TÓM TẮT CÔNG THỨC GIẢI TÍCH 12

Chia sẻ: Nguyen Van Huy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

1.357
lượt xem 278
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ GIẢI TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 12

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÓM TẮT CÔNG THỨC GIẢI TÍCH 12

GIẢI TÍCH 12 I. ĐẠO HÀM: @. Bổ túc về đại số: 1. Qui Tắc: 1. phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, 1. (u ± v)’ = u’ ± v’ x2 là nghiệm thì 2. (u.v)’ = u’v + v’u ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); ∆ =b2-4ac (∆ ’=b’2- '  u  u'v − v' u 3.   = ac với b’=b/2) v2  v −b± ∆  − b'± ∆'   x1, 2 =  4. (ku)’ = ku’ (k:const) thì x1, 2 =  2a  2a 2. Công thức:   (xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’ nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 ' ' thì x1=1; x2= -c/a;  1  1 1 u'   =− 2   =− 2 S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)  x  u x u 2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c () () 1 u' ' ' x= u= + ∆ 0 (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu + f ( x) > 0 ⇔  + ∆ < 0 1 u' (tgx)’ = (tgu)’ = a < 0 2 2 cos x cos u f ( x) < 0 ⇔  1 u' ∆ < 0 (cotgx)’ = − (cotgu)’ = − 2 sin2 u sin x  (ex)’ = ex (eu)’ = u’eu ∆ > 0  x x (au)’ = u’au.lna (a )’ = a .lna + α < x1 < x 2 ⇔ af (α ) > 0 + 1 u' S (lnx)’ = (lnu)’ = x u  −α > 0 2 1 u' (logax)’ = (logau)’ =  x lna ulna ∆ > 0 II. KHẢO SÁT HÀM SỐ:  1. Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d: x1 < x 2 < α ⇔ af (α ) > 0 • Miền xác định D=R S  −α < 0 • Tính y’= 3ax2+2bx+c 2 • y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có) 3. phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 • tính y’’ tìm 1 điểm uốn nếu a+b+c+d=0 thì x1=1; • bảng biến thiên nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner • điểm đặc biệt (2điểm) ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + βx + γ ) = 0 • đồ thị (đt) với β=a+b; γ =β+c * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: 4. các công thức về lượng giác, cấp số a > 0 và lôgarit: - để hs tăng trên D ⇔ y ' ≥ 0 ⇔  ∆ y ' ≤ 0 π π cos x = sin( x + ); - sin x = cos( x + ); 2 2 a < 0 - để hs giảm trên D ⇔ y ' ≤ 0 ⇔  1 ∆ y ' ≤ 0 cos 2 x = (1 + cos 2 x); 2 - để hs có cực trị trên D ⇔y’=0 có 2 n0 pb 1 1 sin 2 x = (1 − cos 2 x ) ; 1+tg2x= - để hs không có cực trị ⇔y’=0 VN hoặc cos 2 x 2 có nghiệm kép 1 1 + cotg 2 x = − 2 - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và sin x tiếp tuyến tại đây qua đthị cấp số cộng: ÷ a,b,c,… d = c – b = b – a - chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n cb là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực q= = cấp số nhân: a,b,c,… ba trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n THPT QT 1 www.thaydo.net
γ - đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai TCX y = αx + β vì lim =0 • giá trị cực trị trái dấu. dx + e x →∞ - đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều • bảng biến thiên nhau ⇔ ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập • điểm đặc biệt (4điểm) thành csc ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm • đồ thị uốn thuộc ox. * Một số kết quả quan trọng: 2. Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c: - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm • Miền xác định D=R đối xứng • Tính y’ - có 2 cực trị hoặc không ⇔ y’= 0 có 2 • y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN • bảng biến thiên - nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là • điểm đặc biệt (2điểm) 2axi + b yi = và đó cũng là đt qua 2 điểm • đồ thị d * Các vấn đề đặc biệt cho hàm t cực trị. phương: - đthị cắt ox tại 2 điểm pb ⇔ ax2+bx+c=0 - đt nhận oy làm trục đối xứng. có 2 nghiệm pb - để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0 * CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: có 3 n0 pb (hoặc 1 n0) 1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt) - để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có 2 n0 pb @ Loại 1: pttt tại M(x0,y0) ∈ y=f(x) - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb ⇔ ∆ >0; P>0; tính: y’= S>0. y’(x0)= - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 ⇔ ∆ >0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý @ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước Vieet. ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào ax + b y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là: 3. Hàm nhất biến y = y = k(x-x0)+y0 cx + d • Miền xác định D=R\ { − d c } • pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a • pttt ⊥ y=ax+b có hệ số góc k = -1/a. ad − bc • Tính y ' = @ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x) ( cx + d ) 2 (>0,
