giải bài nhanh. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 30" để học tập và đạt kết quả cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia năm 2024 môn Toán - Chuyên đề 30: Phương trình mặt phẳng (Tài liệu dành cho đối tượng học sinh giỏi mức 9-10 điểm)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 30 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Một số bài toán liên khác quan điểm – mặt phẳng – mặt cầu Câu 1. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3) 2  1 và điểm A(2;3; 4) . Xét các điểm M thuộc ( S ) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A. 2 x  2 y  2 z  15  0 B. x  y  z  7  0 C. 2 x  2 y  2 z  15  0 D. x  y  z  7  0 Câu 2. (Sở Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A  2; 2; 2  và mặt cầu 2      S  : x 2  y 2   z  2   1 . Điểm M di chuyển trên mặt cầu  S  đồng thời thỏa mãn OM . AM  6 . Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây? A. 2 x  2 y  6 z  9  0 . B. 2 x  2 y  6 z  9  0 . C. 2 x  2 y  6 z  9  0 . D. 2 x  2 y  6 z  9  0 . 2 Câu 3. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A  2; 2;2  và mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  2   1 .     Điểm M di chuyển trên mặt cầu  S  đồng thời thỏa mãn OM . AM  6 . Điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào dưới đây? A. 2x  2 y  6z  9  0 . B. 2 x  2 y  6z  9  0 . C. 2x  2 y  6z  9  0 . D. 2x  2 y  6z  9  0 . Câu 4. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt 2 2 2 cầu  S  :  x  1   y  1   z  1  1 và điểm A(2;2;2) . Xét các điểm M thuộc (S ) sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với (S ) . M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là A. x  y  z – 6  0 . B. x  y  z  4  0 . C. 3x  3 y  3z – 8  0 . D. 3x  3 y  3z – 4  0 . Câu 5. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2;1 , B  3; 1;1 và C  1; 1;1 . Gọi  S1  là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ;  S2  và  S3  là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán kính đều bằng 1 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S1  ,  S2  ,  S3  . A. 8 B. 5 C. 7 D. 6 2 2 2 Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho  S  :  x  3   y  2    z  5   36 , điểm M  7;1;3 . Gọi  là đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu  S  tại N . Tiếp điểm N di động trên đường tròn  T  có tâm J  a, b, c  . Gọi k  2a  5b  10c , thì giá trị của k là A. 45 . B. 50 . C. 45 . D. 50 . Câu 7. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm M  2;1; 4  , N  5; 0; 0  , P 1; 3;1 . Gọi I  a; b; c  là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz  đồng thời đi qua các điểm M , N , P . Tìm c biết rằng a  b  c  5 A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 8. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H 1; 2;  2  . Mặt phẳng   đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . 81 243 A. 243 . B. 81 . C. . D. . 2 2 Câu 9. ( HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  6;0;0  , N  0;6;0  , P  0;0;6  . Hai mặt cầu có phương trình  S1  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0 và  S 2  : x 2  y 2  z 2  8 x  2 y  2 z  1  0 cắt nhau theo đường tròn  C  . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C  và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM . A. 1. B. 3 . C. Vô số. D. 4 . Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A  3;1;1 , B 1;  1; 5  và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  11  0. Mặt cầu  S  đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với  P  tại điểm C . Biết C luôn thuộc một đường tròn T  cố định. Tính bán kính r của đường tròn T  . A. r  4 . B. r  2 . C. r  3 . D. r  2 . Câu 11. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  5 3 7 3   5 3 7 3  2 2 2 A  2 ; ;3  , B    2 ; 2 ;3  và mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  6 . Xét mặt   2    phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  0 ,  a, b, c, d   : d  5  là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T  a  b  c  d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất. A. T  4 . B. T  6 . C. T  2 . D. T  12 . Câu 12. Trong không gian Oxyz , xét số thực m   0;1 và hai mặt phẳng    : 2 x  y  2 z  10  0 và x y z  :    1 . Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt m 1 m 1 phẳng    ,    . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 6 B. 3 C. 9 D. 12 Câu 13. Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  đi qua điểm A  2; 2;5  và tiếp xúc với ba mặt phẳng  P  : x  1,  Q  : y  1 và  R  : z  1 có bán kính bằng A. 3 . B. 1. C. 2 3 . D. 3 3 . Câu 14. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; 2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng  P  đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy,z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA  OB  OC  0 ? A. 8 B. 1 C. 4 D. 3 Câu 15. (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3;1; 7  , B  5;5;1 và mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  4  0 . Điểm M thuộc  P  sao cho MA  MB  35 . Biết M có hoành độ nguyên, ta có OM bằng Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 A. 2 2 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 4 . Câu 16. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba 1 2 3 điểm A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  với a, b, c  0 . Biết rằng  ABC  đi qua điểm M  ; ;  và tiếp 7 7 7 2 2 2 72 1 1 1 xúc với mặt cầu  S  : x  1   y  2    z  3  . Tính 2  2  2 . 7 a b c 1 7 A. 14 . B. . C. 7 . D. . 7 2 Câu 17. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm M  2;1; 4  , N  5;0;0  , P 1;  3;1 . Gọi I  a; b; c  là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz  đồng thời đi qua các điểm M , N , P . Tìm c biết rằng a  b  c  5 . A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1 . 