Tài liệu rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử tham khảo

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

572
lượt xem 170
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử tham khảo giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi, dể dàng và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. Tác giả hy vọng tài liệu có ích cho các bạn tham khảo

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử tham khảo

A/. MÔÛ ÑAÀU 1. Lyù do choïn ñeà taøi: Toaùn hoïc laø boä moân khoa hoïc ñöôïc coi laø chuû löïc, bôûi tröôùc heát Toaùn hoïc hình thaønh cho caùc em tính chính xaùc, tính heä thoáng, tính khoa hoïc vaø tính logic,… vì theá neáu chaát löôïng daïy vaø hoïc toaùn ñöôïc naâng cao thì coù nghóa laø chuùng ta tieáp caän vôùi neàn kinh teá tri thöùc khoa hoïc hieän ñaïi, giaøu tính nhaân vaên cuûa nhaân loaïi. Cuøng vôùi söï ñoåi môùi chöông trình vaø saùch giaùo khoa, taê ng cöôøng söû duïng thieát bò, ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc noùi chung vaø ñoåi môùi phöông phaùp daïy vaø hoïc toaùn noùi rieâng trong tröôøng THCS hieän nay laø tích cöïc hoaù hoaït ñoäng hoïc taäp, hoaït ñoäng tö duy, ñoäc laäp saùng taïo cuûa hoïc sinh, khôi daäy vaø phaùt trieån khaû naêng töï hoïc, nhaèm naâng cao naêng löïc phaùt hieän vaø giaûi quyeát vaán ñeà, reøn luyeän vaø hình thaønh kó naêng vaän duïng kieán thöùc moät caùch khoa hoïc, saùng taïo vaøo thöïc tieãn. Trong chöông trình Ñaïi soá lôùp 8, daïng toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû laø noäi dung heát söùc quan troïng, vieäc aùp duïng cuûa daïng toaùn naøy raát phong phuù, ña daïng cho vieäc hoïc sau naøy nhö ruùt goïn phaân thöùc, quy ñoàng maãu thöùc nhieàu phaân thöùc, giaûi phöông trình,... Qua thöïc teá giaûng daïy nhieàu naêm, cuõng nhö qua vieäc theo doõi keát quaû baøi kieåm tra, baøi thi cuûa hoïc sinh lôùp 8 (caùc lôùp ñang giaûng daïy), vieäc phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû laø khoâng khoù, nhöng vaãn coøn nhieàu hoïc sinh laøm sai hoaëc chöa thöïc hieän ñöôïc, chöa naém vöõng chaéc caùc phöông phaùp giaûi, chöa vaän duïng kó naêng bieán ñoåi moät caùch linh hoaït, saùng taïo vaøo töøng baøi toaùn cuï theå. Nhaèm ñaùp öùng yeâu caàu ñoåi môùi phöông phaùp giaûng daïy, giuùp hoïc sinh thaùo gôõ vaø giaûi quyeát toát nhöõng khoù khaên, vöôùng maéc trong hoïc taäp ñoàng thôøi naâng cao chaát löôïng boä moân neân baûn thaân ñaõ choïn ñeà taøi: “ Reøn kó naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû cuûa hoïc sinh - moân ñaïi soá 8 ”. 2. Ñoái töôïng nghieân cöùu: Reøn kó naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû . 3. Phaïm vi nghieân cöùu: Ñeà taøi nghieân cöùu trong phaïm vi hoïc sinh lôùp 82, 83 cuûa tröôøng THCS Phöôùc Chæ, naêm hoïc 2007 - 2008. YÙ töôûng cuûa ñeà taøi raát phong phuù, ña daïng, phaïm vi nghieân cöùu roäng, neân baûn thaân chæ nghieân cöùu qua boán phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ôû chöông trình SGK, SBT toaùn 8 hieän haønh. 1
4. Phöông phaùp nghieân cöùu: Nghieân cöùu qua taøi lieäu: SGK, SGV, SBT toaùn 8, taøi lieäu coù lieân quan. Nghieân cöùu qua thöïc haønh giaûi baøi taäp cuûa hoïc sinh. Nghieân cöùu qua theo doõi kieåm tra. Nghieân cöùu töø thöïc teá giaûng daïy, hoïc taäp cuûa töøng ñoái töôïng hoïc sinh. B/. NOÄI DUNG 1. Cô sôû lyù luaän Tröôùc söï phaùt trieån maïnh meõ neàn kinh teá tri thöùc khoa hoïc, coâng ngheä thoâng tin nhö hieän nay, moät xaõ hoäi thoâng tin ñang hình thaønh vaø phaùt trieån trong thôøi kyø ñoåi môùi nhö nöôùc ta ñaõ vaø ñang ñaët neàn giaùo duïc vaø ñaøo taïo tröôùc nhöõng thôøi cô vaø thaùch thöùc môùi. Ñeå hoøa nhaäp tieán ñoä phaùt trieån ñoù thì giaùo duïc vaø ñaøo taïo luoân ñaûm nhaän vai troø heát söùc quan troïng trong vieäc “ñaøo taïo nhaân löïc, naâng cao daân trí, boài döôõng nhaân taøi” maø Ñaûng, Nhaø nöôùc ñaõ ñeà ra, ñoù laø “ñoåi môùi giaùo duïc phoå thoâng theo Nghò quyeát soá 40/2000/QH10 cuûa Quoác hoäi”. Nhaèm ñaùp öùng ñöôïc muïc tieâu giaùo duïc toaøn dieän cho hoïc sinh, con ñöôøng duy nhaát laø naâng cao