Tính ổn định và đặt chỉnh Levitin–Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán cân bằng vectơ hai mức yếu chứa nhiều bài toán như các trường hợp đặc biệt như bài toán quy hoạch với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán mạng giao thông với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng, bài toán tối ưu hai mức và bài toán bất đẳng thức hai mức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính ổn định và đặt chỉnh Levitin–Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu

58 Hà Anh Tuấn, Nguyễn Thị Kiến Trúc, Nguyễn Văn Hưng TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐẶT CHỈNH LEVITIN-POLYAK CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC VECTƠ YẾU STABILITY AND LEVITIN-POLYAK WELL-POSEDNESS FOR BILEVEL WEAK VECTOR EQUILIBRIUM PROBLEMS Hà Anh Tuấn1, Nguyễn Thị Kiến Trúc2, Nguyễn Văn Hưng3* 1 Trường Đại học Giao thông Vận tải TP. Hồ Chí Minh 2 Trường Đại học Bách khoa TP. Hồ Chí Minh 3 Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông TP. Hồ Chí Minh Tác giả liên hệ: nvhung@ptithcm.edu.vn * (Nhận bài: 04/02/2021; Chấp nhận đăng: 07/5/2021) Tóm tắt - Trong bài báo này, đầu tiên, nhóm tác giả xét bài toán Abstract - In this paper, we first consider the bilevel weak vector cân bằng vectơ hai mức yếu. Bài toán cân bằng vectơ hai mức yếu equilibrium problems. These problems contain many problems as chứa nhiều bài toán như các trường hợp đặc biệt như bài toán quy special cases, including mathematical program problems with hoạch với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu vectơ variational inequality constraints, vector optimization problems với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán mạng giao thông with variational inequality constraints, traffic network problems với ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức with variational inequality constraints, variational inequality biến phân với ràng buộc cân bằng, bài toán tối ưu hai mức và bài problems with equilibrium constraints, bilevel optimization toán bất đẳng thức hai mức. Sau đó, thiết lập khái niệm đặt chỉnh problems, bilevel variational inequality problems. Then, we study Levitin–Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu. Cuối concepts of Levitin-Polyak well-posedness for bilevel weak cùng, nhóm tác giả chứng tỏ rằng, với một số điều kiện phù hợp, vector equilibrium problems. Finally, we show that, under sự tương đương giữa tính chất đặt chỉnh Levitin–Polyak và sự tồn suitable conditions, the equivalence between the Levitin-Polyak tại của các tập nghiệm của bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu well-posedness properties and the existence of solutions for là được giới thiệu và nghiên cứu. Một ví dụ được đưa ra minh họa bilevel weak vector equilibrium problems is given. An example cho các kết quả của nhóm tác giả. is given for the illustration of our results. Từ khóa - Bài toán cân bằng vectơ hai mức; đặt chỉnh Levitin– Key words - Bilevel equilibrium problems; Levitin-Polyak well- Polyak; đặt chỉnh Levitin–Polyak tổng quát. posedness; Levitin-Polyak well-posedness in the generalized sense. 