2 Câu 18. (Sở Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  1  4 và điểm A  2; 2;2  . Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB , AC , AD với B , C , D là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng  BCD  . A. 2 x  2 y  z  1  0 . B. 2 x  2 y  z  3  0 . C. 2 x  2 y  z  1  0 . D. 2 x  2 y  z  5  0 . Câu 19. (Hội 8 Trường Chuyên 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu  S  : 2 2 2 2 x 2  y 2   z  1  25 và  S  :  x  1   y  2    z  3  1. Mặt phẳng  P  tiếp xúc  S  và cắt  S  theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 . Khoảng cách từ O đến  P  bằng 14 17 8 19 A. . B. . C. . D. . 3 7 9 2 Câu 20. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2;11; 5 và mặt phẳng  P  : 2mx   m 2  1 y   m 2  1 z  10  0 . Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P  và cùng đi qua A . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng A. 10 2 . B. 12 3 . C. 12 2 . D. 10 3 . Câu 21. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho mặt cầu 2 2 2  S  :  x  1   y  1   z  1  1 và điểm A 2;2;2 . Xét các điểm M thuộc mặt cầu  S  sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với  S  . M luôn thuộc mặt phẳng cố định có phương trình là A. x  y  z  6  0 . B. x  y  z  4  0 C. 3 x  3 y  3 z  8  0 . D. 3 x  3 y  3 z  4  0 . Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  4 y  2 z  7  0 và đường thẳng d m là giao tuyến của hai mặt phẳng x  1  2 m  y  4mz  4  0 và 2 x  my   2m  1 z  8  0 . Khi đó m thay đổi các giao điểm của d m và  S  nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG 142 92 23 586 A. r  . B. r  . C. r  . D. r  . 15 3 3 15 Câu 23. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu  S  có phương trình x 2  y 2  z 2  2  a  4b  x  2  a  b  c  y  2  b  c  z  d  0 , tâm I nằm trên mặt phẳng    cố định. Biết rằng 4a  b  2c  4 . Tìm khoảng cách từ điểm D 1; 2;  2  đến mặt phẳng    . 15 1 9 1 A. . B. . C. . D. . 23 915 15 314 Câu 24. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , điểm M  a, b, c  thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z  6  0 và cách đều các điểm A 1;6;0  , B  2;2; 1 , C  5; 1;3 . Tích abc bằng A. 6 B. 6 C. 0 D. 5 Câu 25. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2  S  : x2   y  2   z 2  16 . Có tất cả bao nhiêu điểm A  a; b; c  ( a , c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng có phương trình y  2 2  0 sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của  S  đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? A. 26 . B. 32 . C. 28 . D. 45 . Câu 26. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2  S  :  x  1   y  1   z  1  9 và điểm A  2;3; 1 . Xét các điểm M thuộc  S  sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S  . Hỏi điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào có phương trình dưới đây? A. 3x  4 y  2  0 . B. 3x  4 y  2  0 . C. 6 x  8 y  11  0 . D. 6 x  8 y  11  0 . Câu 27. (Chuyên ĐHSP - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu 2 2 2 2 2 2  S1  :  x  2   y  3   z  1  4 và  S2  :  x  3   y  1   z  1  1 . Gọi M là điểm thay đổi thuộc mặt cầu  S2  sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua M , đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu  S1  theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là A. 8 . B. 4 6 . C. 2 30 . D. 4 . Câu 28. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2  S  :  x  1   y  3   z  4   5 và điểm M 1;4; 2  . Xét điểm N thuộc mặt cầu  S  sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu  S  . Khi đó điểm N luôn nằm trên mặt phẳng có phương trình là: A. 2 x  y  z  2  0 . B. x  y  z  1  0 . C. 2 x  y  2 z  2  0 . D. 2 x  y  2 z  2  0 . Câu 29. (Cụm Trường Nghệ An - 2022) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 0; 0) , B (0; 2;3) , 2 C (1;1;1) . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa A , B sao cho khoảng cách từ C đến ( P ) bằng . Tìm tọa độ giao 3 điểm M của ( P ) và trục Oy .  23   23  A. M (0; 1; 0) hoặc M  0; ;0  . B. M (0;1; 0) hoặc M  0;  ; 0  .  37   37  Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024  23   23  C. M (0; 1; 0) hoặc M  0;  ; 0  . D. M (0;1; 0) hoặc M  0;  ; 0  .  37   37  Câu 30. (Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét ba điểm 1 1 1 A( a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c ) thỏa mãn    1 . Biết rằng mặt cầu a b c ( S ) : ( x  2)2  ( y  1) 2  ( z  3)2  25 cắt mặt phẳng ( ABC ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là 4. Giá trị của biểu thức a  b  c là A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Câu 31. (Chuyên Hạ Long 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm N (2;3; 4) . Một mặt cầu bất kỳ đi qua O và N cắt các trục tọa độ Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C  0 . Biết rằng khi mặt cầu thay đổi nhưng vẫn thỏa đề bài, trọng tâm G của tam giác ABC luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Mặt phẳng cố định này chắn các trục tọa độ thành một tứ diện, tính thể tích của khối tứ diện đó. 24389 24389 24389 24389 A. . B. . C. . D. . 3888 4374 8748 2916 Câu 32. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình – 2022) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(4; 6; 2), B (2; 2; 0) và mặt phẳng ( P ) : x  y  z  0 . Xét đường thẳng d thay đổi thuộc ( P ) và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d . Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng A. 4 . B.  . C. 6 . D. 3 . Câu 33. (THPT Cửa Lò – Nghệ An 2022) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P  : 4 y  z  3  0 và 2 2 2 mặt cầu  S  :  x  4    y  4    z  2   4. Có bao nhiêu điểm M thuộc mặt phẳng Oxy với tung độ nguyên, mà từ điểm M kẻ được tiếp tuyến với  S  đồng thời vuông góc với mặt phẳng  P  A. 34 . B. 18 . C. 32 . D. 20 . Câu 34. (Sở Vĩnh Phúc 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua hai điểm A 1;1;1 , B  0; 2; 2  đồng thời cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại các điểm M , N ( M , N không trùng với gốc tọa độ O thỏa mãn OM  2ON . A. 2 x  y  z  4  0 . B. 2 x  3 y  z  4  0 . C. 3 x  y  2 z  6  0 . D. x  2 y  z  2  0 . Câu 35. (THPT Ninh Bình - Bạc Liêu 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (2; 4; 0), D  0; 0; 6  và mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  0 . Có bao nhiêu mặt phẳng cắt  S  theo một đường tròn và diện tích hình tròn là 14 , đồng thời cách đều năm điểm O, A, B, C, D ( O là gốc tọa độ)? A. 5 . B. 3 . C. 1. D. Vô số. Câu 36. (Sở Quảng Bình 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1)2  ( y  1) 2  ( z  1)2  12 và mặt phẳng ( P ) : x  2 y  2 z  2  0 . Xét điểm M di động trên ( P ) , các điểm A, B, C phân biệt di động trên ( S ) sao cho MA, MB, MC là các tiếp tuyến của ( S ) . Mặt phẳng ( ABC ) luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? 1 1 1 3  A. E (12; 23; 25) . B. F  ;  ;   . C. G ( 12; 23; 25) . D. H  ; 0; 2  . 4 2 2 2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 37. (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  8  0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và tiếp xúc với mặt cầu (S ) . A. 5 x  (3  2 6) y  0, 5 x  (3  2 6) y  0 . B. (2  3 6) x  5 z  0, (2  3 6) x  5 z  0 . C. 5 x  (2  3 6) y  0, 5 x  (2  3 6) y  0 . D. (3  2 6) x  5 z  0, (3  2 6) x  5 z  0 . Câu 38. (Sở Bình Thuận 2022) Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AD  2 AB  2 BC và SC vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Nếu A(3;0;0); D (0;3;0); S (0;0;3) và C có hoành độ dương thì tung độ của B bẳng 7 1 1 A. . B. 2. C.  . D. . 2 2 2 Câu 39. (THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi - 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng   đi qua điểm M 1; 2;3 và cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3 . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng   . 5 21 18 91 4 11 A. . B. 9 93 . C. . D. . 21 91 15 Câu 40. (THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi - 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  1  0 ,  Q  : 2 x  y  2 z  1  0 . Gọi  S  là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời  S  cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 và  S  cắt mặt phẳng  Q  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng r . Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu  S  thỏa mãn yêu cầu 2 21 2 21 2 7 10 A. r  . B. r  . C. r  . D. r  . 3 5 15 5 Câu 41. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2022) Trong không gian, cho mặt cầu  S  : x2  y2  z2  2x  2 y  6z  m  0 và mặt phẳng  P  : x  2 y  z  m 1  0 . Có bao nhiêu số tự nhiên m để không tồn tại điểm K nào thuộc mặt phẳng  P  mà qua điểm K kẻ được đường thẳng  d  cắt mặt     cầu  S  tại A, B thỏa mãn KA.K B  16 ? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1 . Câu 42. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;2; 3 ,  3 3 1 B  ; ;   , C 1;1;4 , D  5;3;0 . Gọi  S1  là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3,  S2  là mặt cầu tâm B  2 2 2 3 bán kính bằng . Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với 2 mặt cầu  S1  ,  S2  đồng thời song song với 2 đường thẳng qua C và D ? A. 2. B. 4. C. Vô số. D. 1 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 43. (Sở Bắc Ninh 2023) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  12 và mặt phẳng ( ) : x  2 y  2 z  11  0 Lấy điểm M tùy ý trên ( ) . Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu ( S ) , với A, B, C là các tiếp điểm đôi một phân biệt. Khi M thay đổi thì mặt phẳng (ABC ) luôn đi qua điểm cố định E ( a; b; c) . Tổng a  b  c bằng 7 3 A. 0. B. . C.  . D. 2. 2 4 Câu 44. (THPT Nông Cống 1 – Thanh Hóa 2023) Trong không gian với hệ trục O x yz , cho hai mặt 2 2 2 phẳng (P ) : x  2 y  3z  10  0 , (Q ) : x  2 y  2 z  7  0 và mặt cầu (S):(x 1)  y  (z  2)  4 . Gọi M ,N lần lượt là hai điểm nằm trên (S ) và (Q ) sao cho MN luôn vuông góc với (P) . Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của MN tương ứng là a và b. Khi đó a2  b2 là A. 49 . B. 520 . C. 560 . D. 590 . 9 9 9  5  Câu 45. (Sở Thanh Hóa 2023) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(2;1; 4), B (2;5; 4), C  ;5; 1  2  2 2 2     và D(3;1; 4) . Các điểm M , N thỏa mãn MA  3MB  48 và ND  ( NC  BC )  ND . Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN . 2 A. 0. B. 4. C. 1. D. . 3 Câu 46. (Sở Hậu Giang 2023) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;1;0), B(0;3; 2), C (5;5; 10) . Các điểm M , N lần lượt thỏa mãn đẳng thức        MA( MA  2 MB )  4 AB 2  MB 2 và AB  CN  0 . Khoàng cách ngắn nhất của MN là A. 4 3 . B. 3  2 3 . C. 1  4 3 . D. 2 3 . Câu 47. (Sở Hưng Yên 2023) Trong không gian với hệ tọa độ O x yz , cho 4 điểm        A ( 2; 3;  1), B (0; 4; 2 ), C (1; 2;  1), D (7 ; 2;1) . Đặt T  8| NA  NB  NC | 12 | NC  ND | , trong đó N di chuyển trên trục O x . Giá trị nhỏ nhất của T thuộc khoảng nào dưới đây? A. (8 0;1 0 0 ) . B. (1 3 0 ;1 5 0 ) . C. ( 6 2 ; 8 0 ) . D. (1 0 0 ;1 3 0 ) . Câu 48. (Sở Sơn La 2023) Trong không gian O x yz , cho hai mặt cầu  S1  : ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  36 ;  S2  : ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  49 và điểm A (7; 2;  5) . Xét đường thẳng  di động nhưng luôn tiếp xúc với  S1  đồng thời cắt  S2  tại hai điểm B, C phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng A. 20 13 . B. 16 13 . C. 8 13 . D. 18 13 . 