chaát löôïng hoïc taäp cuûa hoïc sinh ngay töø nhaø tröôøng phoå thoâng. Laø giaùo vieân ai cuõng mong muoán hoïc sinh cuûa mình tieán boä, lónh hoäi kieán thöùc deã daøng, phaùt huy tö duy saùng taïo , reøn tính töï hoïc, thì moân toaùn laø moân hoïc ñaùp öùng ñaày ñuû nhöõng yeâu caàu ñoù. Vieäc hoïc toaùn khoâng phaûi chæ laø hoïc nhö SGK, khoâng chæ laøm nhöõng baøi taäp do Thaày, Coâ ra maø phaûi nghieân cöùu ñaøo saâu suy nghó, tìm toøi vaán ñeà, toång quaùt hoaù vaán ñeà vaø ruùt ra ñöôïc nhöõng ñieàu gì boå ích. Daïng toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû laø moät daïng toaùn raát quan troïng cuûa moân ñaïi soá 8 ñaùp öùng yeâu caàu naøy, laø neàn taûng, laøm cô sôû ñeå hoïc sinh hoïc tieáp caùc chöông sau naøy , nhaát laø khi hoïc veà ruùt goïn phaân thöùc ñaïi soá, quy ñoàng maãu thöùc nhieàu phaân thöùc vaø vieäc giaûi phöông trình, … Tuy nhieân, vì lyù do sö phaïm vaø khaû naêng nhaän thöùc cuûa hoïc sinh ñaïi traø maø chöông trình chæ ñeà caäp ñeán boán phöông phaùp cô baûn cuûa quaù trình phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû thoâng qua caù c ví duï cuï theå, vieäc phaân tích ñoù laø khoâng quaù phöùc taïp vaø khoâng quaù ba nhaân töû. Vaán ñeà ñaët ra laø laøm theá naøo ñeå hoïc sinh giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû moät caùch chính xaùc, nhanh choùng vaø ñaït hieäu quaû cao. Ñeå thöïc hieän toát ñieàu naøy, ñoøi hoûi giaùo vieân caàn xaây döïng cho hoïc sinh nhöõng kó naêng nhö quan saùt, nhaän xeùt, ñaùnh giaù baøi toaùn, ñaëc bieät laø kó naêng giaûi toaùn, kó naêng vaän duïng baøi toaùn, tuyø theo töøng ñoái töôïng hoïc sinh, maø ta xaây döïng 2
caùch giaûi cho phuø hôïp treân cô sôû caùc phöông phaùp ñaõ hoïc vaø caùc caùch giaûi khaùc, ñeå giuùp hoïc sinh hoïc taäp toát boä moân. 2. Cô sôû thöïc tieãn Toàn taïi nhieàu hoïc sinh yeáu trong tính toaùn, kó naêng quan saùt nhaän xeùt, bieán ñoåi vaø thöïc haønh giaûi toaùn, phaàn lôùn do maát kieán thöùc caên baûn ôû caùc lôùp döôùi, nhaát laø chöa chuû ñoäng hoïc taäp ngay töø ñaàu chöông trình lôùp 8, do chay löôøi trong hoïc taäp, yû laïi, trong nhôø vaøo keát quaû ngöôøi khaùc, chöa noã löïc töï hoïc, töï reøn, yù thöùc hoïc taäp yeáu keùm . Ña soá caùc em söû duïng caùc loaïi saùch baøi taäp coù ñaùp aùn ñeå tham khaûo, neân khi gaëp baøi taäp, caùc em thöôøng luùng tuùng, chöa tìm ñöôïc höôùng giaûi thích hôïp, khoâng bieát aùp duïng phöông phaùp naøo tröôùc, phöông phaùp naøo sau, phöông phaùp naøo laø phuø hôïp nhaát, höôùng giaûi naøo laø toát nhaát. Giaùo vieân chöa thaät söï ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc hoaëc ñoåi môùi chöa trieät ñeå, ngaïi söû duïng ñoà duøng daïy hoïc, phöông tieän daïy hoïc, vaãn toàn taïi theo loái giaûng daïy cuõ xöa, xaùc ñònh daïy hoïc phöông phaùp môùi coøn mô hoà. Phuï huynh hoïc sinh chöa thaät söï quan taâm ñuùng möùc ñeán vieäc hoïc taäp cuûa con em mình nhö theo doõi, kieåm tra, ñoân ñoác nhaéc nhôû söï hoïc taäp ôû nhaø. 3. Noäi dung vaán ñeà 3.1. Nhöõng giaûi phaùp môùi cuûa ñeà taøi  Ñeà taøi ñöa ra caùc giaûi phaùp môùi nhö sau: - Saép xeáp baøi toaùn theo caùc möùc ñoä, nhöõng daïng toaùn cô baûn. - Xaây döïng caùc phöông phaùp giaûi cô baûn veà phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû.  Ñoái vôùi hoïc sinh yeáu, keùm: Cuûng coá kieán thöùc cô baûn + Phöông phaùp Ñaët nhaân töû chung + Phöông phaùp Duøng haèng ñaúng thöùc + Phöông phaùp Nhoùm nhieàu haïng töû  Ñoái vôùi hoïc sinh ñaïi traø: Vaän duïng vaø phaùt trieån kyõ naêng + Phoái hôïp nhieàu phöông phaùp (caùc phöông phaùp treân) - Chöõa caùc sai laàm thöôøng gaëp cuûa hoïc sinh trong giaûi toaùn. - Cuûng coá caùc pheùp bieán ñoåi cô baûn vaø hoaøn thieän caùc kó naê ng thöïc haønh. - Tìm toøi nhöõng caùch giaûi hay, khai thaùc baøi toaùn. - Giôùi thieäu hai phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû (Naâng cao).  Ñoái vôùi hoïc sinh khaù, gioûi: Phaùt trieån tö duy (giôùi thieäu hai phöông phaùp) + Phöông phaùp taùch moät haïng töû thaønh nhieàu haïng töû khaùc. 3
