Tập hút lùi của hệ Navier Stokes ngẫu nhiên với mật độ ngẫu nhiên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này nghiên cứu hệ phương trình Navier Stokes hai chiều được điều khiển bởi mật độ ngẫu nhiên, nhiễu ngẫu nhiên cộng tính và ngoại lực phụ thuộc thời gian trong miền bị chặn. Kết quả cho thấy rằng khi nhiễu bằng không và mật độ ngẫu nhiên đồng nhất bằng một thì hệ trở thành hệ phương trình Navier Stokes không nén được cổ điển. Ngoài ra, đối với miền bị chặn, bất đẳng thức Poincaré được thỏa mãn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tập hút lùi của hệ Navier Stokes ngẫu nhiên với mật độ ngẫu nhiên

TNU Journal of Science and Technology 230(02): 152 - 159 PULLBACK ATTRACTOR OF STOCHASTIC NAVIER-STOKES EQUATIONS WITH RANDOM DENSITY Pham Tri Nguyen * Electric Power University ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 10/01/2025 This paper studies the two dimensional Navier Stokes equations driven by random density, additive white noise and time dependent forces on Revised: 17/02/2025 bounded domain. The result shows that when the noise is zero and the Published: 19/02/2025 random density is identical to one, the system becomes the classical incompressible Navier Stokes equation system. In addition, for the KEYWORDS bounded domain, the Poincaré inequality is satisfied. By applying the Ornstein Uhlenbeck process, the stochastic system is transformed into a Stochastic Navier-Stokes deterministic one with random parameters. Then, using the Faedo equations Galerkin approximations method we obtain the existence and unique Pullback attractor weak solution for the system as well as the continuity of the solution with respect to its initial data. Next, a continuous cocycle for the Random density equations is defined, the existence and unique pullback attractor of the Bounded domain system is proven. Noteworthy, for bounded domains, the use of the Additive noise Sobolev embedding theorem helps to obtain the asymptotic compactness of the solution. TẬP HÚT LÙI CỦA HỆ NAVIER-STOKES NGẪU NHIÊN VỚI MẬT ĐỘ NGẪU NHIÊN Phạm Trí Nguyễn Trường Đại học Điện lực THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài: 10/01/2025 Bài báo này nghiên cứu hệ phương trình Navier Stokes hai chiều được điều khiển bởi mật độ ngẫu nhiên, nhiễu ngẫu nhiên cộng tính và ngoại Ngày hoàn thiện: 17/02/2025 lực phụ thuộc thời gian trong miền bị chặn. Kết quả cho thấy rằng khi Ngày đăng: 19/02/2025 nhiễu bằng không và mật độ ngẫu nhiên đồng nhất bằng một thì hệ trở thành hệ phương trình Navier Stokes không nén được cổ điển. Ngoài ra, TỪ KHÓA đối với miền bị chặn, bất đẳng thức Poincaré được thỏa mãn. Bằng cách áp dụng quá trình Ornstein Uhlenbeck, hệ ngẫu nhiên được chuyển thành Hệ Navier-Stokes ngẫu nhiên hệ tất định với các tham số ngẫu nhiên. Từ đó, sử dụng