Toán cao cấp a2 chương 1: Ma trận và định thức - Đỗ Công Khanh

Chia sẻ: Ngo Khac Hoang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

1.508
lượt xem 167
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu về toán cao cấp a2 bài ma trận và định thức giúp sinh viên chuyên ngành toán tham khảo để học tốt hơn. Mời các bạn tham khảo

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán cao cấp a2 chương 1: Ma trận và định thức - Đỗ Công Khanh

NỘI DUNG Chương 1: Ma trận & định thức. TOÁN 2 Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính. Chương 3: Không gian vector. Chương 4: Trị riêng, vector riêng của ma trận và dạng toàn phương. Tài liệu: Toán cao cấp, Đại Số Tuyến Tính (Toán 2), Đỗ Công Khanh, Khoa CNTT & TƯD, ĐH Tôn Đức Thắng Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, NXB ĐHQG TP HCM. Tóm tắt bài giảng Toán C2, Thái Khắc Định, ĐH Tôn Đức Thắng. 1 2 MA TRẬN 1.1. Định nghĩa. CHƯƠNG 1 Cột MA TRẬN & ĐỊNH THỨC a12 ⎡1 3⎤ Hàng a23 A = ⎢5 7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 4⎥ ⎣ ⎦ A là ma trận cấp 3x2 Tập các ma trận n hàng – k cột kí hiệu là Mnxk 3 4
1.2. Các loại ma trận. - Ma trận chuyển vị: của ma trận A kí hiệu là AT hàng A---- cột AT - Ma trận vuông: số hàng = số cột cột A ---- hàng AT ⎡1 3 5 ⎤ A = ⎢ 2 4 6 ⎥ là ma trận vuông cấp 3. ⎡1 3⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 5 2⎤ A = ⎢5 7 ⎥ ⎢9 8 7 ⎥ AT = ⎢ ; ⎣ ⎦ 3 7 4⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢2 4⎥ ⎣ ⎦ - Ma trận đơn vị: ngoài đường chéo chính thì bằng 1 ⎡5⎤ ⎡1 0 0 ⎤ A = ⎢7⎥ . A = [5 4 ], I 3 = ⎢0 1 0 ⎥ là ma trận đơn vị cấp 3. T 7 ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢4⎥ ⎣⎦ ⎢0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ 5 6 1.3. Các phép toán trên ma trận. 1.3.2. Phép nhân một số với một ma trận. 1.3.1. Phép cộng hai ma trận. 1 ⎤ ⎡ 1 2 ⎤ ⎡ 2 +1 1+ 2 ⎤ ⎡2 ⎡2 1 ⎤ ⎡ 2 .2 2 .1 ⎤ ⎡ 4 2⎤ ⎢3 0 ⎥ + ⎢ −3 1 ⎥ = ⎢3 + (−3) 0 + 1⎥ 2 ⎢3 0 ⎥ = ⎢ 2 .3 2 .0 ⎥ = ⎢ 6 0⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢0 4 ⎥ ⎢ 1 2 ⎥ ⎢ 0 + 1 4 + 2⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢0 4 ⎥ ⎢ 2 .0 2 .4 ⎥ ⎢ 0 8⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡3 ⎤ 3 = ⎢0 ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ 6 ⎣ ⎦ 7 8
1.3.3. Phép nhân hai ma trận. Định nghĩa: A* B= C ⎡1 4 5⎤ ⎡2 1 4⎤ ⎢ ⎥ ⎡2.1+1.3 + 4.0 2.4 +1.2 + 4.1 2.5 +1.1+ 4.3⎤ nxk kxm = nxm ⎢ 0 3 2 ⎥ ⎢3 2 1⎥ = ⎢ ⎥ ⎦ ⎢0 1 3⎥ ⎣0.1+ 3.3 + 2.0 0.4 + 3.2 + 2.1 0.5 + 3.1+ 2.3⎦ ⎣ ⎣ ⎦ cij= hàng i của A * cột j của B ⎡5 14 23⎤ =⎢ ⎥ ⎣9 8 9 ⎦ Lưu ý: số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. c21 = (hàng 2 của A) x (cột 1 của B) (1 2 3)*(4 5 1)= 1.4+2.5+3.1=4+10+3=17 0.1 + 3.3 + 2.0 = Tổng quát: cij = (hàng