2 2 2 Câu 49. (Sở Hòa Bình 2023) Trong không gian O xyz , cho mặt cầu (S):(x 1)  ( y  2)  (z 1)  9 và điểm M ( 4; 2; 3) . Một đường thẳng bất kì đi qua M cắt (S ) tại A, B . Khi đó giá trị nhó nhất của M A 2  4 M B 2 bằng A. 64. B. 32. C. 16. D. 8. Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(0;0;1), B (0;0; 4), C (2; 2;1), E (4;0;0), F (3;1; 6) . Xét 1 điểm M thay đổi sao cho MA  MB và MA  MC . Giá trị lớn nhất của ME  MF bằng 2 A. 4 3  3 . B. 4 3  6 . C. 4 2  2 . D. 4 6  6 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(2;3; 1), B (0; 4; 2), C (1; 2; 1), D (7; 2;1) . Điểm M di         chuyển trên trục Ox . Đặt P  4 | MA  MB  MC | 6 | MC  MD | . Tính giá trị nhỏ nhất của P . A. Pmin  12 10 . B. Pmin  60 2 . C. Pmin  12 34 . D. Pmin  48 . Câu 52. (THPT Thị xã Quảng Trị 2023) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(4;0;0), B(8;0;6) . Xét điểm M thay đổi sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng OM bằng 2 và diện tích tam giác OAM không lớn hơn 6. Giá tri nhỏ nhất của độ dài đoan thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?  13  7   13  A. (5;7) . B.  ;5  . C.  ; 4  . D.  4;  .  3  2   3 Câu 53. (Chuyên Quang Trung – Bình Phước 2023) Trong không gian Oxyz , cho điểm     3OM  OA    A(4;0;0), B (1; 2;3) . Gọi M là điểm di động thỏa mãn OM  OA  và MA  MO  0 . Gọi p; q 2 2 2 lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của BM . Giá trị p  q bằng A. 40. B. 30. C. 34  2 39 . D. 34  2 39 . Câu 54. (Sở Nghệ An 2023) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A( 8; 1; 6), B (1; 2;3), C (16;3;5) . Điểm 2 2 2 M di động trên mặt cầu  S1  : ( x  4)  ( y  3)  ( z  3)  49 sao cho tam giác MAB có   2sin MAB  sin MBA . Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng CM thuộc khoảng nào dưới đây? A. (7;8) . B. (8;9) . C. (6; 7) . D. (5; 6) . Câu 55. (Sở Nghệ An 2023) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A( 8; 1;6), B (1; 2;3) và C (4;14; 11) . Điểm M di động trên mặt cầu  S1  : ( x  4) 2  ( y  3)2  ( z  3)2  49 sao cho tam giác   MAB có 2 sin MAB  sin MBA . Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng CM thuộc khoảng nào dưới đây? A. (8;9) . B. (7;8) . C. (10;11) . D. (9;10) . Câu 56. (Sở Vĩnh Phúc 2023) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình ( P ) :3 x  4 y  20  0 và hai mặt cầu 3  S1  : ( x  7)2  ( y  7)2  ( z  5) 2  24;  S2  : ( x  3)2  ( y  5)2  ( z  1)2  . Gọi A, M , N lần lượt là các 2 điểm thuộc ( P);  S1  ;  S2  . Giá trị nhỏ nhất của d  AM  AN là 4 6 11 6 3 6 2 6 A. . B. . C. . D. . 5 10 5 5 Câu 57. (Cụm trường Ninh Thuận - Ninh Thuận 2023) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  2  0 . Gọi ( N ) là hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp trong mặt cầu ( S ) và (T ) là hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất nội tiếp bên trong hình nón (như hình vẽ). Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Khi đó, điểm nào dưới đây có thế thuộc đường tròn đáy của hình trụ? 2 2 4  2 2 A. M  ; ;  . B. Q  0; ;  . 3 3 3  3 3 2 2  4 C. N  ;0;  . D. P  0;0;  . 3 3  3 Câu 58. (Chuyên Thái Bình 2023) Trong không gian Oxyz , cho A(0; 0;10), B (3; 4; 6) . Xét các điểm thay đổi sao cho MB luôn vuông góc với OA và tam giác OAM có diện tích bằng 15. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây? A. (4;5) . B. (7;9) . C. (2;3) . D. (6; 7) . Câu 59. (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá 2023) Trong không gian Oxyz cho tứ diện OABC với  5 2 14  O (0; 0; 0), A(1; 2; 2), B (2; 2;1) và C   ;  ;  . Gọi ( S ) là mặt cầu đường kính OA . Một tiếp tuyến MN  3 3 3 thay đổi tiếp xúc với ( S ) tại tiếp điểm H ( M thuộc tia AC , N thuộc tia OB ). Biết khi M , N thay đổi thì H di động trên mặt phẳng (Q ) cố định có phương trình ax  by  z  c  0 . Tính a  b  c . A. 3. B. 7. C. 5. D. 6 . Câu 60. (THPT Phan Huy Chú - Hà Nội 2023) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  3)2  ( y  1) 2  ( z  1)2  20 và điểm M (2; 0;3) . Ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho MA, MB, MC đôi một vuông góc với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là MA, MB, MC , gọi P là đỉnh đối diện với M trong hình hộp chữ nhật đó. Biết rằng P luôn nằm trên một mặt cầu cố định, diện tích của mặt cầu đó bằng A. 192 . B. 108 . C. 80 . D. 300 . Dạng 2. Cực trị 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM  AH Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB  BC  AC . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2  A2 A3  ...  An1 An  A1 An x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có  2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y 2        Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b  a . b . Đẳng thức xảy ra khi a  kb, k   2. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình  H  (  H  là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình  H  . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại . M ta có AM  AH . Đẳng thức xảy ra khi M  H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên  H  Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM . Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S )  AM 1  AM 2  và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C). Ta có M MM  90 , nên  2 và  là các góc tù, nên trong các tam giác  1 2 AMM AM M 1 AMM 1 và AMM 2 ta có AI  R  AM 1  AM  AM 2  AI  R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R  AI  AM  R  AI Vậy min AM | AI  R |, max AM  R  AI Bài toán 3. Cho măt phẳng ( P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho 1. MA  MB nhỏ nhất. 2. | MA  MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM  BM  AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM  BM  A M  BM  A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó | AM  BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua  P  , Khi đó | AM  BM | A M  BM  A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó d( B, ( P))  BH  BA Do đó  P  là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Bài toán 5. Cho các số thực dương  ,  và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng ( P) đi qua C và T   d( A, ( P))   d( B,( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖ ( P ) thì P  (   )d( A,( P))  (   ) AC    - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB  ID và E là trung điểm BD. Khi đó  IB P   d( A, ( P))     d( D, ( P))  2 d( E , ( P))  2(   ) EC ID 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B  là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó   P   d( A, ( P))   d B , ( P) Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 , , An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i  1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 , , An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó n  d  A , ( P)   nd(G, ( P))  nGA i 1 i - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m  k  n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG P  md  G3 , ( P )   kd  G2 , ( P )  Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua đường thẳng  và cách A một khoảng lớn nhất Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A,( P))  AH  AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 , , An . Xét véc tơ       w  1 MA1   2 M A2     n M An Trong đó 1 ; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1   2  ...   n  0 . Tìm điểm  M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn     1GA1   2GA2     n GAn  0 (điểm G hoàn toàn xác định).    Ta có MAk  MG  GAk vói k  1; 2;; n, nên         w  1   2   n  MG  1GA1   2GA2     nGAn  1   2   n  MG Do đó   | w | 1   2     n  | MG |  Vi 1   2     n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M  ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 , , An . Xét biểu thức: T  1MA12   2 MA2     n MAn 2 2 Trong đó 1 ,  2 , ,  n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết 1   2   n  0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết 1   2   n  0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn     1GA1   2GA2     n GAn  0    Ta có MAk  MG  GAk với k  1; 2;; n, nên    2      MAk2  MG  GAk  MG 2  2 MG  GAk  GAk2 Do đó T  1   2     n  MG 2  1GA12   2GA2     n GAn 2 2 Vì 1GA12   2GA2     nGAn không đổi nên 2 2 • với 1   2   n  0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với 1   2   n  0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M  ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M  d , M  I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến  của ( P) và (Q) .  Đặt  là góc giữa ( P) và (Q), ta có   MKH , do đó HM HM tan    HK HI Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (MHI ), nên (Q) đi qua M và nhận     nP  ud   ud làm VTPT. Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau:    - Goi n  (a; b; c), a 2  b 2  c 2  0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n  ud  0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi  là góc giữa ( P) và (Q), ta có   n  nP cos      f (t ) | n |  nP b với t  , c  0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d  chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d  một góc lớn nhất. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M song song với d  . Khi đó góc giữa  và ( P) chính là góc giữa d  và ( P) . Trên đường thẳng  , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d ,  là góc giữa  và ( P) . HM KM Khi đó    và cos   AMH  AM AM Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M và nhận      ud  ud   ud làm VTPT. Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau:    - Goi n  (a; b; c), a 2  b 2  c 2  0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n  ud  0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG  - Gọi  là góc giữa ( P) và d , ta có   n  ud  sin      f (t ) | n |  ud  b với t  , c  0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Dạng 2.1. Cực trị liên quan đến bán kính, diện tích, chu vi, thể tích Câu 1. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 2; 6  , B  0;1; 0  và mặt 2 2 2 cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  25 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c A. T  3 B. T  4 C. T  5 D. T  2 Câu 2. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1;1;1 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A  a;0;0  , B  0; b; 0  , C  0;0;c  sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó a  2b  3c bằng A. 12 . B. 21 . C. 15 . D. 18 . Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A  2;0;0  , M 1;1;1 . Mặt phẳng  P  thay đổi qua AM và cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C . Khi mặt phẳng  P  thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 5 6 . B. 4 6 . C. 3 6 . D. 2 6 . 2 2 2 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  9 , điểm A  0;0; 2  . Mặt phẳng  P  qua A và cắt mặt cầu  S  theo thiết diện là hình tròn  C  có diện tích nhỏ nhất, phương trình  P  là: A.  P  : x  2 y  3 z  6  0 . B.  P  : x  2 y  3 z  6  0 . C.  P  : 3 x  2 y  2 z  4  0 . D.  P  : x  2 y  z  2  0 . Câu 5. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( S ) :  x  1   y  2    z  3  27 . Gọi   là mặt phẳng đi qua 2 điểm A  0; 0; 4  , B  2;0;0  và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn  C  sao cho khối nón có đỉnh là tâm của  S  , là hình tròn  C  có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng   có phương trình dạng ax  by  z  c  0 , khi đó a  b  c bằng: A. 8. B. 0. C. 2. D. -4.  