1. Giới thiệu sự hiểu biết của nhóm tác giả, hiện tại các kết quả nghiên Bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng đã được giới cứu về mối quan hệ giữa tính đặt chỉnh Levitin–Polyak và thiệu và nghiên cứu bởi Mordukhovich [1] năm 2004. Bài sự tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức vectơ toán cân bằng với ràng buộc cân bằng chứa nhiều bài toán yếu vẫn chưa được nghiên cứu. Xuất phát từ các ý tưởng liên quan bao gồm bài toán tối ưu hai mức, bài toán quy như được đã được đề cập, trong bài viết này, nhóm tác giả hoạch hai mức, bài toán bất đẳng thức biến phân hai mức sẽ thiết lập tính đặt chỉnh Levitin–Polyak cho bài toán cân và nhiều bài toán khác. Trong những năm gần đây, bài toán bằng hai mức vectơ loại yếu. cân bằng hai mức đã được quan tâm bởi nhiều nhà nghiên 2. Mô hình bài toán và kiến thức bổ trợ cứu với các chủ đề như điều kiện tồn tại (xem [2, 3]), tính chất ổn định nghiệm (xem [4, 5]), tính đặt chỉnh (xem [6, Cho X, W, Z, P là các không gian Banach, A và  7]) và các tài liệu tham khảo ở trong đó. tương ứng là các tập con khác rỗng của X và W, C2  P Tính đặt chỉnh là một khái niệm quan trọng trong lý là một nón lồi, đóng, có đỉnh với phần trong khác rỗng thuyết tối ưu. Khái niệm đặt chỉnh cho bài toán tối ưu int C2   và Y = A   , h : Y  Y → P là một hàm không ràng buộc đã được giới thiệu đầu tiên bởi Tikhonov vectơ. Khi đó, bài toán cân bằng hai mức vectơ loại yếu [8] trong năm 1966, và được biết đến như là đặt chỉnh được thiết lập như sau: Tikhonov. Cuối năm 1966, Levitin và Polyak [9] đã giới * (WBVEP): Tìm x  graphQ −1 sao cho thiệu khái niệm đặt chỉnh cho bài toán tối ưu ràng buộc như là sự mở rộng khái niệm của đặt chỉnh Tikhonov và * h( x , y* )  − int C2 , y *  graphQ −1 cũng được biết đến như là đặt chỉnh Levitin-Polyak. Gần đây, đặt chỉnh Levitin-Polyak đã được quan tâm cho bài Trong đó, Q ( ) là tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng toán tối ưu (xem, [10]), bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ phụ thuộc tham số như sau: tìm x  K1 ( x,  ) sao cho (xem, [11, 12]). Rất gần đây, Anh và Hung [6] đã nghiên f ( x, y,  )  − int C1 , y  K2 ( x,  ) , với C1  Z là một nón cứu khái niệm của loại đặt chỉnh Levitin–Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ loại mạnh. Tuy nhiên, theo lồi, đóng, có đỉnh với int C1   , Ki : A   A, i = 1, 2 1 Ho Chi Minh City University of Transport (Ha Anh Tuan) 2 Ho Chi Minh City University of Technology (Nguyen Thi Kien Truc) 3 Posts and Telecommunications Institute of Technology (Nguyen Van Hung)