phương pháp xấp Tập hút lùi xỉ Faedo Galerkin chúng tôi thu được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Mật độ ngẫu nhiên của hệ cũng như tính liên tục của nghiệm đối với dữ liệu ban đầu của nó. Tiếp theo, một đối chu trình liên tục cho hệ phương trình được định Miền bị chặn nghĩa, sự tồn tại và duy nhất tập hút lùi của hệ được chứng minh. Đáng Nhiễu cộng tính chú ý, đối với miền bị chặn, việc sử dụng định lý nhúng Sobolev giúp thu được tính compact tiệm cận của nghiệm. DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.11859 Email: nguyench13@gmail.com http://jst.tnu.edu.vn 152 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 230(02): 152 - 159 1. Mở đầu Việc nghiên cứu sự tồn tại tập hút của các lớp hệ phương trình đạo hàm riêng nói chung trong đó có lớp hệ Navier Stokes là một vấn đề rất quan trọng và đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn, đối với các hệ phương trình tất định ta có thể tham khảo [1] - [6] và đối với các hệ phương trình ngẫu nhiên ta có thể tham khảo [7] - [10]. Tiếp nối hướng nghiên cứu gần đây về sự tồn tại và các tính chất của tập hút ngẫu nhiên cho lớp hệ Navier Stokes (xem [8], [9]), bài báo này xét hệ Navier Stokes hai chiều với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính và mật độ ngẫu nhiên, từ đó chứng minh sự tồn tại và duy nhất tập hút lùi của hệ. Cho   2 là miền bị chặn,   , t   . Xét hệ phương trình  u dW (t )  − u +  (t )(u·)u + p = f (x , t ) +  g(x ) , x  ,  t div u = 0, x  , dt (1)  u(x , t ) = 0, x  ,  u(x ,  ) = u (x ), x   .  Trong đó u = u(x, t ) = (u1, u2 ) là hàm vận tốc chưa biết của dòng chất lỏng, u là điều kiện ( ) là hàm áp suất,   0 là hệ số nhớt của chất lỏng, ( ) là mật độ ngẫu đầu, p = p x, t t nhiên, f (x, t ) là hàm ngoại lực, W (t ) là quá trình Wiener thực,   , g  D(A) . 2. Phương pháp nghiên cứu Bằng cách áp dụng phép đổi biến thích hợp, hệ ngẫu nhiên được chuyển thành hệ tất định với các tham số ngẫu nhiên. Sau đó áp dụng các công cụ của giải tích và các phương pháp của lý thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều, bài báo chứng minh được sự tồn tại và duy nhất tập hút lùi của hệ. 3. Kết quả và bàn luận 3.1. Kiến thức chuẩn bị Cho (, , ) là không gian xác suất, với  = C0 ( , ) = { C ( , ) : (0) = 0} , là sigma đại số Borel, là độ đo Wiener trên (, ) , W (t, ) = (t ) , {t : t  } là dịch chuyển Wiener trên (, , ) cho bởi: t () = (t + ) − (t ) . Đặt  = {u  [C 0 ( )]2 : divu = 0} và xét các không gian Hilbert [L2 ()]2 , [H 0 ()]2 với các tích vô hướng tương ứng: 1 3 (u, v) =   uividx , u, v  [L2 ()]2 , i =1  2 ui vi ((u, v )) =   x i , j =1  x j dx , u, v  [H 0 ()]2 , 1 j [ L2 ()]2 1 [ H 0 (  )]2 X và các chuẩn | u |= (u, u )1/2 , ‖ u ‖= ((u, u))1/2 . Đặt H = và V = (trong đó  là ký hiệu bao đóng của  trong X ), V ' là không gian đối ngẫu của V , ·,· là ký hiệu đối ngẫu giữa V và V ' . Định nghĩa toán tử Stokes A : V → V ' xác định bởi Au, v = ((u, v)), u, v V , D(A) = [H 0 ()]2 V . 