i của A) x (cột j của B) 9 10 ⎡1 4 5⎤ Bài tập ⎡2 1 4⎤ ⎢ ⎥ A=⎢ ⎥ , B = ⎢3 2 1⎥ ⎣0 3 2⎦ ⎢ ⎣ 0 1 3⎥ ⎦ 1. Tính tích các ma trận sau: ⎡1 4 5⎤ ⎡4 0 ⎤ ⎡2 1 1 0⎤ ⎡2 1⎤ ⎡ 2 −2 3 ⎤ ⎢ ⎡2 1 4⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 1⎤ ⎡ 3 ⎤ b ) ⎡0 1 3 ⎤ ⎢ 3 0 0 1 ⎥ ⎥ a ) ⎢0 4⎥ ⎢ ⎥ 5 −3⎥ ⎢ c )⎢ 5 4 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 3 2 ⎥ ⎢3 2 1⎥ ⎢1 0 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎢1 2 ⎥ ⎣ 0 1⎦ ⎢ ⎥2 ⎣ ⎣ ⎦ ⎢ 1 2 −1 0 ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢1 3⎥ ⎣ 0 1 3⎥ ⎣ ⎦ ⎦ ⎡2.1+1.3 + 4.0 2.4 +1.2 + 4.1 2.5 +1.1+ 4.3⎤ =⎢ ⎥ 2. Tính tích của AB và BA nếu ⎣0.1+ 3.3 + 2.0 0.4 + 3.2 + 2.1 0.5 + 3.1+ 2.3⎦ ⎡0 0 1 ⎤ ⎡1 2 1 ⎤ B = ⎢0 1 0⎥ A = ⎢2 3 2⎥ ⎡5 14 23⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢1 0 0 ⎥ ⎢1 4 3⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣9 8 9 ⎦ 11 12
ĐỊNH THỨC 2.1. Định nghĩa. Định thức của A vuông, ký hiệu là det(A) hoặc |A| ⎡0 1 0 0⎤ ⎢0 0 1 0⎥ | −2 |= −2; | a |= a; 3. Cho A = ⎢ ⎥. ⎢0 0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 0⎦ a11 a12 = a11a22 − a12 a21 = đ/c chính - đ/c phụ a21 a22 Tính các ma trận sau: đ/c chính đ/c phụ a) A2, AI3,I3A; b) A.AT, AT.A 12 = 1.4 − 3.2 = −2 34 13 14 ĐỊNH THỨC ĐỊNH THỨC ⎡ −2 2 −3⎤ −2 2 A = ⎢ −1 1 3 ⎥ −1 1 a11 a12 a13 a11 a12 ⎢ ⎥ ⎢ 2 0 −1⎥ 2 0 ⎣ ⎦ a21 a22 a23 a 21 a 22 det( A) = [(−2).1.(−1) + 2.3.2 + (−3).(−1).0] a33 a 31 a 32 a31 a32 − [(−3).1.2 + (−2).3.0 + 2.(−1).(−1)] = [a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32] = [2 + 12] − [−6 + 2] = [14] − [−4] = 18 -[ a13a22a31+ a11a23a32 + a12a21a33] 15 16
⎡ −2 2 −3⎤ Phân tích theo hàng i A = ⎢ −1 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 0 −1⎥ ⎣ ⎦ Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n. h3 detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (1) = 2. A31 + 0. A32 + (−1). A33 trong đó: 2 −3 −2 2 = 2.(−1)3+1. + (−1).(−1)3+3 . Aik được gọi là phần bù đại số của aik −1 1 13 Aik = (-1)i+kdet(A bỏ hàng i cột k) = 2.[2.3 − (−3).1] − [(−2).1 − 2.(−1)] = 2.[6 + 3] − [−2 + 2] = 18 17 18 ⎡ −2 2 −3⎤ A = ⎢ −1 1 3 ⎥ Ví dụ 1: ⎢ ⎥ ⎢ 2 0 −1⎥ ⎣ ⎦ Phân tích theo cột i C2 A = 2. A12 + 1. A22 + 0. A32 detA = a1iA1i + a2iA2i + … + aniAni , −1 −2 −3 3 = 2.(−1)1+ 2 . + 1.(−1) 2+ 2 . −1 −1 2 2 trong đó Aki là phần bù đại số của aki = −2.[(−1).(−1) − 3.2] + [(−2).(−1) − (−3).2] = −2[1 − 6] + [2 + 6] = 10 + 8 = 18 19 20
2.2. Các tính chất. 1. det(AB) = det(A)det(B) det(AAT)=det(A).det(AT)=det(A).det(A)=25 2. det(AT) = det(A). Cho det(A)=5. Tính det(AAT) và det (A6). det (A6)=det(A.A…A)=det(A).det(A)…det(A) =det(A)6=56. 21 22 2.2. Các tính chất. ⎡ −2 2 −3⎤ Ví dụ 8: A = ⎢ −1 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ 2ab c ⎢ 2 0 −1⎥ ⎣ ⎦ 0 −3 d e = 2.(−3).(−5).6 = 180 −2 2 −3 −1 1 3 −1 1 3 h1 ↔ h 2 0 0 −5 f h 2 = h 2 − 2 h1 = = A = −1 1 3 − 0 0 −9 − −2 2 −3 0 0 0 6 0 −1 2 2 0 −1 0 −1 2 −1 1 200 0 ⎛ −1 1 3 ⎞ 3 −1 1 3 h 2 ↔ h3 ⎜ ⎟ = h 3 = h 3 + 2 h1 = = −⎜− 0 2 5 ⎟ 02 5 − 0 0 −9 a −3 0 0 = 2.(−3).(−5).6 = 180 ⎜ 0 0 −9 ⎟ 0 −9 0 0 2 5 ⎝ ⎠ b c −5 0 = de f 6 -1.2.(-9) = 18 23 24