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 19, NO. 5.1, 2021 59 là các ánh xạ đa trị, f : A  A   → Z là một hàm vectơ, h(x , y ) +  n e2 − int C2 , y  graphQ , * n * * −1 graphQ−1 ký hiệu là đồ thị của Q −1 , nghĩa là, trong đó, d (a, M ) := inf bM d (a, b) là khoảng các từ điểm graphQ−1 := {( x, ) : x  Q()}. đến tập, e1  int C1 và e2  int C2 . Tập  được ký hiệu là tập nghiệm của (WBVEP), và Định nghĩa 3.2. Bài toán (WBVEP) được gọi là đặt được định nghĩa bởi: chỉnh Levitin–Polyak, nếu: *  = {x = ( x,  )  graphQ−1 f ( x, y,  ) − int C1, y  K2 (x,  ) (i) Bài toán (WBVEP) có nghiệm duy nhất x *0 ; * (ii) Với mỗi dãy xấp xỉ Levitin–Polyak {x*n } cho và h( x , y * )  − int C2 , y * = ( y,  )  graphQ −1}. (WBVEP) hội tụ về nghiệm duy nhất x *0 . Tiếp theo, sẽ trình bày lại một số kiến thức bổ trợ, cụ thể như sau: Định nghĩa 3.3. Bài toán (WBVEP) được gọi là đặt chỉnh Levitin–Polyak tổng quát, nếu Định nghĩa 2.1. (xem [13, 14]) Giả sử X, Y là hai không gian vectơ tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị và x0  X là (i) Tập nghiệm  của (WBVEP) khác rỗng. một điểm cho trước. (ii) Với mỗi dãy xấp xỉ Levitin–Polyak {x*n } cho bài toán (i) F được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại x0 nếu (WBVEP), có một dãy con hội tụ đến một số điểm của  . F ( x0 )  U   với một tập mở U  Y thì sẽ tồn tại Với mỗi   , e1  int C1 , e2  int C2 và một số thực một lân cận V của x0 sao cho dương  , tập nghiệm xấp xỉ của (WBVEP) được ký hiệu F ( x)  U  , x  V  domF , bởi ( ) như sau: domF := {x  X F ( x)  }. * ( ) := {x  K1 ( x,  )   : f ( x, y,  ) +  e1  − int C1, y  K 2 ( x,  ) (ii) F được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c) tại x0 nếu với * và h( x , y* ) +  e2  − int C2 , y*  graphQ −1}. mọi tập mở U  F ( x0 ) thì tồn tại một lân cận V của Chúng ta dễ thấy rằng, với mỗi   0, (0) =  và x0 sao cho U  G ( x), x  V . .   ( ). (iii) F được gọi là liên tục tại x0 nếu F vừa nửa liên tục Bổ đề 3.4. Giả sử cho bài toán (WBVEP) và các giả dưới, vừa nửa liên tục trên tại x0 . thiết sau đây thỏa mãn (iv) F được gọi là đóng tại x0  dom F nếu với mọi lưới (i) K 1 đóng trên A , và K 2 liên tục dưới trên A ; x  trong X hội tụ về x0 và  y  trong Y hội tụ về y0 (ii) f liên tục trên A A; sao cho y  F ( x ) , thì ta có y0  F ( x0 ) . (iii) h liên tục trên Y  Y. Mệnh đề 2.2. (xem [13, 14]) Giử sử X, Y là hai không Khi đó, ( ) là một tập đóng, với mọi   0 . gian vectơ tôpô, F : X Y là một ánh xạ đa trị, và Chứng minh. Cho x*n = ( xn , n ) ( ) sao cho x0  X là một điểm cho trước. x*n → x* = ( x0 , 0 ) . Vì K 1 đóng, nên ta suy ra rằng (i) Nếu F là u.s.c tại x0 và F ( x0 ) đóng, thì F x0  K1 ( x0 , 0 ) . Bây giờ chúng ta chứng tỏ x*  graphQ−1 , là đóng tại x0 . nghĩa là, x0  Q(0 ) . Nếu x0  Q(0 ) thì tồn tại (ii) Nếu F nhận các giá trị compắc, thì F là u.s.c tại x0 y0  K 2 ( x0 , 0 ) sao cho f ( x0 , y0 , 0 ) +  e1  − int C1 . nếu và chỉ nếu với mọi lưới {x }  X mà hội tụ về x0 Do K 2 là l.s.c tại ( x0 , 0 ) , nên tồn tại yn  K 2 ( xn , n ) và với mọi lưới { y }  F ( x ) , thì tồn tại y  F ( x) và sao cho yn → y0 . Vì xn  Q(n ) , nên với mọi   0 , ta có một lưới con { y } của { y } sao cho y → y. f ( xn , yn , n ) +  e1  − int C1 . 