1 http://jst.tnu.edu.vn 153 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 230(02): 152 - 159 2 v j Xét dạng ba tuyến tính b cho bởi b(u, v, w ) =  u i , j =1  i x i w jdx, u, v, w V . Định nghĩa toán tử B : V V → V ', B(u, v), w  = b(u, v, w ) . Khi đó hệ (1) được viết lại dưới dạng phương trình toán tử du dW (t ) +  Au +  (t )B(u, u ) = f +  g . (2) dt dt Định nghĩa 3.1. Giả sử f  L2 ( , H ) ,   ,    và u  H . Ánh xạ loc u(,  , , u ) : [ , +) → H được gọi là nghiệm yếu của phương trình (2) nếu với mỗi T  0 thì  u(, , , u ) C ([ , +); H )  L2([ ,  + T ];V ),  du dW (t ) +  Au +  (t )B(u, u ) = f +  g trong V ' . dt dt Bổ đề 3.2. (xem [10]) Với C là một hằng số dương ta có (i) b(u, v, w) = −b(u, w, v), b(u, v, v) = 0, u, v, w V , 1 1 1 1 (ii) | b(u, v, w) | C | u |2 ‖ u ‖2 ‖ v ‖| w |2 ‖ w ‖2 , u, v, w V , 1 1 1 1 (iii) | b(u, v, w) | C | u |2 ‖ u ‖2 ‖ v ‖2 | Av |2 | w |, u V , v  D(A), w  H . Giả thiết: f  L2 ( , H ) , g và hàm mật độ ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện sau loc 1/2  0  (A1) Với   0 thì ‖ f ‖ , =  sup  er | f (r + s ) |2 dr   +,   .  s    −  (A2) Tồn tại k  0 sao cho b(u, g, u )  k | u | , u  H . 2 (A3) Hàm mật độ ngẫu nhiên  () :  → thỏa mãn  (t  ) t → (t ) là liên tục, lim = 0 , E |  |  + với p  1 . p t t → Gọi = { ( , ) :   ,   } là tập hai tham số trong H , được gọi là tăng chậm toàn cục nếu với mọi   ,   ,   0 thì lim e − t sup | (s − t,  −t ) |= 0, t →+ s  trong đó | |= sup | u | và gọi D là tập hợp các tập con trong H xác định bởi u D={ = { ( , ) :   ,   }}, tăng chậm toàn cục. 3.2. Kết quả chính Xét phương trình Ornstein Uhlenbeck: dz(t ) + z(t)dt = dW(t ). Khi đó tồn tại tập t bất ˆ ˆ biến    sao cho () = 1 đồng thời z(t ) liên tục theo t với mọi    và ˆ z (t ) = 0 . Ngoài ra, E | z |  + với mọi q  1 . Do đó, theo bất đẳng thức Holder ta có q lim t → t ( ) (E | z | ) 1 1 1/ p 1/q E |  z | E |  |p q  + , với + = 1. p q http://jst.tnu.edu.vn 154 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 230(02): 152 - 159  Từ giờ trở đi ta giả thiết rằng hằng số  thỏa mãn:   0 = , với  là 16k(1 + E | z |) hằng số dương trong bất đẳng thức Poincaré. C là hằng số dương nào đó và nó có thể khác nhau trong mỗi lần xuất hiện. Ta đưa vào phép đổi biến v(t, , , v ) = u(t,  , , u ) −  gz(t), v = u −  gz( ) . (3) Kết hợp (2) và (3), ta nhận được phương trình dv +  Av +  (t )B(v +  gz ) = f +  gz (t ) −  Agz (t ). (4) dt Do (4) là phương trình tất định với các tham số ngẫu nhiên nên bằng phương pháp xấp xỉ Faedo Galerkin (xem [11]), ta thu được kết quả sau. Bổ đề 3.3. Giả sử f  L2 ( , H ) ,   ,    và v  H . Phương trình (4) có duy nhất loc nghiệm yếu v  C ([ , +); H )  L2 ([ , +);V ) sao cho v = u −  gz( ) . Ngoài ra, nghiệm v(t,  , , v ) liên tục theo v . Từ Bổ đề 3.1, ta định nghĩa đối chu trình  : +     H → H xác định bởi (t,  , , u ) = u(t +  ,  , − , u ) = v(t +  , , − , u ) +  gz(t). Sau đây ta đưa ra một số ước lượng đối với nghiệm của phương trình (4). Bổ đề 3.4. Với mỗi   ,   ,  D, tồn tại T = T ( , , )  0 sao cho với mọi t  T , s   và us −t  (s − t, −t ) thì sup | u(s, s − t,  −s , us −t ) |2  C 1R( , ), (5) s  0 sup  e 0 r + 4k r |z (   )|d  ‖ v(r + s, s − t,  , v ) ‖2 dr  C R( , ), (6) −t −s s −t 2 s  trong đó C1,C2  0 và R( , ) = Q1( , ) + Q2()+ | z() |2, 0 Q1( , ) = sup  e 0 r r + 4k | | |z (   ) (   )|d  | f (r + s ) |2 dr, s  − 0 0 r r + 4k | | |z (   ) (   )|d  Q2 () =  − e  (r )dr, 4 2  (r ) = 4 2 ‖ g ‖2 | z (r ) |2 + | g |2 | z (r ) |2  + 4k |  || g |2 | z (r  ) |3 |  (r  ) | . Chứng minh. Sử dụng phương trình (4) cho v(r ) = v(r, s − t, −s, vs −t ) ta nhận được d | v |2 +2 ‖ v ‖2 = −2 (r −s )b(v +  gz(r −s), v +  gz(r −s), v) dr (7) +2(f , v) + 2z(r −s)(g − Ag, v). Ta đánh giá các số hạng trong vế phải của (7). Áp dụng bất đẳng thức Young ta có  4 2 2 | z (r −s )( g −  Ag, v ) | ‖ v ‖2 +4 2 ‖ g ‖2 | z (r −s) |2 + | g |2| z (r −s) |2 . 2  Mặt khác, bởi Bổ đề 3.1 và giả thiết (A2) ta có đánh giá 2 | (r −s)b(v +  gz(r −s), v + gz(r −s), v) |  2 | (r −s)b(v +  gz(r −s), v +  gz(r −s), v) | http://jst.tnu.edu.vn 155 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 230(02): 152 - 159 = 2 |  || z(r −s)(r −s) || b(v +  gz(r −s), g, v +  gz(r −s)) |  2k |  || z(r −s)(r −s) || v +  gz(r −s) |2  4k |  || z(r −s)(r −s) | (| v |2 + | g |2| z(r −s) |2 ). Thay các đánh giá trên vào (7) ta được d  4 | v |2 +( − 4k |  || z (r −s ) (r −s ) |) | v |2 + ‖ v ‖2  | f |2 + (r −s ). (8) dr 4  r Tiếp theo ta nhân (6) với e s −t ( − 4k | ||z (  −s  ) (  −s  )|)d  rồi lấy tích phân trên [s − t,  ] ta được     (r − )+ 4k | | r |z (  −s  ) (  −s  )|d  ‖ v(r, s − t,  , v ) ‖2 dr 4 s −t | v( , s − t,  −s , vs −t ) |2 + e −s s −t   − ( −s +t )+ 4k | | s −t |z (  −s  ) (  −s  )|d  | v |2 + 4   (r − )+ 4k | | r |z (  −s ) (  −s )|d  | f (r ) |2 dr e s −t   s −t e (9)  + e   (r − )+ 4k | | r |z (  −s  ) (  −s  )|d   ( )dr, s −t r −s Lấy  = s trong (9) rồi thực hiện đổi biến trong tích phân, ta suy ra  0 0 r r + 4k | | |z (   ) (   )|d  4 −t | v(s, s − t,  −s , vs −t ) |2 + e ‖ v(r + s, s − t,  −s , vs −t ) ‖2 dr 0 0 −t + 4k | | −t |z (   ) (   )|d  | v |2 + 4 0 r r + 4k | | |z (   ) (   )|d    e s −t e | f (r + s ) |2 dr (10) −t 0 + e 0 r r + 4k | | |z (   ) (   )|d   (r )dr . −t Sử dụng (3) và (10) ta nhận được | u(s, s − t,  −s , vs −t ) |2  2 | v(s, s − t,  −s , vs −t ) |2 +2  2 | g |2| z () |2 0  4e −t + 4k | | −t |z (   ) (   )|d  (| u |2 +  2 | g |2| z( −t ) |2 ) s −t 0 8 0 r + 4k | | r |z (   ) (   )|d  | f (r + s ) |2 dr (11) +  −t e 0 + 2 e 