Định lý: BÀI TẬP - Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng không thì định thức của nó bằng 0. - Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì định 1. Tính các định thức cấp 2: thức của nó bằng 0. n +1 n 1+ 2 2 + 3 a 2 ab a) ; b) ; c) . n −1 2 n ab b 2 − 3 1− 2 −2 2 4 1 24 −1 1 2 =0 −1 1 2 = 0 2. Tính các định thức cấp 3: 0 −4 2 1 24 101 a+x a2 + 1 x x ab ac b+ x b2 + 1 a) 1 1 0 ; b) bc ; c) x x. ab c+x c +1 2 x x ac bc 011 25 26 3. Tính các định thức cấp 4: 4. Tính các định thức: 2 3 −3 4 1+ x 1 1 1 a 1 1 1 2 1 −1 1 1− x 2 1 1 b 0 1 1 a) ; a) ; b) ; 1 1+ y 1 1 62 1 0 c 1 0 1 1− y 1 1 1 −5 23 0 d 1 1 0 21111 0abc 0 −1 1 1 13111 −1 −1 1 a0cb 0 b) 1 1 4 1 1 . c) ; d) . bc0a a bcd 11151 −1 −1 cba0 1 0 11116 27 28
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0. 3.1. Khái niệm. - Ma trận phụ hợp. Cho ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎡ A11 A21 ... An1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch A12 A22 ... An2 a a22 ... a2n ⎥ đặt PA = ⎢ ⎥ A = ⎢ 21 nếu tồn ma trận B cấp n sao cho: ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ... ... ⎥ ... ... ... ... ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ A1m A2m ... Anm ⎣ am1 am2 ... amn ⎦ ⎦ AB = BA = In, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kh A-1. với Aij là phần bù đại số của aij. Ma trận PA được gọi là ma trận phụ hợp của A. Ngược lại ta nói A không khả nghịch. 29 30 ⎡ 1 2 0⎤ 3.2. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. A = ⎢ 3 1 4⎥ det( A ) = −30 ≠ 0 ⇒ ∃A−1 Ví d ụ ⎢ ⎥ ⎢ −2 1 2 ⎥ ⎣ ⎦ 1. Dùng ma trận phụ hợp. 14 3 4 3 1 A11 = = −2; A12 = − = −14; A13 = =5 1 −2 2 −2 1 Nếu A khả nghịch thì A−1 = 12 PA det( A) 20 1 0 1 2 A21 = − = −4; A22 = = 2; A23 = − = −5 −2 2 −2 1 12 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp. 20 10 12 A31 = = 8; A32 = − = −4; A33 = = −5 Nếu A khả nghịch thì 14 34 31 ⎡1 4⎤ 2 Vậy ⎢ 15 15 − 15 ⎥ ⎡ −2 −4 8 ⎤ ⎢ ⎥ 1 7 1 2⎥ ⇒ A−1 = − PA = ⎢ PA = ⎢ −14 2 −4 ⎥ − ⎢ 15 15 15 ⎥ ⎢ ⎥ 30 ⎢ ⎥ ⎢ 5 −5 −5⎥ ⎣ ⎦ ⎢− 1 1 1⎥ ⎢6 6 6⎥ 31 32 ⎣ ⎦
