TRƯỜNG ĐHKHTN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009
KHỐI CHUYÊN TOÁN-TIN
Ngày thi: 12/04/2009( thời gian: 180 phút)
------------------------------- -------------------------------------------
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x4 – 8x2 + 7 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với đồ
thị hàm số (1).
Câu II (2 điểm).
1) Giải phương trình:
)
4
sin(
2
2
1
tan
tantan
2
2
π
+=
+
+x
x
xx
.
2) Giải hệ:
=−+
=−+
2
1
2
1
2
1
2
1
x
y
y
x
Câu III (3 điểm).
1) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình;
d1:
=
=
+−=
tz
y
tx
1
21
d2:
1
3
1
1
2
1
−
−
=
+
=
−
+
zyx
và điểm I(0;3; - 1). Đường thẳn d đi qua I cắt d1
tại A và cắt d2 tại . Tính tỉ số
IB
IA
.
2) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , DA =
DB = DC.Biết rằng DBC là tam giác vuông.
a) Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Gọi
ϕ
là góc phẳng nhị diện [B,AD,C]. Tính cos
ϕ
.
Câu IV (2 điểm).
1) Tính tích phân: I =
∫
−+
2
0
2cossin43
2sin
π
dx
xx
x
2) Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm thực
)1(log)1(log
1616
33
−+
+
xx
= 2 x .
Câu V (1 điểm). Giải phương trình
)
4
11
cos(
2
x−
π
= tanx.
Hướng dẫn:
Câu I.
3) Đường thẳng tiếp xúc đồ thị
⇔
Hệ
=−
−=+−
)2(164
)1(978
3
24
mxx
mxxx
có nghiệm.
Thay (2) vào (1) được: 3x4 – 8x2 – 16 = 0
⇔
x2 =4
⇔
x=
±
2.
Thay x =
±
2 vào (2) được m=0.
Câu II.
1) ĐK: cosx
0.Phương trình được biến đổi thành:
cos2x. tanx.(tanx+1) = 1
2 ( sinx+cosx)
⇔
sinx(sinx+cosx) = 1
2 (sinx+cosx)
+=
+=
+−=
⇔
=
=+
⇔
π
π
π
π
π
π
2.
6
5
2.
6
4
2/1sin
0cossin
kx
kx
kx
x
xx
.
2) ĐK: x;y
≥
½. Từ hệ suy ra: x
y
y
x
1
2
11
2
1−+=−+ (1).
. Nếu x>y thì yx
11 < và yx
11 < suy ra VT(1) < VP(1). Không thỏa mãn!
. Nếu x< y tương tự cũng không thỏa mãn.Từ đó x=y.Thế vào một phương trình
của hệ được:
2
1
2
1=−+ x
x
⇔
x=1. Hệ cho nghiệm: (x;y)=(1;1).
Câu III.
1) A thuộc d1
⇔
A( - 1+2t; 1; t); B thuộc d2
⇔
B( -1 -2s; -1 + s; 3 – s).
→
IA=( -1+2t; - 2; 1+t) ;
→
IB =( -1-2s; -4+s; 4-s) là hai véc tơ cùng phương nên
→
IA= k.
→
IB từ đó giải ra được t = 1; s= -2 ; k= 1/3. Vậy: IA/IB= 1/3.
2) a) Gọi O là hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC)
→
O là trung điểm BC.
∆
DBC vuông cân tại D nên DO = 1
2 BC = a.Vậy: VDABC = 1
3 .DO.dt (ABC)=
6
3
3
a
.
b) Kéo dài CD cắt đường thẳng vuông góc với (ABC) tại B ở S. Ta có BS = 2a;
DC = a 2 ; AD = a 2 và là trung tuyến của tam giác SAC.Gọi
ϕ
= [B,AD,C]. Kẻ
BH
⊥
SA
→
BH
⊥
(SAC). Kẻ HE
⊥
AD
→
BE
⊥
AD. Khi đó
ϕ
= 1800 -
∃
BEH.Tính
được : tan
∃
BEH =
3
64
; cos 2
∃
BEH = 3/15. Vậy: cos
ϕ
= -
15
3
.
Câu IV. 1) I = ln2 –
2
1
. 2) ĐK: x>1.
Phương trình
3log3log
1616
)1()1( −++⇔ xx
= 2 x (*). Vì 0<
3log
16
<1/2 nên
VT(*)
≤
2
3log16
]
2
)1()1(
[
−
+
+
xx
= 2.
3log
16
x
< 2 x =VP(*). V ậy phương trình vô nghiệm.
Câu V. ĐK: cosx
≠
0.
pt
⇔
x
x
xx
cos
sin
2
)cos(sin
2
1
=
−
(1). Do vế trái (1) dương nên sinx và cosx cùng thuộc ( -1;0)
hoặc (0;1).Xét hàm số f(t) =
t
t
2
1
2
có đạo hàm f’(t) = )2ln(
2
2
2
2
1
−tt
t
t
< 0 .
Từ đó phương trình
⇔
sinx = cosx
⇔
x =
π
π
k+
4
.