intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu - Chương 5

Chia sẻ: Nguyen Bac A. Châu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
168
lượt xem 80
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu. Tiến sĩ: Đinh Đức Anh Vũ.Chương 5: Biến đổi Fourier rời rạc ( DFT)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tín hiệu số - Xử lý dữ liệu - Chương 5

  1. Chương 5 BK TP.HCM BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av. Ly Thuong Kiet, T.S. Đinh Đức Anh Vũ District 10, HoChiMinh city Telephone : (08) 864-7256 (ext. 5843) Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu
  2. Giới thiệu về DFT § Biến đổi Fourier liên tục x(n) = 0.8nu(n) x(n) Miền thời gian F Miền tần số ¥ X (w ) = å x ( n = -¥ n ) e - j wn § Vấn đề: X(ω) liên tục theo tần số ω → không thích hợp cho việc tính toán trên máy tính DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 2
  3. Lấy mẫu miền tần số X(ω) Lấy mẫu N=10 N=10 X (k ) º X (w = 2p N k) DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 3
  4. Lấy mẫu miền tần số ¥ X (w ) w = 2pk / N = X ( 2p N k) = å x ( n = -¥ n ) e - j 2pkn / N k = 0,1,..., N - 1 -1 N -1 2 N -1 å x ( n )e + å x ( n)e å x ( n )e - j 2Np kn - j 2Np kn - j 2Np kn X (k ) = L + + +L n=- N n =0 n= N ¥ lN + N -1 å å - j 2Np kn = x ( n )e l = -¥ n =lN N -1 é ¥ ù - j 2Np kn = å ê å x(n - lN )ú e Thay n bằng (n-lN) n = 0 ël = -¥ û N -1 ¥ Þ X ( k ) = å x p ( n)e - j 2Np kn với x p ( n) = å x(n - lN ) l = -¥ n =0 § T/h xp(n) – lặp chu kỳ của x(n) mỗi N mẫu – t/h tuần hoàn với chu kỳ cơ bản N N -1 x p (n) = å ck e j 2pkn / N n = 0,1,..., N - 1 k =0 N -1 1 ck = N n=0 å p x ( n ) e - j 2pkn / N k = 0,1,..., N - 1 DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 4
  5. Lấy mẫu miền tần số 1 ck = X ( k ) k = 0,1,K , N - 1 N 1 N -1 x p ( n ) = å X ( k )e j 2Np kn n = 0,1,K , N - 1 N k =0 § Có thể phục hồi t/h xp(n) từ các mẫu của phổ X(ω) x(n) ì x p ( n) 0 £ n £ N -1 n x ( n) = í î0 others 0 L N>L xp(n) n 0 L N N
  6. Lấy mẫu miền tần số § Có thể phục hồi X(ω) từ các mẫu X(k) với k = 0, 1,…, N-1 ª Giả sử N ≥ L → x(n) = xp(n) khi 0 ≤ n ≤ N-1 N -1 1 x ( n) = N å X k =0 ( k ) e j 2pkn / N ¥ N -1 é1 N -1 j 2pkn / N ù - jwn X (w ) = å x ( n )e n = -¥ - jwn = åê å n =0 ë N k =0 X ( k ) e úe û N -1 é 1 N -1 - j (w -2pk / N ) n ù = å X (k ) ê å e ú k =0 ë N n =0 û 1 N -1 - jwn 1 1 - e - jwN P (w ) = åe = N n =0 N 1 - e - jw N -1 sin(wN / 2) - jw ( N -1) / 2 X (w ) = å X (k ) P(w - 2Np k ) N³L = e N sin(w / 2) k =0 ì1 k =0 P( 2p k) = í N î0 k = 1,2,K , N - 1 DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 6
  7. Lấy mẫu miền tần số N -1 1 å X ( k )e x(n) j 2Np kn có chiều dài L≤N x ( n) = N k =0 BĐ F ¥ N -1 X (w ) = å x ( n ) e - j wn X (w ) = å X (k ) P(w - wk ) n = -¥ k =0 N -1 1 å Lấy mẫu P(w ) = e - jwn wk = 2p N k N k =0 N -1 å x (n )e - j 2Np kn X (k ) = Phục hồi Phục hồi n=0 DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 7
  8. Lấy mẫu miền tần số § Ví dụ: x(n) = anu(n), 0