0 r + 4k | | r |z (   ) (   )|d   ( )dr + 2  2 | g |2| z() |2 . −t r 1 −t t →+ −t 0 Áp dụng định lý ergodic: lim |z (  ) (  ) | d  = E | z | +, điều này cùng với giả thiết (A3) suy ra tồn tại t0 = t0 ()  0 sao cho với mọi t  t0 thì 0 0  4k |  |  |z (  ) (  ) | d   4k  0  |z(  ) (  ) | d   4k  0(1 + E | z |)t = t. (12) −t −t 4 Vì us −t  (s − t, −t ),  D và (10), tồn tại T = T( , , )  t0 sao cho với mọi t  T ta có 0 3 sup e −t + 4k | | −t |z (   )|| (   )|d  | u |2  sup e − 4 t | (s − t,  −t ) |2  Q2 (). (13) s −t s  s  Bởi (12) ta có 0 3 −t + 4k | | | (   )|| (   )|d  z − t e −t | z(−t ) |2  e 4 | z(−t ) |2 → 0, t → +. (14) Từ (10, (11), (13), (14) ta suy ra (5) và (6). Kết quả tiếp theo chứng minh sự tồn tại tập D -hấp thu lùi trong H đối với đối chu trình  liên kết với nghiệm của bài toán (2). http://jst.tnu.edu.vn 156 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 230(02): 152 - 159 Bổ đề 3.5. Đối chu trình  có một tập D -hấp thu lùi = { ( , ) :   ,   } trong H cho bởi ( , ) = {u  H :| u |2  C1R( , )}, (15) với R( , ) xác định trong Bổ đề 3.4. Chứng minh. Với   ,    ta có các đánh giá 0 3 Q1( , ) = sup  e 0 r + 4k | | r |z (   ) (   )|d  | f (r + s ) |2 dr  sup 0 e r  | f (r + s ) |2 dr ‖ f ‖ , /4 , 4 2 s  − s  − 0 3 0 r r + 4k | | |z (   ) (   )|d  0 r Q2 () =  − e  (r )dr   e − 4  (r )dr  +. Từ các đánh giá trên ta suy ra R( , )  + . Mặt khác với  D , bởi (5) và (15) ta có (t,  − t, −t, ( − t, −t)) = u( ,  − t, − , ( − t, −t))  ( , ). Tiếp theo ta sẽ chứng minh  D . Gọi  là số dương bất kỳ, từ (15) ta có lim e − t sup | (s − t,  −t ) |2 = lim C 1e − t sup | R(s − t,  −t ) |2 t →+ s  t →+ s  (16) = lim C 1e − t sup[Q1(s − t,  −t ) + Q2 ( −t )]. t →+ s  Vì  → Q1( , ) tăng nên với   ,   , t  0 thì 0 e − t supQ1(s − t,  −t ) = e − tQ1( − t,  −t ) = e − t sup  e 0 r r + 4k | | |z (  −t  ) (  −t  )|d  | f (r + s ) |2 dr s  s  −t − −t = e − t sup  e 0 r + 4k | | r −t |z (   ) (   )|d  | f (r + s ) |2 dr s  −t − −t = e − t sup  e 0 r + 4k | | r −t |z (   ) (   )|d  | f (r + s − t ) |2 dr ˆ s  ˆ − −t =e − t sup  e −t r + 4k | | r |z (   ) (   )|d  | f (r + s ) |2 dr ˆ s  ˆ − 0 3 sup  e −t r + 4k | | r |z (   ) (   )|d  | f (r + s ) |2 dr  e − t sup −t e r  − t e ˆ 4 | f (r + s ) |2 dr . ˆ (17) s  ˆ − s  ˆ − Ngoài ra, với t |  | thì 3 3 −t r 0 (r −t ) sup  e 4 | f (r + s ) |2 dr = sup  e ˆ 4 | f (r + s − t ) |2 dr ˆ s  ˆ − s  ˆ − 3 3 (18) 0 r 0 r  sup  e 4 | f (r + s − t ) | dr  sup  e ˆ 2 4 | f (r + s ) | dr =‖ f ‖ 2 2 0,3 /4 . s  ˆ − s 0 − Từ (17) và (18), với t |  | ta suy ra e − t supQ1(s − t,  −t )  e − t ‖ f ‖2  /4 → 0, t → +. 0,3 (19) s  Bởi (12) ta cũng có e − tQ2 (−t ) → 0, t → +. (20) Kết hợp (16), (19) và (20) ta suy ra  D . Bổ đề 3.6. Với mỗi   ,   ,  D, tồn tại T = T ( , , )  0 sao cho với mọi t  T , s   và us −t  D(s − t, −t ) thì sup ‖ u(s, s − t,  −s , us −t ) ‖2   ()(1+ ‖ f ‖ , /4 )e  ( ). 