3/ đơn điệu: cho y=f(x) b. Trên [a;b] đặt g(x)=y’ • Tính y’ a/ g(x) = ax2+bx+c ≥ 0 trong (α,+∞ ) ⇔ • Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0 ( a; b ) b ≤ α ; g(α)≥ 0. a>0; − 2a • Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) b/ g(x) = ax2+bx+c ≤ 0 trong (α,+∞ ) ⇔ Chọn số lớn nhất M KL: max y = M[ a ;b ] b ≤ α ; g(α)≤ 0. a0, b>0; m, n∈R ta có: d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng an 1 − m > h(x) (hoặc m giá = a n−m ; anam =an+m ; =a m ; ( an am trị lớn nhất của h(x) (m0)  y' ( x0 ) = 0 Với 0< a≠ 1, 00; α∈R * y=f(x) có cực đại tại x0 ⇔  y' ' ( x0 ) < 0 ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; x1  y' ( x0 ) = 0 loga x 2 = logax1−logax2; * y=f(x) có cực tiểu tại x0⇔   y' ' ( x0 ) > 0 α a log a x = x ; logax =αlogax; 1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax + bx2 + cx + d 3 1 log aα x = log a x ; (logaax=x); P.Pháp: Tập xác định D = R α • Tính y/ log b x 1 logax= ; (logab= ) Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n 0 pb log b a log b a a ≠ 0 logba.logax=logbx; alogbx=xlogba. ⇔ ∆〉 0 3. Phương trình mũ- lôgarít * Dạng ax= b ( a> 0 , a 0 ) ax 2 + bx + c 2. T.Hợp 2: Hàm số y = b 0 : pt vô nghiệm a/ x + b/ b>0 : a = b � x = log a b x b /  * Đưa về cùng cơ số: Tập xác định D = R \  P.Pháp: / a  Af(x) = Bg(x) ⇔ f(x) = g(x) g(x ) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… Tính y = / (a x +b/ ) 2 * Dạng log a x = b ( a> 0 , a 0 ) / Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = Điều kiện : x > 0 0 có hai nghiệm pb thuộc D log a x = b � x = a b  g / 〉0 ∆ • logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)  ⇔ b/ • Đặt ẩn phụ; mũ hóa…  (− / ) ≠ 0 g  a 4. Bất PT mũ – logarit: 5. GTLN, GTNN: * Dạng ax > b ( a> 0 , a 0 ) a. Trên (a,b) b 0 : Bpt có tập nghiệm R • Tính y’ b>0 : a > b � x > log a b , khi a>1 x • Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) a x > b � x < log a b , khi 0 < a < 1 • KL: max y = yCD , min y = yCT ( a ;b ) ( a ;b ) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… THPT QT 3 www.thaydo.net
* Dạng log a x > b ( a> 0 , a 0 , x>0 ) Các phương pháp tính tích phân:Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của log a x > b � x > a b , khi a >1 một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân log a x > b � x < a b , khi 0 < x < 1 phối hoặc chia đa thức. Phương pháp đổi biến số : • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… b VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: A = ∫ f [ ϕ( x ) ].ϕ / ( x ) .d ( x ) ΙΙΙ Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm a của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) P.Pháp: ⇔ F / ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) Đặt : t = ϕ( x )⇒ dt = ϕ / ( x ) .d ( x ) Nguyên hàm của hàm số sơ cấp  x = b ⇒ t = ϕ( b ) ∫ 1.dx = x + c 1. Đổi cận:   x = a ⇒ t = ϕ( a ) x ∝ +1 + c( ∝≠ −1) ϕ( b ) ∫ x .dx = ∝ 2. ∫ ) f ( t ) .dt = [ F ( t ) ] ϕ( b ) Do đó: A = ∝ +1 ϕ( a ) ( 1 ϕa ∫ x .dx = ln x + c 3. Các dạng đặc biệt cơ bản: a dx 4. ∫ Cosx .dx = Sinx + c I =∫ 1. 0a +x 22 ∫ Sinx .dx = −Cosx + c 5. P.Pháp:  π π 1 Đặt: x = a.tgt ∫ Cos 2 x .dx = tgx + c  − 〈t 〈  • 6.  2 2 1 .dt = a(1+ tg 2t ).dt a 7. ∫ . dx = −Cotgx + c ⇒ dx = Sin 2 x 2 Cos t 8. ∫ e .dx = e + c • Đổi cận: x x a 2.Tính J = ∫ a − x .dx ax 2 2 9. ∫ a .dx = +c x lna 0 P.Pháp: Nguyên hàm các hàm số thường gặp: π π 1 ( ax + b ) ∝ +1 Đặt x = a.S int −≤t≤  1. ∫ ( ax + b ) .dx = • α +c 2 2 a ∝ +1 ⇒ dx = a.Cost .dt 1 1 ∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + c 2. • Đổi cận Phương pháp tính tích phân từng phần 1 ∫ Cos( ax + b ).dx = a .Sin( ax + b ) + c Loại 1: Có dạng: 3. e x  b   1 ∫ Sin( ax + b ).dx = − a .Cos( ax + b ) + c A= ∫ P( x). Sinx .dx 4. Cosx  a   1 1 ∫ Cos ( ax + b ) .dx = a .tg( ax + b ) + c Trong đó P(x)là hàm đa thức 5. 2 Phương pháp: ⇒ du = 6. Đặt u = P(x) 1 1 P(x).dx ∫ Sin ( ax + b ) .dx = − a .Cotg ( ax + b ) + c  ex  ∫ 2  1  Sinx  .dx ⇒ v = ... dv = ∫ ∫e .dx = .e ax + b + c ax + b 7.   a  Cosx  ∫ 1 a mx + n  8. ∫ a .dx = . +c mx + n Áp dụng công thức tích phân từng m lna phần THPT QT 4 www.thaydo.net