+ Phöông phaùp theâm vaø bôùt cuøng moät haïng töû. 3.2. Caùc phöông phaùp thöôøng gaëp  Cuûng coá kieán thöùc cô baûn Caùc phöông phaùp cô baûn:  Phöông phaùp chung: Ta thöôøng laøm nhö sau: - Tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá (ÖCLN cuûa caùc heä soá). - Tìm nhaân töû chung cuûa caùc bieán (moãi bieán chung laáy soá muõ nhoû nhaát ). Nhaèm ñöa veà daïng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).  Chuù yù: Nhieàu khi ñeå laøm xuaát hieän nhaân töû ta caàn ñoåi daáu caùc haïng töû Ví duï 1: Phaân tích ña thöùc 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thaønh nhaân töû. (BT-39c)-SGK- tr19) Giaùo vieân gôïi yù: - Tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá 14, 21, 28 trong caùc haïng töû treân ? (Hoïc sinh traû lôøi laø: 7, vì ÖCLN(14, 21, 28 ) = 7 ) - Tìm nhaân töû chung cuûa caùc bieán x2 y, xy2, x2y2 ? (Hoïc sinh traû lôøi laø xy ) - Nhaân töû chung cuûa caùc haïng töû trong ña thöùc ñaõ cho laø 7xy. Giaûi: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví duï 2: Phaân tích ña thöùc 10x(x – y) – 8y(y – x) thaønh nhaân töû. (BT-39e)-SGK-tr19) Giaùo vieân gôïi yù: - Tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá 10 vaø 8 ? (Hoïc sinh traû lôøi laø: 2) - Tìm nhaân töû chung cuûa x(x – y) vaø y(y – x) ? (Hoïc sinh traû lôøi laø: (x – y) hoaëc (y – x) ) - Haõy thöïc hieän ñoåi daáu tích 10x(x – y) hoaëc tích – 8y(y – x) ñeå coù nhaân töû chung (y – x) hoaëc (x – y)? Caùch 1: Ñoåi daáu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Caùch 2: Ñoåi daáu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Hoïc sinh töï giaûi ) Giaûi: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví duï 3: Phaân tích ña thöùc 9x(x – y) – 10(y – x)2 thaønh nhaân töû. Lôøi giaûi sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (ñoåi daáu sai ) 4
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai töø treân) = (x – y)(19x – 10y) (keát quaû sai ) Sai laàm cuûa hoïc ôû ñaây laø: Thöïc hieän ñoåi daáu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Sai laàm ôû treân laø ñoåi daáu ba nhaân töû ø: –10 vaø (y – x)2 cuûa tích –10(y – x)2 (vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)). Lôøi giaûi ñuùng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Qua ví duï treân, giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh: Caùch tìm nhaân töû chung cuûa caùc haïng töû (tìm nhaân töû chung cuûa caùc heä soá vaø nhaân töû chung cuûa caùc bieán, moãi bieán chung laáy soá muõ nhoû nhaát). Quy taéc ñoåi daáu vaø caùch ñoåi daáu cuûa caùc nhaân töû trong moät tích.  Chuù yù: Tích khoâng ñoåi khi ta ñoåi daáu hai nhaân töû trong tích ñoù (moät caùch toång quaùt, tích khoâng ñoåi khi ta ñoåi daáu moät soá chaün nhaân töû trong tích ñoù).  Phöông phaùp chung: Söû duïng baûy haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù döôùi “daïng toång hoaëc hieäu” ñöa veà “daïng tích” 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví duï 4: Phaân tích ña thöùc (x + y)2 – (x – y)2 thaønh nhaân töû. (BT- 28a)-SBT-tr6) Gôïi yù: Ña thöùc treân coù daïng haèng ñaúng thöùc naøo ? (HS: coù daïng A2 – B2 ) Lôøi giaûi sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thieáu daáu ngoaëc) = 0.(2x) = 0 (keát quaû sai) Sai laàm cuûa hoïc sinh ôû ñaây laø: Thöïc hieän thieáu daáu ngoaëc Lôøi giaûi ñuùng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) 5
= 2y.2x = 4xy Caùc sai laàm hoïc sinh deã maéc phaûi: - Quy taéc boû daáu ngoaëc, laáy daáu ngoaëc vaø quy taéc daáu - Pheùp bieán ñoåi, kó naêng nhaän daïng haèng ñaúng thöùc hieäu hai bình phöông, bình phöông cuûa moät hieäu .  Khai thaùc baøi toaùn: Ñoái vôùi hoïc sinh khaù gioûi, giaùo vieân coù theå cho caù c em laøm baøi taäp döôùi daïng phöùc taïp hôn. * Neáu thay muõ “2” bôûi muõ “3” ta coù baøi toaùn Phaân tích (x + y)3 – (x – y)3 thaønh nhaân töû (BT-44b)-SGK-tr20) * Ñaët x + y = a, x – y = b, thay muõ “3” bôûi muõ “6” ta coù baøi toaùn Phaân tích a6 – b6 thaønh nhaân töû (BT-26c)-SBT-tr6) a6 – b6 =  a 3    b3  = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 2 Ví duï 5: Phaân tích a6 – b6 thaønh nhaân töû (BT-26c)-SBT-tr6) Giaûi: a6 – b6 =  a 3    b3  = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 2 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh: Caùc haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù, kó naêng nhaän daïng haèng ñaúng thöùc qua baøi toaùn, döïa vaøo caùc haïng töû, soá muõ cuûa caùc haïng töû maø söû duïng haèng ñaúng thöùc cho thích hôïp.  