2 (21) s  http://jst.tnu.edu.vn 157 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 230(02): 152 - 159 Chứng minh. Nhân phương trình (4) với Av , v(r ) = v(r, s − t, −s, vs −t ) ta được d ‖ v ‖2 +2 | Av |2 = −2 (r −s )b(v +  gz (r −s ), v +  gz (r −s), Av ) dt (22) + 2( f +  gz(r −s ) −  Agz(r −s ), Av). Ta đánh giá các số hạng ở vế phải của (22)  4 2 | (f , Av) | | Av |2 + | f |2, 4   2 | ( gz (r −s ) −  Agz (r −s ), Av) | | Av |2 +c | z(r −s ) |2 , 2 2 |  (r −s )b(v +  gz (r −s ), v +  gz (r −s ), Av ) |   | Av |2 +C (|  (r −s ) |4 + |  (r −s ) |2 | z(r −s ) |) ‖ v ‖2 +C |  (r −s ) |2| z(r −s ) |2 . 4 Thay các đánh giá trên vào (22) ta được d ‖ v ‖2 + | Av |2  C (|  (r −s ) |4 + |  (r −s ) |2 | z(r −s ) |) ‖ v ‖2 dt (23) + C (1+ |  (r −s ) |2 ) | z (r −s ) |2 +C | f |2 . Bỏ qua số hạng thứ hai trong vế trái của (23) sau đó áp dụng bất đẳng thức Gronwall đều trên [s - 1, s ] ta thu được ‖ v(s, s − t, −s , vs −t ) ‖2  [L1(s ) + L2 (s, t )] L3 (s ) e , (24) trong đó s s L1(s ) = C  (1+ |  (r −s ) |2 ) | z(r −s ) |2 dr + C  |f (r ) |2 dr := L(1)(s) + L(2)(s), 1 1 s −1 s −1 s  L2 (s, t ) = ‖ v(r, s − t,  −s , vs −t ) ‖ dr, 2 s −1 s L (s ) = C  3 (|  (r −s ) |4 + |  (r −s ) |2| z(r −s ) |)dr. s −1 Ta có các đánh giá s 0 sup L(1)(s ) = C sup  (1+ |  (r −s ) |2 ) | z(r −s ) |2 dr = C  (1+ |  (r ) |2 ) | z(r ) |2 dr 1 s  s  s −1 −1   ( ), s 0 0 sup L(2)(s ) = C sup  |f (r ) |2 dr = C  |f (r + s ) |2 dr  C sup  e 3 /4 | f (r + s) |2 dr 1 s  s  s −1 −1 s  −1 =C ‖ f ‖ 2  ,3 /4  C ‖ f ‖ , /4 , 2 tương tự ta cũng có sup L3 (s )   (). s  s 0 sup L2 (s, t ) = sup  ‖ v(r, s − t,  −s , vs −t ) ‖2 dr = sup  ‖ v(r + s, s − t,  −s , vs −t ) ‖2 dr s  s  s −1 s  −1 0  C sup  e 0 r |z (   ) (   )|d  ‖ v(r + s, s − t,  , v ) ‖2 dr  CR( ,  ). r + 4k | | −t −s s −t s  Mặt khác R( , ) = Q1( , ) + Q2 ()+ | z() |2, Q1( , ) ‖ f ‖ ,/4 , nên 2 R( , )   ()(1+ ‖ f ‖ , /4 ). 2 (25) Kết hợp các đánh giá trên cùng với (24) và (25) ta được sup ‖ v(s, s − t,  −s , vs −t ) ‖2   ()(1+ ‖ f ‖ , /4 )e  ( ). 2 (26) s  http://jst.tnu.edu.vn 158 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 230(02): 152 - 159 Từ phép đổi biến (3) và (26) ta suy ra (21). Bây giờ ta phát biểu kết quả chính của mục này, đó là sự tồn tại và duy nhất tập D -hút lùi đối với  trong H . Định lý 3.7. Đối chu trình  có duy nhất một tập D -hút lùi ngẫu nhiên trong H . Chứng minh. Theo Bổ đề 3.5,  có một tập D -hấp thu lùi trong H . Mặt khác, theo Bổ đề 3.6, với mỗi   ,   ,  D, tồn tại T = T ( , , )  0 sao cho với mọi t  T thì ‖  f (t, s − t,  −t , (s − t,  −t  )) ‖2   ( )(1+ ‖ f ‖ , /4 )e  ( )  +. 2 (27) t T s  Từ (27), cho s =  và sử dụng định lý nhúng compact Sobolev nhúng V vào H , ta có  là D -compact tiệm cận lùi. Áp dụng [10, Mệnh đề 2.10], ta suy ra  có duy nhất một tập D -hút lùi ngẫu nhiên trong H . 