b β α b A = [ u.v ] a − ∫ v.du b ∫ f (x ).dx + ∫ f (x ).dx + ∫ f (x ).dx S= a α β a b 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): Loại 2: B = ∫ P (x ).Ln(ax + b).dx y =f(x) và trục hoành: a P.Pháp: Phương pháp: ♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm a ⇒ du = .dx Đặt u = Ln(ax+b) x = a ax + b của phương trình: f(x) = 0 ⇔  x = b ⇒ dv = P(x).dx v = ... b [ u.v] − ∫ v.du b Áp dụng: B = b b a S = ∫ f (x ) .dx = ∫ f (x ).dx a ---------------------------------------------- a a Dạng : 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 A = ∫ Sin n x.dx B = ∫ Cos n x.dx đường Hay 1. Nếu n chẵn: (c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai Áp dụng công thức đường 1− Cos 2a 1+ Cos 2a x = a; x = b: Sin a = Cos a = 2 2 ; 2 2 P.Pháp 2. Nếu n lẻ: • DTHP cần tìm là: A = ∫ Sin n −1 x.Sinx .dx b S = ∫ f (x ) − g(x ) .dx Đặt t = Cosx (Đổi sinn −1 x thành Cosx ) a • HĐGĐ của hai đường (c1) và ----------------------------------------------- (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – Dạng : g(x) = 0 A = ∫ tg m x.dx Hay B = ∫ Cotg m x.dx Lập luận giống phần số 1 PP:Đặt tg 2 làm thừa số V. Thể tích vật thể: 1 Thay tg = −1 2 1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = Cos 2 x b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn IV. Diện tích hình phẳng: [ a; b] . Khi (H) quay quanh trục ox tạo 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ra vật thể có thể tích: (c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b: 2 b P.Pháp:  DTHP cần tìm là: V = π.∫ [ f (x )] .dx b S = ∫ f (x ) .dx a (a < b) 2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = a b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn • Hoành độ giao điểm của (c) và [ a; b] . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra tục ox là nghiệm của phương vật thể có thể tích: trình: f(x) = 0 Σ Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có 2 b V = π.∫ [ g(y )] .dy . nghiệm không thuộc đoạn [ a; b] thì: a b IV. SỐ PHỨC: ∫ f (x ).dx S= • Số i : i2 = -1 a • Số phức dạng : z = a + bi ; a,b∈R Σ Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn [ a; b] . Giả sử x = α , x = β thì Modun của số phức : z = a 2 + b 2 • β α b • Số phức liên hợp của z = a + bi là S = ∫ f (x ) .dx + ∫ f (x ) .dx + ∫ f (x ) .dx z = a − bi α β a THPT QT 5 www.thaydo.net
Nếu phương trình bậc hai z = z ; z + z ' = z + z ' ; z. z ' = z. z ' ; az + bz + c = 0 ( a, b, c ι  , a 0 ) có 2 z �z � = hai nghiệm z1 , z2 thì : � � z �z � b c z 0 với mọi z  , z1 + z2 = − và z1 z2 = . a a z = 0 � z = 0.  Định lý đảo của định lý Viet : z z =; z = z ; zz = z z ; Nếu hai số z1 , z2 có tổng z z z1 + z2 = S và z1 z2 = P thì z1 , z2 là z+z z+z nghiệm của phương trình : z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo z 2 − Sz + P = 0 . ⇔ z = −z a=c • a+ bi = c + di b=d • (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i • (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i • (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i a + bi ( a + bi ) ( c − di ) • = c + di c2 + d 2 i1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1 . Ta có: i 4 n = 1, i 4 n +1 = i, i 4 n +2 = −1, i 4 n+3 = −i . (1+ i) = 2i ; ( 1 − i ) = −2i . 2 2 Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : ia Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; a, b, c R ) Đặt ∆ = b 2 − 4ac o Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x −b = 2a o Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : −b ∆ x1,2 = 2a o Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : −b i ∆ x1,2 = 2a  Định lý Viet : THPT QT 6 www.thaydo.net