Phöông phaùp chung Löïa choïn caùc haïng töû “thích hôïp” ñeå thaønh laäp nhoùm nhaèm laøm xuaát hieän moät trong hai daïng sau hoaëc laø ñaët nhaân töû chung, hoaëc laø duøng haèng ñaúng thöùc. Thoâng thöôøng ta döïa vaøo caùc moái quan heä sau: - Quan heä giöõa caùc heä soá, giöõa caùc bieán cuûa caùc haïng töû trong baøi toaùn. - Thaønh laäp nhoùm döïa theo moái quan heä ñoù, phaûi thoaû maõn: + Moãi nhoùm ñeàu phaân tích ñöôïc. + Sau khi phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ôû moãi nhoùm thì quaù trình phaân tích thaønh nhaân töû phaûi tieáp tuïc thöïc hieän ñöôïc nöõa. 1) Nhoùm nhaèm xuaát hieän phöông phaùp ñaët nhaân töû chung: Ví duï 6: Phaân tích ña thöùc x2 – xy + x – y thaønh nhaân töû. (Baøi taäp 47a)-SGK-tr22) Caùch 1: nhoùm (x2 – xy) vaø (x – y) Caùch 2: nhoùm (x2 + x) vaø (– xy – y ) 6
Lôøi giaûi sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) (keát quaû daáu sai vì boû soùt soá 1) Sai laàm cuûa hoïc sinh laø: boû soùt haïng töû sau khi ñaët nhaân töû chung (HS cho raèng ôû ngoaëc thöù hai khi ñaët nhaân töû chung (x – y) thì coøn laïi laø soá 0) Lôøi giaûi ñuùng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) 2) Nhoùm nhaèm xuaát hieän phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc: Ví duï 7: Phaân tích ña thöùc x2 – 2x + 1 – 4y2 thaønh nhaân töû. Giaûi: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y) 3) Nhoùm nhaèm söû duïng hai phöông phaùp treân: Ví duï 8: Phaân tích ña thöùc x2 – 2x – 4y2 – 4y thaønh nhaân töû. Lôøi giaûi sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (ñaët daáu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai töø treân) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (keát quaû daáu sai) Sai laàm cuûa hoïc sinh laø: Nhoùm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (ñaët daáu sai ôû ngoaëc thöù hai) Lôøi giaûi ñuùng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua caùc ví duï treân, giaùo vieân löu yù cho hoïc sinh: Caùch nhoùm caùc haïng töû vaø ñaët daáu tröø “ – ” hoaëc daáu coäng “ + ” ôû tröôùc daáu ngoaëc, phaûi kieåm tra laïi caùch ñaët daáu khi thöïc hieän nhoùm. Trong phöông phaùp nhoùm thöôøng daãn ñeán söï sai daáu, vì vaäy hoïc sinh caàn chuù yù caùch nhoùm vaø kieåm tra laïi keát quaû sau khi nhoùm. Löu yù: Sau khi phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ôû moãi nhoùm thì quaù trình phaân tích thaønh nhaân töû khoâng thöïc hieän ñöôïc nöõa, thì caùch nhoùm ñoù ñaõ sai, phaûi thöïc hieän laïi.  Vaän duïng vaø phaùt trieån kyõ naêng  7
Phöông phaùp chung Laø söï keát hôïp nhuaàn nhuyeãn giöõa caùc phöông phaùp nhoùm nhieàu haïng töû, ñaët nhaân töû chung, duøng haèng ñaúng thöùc. Vì vaäy hoïc sinh caàn nhaän xeùt baøi toaùn moät caùch cuï theå, moái quan heä cuûa caùc haïng töû vaø tìm höôùng giaûi thích hôïp. Ta thöôøng xeùt töøng phöông phaùp: Ñaët nhaân töû chung ? Duøng haèng ñaúng thöùc ? Nhoùm nhieàu haïng töû ? Ví duï 9: Phaân tích ña thöùc x4 – 9x3 + x2 – 9x thaønh nhaân töû. (BT- ?2 -SGK-tr22) Gôïi yù phaân tích: Xeùt töøng phöông phaùp: Ñaët nhaân töû chung ? Duøng haèng ñaúng thöùc ? Nhoùm nhieàu haïng töû ? Caùc sai laàm hoïc sinh thöôøng maéc phaûi Lôøi giaûi chöa hoaøn chænh: a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phaân tích chöa trieät ñeå) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phaân tích chöa trieät ñeå) Lôøi giaûi ñuùng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ví duï 10: Phaân tích ña thöùc A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thaønh nhaân töû. (Baøi taäp 57- SBT-tr 9 toaùn 8 taäp 1); (Ñeà thi hoïc sinh gioûi lôùp 8, Haø Ñoâng - Haø Taây). Trong ví duï naøy coù nhieàu caùch giaûi, hoïc sinh caàn phaûi linh hoaït löïa choïn caùch giaûi phuø hôïp nhaát, goïn nhaát. AÙp duïng haèng ñaúng thöùc: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy ra heä quaû sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B). Giaûi: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) 8