4. Kết luận Trong nghiên cứu này, sau khi đưa ra kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes hai chiều với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính và mật độ ngẫu nhiên, chúng tôi đã chứng minh được kết quả chính của nghiên cứu đó là sự tồn tại và duy nhất của tập hút lùi ngẫu nhiên. Đây là một tính chất quan trọng của nghiệm, có nhiều ý nghĩa trong việc nghiên cứu các lớp phương trình đạo hàm riêng. TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] J. M. Ball, “Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations,” J. Nonl. Sci., no. 7, pp. 475-502, 1997. [2] T. Caraballo, J. Real, and P. E. Kloeden, “Unique strong solutions and V-attractor of a three dimensional system of globally modifed Navier-Stokes equations,” Adv. Nonlinear Stud., no. 6, pp. 411-436, 2006. [3] T. Caraballo, G. Lukaszewicz, and J. Real, “Pullback attractors for non-autonomous 2D-NavierStokes equations in some unbounded domains,” C. R. Acad. Sci. Paris I, no. 342, pp. 263-268, 2006. [4] P. E. Kloeden, J. A. Langa, and J. Real, “Pullback V-attractors of the three dimensional system of nonautonomous globally modified Navier-Stokes equations: existence and finite fractal dimension,” Commun. Pure Appl. Anal., no. 6, pp. 937-955, 2007. [5] R. Rosa, “The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains,” Nonlinear Analysis, TMA, no. 32, pp. 71-85, 1998. [6] P. Marín-Rubio, A. M. Márquez-Durán, and J. Real, “Pullback attractors for globally modified Navier- Stokes equations with infinite delays,” Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser-A, no. 31, pp. 779-796, 2011. [7] F. Flandoli and B. Schmalfuß, “Random attractors for the 3D stochastic Navier-Stokes equations with multiplicative noise,” Stoch. Stoch. Rep., no. 59, pp. 21-45, 1996. [8] T. H. Ho, K. M. Bui, and T. N. Pham, “Wong-Zakai approximation and attractors for stochastic three- dimensional globally modified Navier-Stokes equations driven by nonlinear noise,” Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, vol. 29, no. 2, pp. 1069-1104, 2024. [9] T. H. Ho and T. N. Pham, “Random attractors for three-dimensional stochastic globally modified Navier-Stokes equations driven by additive noise on unbounded domains,” Random Oper. Stoch. Equ., vol. 32, no. 3, pp. 223-239, 2024. [10] B. Wang, “Periodic random attractors for stochastic Navier-Stokes equations on unbounded domains,” Electronic Journal of Differential Equations, vol. 2012, no. 59, pp. 1-18, 2012. [11] J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems: An Introduction to Dissipative Parabolic PDEs and the Theory of Global Attractors, (Cambridge Texts in Applied Mathematics, Series Number 28), Cambridge University Press, 2001. http://jst.tnu.edu.vn 159 Email: jst@tnu.edu.vn