3. Các kết quả chính Lấy id1 : int R+ → int R+ là ánh xạ đồng nhất. Do f Đầu tiên, nhóm tác giả giới thiệu các khái niệm liên tục tại ( x0 , y0 , 0 ) , và id1 liên tục, nên ta suy ra rằng Levitin–Polyak và Levitin–Polyak tổng quát cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu. f + id1 liên tục tại ( x0 , y0 , 0 ,  ) . Vì vậy, ta có: Định nghĩa 3.1. Một dãy {x*n }:= {( xn , n )} được gọi là f ( x0 , y0 , 0 ) +  e1  − int C1 , một dãy xấp xỉ Levitin–Polyak cho bài toán (WBVEP), nếu điều này là mâu thuẫn. Do đó: x* = ( x0 , 0 )  graphQ−1. (i) {x*n }:= {( xn , n )}  A  , n  N; Tiếp theo, chúng ta chứng tỏ rằng x* ( ). Nếu (ii) Tồn tại một dãy { n }  R+ hội tụ về 0 sao cho x* ( ), thì với mọi   0 sao cho: d ( xn , K1 ( xn , n ))   n , n  N , d ( x0* , K1 ( x0 , 0 )  )   , f ( xn , y, n ) +  n e1  − int C1 , y  K 2 ( xn , n ), và tồn tại y0*  graphQ−1 thỏa mãn
60 Hà Anh Tuấn, Nguyễn Thị Kiến Trúc, Nguyễn Văn Hưng h( x , y ) +  e2 − int C2 . * 0 * 0 Bây giờ, trình bày đặc trưng mêtric cho tính đặt chỉnh Levitin-Polyak theo hành vi của tập nghiệm xấp xỉ, trong Vì xn* ( ) , nên với mọi   0 , ta có đó diamA là đường kính của A được định nghĩa bởi d ( xn* , K1 ( xn , n ))   , diamA = sup{d (a, b) = a − b : a, b  A}. và yn*  graphQ−1 thỏa mãn Định lí 3.7. Giả sử rằng h( xn* , yn* ) +  e2 − int C2 . (i) K 1 đóng trên A , và K 2 nửa liên tục dưới trên A ; Lấy id 2 : int R+ → int R+ là ánh xạ đồng nhất. Vì h liên (ii) f liên tục trên A A; tục tại ( x0* , y0* ) , và id 2 liên tục, nên ta suy ra rằng h + id 2 (iii) h liên tục trên Y  Y . liên tục tại ( x0* , y0* ,  ) . Do đó, ta có Khi đó, (WBVEP) đặt chỉnh Levitin-Polyak khi và chỉ khi ( )  ,   0 và diam( ) → 0 khi  → 0 . d ( x0* , K1 ( x0 , 0 )  )   , Chứng minh. Nếu (WBVEP) là đặt chỉnh Levitin- và h( x0* , y0* ) +  e2 − int C2 . Polyak. Khi đó (WBVEP) có một nghiệm duy nhất x0*  Điều này là mâu thuẫn. Vì vậy x* ( ). Do đó, ( ) và do đó ( )  ,   0 khi   ( ) . Nếu đóng trên. diam( ) →  0 khi  → 0 , khi đó, tồn tại   0 và Bổ đề 3.5. Giả sử rằng A compắc và tất cả các điều  n  0 sao cho  → 0 và diam( n )    0, n  N. kiện trong Bổ đề 3.4 được thỏa mãn. Khi đó,  là một tập Khi đó, tồn tại xn*1 = ( x1n , n1 ), xn*2 = ( xn2 , n2 ) ( n ) sao đóng. Ngoài ra,  là một tập compắc.  Chứng minh. Chứng minh này tương tự như Bổ đề 3.4. cho d ( xn*1 , xn*2 )  . 2 Định lí 3.6. Giả sử tất cả các điều kiện trong Bổ đề 3.5 được thỏa mãn. Khi đó, bài toán (WBVEP) là đặt chỉnh Vì xn*1 = ( x1n , n1 ), xn*2 = ( xn2 , n2 ) ( n ), nên chúng ta Levitin-Polyak tổng quát khi và chỉ khi  là một tập suy ra từ định nghĩa của ( n ) rằng xn*1 và xn*2 là các dãy compắc của A và  là nửa liên tục trên tại 0. xấp xỉ Levitin-Polyak cho bài toán (WBVEP). Do đó, các Chứng minh. Đầu tiên, giả sử  là tập compắc của dãy {xn*1} và {xn*2 } hội tụ đến nghiệm duy nhất x0* của bài A và  là u.s.c tại 0, chúng ta sẽ chứng minh bài toán toán (WBVEP), điều này mâu thuẫn với thực tế rằng (WBVEP) là đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát. Thật  d ( xn*1 , xn*2 )   0, n. vậy, lấy {xn* } là một dãy xấp xỉ Levitin-Polyak của 2 (WBVEP). Khi đó, tồn tại một dãy { n }  int R+ với Chiều ngược lại, ta lấy {xn* } là một dãy xấp xỉ Levitin-  n → 0 sao cho: Polyak cho bài toán (WBVEP). Khi đó, tồn tại d ( xn , K1 ( xn , n ))   n , n  N , { n }  int R+ với  n → 0 sao cho: f ( xn , y, n ) +  