 Khai thaùc baøi toaùn: 1) Chöùng minh raèng A chia heát cho 6 vôùi moïi x, y, z nguyeân. 2) Cho x + y + z = 0. Chöùng minh x 3 + y3 + z3 = 3xyz (Baøi taäp 38-SBT-tr7)  Höôùng daãn: Duøng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) vaø x + y + z = 0  x + y = – z 3) Phaân tích ña thöùc x3 + y3 + z3 – 3xyz thaønh nhaân töû (Baøi taäp 28c)-SBT-tr6)  Höôùng daãn: Duøng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) Trong chöông trình saùch giaùo khoa Toaùn 8 hieän haønh chæ giôùi ba phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ñoù laø: Ñaët nhaân töû chung, duøng haèng ñaúng thöùc, nhoùm nhieàu haïng töû. Tuy nhieân trong phaàn baøi taäp laïi coù nhöõng baøi khoâng theå aùp duïng ngay ba phöông phaùp treân ñeå giaûi, (Chaúng haïn nhö baøi taäp 53, 57 sgk/tr 24-25). Saùch giaùo khoa coù gôïi yù caùch “ taùch ” moät haïng töû thaønh hai haïng töû khaùc hoaëc “ theâm vaø bôùt cuøng moät haïng töû ” thích hôïp roài aùp duïng caùc phöông phaùp treân ñeå giaûi . Xin giôùi thieäu theâm veà hai phöông phaùp naøy, ñeå hoïc sinh vaän duïng roäng raõi trong thöïc haønh giaûi toaùn.  Phaùt trieån tö duy Giôùi thieäu hai phöông phaùp phaân tích khaùc: (Naâng cao)  Ví duï 11: Phaân tích ña thöùc f(x) = 3x2 – 8x + 4 thaønh nhaân töû. Gôïi yù ba caùch phaân tích: (chuù yù coù nhieàu caùch phaân tích) Giaûi: Caùch 1 (taùch haïng töû : 3x2) 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2) Caùch 2 (taùch haïng töû : – 8x) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Caùch 3 (taùch haïng töû : 4) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2) 9
Nhaän xeùt: Töø ví duï treân, ta thaáy vieäc taùch haïng töû thaønh nhieàu haïng töû nhaèm: - Laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc hieäu cuûa hai bình phöông. (caùch 1) - Laøm xuaát hieän caùc heä soá ôû moãi haïng töû tyû leä vôùi nhau, nhôø ñoù laøm xuaát hieän nhaân töû chung x – 2 . (caùch 2) - Laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc vaø nhaân töû chung. (caùch 3) Vì vaäy, vieäc taùch haïng töû thaønh nhieàu haïng töû khaùc laø nhaèm laøm xuaát hieän caùc phöông phaùp ñaõ hoïc nhö: Ñaët nhaân töû chung, duøng haèng ñaúng thöùc, nhoùm nhieàu haïng töû laø vieäc laøm heát söùc caàn thieát ñoái vôùi hoïc sinh trong giaûi toaùn.  Khai thaùc caùch giaûi: Taùch haïng töû: – 8x (Caùch 2) Nhaän xeùt: Trong ña thöùc 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thaáy heä soá ôû caùc soá haïng laø: 6 4 3, – 6, –2, 4 tyû leä nhau  hay (– 6).( – 2)= 3.4 vaø (– 6) + ( – 2)= – 3 2 8 Khai thaùc: Trong ña thöùc 3x2 – 8x + 4 ñaët a = 3, b = – 8, c = 4 Tính tích a.c vaø phaân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Toång quaùt: Ñeå phaân tích ña thöùc daïng ax2 + bx + c thaønh nhaân töû, ta taùch haïng töû bx thaønh b1x + b2x sao cho b1b2 = ac Trong thöïc haønh ta laøm nhö sau: Böôùc 1: Tìm tích ac. Böôùc 2: Phaân tích ac thaønh tích cuûa hai thöøa soá nguyeân baèng moïi caùch . Böôùc 3: Choïn hai thöøa soá maø toång baèng b. AÙp duïng: Phaân tích ña thöùc – 6x2 + 7x – 2 thaønh nhaân töû (Baøi taäp 35c)-SBT-tr7) Ta coù: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 Böôùc 1: ac = (–6).(–2) = 12 Böôùc 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Böôùc 3: b = 7 = 4 + 3 Khi ñoù ta coù lôøi giaûi: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) 10