3.2. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. Dùng phép biến đổi sơ cấp: ⎡ 1 2 0 1 0 0⎤ ⎡ 1 2 0 1 0 0⎤ A = ⎢ 3 1 4 0 1 0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ 0 −5 4 −3 1 0 ⎥ 1. Dùng ma trận phụ hợp. h2 =h2 −3h → ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ 1 Nếu A khả nghịch thì A−1 = PA ⎢ −2 1 2 0 0 1 ⎥ ⎢ −2 1 2 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ det( A) ⎡1 2 0 1 0 0 ⎤ 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp. ⎢0 −5 4 −3 1 0 ⎥ h3 =h3 +2h1 ⎯⎯⎯⎯ → Nếu A khả nghịch thì ⎢ ⎥ ⎢0 5 2 2 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ [ A | I ] ⎯⎯⎯ ... ⎯⎯⎯ ⎣ I | A−1 ⎦ →⎡ ⎤ → pbdsc pbdsc ⎡1 2 0 1 0 0 ⎤ 1 ⎢0 −5 4 −3 1 0 ⎥ h3 = h3 h3 =h3 +h2 ⎯⎯⎯⎯ → ⎥ ⎯⎯⎯ → 6 ⎢ ⎢0 0 6 −1 1 1 ⎥ ⎣ ⎦ 33 34 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢1 2 0 1 0 0⎥ ⎢1 2 0 1 0⎥ 0 1 ⎢ ⎥ h3 = h3 ⎢ ⎥ 1 ⎯⎯⎯→ h2 =− h2 ⎢ 0 −5 4 −3 1 ⎢ 0 1 0 7 −1 2 ⎥ 6 0⎥ ⎯⎯⎯⎯ → 5 ⎢ 1⎥ ⎢ 15 15 15 ⎥ −1 1 ⎢ 1⎥ ⎢0 0 1 ⎥ −1 1 ⎣ 6⎦ 66 ⎢0 0 1 ⎥ ⎣ 6⎦ 6 6 ⎡ ⎤ 2 −4 ⎤ ⎡ 1 2 −4 ⎤ ⎡1 ⎢1 2 0 0⎥ ⎢1 0 0 15 15 15 ⎥ 1 0 ⎢ 15 15 15 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎯h2 = h2 − 4 h3 → −7 −2 ⎥ ⎯⎯⎯ 1 h2 =− h2 ⎢0 −5 0 ⎢0 1 0 7 −1 2 ⎥ ⇒ A -1 = ⎢ 7 −1 2 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ → ⎯h1 = h1 − 2 h2 → 5 ⎯⎯⎯ ⎢ 3⎥ 3 3 ⎢ 15 15 15 ⎥ ⎢ 15 15 15 ⎥ ⎢ 1⎥ −1 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ −1 1 ⎢0 0 1 ⎥ 1⎥ −1 1 1⎥ ⎢0 0 1 ⎣ 6⎦ 6 6 ⎢6 6⎥ ⎣ 6 ⎦ ⎢ 6⎥ 6 6 ⎣ ⎦ 35 36
Định nghĩa: Hạng của một ma trận là cấp cao nhất HẠNG CỦA MA TRẬN của các định thức con khác 0. Xét ma trận A cấp mxn, các phần tử nằm trên Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau: ⎡ 1 2 − 2 3⎤ giao của k hàng k cột tạo nên một ma trận vuông A = ⎢2 1 0⎥ 4 ⎢ ⎥ cấp k, định thức của nó được gọi là định thức ⎢ 3⎥ ⎣1 1 6 ⎦ con cấp k. Ta có tất cả 4 định thức con cấp 3: Ví dụ −2 1 −2 3 2 −2 3 ⎡1 2 5 0 ⎤ 1 2 1 2 3 A = ⎢ 4 1 3 2⎥ 4 = 0; 2 0 = 0; 2 4 0 = 0; 1 4 0 = 0 2 1 1 ⎢ ⎥ 1 −1 1 −1 − 3 6 1 6 3 1 6 3 ⎢2 3 6 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 2⎤ 12 δ =⎢ có định thức con cấp 2: Vậy rA=2. là một định thức con cấp 2 của A. = −3 ≠ 0 ⎥ ⎣3 1 ⎦ 21 ⎡2 5 0⎤ Định lý: Ma trận bậc thang có k hàng khác không có γ = ⎢1 3 2 ⎥ là một định thức con cấp 3 của A. ⎢ ⎥ hạng bằng k. ⎢3 6 1 ⎥ ⎣ ⎦ 37 38 4.2 Cách tính hạng của một ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi CHƯƠNG 2 hạng ma trận. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Để tìm hạng của một ma trận A, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang B, và hạng của A chính là số hàng khác không của B. 39 40
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1. Định nghĩa hệ phương trính tuyến tính. 2.1. Hệ phương trình Cramer. 1.2. nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. 2.1.1. Định nghĩa. 1.3. Định lý Kronecker. 2.1.2. Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo. 2.1.3. Phương pháp Cramer. 2.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát. 2.2.1. Phương pháp Gauss. 2.2.2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. 41 42