  9. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) § Chuỗi không tuần hoàn, năng lượng hữu hạn x(n) § Các mẫu tần số X(2πk/N), k = 0, 1,…, N-1 không đặc trưng cho x(n) khi x(n) có chiều dài vô hạn § Nó đặc trưng cho chuỗi tuần hoàn, chu kỳ N xp(n) § xp(n) là lặp tuần hoàn của x(n) nếu x(n) có chiều dài hữu hạn L ≤ N § Do đó, các mẫu tần số X(2πk/N), k = 0, 1,…, N-1 đặc trưng cho chuỗi chiều dài hữu hạn x(n); i.e. X(n) có thể được phục hồi từ các mẫu tần số {X(2πk/N)} § x(n) = xp(n) trên một chu kỳ N (được đệm vào N-L zero). Mặc dù L mẫu của X(ω) có thể tái tạo lại được X(ω), nhưng việc đệm vào N-L zero giúp việc tính toán DFT N điểm của X(ω) đồng nhất hơn DFT IDFT N -1 1 N -1 X ( k ) = å x ( n)e x ( n) = å X ( k )e - j 2Np kn j 2Np kn n =0 N k =0 k = 0,1,K , N - 1 n = 0,1,K , N - 1 DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 9
  10. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) § Ví dụ: xác định DFT N điểm của chuỗi x(n) có độ dài L hữu hạn (N≥L) ì1 0 £ n £ L -1 ¥ L -1 x ( n) = í X (w ) = å x ( n)e - jw n = å e - jwn î0 others n = -¥ n =0 1 - e - jwL sin(wL / 2) - jw ( L -1) / 2 = - jw = e 1- e sin(w / 2) DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 10
  11. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 11
  12. DFT – BĐ tuyến tính DFT IDFT N -1 1 N -1 X ( k ) = å x ( n)e x ( n) = å X ( k )e - j 2Np kn j 2Np kn n =0 N k =0 k = 0,1,K , N - 1 n = 0,1,K , N - 1 WN = e- j 2p / N Nghiệm thứ N của đơn vị N -1 1 N -1 X (k ) = å x ( n )W n=0 N kn x(n) = å X (k )WN- kn N n =0 k = 0 ,1, K , N - 1 n = 0,1,K , N - 1 Tính DFT một điểm Tính DFT N điểm - Nhân phức: N - Nhân phức: N2 - Cộng phức: N-1 - Cộng phức: N(N-1) DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 12
  13. DFT – BĐ tuyến tính é x(0) ù é X (0) ù ê x(1) ú ê X (1) ú Các mẫu miền Các mẫu miền xN = ê ú XN = ê ú ê M ú thời gian ê M ú tần số ê ú ê ú ë x ( N - 1) û ë X ( N - 1) û é 1 1 1 L 1 ù ê ú ê 1 WN WN2 L WNN -1 ú Ma trận WN = ê 1 WN2 WN4 L WN2 ( N -1) ú BĐ tuyến tính ê ú ê M M M M ú ê 1 WNN -1 WN2 ( N -1) L WN( N -1)( N -1) úû ë § BĐ DFT N điểm X N = WN x N x N = WN-1 X N WN-1 = N1 WN* WN là ma trận x N = N1 WN* X N WNWN* = NI N đường chéo DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 13
  14. DFT – Quan hệ với các phép BĐ khác § Với hệ số Fourier của chuỗi chu kỳ Chuỗi xp(n) tuần hoàn chu kỳ N DFT N điểm của chuỗi x(n) N -1 1 N -1 x ( n ) = å X ( k )e j 2Np kn å j 2p kn x p (n) = ck e N k =0 N n =0 -¥ £ n£¥ n = 0,1,K , N - 1 X(k) = Nck 1 N -1 N -1 ck = å x p ( n )e X ( k ) = å x ( n )e - j 2Np kn - j 2Np kn N n =0 DFT N điểm cho chính xác n=0 phổ vạch của chuỗi k = 0,1,K , N - 1 tuần hoàn chu kỳ N k = 0,1, K , N - 1 § Với BĐ Fourier của chuỗi không chu kỳ ª DFT N điểm cho phổ vạch của chuỗi không chu kỳ x(n) nếu x(n) hữu hạn có độ dài L ≤ N § SV xem thêm mối quan hệ giữa DFT và BĐ Z; giữa DFT và hệ số Fourier của t/h LTTG DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 14
  15. DFT – Biểu diễn tín hiệu Dạng thẳng Dạng vòng Chiều dương Âm Dương n n=1 -2 -1 0 1 2 n=0 n=–1 Chiều âm x(n) x(n) = {1 2 3 4} x(1) 4 3 2 x(2) x(n) x(0) 1 n 0 1 2 3 x(3) DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 15
  16. DFT – Biểu diễn tín hiệu theo vòng ¥ § Chuỗi tuần hoàn chu kỳ N, mở rộng từ x(n) x p (n) = å x(n - lN ) n = -¥ ¥ § Chuỗi dịch xp(n) đi k mẫu x 'p ( n) = x p ( n - k ) = å x(n - lN - k ) l = -¥ ìï x (n) 0 £ n £ N - 1 ' p § Chuỗi có chiều dài hữu hạn từ x’p(n) x' (n) = í ïî0 otherwise § Quan hệ giữa x(n) và x’(n): dịch vòng x’(n) = x(n-k, MOD N) ≡ x((n-k))N x(n) 4 xp(n) 4 4 4 xp(n-2) 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 -4 -3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x(1) x’(1) 4 x’(n) 2 4 3 2 x(2) 3 x(n) 1 x(0) x’(2) 1 x’(n) 3 x’(0) 1 0 1 2 3 4 2 x(3) x’(3) DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 16