Löu yù: Ñoái vôùi ña thöùc f(x) coù baäc töø ba trôû leân, ñeå laøm xuaát hieän caùc heä soá tæ leä, tuyø theo ñaëc ñieåm cuûa caùc heä soá maø ta coù caùch taùch rieâng cho phuø hôïp nhaèm ñeå vaän duïng phöông phaùp nhoùm hoaëc haèng ñaúng thöùc hoaëc ñaët nhaân töû chung. Ví duï 12: Phaân tích ña thöùc sau ra thöøa soá : n3 – 7n + 6 (Ñeà thi hoïc sinh gioûi lôùp 9 voøng tænh naêm hoïc•1999-2000 tænh Taây Ninh). Daønh rieâng hoïc sinh gioûi Giaûi: n3 – 7n + 6 = n3 – n – 6n + 6 = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Ví duï 13: Phaân tích ña thöùc x4 – 30x2 + 31x – 30 thaønh nhaân töû. (Ñeà thi hoïc sinh gioûi lôùp 8 Thaønh phoá Pleiku – Gia Lai, naêm 2002-2003). Daønh rieâng hoïc sinh gioûi Ta coù caùch taùch nhö sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giaûi: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)  Phöông phaùp theâm vaø bôùt cuøng moät haïng töû nhaèm söû duïng phöông phaùp nhoùm ñeå xuaát hieän daïng ñaët nhaân töû chung hoaëc daïng haèng ñaúng thöùc. Ví duï 14: Phaân tích ña thöùc x4 + x2 + 1 thaønh nhaân töû. Ta coù phaân tích: - Taùch x2 thaønh 2x2 – x2 : (laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc) Ta coù x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Theâm x vaø bôùt x: (laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc vaø ñaët nhaân töû chung) Ta coù x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x 4 – x) + (x2 + x + 1) Giaûi: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) 11
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví duï 15: Phaân tích ña thöùc x5 + x4 + 1 thaønh nhaân töû. Caùch 1: Theâm x3 vaø bôùt x3 (laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc vaø ñaët nhaân töû chung) Giaûi: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1 = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 ) Caùch 2: Theâm x3, x2, x vaø bôùt x3, x2, x (laøm xuaát hieän ñaët nhaân töû chung) Giaûi: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1 = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )  Chuù yù: Caùc ña thöùc coù daïng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; toång quaùt nhöõng ña thöùc daïng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoaëc x3 – 1, x6 – 1 ñeàu coù chöùa nhaân töû x2 + x + 1. Ví duï 16: Phaân tích ña thöùc x4 + 4 thaønh nhaân töû. (Baøi taäp 57d)-SGK-tr 25) Gôïi yù: Theâm 2x2 vaø bôùt 2x2 : (laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc) Giaûi: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x)  Khai thaùc baøi toaùn: * Thay “4” thaønh “ 64y4 ”, ta coù baøi toaùn: x4 + 64y4 Höôùng daãn giaûi: Theâm 16x2y2 vaø bôùt 16x2y2 : (laøm xuaát hieän haèng ñaúng thöùc) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Treân ñaây laø moät vaøi ví duï ñieån hình giuùp caùc em hoïc sinh giaûi quyeát nhöõng maéc möùu trong quaù trình giaûi baøi toaùn veà phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû. 3.3. Bieän phaùp vaø keát quaû thöïc hieän  Bieän phaùp 12
Ñeå thöïc hieän toát kó naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû neâu treân thaønh thaïo trong thöïc haønh giaûi toaùn, giaùo vieân caàn cung caáp cho hoïc sinh caùc kieán thöùc cô baûn sau: Cuûng coá laïi caùc pheùp tính, caùc pheùp bieán ñoåi, quy taéc daáu vaø quy taéc daáu ngoaëc ôû caùc lôùp 6, 7. Ngay töø ñaàu chöông trình Ñaïi soá 8 giaùo vieân caàn chuù yù daïy toát cho hoïc sinh naém vöõng chaéc kieán thöùc veà nhaân ñôn thöùc vôùi ña thöùc, ña thöùc vôùi ña thöùc, caùc haèng thöùc ñaùng nhôù, vieäc vaän duïng thaønh thaïo caû hai chieàu cuûa caùc haèng ñaúng thöùc. Khi gaëp baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû, hoïc sinh caàn nhaän xeùt:  Quan saùt ñaëc ñieåm cuûa baøi toaùn: Nhaän xeùt quan heä giöõa caùc haïng töû trong baøi toaùn (veà caùc heä soá, caùc bieán)  Nhaän daïng baøi toaùn: Xeùt xem baøi toaùn ñaõ cho thuoäc daïng naøo ?, aùp duïng phöông phaùp naøo tröôùc, phöông phaùp naøo sau (ñaët nhaân töû chung hoaëc duøng haèng ñaúng thöùc hoaëc nhoùm nhieàu haïng töû, hay daïng phoái hôïp caùc phöông phaùp )  Choïn löïa phöông phaùp giaûi thích hôïp: Töø nhöõng cô sôû treân maø ta choïn löïa phöông phaùp cho phuø hôïp vôùi baøi toaùn  Löu yù: Kinh nghieäm khi phaân tích moät baøi toaùn thaønh nhaân töû  Trong moät baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû - Neáu ôû böôùc 1, ñaõ söû duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung thì böôùc tieáp theo ñoái vôùi bieåu thöùc coøn laïi trong ngoaëc, thöôøng laø thu goïn, hoaëc söû duïng