n e1  − int C1 , y  K 2 ( xn , n ), d ( xn , K1 ( xn , n ))   n , n  N , và h( xn* , y* ) +  ne2 − int C2 , y*  graphQ−1. f ( xn , y, n ) +  n e1  − int C1 , y  K 2 ( xn , n ), Vì vậy, xn* ( n ) . Vì  = (0) compắc và  nửa và h( xn* , y* ) +  ne2 − int C2 , y*  graphQ−1. * liên tục trên 0, nên tồn tại một dãy con {xnk } của {xn* } hội Điều này suy ra rằng xn* ( n ) . Vì diam( ) → 0 khi  → 0 , ta suy ra rằng {xn* } là một dãy Cauchy và hội tụ đến một số điểm x0* (0) . Vì vậy, bài toán (WBVEP) tụ đến điểm x0* . Bởi tính đóng của K 1 tại (x 0 , 0 ) , do đó là đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát. x 0  K1 (x 0 , 0 ). Chứng minh tương tự như Bổ đề 3.4, ta Chiều ngược lại, chúng ta giả sử rằng bài toán (WBVEP) là đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát. Khi đó, cũng suy ra rằng x0*  .  = (0) là một tập compắc. Lấy { n }  int R+ là một dãy Bây giờ chứng tỏ rằng (WBVEP) có nghiệm duy nhất. tùy ý với  n → 0 và xn* ( n ) , ta có Thật vậy, nếu  có hai nghiệm khác nhau x1* và x2* , d ( xn , K1 ( xn , n ))   n , n  N , không khó để thấy x1* , x2* ( ),   0. f ( xn , y, n ) +  n e1  − int C1 , y  K 2 ( xn , n ), Khi đó, ta suy ra 0  d ( x1* , x2* )  diam( ) → 0, điều này là không thể. Do đó, bài toán (WBVEP) là đặt chỉnh và h( xn* , y* ) +  ne2 − int C2 , y*  graphQ−1. Levitin-Polyak. Do đó, ta thấy rằng, {xn* } là một dãy xấp xỉ Levitin- Ví dụ sau chứng tỏ tính duy nhất của đặt chỉnh Levitin- Polyak của (WBVEP). Bởi vì tính đặt chỉnh Levitin-Polyak Polyak trong Định lí 3.7 là quan trọng. * tổng quát của (WBVEP), {xn* } có một dãy con {xnk } của Ví dụ 3.8. Lấy X = Z = P = R, C1 = C2 = C = R+ , {xn* } hội tụ đến một số điểm của  = (0) . Vì vậy,  nửa  5 A =  0,  ,  = 0,1 , 0 = 0,   0, e1  int C1 , e2  int C2 liên tục trên tại 0.  2
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 19, NO. 5.1, 2021 61 và K1 , K2 : A  → 2 , f : A A  → Z , h :Y  Y → P A 4. Kết luận được xác định bởi: Trong công trình này, nhóm tác giả đã nghiên cứu một lớp bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu. Sau đó, thiết lập sự  1 K1 ( x,  ) = 0,  , K 2 ( x,  ) = 0,1 , tương đương giữa tính đặt chỉnh Levitin-Polyak và sự tồn tại  2 nghiệm của bài toán này. Ngoài ra, đặc trưng mêtric của h( x* , y* ) = h(( x, 1 ),( y, 2 )) = ( x2 + y 2 )(12 + 22 ), nghiệm xấp xỉ cũng được thiết lập. Như đã đề cập ở phần giới thiệu, đến thời điểm hiện tại chưa có bài báo nào nghiên f ( x, y,  ) = {3 + 2  +1 +  },   0. 2 cứu sự tương đương giữa tính đặt chỉnh Levitin-Polyak và sự tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu.  1 Ta tính toán được rằng Q( ) = 0,  ,    0,1 , do đó: Vì vậy các kết quả của nhóm tác giả trong bài báo này là mới  2 và khác với các kết quả trong tài liệu tham khảo.  1 graphQ −1 = {(  ,  )   0,  ,    0,1}. TÀI LIỆU THAM KHẢO  2 [1] Mordukhovich B.S, “Equilibrium problems with equilibrium Với mỗi   0, ta có constraints via mul-tiobjective optimization”. Optim. Methods Softw. 19, 2004, 479-492.  1 [2] Hung N.V., O'Regan D, “Bilevel equilibrium problems with lower and [0,  ], khi 0