5 3 7 3   5 3 7 3  Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A   2 ; 2 ;3  , B  2 ; 2 ;3  và mặt cầu        (S ) : ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  6 . Xét mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  0 ,  a, b, c, d   : d  5  là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T  a  b  c  d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất. A. T  4 . B. T  6 . C. T  2 . D. T  12 . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 7. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;  1;  1 , B  1;  3;1 . Giả sử C, D là hai điểm di động trên mặt phẳng  P  :2 x  y  2 z  1  0 sao cho CD  4 và A, C, D thẳng hàng. Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD . Khi đó tổng S1  S 2 có giá trị bằng bao nhiêu? 34 37 11 17 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 8. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x  y  2 z  1  0 và các điểm A  0;1;1 ; B 1; 0; 0  ( A và B nằm trong mặt phẳng  P  ) và mặt cầu 2 2 2  S  :  x  2   y  1   z  2   4 . CD là đường kính thay đổi của  S  sao cho CD song song với mặt phẳng  P  và bốn điểm A, B, C , D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là A. 2 6 . B. 2 5 . C. 2 2 . D. 2 3 . Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B  2; 0;2  , C  1; 1; 0  , D  0;3; 4  . Trên các cạnh AB, AC , AD lần lượt lấy các điểm B, C , D AB AC AD thỏa    4 . Viết phương trình mặt phẳng  BC D  biết tứ diện ABC D có thể tích nhỏ AB AC  AD nhất? A. 16x  40 y  44z  39  0 B. 16 x  40 y  44 z  39  0 C. 16x  40 y  44 z  39  0 D. 16x  40 y  44z  39  0 Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2; 4  , B  0;0;1 và mặt cầu 2 2  S  :  x  1   y  1  z 2  4 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  4  0 đi qua A, B và cắt  S  theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c ? 1 3 A. T  . B. T  . C. T  1 . D. T  2 . 5 4 Câu 11. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  2  0 và hai điểm A 1;2;3 , B 1;0;1 . Điểm C  a; b;  2    P  sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a  b A. 0. B. 3 . C. 1. D. 2. Câu 12. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1;2;1 cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc O ) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng  P  đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. N  0;2;2  B. M  0; 2;1 C. P  2;0;0  D. Q  2;0; 1 Câu 13. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  đi qua điểm M  9;1;1 cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C. . D. 243 . 2 2 6 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 14. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  3 . Một mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S  và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn OA2  OB 2  OC 2  27 . Diện tích tam giác ABC bằng 3 3 9 3 A. . B. . C. 3 3 . D. 9 3 . 2 2 Câu 15. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z  0 và mặt cầu ( S ) : x 2  ( y  1)2  ( z  2) 2  1 . Xét một điểm M thay đổi trên mặt phẳng ( P) . Gọi khối nón ( N ) có đỉnh là điểm M và có đường tròn đáy là tập hợp các tiếp điểm vẽ từ M đến mặt cầu ( S ) . Khi ( N ) có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( N ) có phương trình dạng x  ay  bz  c  0 . Tính a  b  c A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . Câu 16. (Chuyên KHTN - 2021) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(4;1;5), B(6; 1;1) và mặt phẳng ( P) : x  y  z  1  0 . Xét mặt cầu (S ) đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc ( P) . Bán kính mặt cầu (S ) nhỏ nhất bằng A. 35 . B. 33 . C. 6 . D. 5 . Câu 17. (Sở Lào Cai - 2021) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(3; 2; 0);B ( 1; 2; 4). Xét trụ (T ) nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB. Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì chứa đường tròn đáy đi qua điểm nào dưới đây?  A. C 0; 1; 2 3 .   B. C 0; 1; 2 3 .   C. C 1;0; 2 3 .   D. C 1;0; 2 3 .  Câu 18. (Đề Tham Khảo 2021) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;1;3 và B  6;5;5 . Xét khối nón  N  có đỉnh A , đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB . Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N  có phương trình dạng 2 x  by  cz  d  0 . Giá trị của b  c  d bằng A. 21 . B. 12 . C. 18 . D. 15 . Câu 19. (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2021) Trong không gian cho hai điểm I  2;3;3 và J  4; 1;1 . Xét khối trụ T  có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính IJ và có hai tâm nằm trên đường thẳng IJ . Khi có thể tích T  lớn nhất thì hai mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của T  có phương trình dạng x  by  cz  d1  0 và x  by  cz  d 2  0 . Giá trị của d12  d 22 bằng: A. 25 . B. 14 . C. 61 . D. 26 . Câu 20. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  với 3 10 a  4, b  5, c  6 và mặt cầu  S  có bán kính bằng ngoại tiếp tứ diện O. ABC . Khi tổng 2 OA  OB  OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng   đi qua tâm I của mặt cầu  S  và song song với mặt q phẳng  OAB  có dạng mx  ny  pz  q  0 ( với m,n,p,q  ; là phân số tối giản). Giá trị p T = m + n + p + q bằng A. 3 . B. 9 . C. 5 . D. 5 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm C  1; 2;11 , H ( 1; 2; 1) , hình nón  N  có đường cao CH  h và bán kính đáy là R  3 2 . Gọi M là điểm trên đoạn CH ,  C  là thiết diện của mặt phẳng  P  vuông góc với trục CH tại M của hình nón  N  . Gọi  N   là khối nón có đỉnh H đáy là  C  . Khi thể tích khối nón  N   lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón  N   có tọa độ tâm I  a; b, c  , bán kính là d . Giá trị a  b  c  d bằng A. 1 . B. 3 . C. 6 . D. 6 . 