phöông phaùp nhoùm hoaëc duøng phöông phaùp haèng ñaúng thöùc - Neáu ôû böôùc 1, ñaõ söû duïng phöông phaùp nhoùm caùc haïng töû thì böôùc tieáp theo ñoái vôùi caùc bieåu thöùc ñaõ nhoùm thöôøng söû duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoaëc duøng phöông phaùp haèng ñaúng thöùc - Neáu ôû böôùc 1, ñaõ söû duïng phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc thì böôùc tieáp theo cuûa baøi toaùn thöôøng söû duïng phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoaëc duøng haèng ñaúng thöùc  Chyù yù: Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung khoâng theå söû duïng lieân tieáp nhau ôû hai böôùc lieàn Phöông phaùp nhoùm khoâng theå söû duïng lieân tieáp nhau ôû hai böôùc lieàn Phöông phaùp duøng haèng ñaúng thöùc coù theå söû duïng lieân tieáp nhau ôû hai böôùc lieàn * Trong phöông phaùp ñaët nhaân töû chung hoïc sinh thöôøng hay boû soùt haïng töû 13
* Trong phöông phaùp nhoùm hoïc sinh thöôøng ñaët daáu sai Vì vaäy, giaùo vieân nhaéc nhôû hoïc sinh caån thaän trong khi thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi, caùch ñaët nhaân töû chung, caùch nhoùm caùc haïng töû, sau moãi böôùc giaûi phaûi coù söï kieåm tra. Phaûi coù söï ñaùnh giaù baøi toaùn chính xaùc theo moät loä trình nhaát ñònh, töø ñoù löïa choïn vaø söû duïng caùc phöông phaùp phaân tích cho phuø hôïp. Xaây döïng hoïc sinh thoùi quen hoïc taäp, bieát quan saùt , nhaän daïng baøi toaùn, nhaän xeùt ñaùnh giaù baøi toaùn theo quy trình nhaát ñònh, bieát löïa choïn phöông phaùp thích hôïp vaän duïng vaøo töøng baøi toaùn, söû duïng thaønh thaïo kyõ naêng giaûi toaùn trong thöïc haønh, reøn luyeän khaû naêng töï hoïc , töï tìm toøi saùng taïo. Khuyeán khích hoïc sinh tham gia hoïc toå, nhoùm, hoïc saùng taïo, tìm nhöõng caùch giaûi hay, caùch giaûi khaùc.  Keát quaû Keát quaû aùp duïng kó naêng naøy ñaõ goùp phaàn naâng cao chaát löôïng hoïc taäp cuûa boä moân ñoái vôùi hoïc sinh ñaïi traø. Cuï theå keát quaû kieåm tra veà daïng toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ñöôïc thoâng keâ qua caùc giai ñoaïn ôû hai lôùp 82, 83 naêm hoïc 2007 – 2008 nhö sau: a) Chöa aùp duïng giaûi phaùp Kieåm tra khaûo saùt chaát löôïng ñaàu naêm Thôøi gian TS Trung bình trôû leân Ñaàu hoïc kyø I ñeán giöõa hoïc kyø II HS Soá löôïng Tæ leä (%) Chöa aùp duïng giaûi phaùp 64 28 43,75% * Nhaän xeùt: Ña soá hoïc sinh chöa naém ñöôïc kyõ naêng phaân tích baøi toaùn, caùc haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù, quy taéc daáu, quy taéc daáu ngoaëc, caùch trình baøy baøi giaûi coøn lung tung. b) AÙp duïng giaûi phaùp Laàn 1: Kieåm tra 1 tieát Thôøi gian TS Trung bình trôû leân Ñaàu hoïc kyø I ñeán giöõa hoïc kyø II HS Soá löôïng Tæ leä (%) Keát quaû aùp duïng giaûi phaùp (laàn 1) 64 39 60,94% * Nhaän xeùt: Hoïc sinh ñaõ heä thoáng, naém chaéc kieán thöùc cô baûn veà caùc haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù, quy taéc daáu, quy taéc daáu ngoaëc vaän duïng khaù toát caùc 14
phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû trong giaûi toaùn , bieát nhaän xeùt ñaùnh giaù baøi toaùn trong caùc tröôøng hôïp, trình baøy khaù hôïp lyù. Laàn 2: Kieåm tra hoïc kì I Thôøi gian TS Trung bình trôû leân Ñaàu hoïc kyø I ñeán giöõa hoïc kyø II HS Soá löôïng Tæ leä (%) Keát quaû aùp duïng giaûi phaùp (laàn 2) 64 60 93,75% * Nhaän xeùt: Hoïc sinh naém vöõng chaéc caùc kieán veà phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû, vaän duïng thaønh thaïo kyõ naêng bieán ñoåi, phaân tích, bieát döïa vaøo caùc baøi toaùn ñaõ bieát caùch giaûi truôùc ñoù, linh hoaït bieán ñoåi vaø vaän duïng haèng ñaúng thöùc vaø ñaõ trình baøy baøi giaûi hôïp lyù hôn coù heä thoáng vaø logic, chæ coøn moät soá ít hoïc sinh quaù yeáu, keùm chöa thöïc hieän toát. Hoïc sinh tích cöïc tìm hieåu kó phöông phaùp giaûi, phaân loaïi töøng daïng toaùn, chuû ñoäng lónh hoäi kieán thöùc, coù kó naêng giaûi nhanh caùc baøi toaùn coù daïng töông töï, ñaët ra nhieàu vaán ñeà môùi, nhieàu baøi toaùn môùi.  