  17. DFT – Tính đối xứng vòng § Phép dịch vòng của một chuỗi N điểm tương đương với phép dịch tuyến tính của chuỗi mở rộng tuần hoàn của nó § Chuỗi N điểm là chẵn theo vòng nếu nó đối xứng qua điểm 0 trên vòng tròn ª i.e. x(N – n) = x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1 § Chuỗi N điểm là lẻ theo vòng nếu nó phản đối xứng qua điểm 0 trên vòng tròn ª i.e. x(N – n) = – x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1 § Đảo theo thời gian của chuỗi N điểm: đảo các mẫu của chuỗi quanh điểm 0 trên vòng tròn ª i.e. x((– n))N = x(N – n), 0 ≤ n ≤ N – 1 ª Phép đảo được thực hiện bằng cách vẽ x(n) theo chiều kim đồng hồ DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 17
  18. DFT – Tính đối xứng vòng § Giả sử x(n) và BĐ DFT X(k) là t/h phức ª x(n) = xR(n) + jxI(n), 0≤n≤N–1 ª X(k) = XR(k) + jXI(k), 0≤k≤N–1 ì 1 N -1 ì å [X ] N -1 ï X R ( k ) = å [x R ( n ) cos N + x I ( n ) sin N ] ï xR (n) = 2 p kn 2 p kn R ( k ) cos 2 pkn N - X I ( k ) sin 2p kn N ï n=0 ï N k =0 í N -1 í N -1 1 ï X ( k ) = - [x ( n ) sin 2 p kn - x ( n ) cos 2 p kn ] ïî I å n=0 R N I ï x (n) = ïî I N N å [X k =0 R ( k ) sin 2p kn N + X I ( k ) cos 2p kn N ] § Nếu x(n) thực: X(N-k) = X*(k) = X(–k) X ( N - k ) = X (k ) và Ð X ( N - k ) = -Ð X ( k ) § Nếu x(n) thực và chẵn: x(n) = x(N–n) ® XI(k) = 0 N -1 N -1 1 X (k ) = å x(n) cos 2pNkn x ( n) = å X (k ) cos 2pkn N n=0 N k =0 § Nếu x(n) thực và lẻ: x(n) = –x(N–n) ® XR(k) = 0 N -1 N -1 1 X (k ) = - j å x(n) sin 2pNkn x ( n) = j å X (k ) sin 2pkn N n =0 N k =0 § Nếu x(n) thuần ảo: x(n) = jxI(n) N -1 N -1 X R (k ) = å xI (n) sin 2pkn N X I (k ) = å xI (n) cos 2pNkn n=0 n=0 DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 18
  19. DFT – Tính chất § Tuần hoàn x(n ) ¬¾ ¾ ® X (k ) DFT N ì x(n ) = x(n + N ) "n Þ í î X (k ) = X (k + N ) "k § Tuyến tính ìï x1 ( n ) ¬¾ ¾® X 1 ( k ) DFT N í ïî x 2 ( n ) ¬¾ ¾® X 2 ( k ) DFT N Þ a1 x1 ( n ) + a 2 x2 ( n ) ¬¾ ¾® a1 X 1 ( k ) + a 2 X 2 ( k ) DFT N § Tổng chập vòng ì x ( n ) ¬ ¾ ¾ ® X 1(k ) DFT N ï 1 í ïî x 2 ( n ) ¬ ¾ ¾ ® X 2 (k ) DFT N Þ x1 ( n ) Ä N x 2 ( n ) ¬ ¾ ¾N ® X 1 ( k ) X 2 ( k ) DFT N Tích chập vòng N điểm N -1 x1 ( n ) Ä N x2 (n) = åx k =0 1 ( k ) x 2 (( n - k )) N n = 0 ,1, K , N - 1 DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 19
  20. DFT – Tích chập vòng ìï x1 (n) ¬¾ ¾® X 1 (k ) DFTN x ( m) = IDFT { X (k )} í N -1 ïî x2 (n) ¬¾ ¾® X 2 (k ) DFTN 1 å X ( k )e j 2Np km = N x(m) ¬¾ ¾® X (k ) = X 1 (k ) X 2 (k ) DFTN k =0 N -1 1 å X (k ) X j 2Np km = 1 2 ( k )e ìN a =1 N k =0 N -1 ï å é - j 2Np kn ù é - j 2Np kl ù j 2Np km N -1 N -1 N -1 a k = 1 k =0 í1 - a N ï a ¹1 = N å êå x1 (n)e k =0 ë n =0 ú êå x2 (l )e û ë l =0 úe û î 1- a N -1 N -1 N -1 j 2Np ( m - n - l ) 1 Trong ñoù a=e å x1 (n)å x2 (l )å e j 2Np k ( m - n -l ) = N a = 1, khi : m - n - l = pN , p Î Z n =0 l =0 k =0 a ¹ 1 Þ a N = e j 2p ( m - n -l ) = 1 Þ 1 - a N = 0 ìN N -1 m - n - l = pN Û l = ((m - n)) N Þ åa = í k N -1 î0 otherwise k =0 x(m) = å x1 (n) x2 ((m - n)) N m = 0,1, K , N - 1 n =0 N -1 x(n) = å x1 (k ) x2 ((n - k )) N n = 0,1, K , N - 1 k =0 DSP – Lecture 5, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2