2 2 2 Câu 22. Trong hệ trục Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  :  x  1   y  3   z  2   49 và 2 2 2  S2  :  x  10   y  9   z  2  400 và mặt phẳng  P  : 4 x  3 y  mz  22  0 . Có bao nhiêu số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu  S1  ,  S 2  theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến chung? A. 5 . B. 11 . C. Vô số. D. 6 . Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;1;1 và B  2;1;1 . Xét khối nón  N  có đỉnh A đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB . Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng  P  chứa đường tròn đáy của  N  cách điểm E 1;1;1 một khoảng là bao nhiêu? 1 1 A. d  . B. d  2 . C. d  . D. d  3 2 3 Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;3; 1 ; B 1;3; 2  và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 . Xét khối nón  N  có đỉnh là tâm I của mặt cầu và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  . Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N  và đi qua hai điểm A, B có phương trình dạng 2 x  by  cz  d  0 và y  mz  e  0 . Giá trị của b  c  d  e bằng A. 15. . B. 12. . C. 14. . D. 13. Câu 25. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;0; 0  , B  3; 4; 4  . Xét khối trụ T  có trục là đường thẳng AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB . Khi T  có thể tích lớn nhất, hai đáy của T  nằm trên hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là x  by  cz  d1  0 và x  by  cz  d 2  0 . Khi đó giá trị của biểu thức b  c  d1  d 2 thuộc khoảng nào sau đây? A.  0; 21 . B.  11;0  . C.  29; 18  . D.  20; 11 . Câu 26. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2021) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  đường kính AB , với điểm A  2;1;3  và B  6;5;5  . Xét khối trụ T  có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  và có trục nằm trên đường thẳng AB . Khi T  có thể tích lớn nhất thì hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của T  có phương trình dạng 2 x  by  cz  d1  0 và 2 x  by  cz  d 2  0 ,  d1  d 2  . Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng  d1 ; d 2  ? A. 15 . B. 11 . C. 17 . D. 13 . Câu 27. (Chuyên Thái Bình - 2021) Trong không gian tọa độ Oxy , Cho hai điểm A  2;1;3 , B  6;5;5  . Xét khối nón  N  ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh khối nón  N  . Khi thể tích của khối nón  N  nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N  có phương trình 2 x  by  cz  d  0 . Tính T  b  c  d . A. T  12 . B. T  24 . C. T  36 . D. T  18 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG Câu 28. (Chuyên Vinh – 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  2 z  16  0 và mặt cầu ( S ) : ( x  2) 2  ( y  1)2  ( z  3)2  21. Một khối hộp chữ nhật ( H ) có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng ( P ) và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu ( S ) . Khi ( H ) có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của ( H ) nằm trên mặt cầu ( S ) là (Q ) : 2 x  by  cz  d  0 . Giá trị b  c  d bằng A. 15 . B. 13 . C. 14 . D. 7 . Câu 29. (THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba mặt phẳng ( P ) : x  y  z  5  0 ; (Q ) : x  y  z  1  0 và ( R ) : x  y  z  2  0 . Ứng với mỗi cặp điểm A, B lần lượt thuộc hai mặt phẳng ( P ), (Q ) thì mặt cầu đường kinh AB luôn cắt mặt phẳng ( R ) theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó. 1 2 1 A. . B. . C. 1. D. . 3 3 2 Câu 30. (Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  0 và điểm M (0;1; 0) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt ( S ) theo đường tròn (C ) có chu vi nhỏ nhất. Gọi N  x0 ; y0 ; z0  là điểm thuộc đường tròn (C ) sao cho ON  6 . Tính y0 . A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 31. (Cụm trường Nam Định 2022) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A  1; 2; 4  , B  1;  2; 2  và mặt phẳng  P  : z  1  0 . Điểm M  a; b; c  thuộc mặt phẳng  P  sao cho tam giác MAB vuông tại M và diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Tính a 3  b3  c 3 . A. 1 . B. 10 . C. 1. D. 0 . Câu 32. (THPT Đồng Lộc - Hà Tĩnh 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2022 . Hỏi có bao nhiêu điểm M  a; b; c  , a  b  c  0 thuộc mặt cầu  S  sao cho tiếp diện của  S  tại M cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C có thể tích tứ diện OABC là nhỏ nhất. A. 4 . B. 8 . C. 1 . D. 2 . Câu 33. (Sở Lai Châu 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;1;3), B (6;5;5) . Xét khối nón ( N ) ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh khối nón ( N ) . Khi thể tích của khối nón ( N ) nhỏ nhất thì mặt phẳng qud đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( N ) có phương trình 2 x  by  cz  d  0 . Tính T  b  c  d ? A. T  24 . B. T  12 . C. T  36 . D. T  18 . Câu 34. (Sở Hậu Giang 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 4  , B  0;0;1 2 2 và mặt cầu  S  : x  1   y  1  z 2  4 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  3  0 đi qua A, B và cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính a bc . 27 33 3 31 . A. T  B. T  . C. T   . D. T  . 4 5 4 5 Câu 35. (THPT Nguyễn Huệ - Huế - 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  1 . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  6  0 . Từ điểm M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB , MC đến mặt cầu  S  , trong đó A, B , C là các tiếp điểm. Khi M di động trên mặt phẳng  P  . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 3 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Câu 36. (Chuyên Thái Bình 2023) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm thuộc Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2024 mặt phẳng ( P ) : x  2 y  z  7  0 và đi qua hai điểm A(1; 2;1), B (2;5;3) . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu ( S ) bằng: 470 546 763 345 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 37. (Chuyên Thái Bình 2023) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) : x  2 y  z  7  0 và đi qua hai điểm A(1; 2;1), B (2;5;3) . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu ( S ) bằng 470 546 763 345 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho hai điểm A (  1; 2; 4 ), B (  1;  2 ; 2 ) và mặt phẳng (P) : z  1  0 . Điểm M (a; b; c ) thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Tính a 3  b 3  c 3 . A. 1 . B. 10 . C. 1. D. 0. Câu 39. (THPT Đông Hà – Quảng Trị 2023) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A( 2; 1; 2), B (2; 1; 4) . Và mặt phẳng ( P ) : z  1  0 . Điểm M ( a; b; c ) thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích lớn nhất. Tính T  2 a  3b  c : A. 0. B. 3. C. 6. D. 2. Câu 40. (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi 2023) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;0; 3) và điểm 3 B thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy ) sao cho diện tích tam giác OAB bằng . Gọi C là điểm trên tia Oz 2 thỏa mãn d[C, AB]  d[C, OB]  k . Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi tập hợp tất cả các điểm M mà CM  k thuộc khoảng nào dưới đây? A. (0, 2;0,7) . B. (1, 2;1,7) . C. (1,7; 2, 2) . D. (0,7;1, 2) . Câu 41. (Sở Hà Nam 2023) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 0), B (3; 1; 4) và mặt phẳng ( P ) : x  y  z  1  0 . Gọi M là điểm nằm trên ( P ) sao cho | MA  MB | đạt giá trị lớn nhất. Hoành độ điểm M là 3 1 3 5 A. . B.  . C. . D. . 2 2 4 4 Câu 42. (Sở Quảng Bình 2023) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  6 x  4 y  2 z  11  0 và điểm M (0; 2;1) . Gọi d1 , d2 , d3 là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm M và lần lượt cắt mặt cầu ( S ) tại điểm thứ hai là A, B, C . Thể tích của tứ diện MABC đạt giá trị lớn nhất bằng? 50 3 1000 3 100 3 500 3 A. . B. . C. . D. . 9 27 9 27 Câu 43. (Sở Cần Thơ 2023) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  27 , Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0; 0; 4), B (2; 0; 0) và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) sao cho khối nón đỉnh là tâm của ( S ) và đáy là (C ) có thể tích lớn nhất. Biết phương trình của ( ) có dạng ax  by  z  c  0, (a, b, c   ) . Giá trị của a  b  c bằng A. 4 . B. 0. C. 8. D. 2. Câu 44. (Sở Lạng Sơn 2023) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(4; 4; 0) và B (3;6;0) . Xét điểm S thay đổi thuộc trục Oz . Gọi G là trọng tâm tam giác SOB , H là hình chiếu vuông góc của O lên đường Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG thẳng AG . Biết rằng khi S thay đổi thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào dưới đây?  3 3  5   5 A. 1;  . B.  ; 2  . C.  ;3  . D.  2;  .  2 2  2   2 Câu 45. (Sở Kiên Giang 2023) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(6; 6; 0), B (6; 0; 6), C (0; 6; 6) . Mặt phẳng ( P ) đi qua gốc tọa độ O , vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) sao cho ( P ) cắt các đoạn AB , AC tại các điểm M , N thỏa mãn thể tích tứ diện OAMN nhỏ nhất. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm nào sau đây? A. F (1; 1;3) . B. D (1;3; 2) . C. H (1; 3; 4) . D. E (1;5; 3) . Câu 46. (Sở Cà Mau 2023) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  3) 2  ( y  2) 2  ( z  2) 2  27 . Gọi mặt phẳng ( P ) : ax  by  2 z  c  0 đi qua hai điểm A(0; 0; 2), B( 4; 0; 0) và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) sao cho khối nón đỉnh là tâm của ( S ) và đáy là (C ) có thể tích lớn nhất. Khi đó a 2  b 2  c 2 bằng A. 49. B. 33. C. 21. D. 18. 1  Câu 47. (Cụm Trường Vĩnh Phúc 2023) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 0;0), M  ;1;1 . 2  Mặt phẳng ( P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy; Oz lần lượt tại B, C . Khi mặt phẳng ( P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bao nhiêu? 16 8 34 8 17 A. . B. . C. . D. 4 6 . 3 9 3 Câu 48. (Sở Bà Rịa - Vũng Tàu 2023) Trong không gian Oxyz , xét khối chóp K  ABCD có ABCD là hình vuông diện tích lớn hơn 1. KA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và góc tạo bởi KB với mặt phẳng ( ABCD) bằng 45 . Biết rằng A(0;1;1) còn ba điểm K , B, D cùng thuộc mặt cầu ( S ) : x 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  3 . Thể tích khối chóp K  ABCD là 3 2 A. . B. 3. C. 2. D. . 2 2 Câu 49. (Sở Trà Vinh 2023) Trong không gian Oxyz , cho A(0; 0;1), B (0;0;9) và điểm Q(3; 4;6) . Xét các điểm M sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MQ thuộc khoảng nào dưới đây? A. (2;3) . B. (4;5) . C. (1; 2) . D. (3; 4) . Câu 50. (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2023) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2; 4), B (1; 2; 2) và mặt phẳng ( P ) : z  1  0 . Điểm M (a; b; c)  ( P ) sao cho tam giác MAB vuông tại M và diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Tính a 3  b3  c3 . A. 0. B. 1 . C. 10. D. 1. Câu 51. (Chuyên Vinh 2023) Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD  A BC  D có A(0;0;0) , B(3;0;0), D(0;3;0), A (0;0;3) . Mặt cầu ( S ) có phương trình dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 , tiếp xúc với hai đường thẳng B D và BC  . Khi thể tích khối cầu ( S ) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của d bằng? 31 A. . B. 31. C. 14. D. 7. 2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022

304 tài liệu

927 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.