Toùm laïi: Töø thöïc teá giaûng daïy khi aùp duïng phöông phaùp naøy toâi nhaän thaáy hoïc sinh naém vöõng kieán thöùc hôn, hieåu roõ caùc caùch giaûi toaùn ôû daïng baøi taäp naøy. Kinh nghieäm naøy ñaõ giuùp hoïc sinh trung bình, hoïc sinh yeáu naém vöõng chaéc veà caùch phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû trong chöông trình ñaõ hoïc, ñöôïc hoïc vaø reøn luyeän kó naêng thöïc haønh theo höôùng tích cöïc hoaù hoaït ñoäng nhaän thöùc ôû nhöõng möùc ñoä khaùc nhau thoâng qua moät chuoãi baøi taäp. Beân caïnh ñoù coøn giuùp cho hoïc sinh khaù gioûi coù ñieàu kieän tìm hieåu theâm moät soá phöông phaùp giaûi khaùc, caùc daïng toaùn khaùc naâng cao hôn, nhaèm phaùt huy taøi naêng toaùn hoïc, phaùt huy tính töï hoïc, tìm toøi, saùng taïo cuûa hoïc sinh trong hoïc toaùn. C/. KEÁT LUAÄN  Baøi hoïc kinh nghieäm Thoâng qua vieäc nghieân cöùu ñeà taøi vaø nhöõng kinh nghieäm töø thöïc tieãn giaûng daïy, cho pheùp toâi ruùt ra moät soá kinh nghieäm sau:  Ñoái vôùi hoïc sinh yeáu keùm: Laø moät quaù trình lieân tuïc ñöôïc cuûng coá vaø söûa chöõa sai laàm, caàn reøn luyeän caùc kyõ naêng ñeå hoïc sinh coù khaû naêng naém ñöôïc phöông phaùp vaän duïng toát caùc phöông phaùp phaân tích cô baûn vaøo giaûi toaùn, cho hoïc sinh thöïc haønh theo maãu vôùi caùc baøi taäp töông töï, baøi taäp töø ñôn giaûn naâng daàn ñeán phöùc taïp, khoâng neân daãn caùc em ñi quaù xa noäi dung SGK. 15
 Ñoái vôùi hoïc sinh ñaïi traø: Giaùo vieân caàn chuù yù cho hoïc sinh chæ naém chaéc caùc phöông phaùp cô baûn, kó naêng bieán ñoåi, kó naêng thöïc haønh vaø vieäc vaän duïng töøng phöông phaùp ña daïng hôn vaøo töøng baøi taäp cuï theå, luyeän taäp khaû naêng töï hoïc, gôïi söï suy meâ höùng thuù hoïc, kích thích vaø khôi daäy oùc tìm toøi, chuû ñoäng chieám lónh kieán thöùc.  Ñoái vôùi hoïc sinh khaù gioûi: Ngoaøi vieäc naém chaéc caùc phöông phaùp cô baûn, ta caàn cho hoïc sinh tìm hieåu theâm caùc phöông phaùp phaân tích naâng cao khaùc, caùc baøi taäp daïng môû roäng giuùp caùc em bieát môû roäng vaán ñeà, cuï theå hoaù vaán ñeà, töông töï hoaù vaán ñeà ñeå vieäc giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû toát hôn. Qua ñoù taäp cho hoïc sinh thoùi quen töï hoïc, töï tìm toøi saùng taïo , khaùc thaùc caùch giaûi, khai thaùc baøi toaùn khaùc nhaèm phaùt trieån tö duy moät caùch toaøn dieän cho quaù trình töï nghieân cöùu cuûa caùc em.  Ñoái vôùi giaùo vieân: Giaùo vieân thöôøng xuyeân kieåm tra möùc ñoä tieáp thu vaø vaän duïng cuûa hoïc sinh trong quaù trình cung caáp caùc thoâng tin môùi coù lieân quan trong chöông trình ñaïi soá 8 ñaõ ñeà caäp ôû treân. Giaùo vieân phaûi ñònh höôùng vaø vaïch ra nhöõng daïng toaùn maø hoïc sinh phaûi lieân heä vaø nghó ñeán ñeå tìm höôùng giaûi hôïp lyù nhö ñaõ ñeà caäp, giuùp hoïc sinh naém vöõng chaéc hôn veà caùc daïng toaùn vaø ñöôïc reøn luyeän veà nhöõng kó naêng phaân tích moät caùch töôøng minh trong moãi daïng baøi taäp ñeå tìm höôùng giaûi sau ñoù bieát aùp duïng vaø phaùt trieån nhanh trong caùc baøi taäp toång hôïp, kó naêng vaän duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû moät caùch ña daïng hôn trong giaûi toaùn. Ñoàng thôøi taïo ñieàu kieän ñeå hoïc sinh ñöôïc phaùt trieån tö duy moät caùch toaøn dieän, gôïi söï suy meâ höùng thuù hoïc taäp, tìm toøi saùng taïo, kích thích vaø khôi daäy khaû naêng töï hoïc cuûa hoïc sinh, chuû ñoäng trong hoïc taäp vaø trong hoïc toaùn. Neáu thöïc hieän toát phöông phaùp treân trong quaù trình giaûng daïy vaø hoïc taäp thì chaát löôïng hoïc taäp boä moân cuûa hoïc sinh seõ ñöôïc naâng cao hôn, ñaøo taïo ñöôïc nhieàu hoïc sinh khaù gioûi, ñoàng thôøi tuyeån choïn ñöôïc nhieàu hoïc sinh gioûi caáp tröôøng, caáp huyeän, tænh,....  Höôùng phoå bieán aùp duïng Ñeà taøi ñöôïc trieån khai phoå bieán vaø aùp duïng roäng raõi trong chöông trình ñaïi soá lôùp 8, cho caùc naêm hoïc sau, cho nhöõng tröôøng cuøng loaïi hình.  Höôùng nghieân cöùu phaùt trieån Ñeà taøi seõ ñöôïc nghieân cöùu tieáp tuïc ôû caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû khaùc (naâng cao) 16
Ñeà taøi nghieân cöùu cho caùc ña thöùc phöùc taïp hôn, ñi saâu vaøo vieäc nghieân cöùu caùc ña thöùc ñaëc bieät. 17